Bµi 5
BÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ logarit
1. BÊt ph−¬ng tr×nh mò
§ã lµ bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
a f(x) > a g(x) (hoÆc a f(x) ≥ a g(x) ). (1)
§Ó gi¶i (1), ng−êi ta th−êng dùa vµo c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
sau
a f(x) > a g(x)
f(x) > g(x)
⇔
a > 1
a > 1
a f(x) > a g(x)
f(x) < g(x)
⇔
0 < a < 1.
0 < a < 1
VÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
4x2 −15x +13
1
> 1 ; b)
< 43x −4 . (1)
a) 2
4
Gi¶i. a) BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
x 2 − x −6
2
x − x − 6 > 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) > 0
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞).
2
b) (1) ⇔ 4x − 15x + 13 < 4 − 3x (v× 4
2
3x − 4
1
=
4
4 −x
2
).
⇔ 4x − 12x + 9 < 0 ⇔ (2x − 3) < 0 ⇔ x ∈ ∅. (v« nghiÖm)
2 x
VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x 5 − 5
x
2
2
2
2
x+2
Gi¶i. (2) ⇔ 5 .(x − 5 ) ≤ 0 ⇔ x − 5 ≤ 0
x
(v× 5 > 0) ⇔ −5 ≤ x ≤ 5.
VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
a) 7
x −x2
8
b)
2
6 − x(5x −7,2x +3,9 − 25 5) ≥ 0. (4)
2
< 71−x ( 8 7)x + 6, (3)
a) (3) ⇔ 7
§Æt
x −x2
7 8
x −x2
8
< 7.7
( ) + 6 . (5)
2
− x −x
8
= y . Tõ (5) ta cã
7
(y − 7)(y + 1)
<0
y < + 6
y
y
⇔
y > 0
y > 0
⇔ 0 < y < 7. Trë l¹i biÕn cò, ta cã
1
≤ 0. (2)
x2
< 1 ⇔ (x − 4 + 2 2)(x − 4 − 2 2) < 0
8
(5) ⇔ x −
⇔ x ∈ (−∞, 4 − (−∞,4 − 2 2 ) ∪ (4 + 2 2, + ∞).
6−x =0
x = 6
b) (4) ⇔ 5x2 −7,2x +3,9 − 25 5 ≥ 0 ⇔ x2 − 7,2x + 1,4 ≥ 0
x < 6
x < 6.
x = 6
1
1
⇔ x − (x − 7) ≥ 0 ⇔ x ∈ −∞, ∪ {6}.
5
5
x < 6
Chó ý. §Ó ®¬n gi¶n trong qu¸ tr×nh gi¶i, ta cã thÓ dïng Èn phô. Ch¼ng
h¹n ®èi víi bÊt ph−¬ng tr×nh
x
f(a ) ≥ 0, 0 < a ≠ 1,
x
ta ®Æt t = a ®Ó ®i ®Õn hÖ
f(t) ≥ 0
t > 0.
VÝ dô 4. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
x
1 1
a) 372
3 3
b)
1
>
x
1
3 − 1 1 − 2x −1
x
> 1, (6)
. (7)
Gi¶i. a) (6) ⇔ 372 −x − x > 1
⇔ 72 − x −
t 2 + t − 72 < 0
x >0⇒
t = x ≥ 0
0 ≤ t < 8
⇔
⇔ 0 ≤ x < 64.
t = x
b) (7) ⇔
1 − 3x −1 − 3x + 1
(3x − 1)(1 − 3x −1 )
> 0. (8)
x
§Æt t= 3 , (8) cã d¹ng
2
t > 0
t > 0
2 − 4 t
2− t −t
⇔
3
3
>0
>0
t
t
(t − 1) 1 −
(t − 1) 1 −
3
3
3
t−
3
1
t
<
<
2
>0 ⇔
⇔
2
(t − 1)(4 − t)
t > 4
t > 0
3
3
1 < 3x <
0 < x < log3
2 ⇔
Tõ ®ã (8) ⇔
2
x
4 < 3
log3 4 < x.
VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
( 2)3x + (4 2)x ≥ 2.8x. (9)
2
(9) ⇔
2
3x
t 3 + t − 2 ≥ 0
2
+
≥ 2 ⇔ 2 x
2
t =
>0
2
x
(t − 1)(t 2 + t + 2) ≥ 0
x
2
x
⇔
⇔
≥1
2
2
t =
>0
2
2
(v× t + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0].
