Tài liệu Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân để giải bài toán gtln, gtnn

Đỗ Xuân Vượng - THPT Triệu Quang Phục: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân để giải bài toán GTLN, GTNN. §Æt vÊn ®Ò Trong chương trình sách giáo khoa mới phân ban hiện nay phần bất đẳng thức chỉ còn lại bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ( BĐT CôSi ), bất đẳng thức Bunhiakõpki được các tác giả đưa vào bài đọc thêm . Như vậy về nguyên tắc thì chương trình phổ thông chỉ còn bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân là học sinh được phép vận dụng Như chúng ta đã biết thì bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân là một bất đẳng thức hay và khó được sử dụng và ứng dụng hết sức rộng rãi . Tuy nhiên về mặt tâm lí cũng như kiến thức học sinh rất là ngại giải toán bất đẳng thức , các em hay sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân một cách không hợp lí và hay mắc phải những sai lầm đặc biệt là vấn đề xác định dấu ‘’=’’ của bất đẳng thức xảy ra khi nào. Là người trực tiếp giảng dạy toán, giải toán bất đẳng thức tôi hiểu rất rõ về tình trạng này . Qua kinh nghiệm giảng dạy cũng như tham khảo tài liệu tôi xin đưa ra một vấn đề hết sức cần thiết đối với học sinh là : Ph¬ng ph¸p sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®Ó gi¶i bµi to¸n GTLN, GTNN. Đây là một vấn đề mà tất cả những người học toán, làm toán, dạy toán hết sức quan tâm. Bài viết này nhằm nâng cao kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đặc biệt là xác định dấu ‘=’ xảy ra từ đó xác định được hướng sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Môc lôc Trang PhÇn 1 ViÖc x¸c ®Þnh dÊu b»ng x¶y ra khi : ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh céng sang trung b×nh nh©n. 3 PhÇn 2 Kü thuËt x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu : b»ng khi ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh nh©n sang trung b×nh céng 18 PhÇn 3 Bµi tËp ®Ò nghÞ : 23 PhÇn 4: KÕt luËn- kiÕn nghÞ 25 Tµi liÖu tham kh¶o 26 PhÇn 1 : ViÖc x¸c ®Þnh dÊu b»ng x¶y ra khi ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh céng sang trung b×nh nh©n 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ : 1.1 BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®èi víi hai sè kh«ng ©m a, b ab  ab , 2 dÊu b»ng x¶y ra khi a=b. 1.2 BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®èi víi ba sè kh«ng ©m a, b,c abc 3  abc , 3 dÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c. 1.3 BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi n sè kh«ng ©m a1 , a2 , a3 ,...., an a1  a2  ...  an n  a1 a2 ...an , n dÊu b»ng x¶y ra khi a1  a2  a3  ....  an . NhËn xÐt BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n thêng ®îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«Si. Tuy nhiªn ®©y chØ lµ d¹ng bÊt ®¼ng thøc d¹ng c¬ b¶n theo ch¬ng tr×mh ph©n ban, chóng ta cßn cã thÓ khai th¸c vµ x©y dùng thªm c¸c bÊt ®¼ng thøc nhá tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn vµ ¸p dông ®Ó gi¶i ®îc mét sè bµi to¸n trong c¸c kú thi tuyÓn sinh. Trong thùc tÕ viÖc sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng ph¶i lµ mét viÖc dÔ dµng, ®Æc biÖt lµ ®èi víi c¸c em häc sinh trong bµi to¸n cùc trÞ. C¸c em thêng sö dông theo ®óng c«ng thøc trong khi viÖc ®¶m b¶o dÊu b»ng x¶y ra lµ mét viÖc hÕt søc khã kh¨n. 2. Bµi to¸n më ®Çu Cho hai sè d¬ng a,b ta lu«n cã a b   2. b a DÊu b»ng x¶y ra khi a=b. Tõ bµi to¸