Chó ý : Khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh mò ta cã thÓ logarit hãa hai vÕ.
VÝ dô 6. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh
a) 52x −1 < 73−x , (10)
b)
4 4
5 5
x −1
>
5(3/ 4)x −1
5
(11)
Gi¶i. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log57)(3 − x) (v× hai vÕ d−¬ng)
⇔ (2 + log57)x < 3log 57 + 1.
1 + 3log5 7
.
⇔x<
2 + log5 7
b) (11) ⇔ (x − 1) log5
4 1
4 3
3
+ log5 > x − 1 −
2
5 2
5 4
4 3 1
4 5
⇔ x log5 − > log5 −
5 4 2
5 2
3
4
log5 − 5
5
⇔x<
.
4 3
2 log5 −
5 4
VÝ dô 7. T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x,
9x + 2(2a + 1)3x + 4a 2 − 3 > 0. (12)
x
§Æt t = 3 , (12) cã d¹ng
2
2
f(t) := t + 2(2a + 1)t + 4a − 3 > 0. (13)
Bµi to¸n trë thµnh : t×m a ®Ó (13) ®óng víi mäi t > 0.
2
Ta cã f(t) = (t + 2a + 1) − 4(a + 1)
a) a + 1 < 0 (⇔ a < −1), (13) ®óng víi mäi t.
b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 − 2 a + 1 )(t + 2a + 1 + 2 a + 1 ) > 0
t < −2a − 1 − 2 a + 1
⇔
t > −2a − 1 + 2 a + 1
§Ó (13) ®óng víi mäi t > 0, cÇn vµ ®ñ lµ
−2a − 1 + 2 a + 1 ≤ 0 ⇔ 2 a + 1 ≤ 2a + 1 (14)
1
4(a + 1) ≤ 4a 2 + 4a + 1
a ≥ −
2
⇔
⇔
2a + 1 ≥ 0
4a 2 − 3 ≥ 0
⇔a≥
3
.
2
3
§¸p sè a ∈ (−∞, −1) ∪ , +∞).
2
VÝ dô 8. Gi¶i vµ biÖn luËn
2
a) a − 9
2
x+1
b) a − 2.4
x
− 8a.3 > 0, (15)
x+1
− a.2
2
x+1
x
> 0. (16)
a) (15) ⇔ a − 8a.3 − 9
x+1
> 0 ⇔ (a − 4.3x )2 − 25.9x > 0
4.3x − a > 5.3x (17)
⇔ (4.3x − a)2 > (5.3x )2 ⇔
4.3x − a < −5.3x. (18)
3x < −a
⇔
(19)
3x +2 < a.
+ Víi a = 0, (19) v« nghiÖm
x
+ Víi a < 0 (19) ⇔ 3 < −a ⇔ x < log3(−a)
4
+ Víi a > 0 (19) ⇔ 3
x+2
< a ⇔ x < log3a − 2.
x
b) §Æt t = 2 , (16) cã d¹ng
8t 2 + 2at − a 2 < 0
t > 0
(a − t)2 − 9t 2 > 0
(a − 4t)(a + 2t) > 0
⇔
⇔
t > 0
t > 0
⇔
+ Víi a = 0, hÖ v« nghiÖm
+ Víi a < 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi t < −
a
2
a
nghÜa lµ (16) nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ −∞, log2 −
2
+ Víi a > 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi
0 0, a ≠ 1), gi¶i
a 2x + a x +2 − 1 ≥ 1. (20)
§Æt t = a x > 0. Lóc ®ã (20) cã d¹ng
t 2 + a 2 t − 1 ≥ 1 ⇔ (21
−a 2 − a 4 + 4 −a 2 + a 4 + 4
≥ 1.
⇔ t −
t −
2
2
2
4
0 < t < −a + a + 4
(v« nghiÖm)
2
2
2
t + a t − 1 ≤ −1
−a 2 + a 4 + 4
t ≥
= to
⇔
2
2
4
t ≥ −a + a + 4
−a 2 − a 4 + 8
⇔ t ≤
2
= t1
2
2
2
t + a t − 1 ≥ 1
2
4
−a + a + 8
≥
= t2
t
2
V× t2 > to > 0 vµ t1 < 0 nªn
(21) ⇔ t ≥ t2. Tõ ®ã
a) NÕu 0 < a < 1 th× (20) ⇔ x ≤ logat2.
5
b) NÕu a > 1 th× (20) ⇒ x ≥ logat2.
VÝ dô 10. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
ax
>
1 + a −x
a x − 1 1 − 2a −x
(22) ⇔
⇔
ax
−
víi a > 0, a ≠ 1. (22)
1 + a −x
a x − 1 1 − 2a −x
(a −x − 2)a x
(a x − 1)(a x − 2)
>0 ⇔
>0 ⇔
a x − 2 − a x − 1 + 1 + a −x
(a x − 1)(1 − 2a −x )
1 − 2a x
(a x − 1)(a x − 2)
> 0 . (23)
x
§Æt t = a > 0, (23) cho ta
1
1
0 − loga 2
0 > x > loga 2.
1 < a x < 2
b) Víi a > 1
x < − loga 2
(24) ⇔
0 < x < loga 2
2. BÊt ph−¬ng tr×nh logarit
C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña logarit hay ®−îc sö dông
g(x) > 0
loga f(x) > loga g(x)
a)
⇔ f(x) > g(x)
a > 1
a > 1,
f(x) > 0
loga f(x) > loga g(x)
⇔ g(x) > f(x)
b)
0 < a < 1
0 < a < 1,
0 < f(x) < 1
0 < g(x) < 1
c) logf(x) g(x) > 0 ⇔
f(x) > 1
g(x) > 1,
6
>0
0 < f(x) < 1
g(x) > 1
d) logf(x) g(x) < 0 ⇔
f(x) > 1
0 < g(x) < 1,
VÝ dô 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
2
a) log5(x − x) < 0 (1)
x −1
> 0, (2)
b) log3
x−2
x(x − 1) > 0
2
Gi¶i. a) (1) ⇔ 0 < x − x < 1 ⇔ 2
x − x − 1 < 0
x < 0
1− 5 1+ 5
x > 1
⇔x∈
,0 ∪ 1,
⇔
2
2
1 − 5
1+ 5
2 < x < 2
x −1
1
>1 ⇔
> 0 ⇔ x > 2.
x−2
x−2
VÝ dô 2. Gi¶i
b) (2) ⇔
x log 1 (x 2 + x + 1) > 0. (3)
5
(3) ⇔ x log5 (x2 + x + 1) < 0 ⇔
x > 0
2
x 2 + x > 0
x + x + 1 < 1
⇔ x < −1.
⇔
⇔
x < 0
x < 0
2
x + x + 1 > 1
VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
a) log3 (3x − 1).log 1 (3x +2 − 9) > − 3 (4)
3
b)
7 − log2 x 2 + log2 x 4 > 4. (5)
x
Gi¶i. a) §Æt t = log3(3 − 1). Khi ®ã (4) cã d¹ng
t(−2 − t) > −3 ⇔ t 2 + 2t − 3 < 0
⇔ −3 < t < 1. Do ®ã
28 x
(4) ⇔ 3−3 < 3x − 1 < 3 ⇔
<3 <4
27
7
28
⇔ log3 < x < log3 4
27
b) §Æt t = log2 x 2 ta nhËn ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh
7 − t + 2t > 4 ⇔
7 − t > 4 − 2t
7 − t ≥ 0
2 < t ≤ 7
4 − 2t < 0
⇔
⇔ 3
< t ≤ 2.
4 − 2t ≥ 0
4
7 − t ≥ 4t 2 − 16t + 16
Chó ý. Trong khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh logarit, ®«i khi ng−êi ta dïng
c«ng thøc
f(x)g(x) = a g(x)loga f(x) .
VÝ dô 4. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
2.x 2 lg(x −1) ≥ 1 + (x − 1)lg x . (6)
(6) ⇔ 2.102 lg(x −1)lg x ≥ 1 + 10lg(x −1)lgx
§Æt t = 10lg(x −1)lgx , ta cã
2t 2 − t − 1 ≥ 0
(2t + 1)(t − 1) ≤ 0
⇔
⇔ t ≥ 1.
t > 0
t > 0
Tõ ®ã, (6) ⇔ 10lg(x −1)lg x ≥ 1 ⇔ lg(x − 1)lgx ≥ 0
lg(x − 1) ≥ 0
x ≥ 2 hay x ∈ [2, +∞).
lg x ≥ 0
⇔
⇔
lg(x − 1) ≤ 0
(v× hÖ sau v« nghiÖm)
lg x ≤ 0
VÝ dô 5. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
a) log
x2
4x − 5 1
≥ (7)
|x −2| 2
b) logx 2x ≤ logx (2x3 ). (8)
Gi¶i. a) §iÒu kiÖn cã nghÜa lµ
x 2 > 0, x 2 ≠ 1
5
⇔ x > , x ≠ 2.
4x − 5
4
>0
| x − 2 |
5
5
x > 4 ,x ≠ 2
x > , x ≠ 2
(7) ⇔
⇔
(9)
4
−
4x
5
≥x
4x − 5 ≥ x | x − 2 |
| x − 2 |
8
x > 2
x > 2
2
4x
5
x(x
2)
−
≥
−
x − 6x + 5 ≤ 0
(9) ⇔ 5
⇔ 5
0. §Æt t = log x2, (8) cã d¹ng t + 1 ≤
t+3 ⇔
t + 1 < 0
−3 ≤ t < −1
t + 3 ≥ 0
⇔
t + 1 ≥ 0
−1 ≤ t ≤ 1
2
(t + 1) ≤ t + 3
x > 1
−3 ≤ logx 2 ≤ 1
Tõ ®ã (8) ⇔ −3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔
0 < x < 1
−3 ≤ logx 2 ≤ 1
x ≥ 2
1
⇔
⇔ x ∈ 0, 3 ∪ [2, + ∞).
1
2
0 0
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 −
§iÒu kiÖn
2 − 5x − 3x2 ≠ 0
15 , +∞) = D
Víi x ∈ D, log11 (x2 − 4x − 11) =
3log5 (x 2 − 4x − 11)
.
log5 11
Do ®ã, trªn D
3 log5 (x2 − 4x − 11)
(10) ⇒ 2 −
(11)
log5 11 2 − 5x − 3x 2
⇔
log5 (x 2 − 4x − 11)
2 − 5x − 3x
2
≤ 0 (v× 2 −
3
<0)
log5 11
9
15 ) ∪ (2 +
log (x2 − 4x − 11) ≥ 0
x2 − 4x − 11 ≥ 1
5
2 − 5x − 3x 2 < 0
3x2 + 5x − 2 > 0
⇔
⇔
log (x2 − 4x − 11) ≤ 0
x2 − 4x − 11 ≤ 1
5
2 − 5x − 3x 2 > 0
3x2 + 5x − 2 < 0
x ∈ (−∞, − 2) ∪ [6, + ∞)
⇔
x ∈ −2, 1
3
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ [6, +∞).
VÝ dô 7. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh
a) x logx +1 (x −1) + (x − 1)logx +1 x ≤ 2. (12)
Gi¶i : §iÒu kiÖn
x > 0
x − 1 > 0
⇔ x > 1.
x + 1 > 0
x + 1 ≠ 1
§Æt x logx +1 (x −1) = t . Khi ®ã
1
t > 0, x = t logx +1 (x −1) , logx +1 x =
1
logx +1 t
logx +1 (x − 1)
hay logx +1 x = logx −1 t ⇔ t = (x − 1)logx +1 x . Tõ ®ã (12) cã d¹ng 2t ≤ 2
⇔ t ≤ 1 hay
x logx +1 (x −1) ≤ 1 ⇔ logx +1 (x − 1) ≤ 0 (v× x > 1)
⇔ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2.
KÕt luËn 1 < x ≤ 2.
VÝ dô 8. Gi¶i loga(x − a) > log 1 (x + 1), (13)
a
ë ®©y 0 < a ≠ 1.
Gi¶i. §iÒu kiÖn x > a. Khi ®ã
(13) ⇔ loga (x − a) > − loga (x + a) ⇔ loga (x 2 − a 2 ) > 0 . (14)
x 2 − a 2 > 1
a) a > 1, khi ®ã (14) ⇔
⇔x>
x > a
1 + a2
x 2 − a 2 < 1
b) 0 < a < 1, lóc ®ã (14) ⇔
⇔a a
10
1 + a2 .
§¸p sè : x ∈ ( 1 + a 2 , + ∞) víi a > 1
x ∈ (a,
1 + a 2 ) víi 0 < a < 1.
VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
loga2 x + loga x + 2
> 1 ; 0 < a ≠ 1. (15)
loga x − 2
§iÒu kiÖn x > 0, log ax − 2 ≠ 0 hay
2
01 ⇔
>0 ⇔ t > 2
t −2
t −2
Trë l¹i biÕn cò
x > a 2
a > 1
t > 2 ⇔ loga x > 2 ⇔
0 < x < a 2
0 < a < 1.
x ∈ (a 2 , + ∞) khi a > 1
KÕt luËn
x ∈ (0, a 2 ) khi 0 < a < 1.
11
- Xem thêm -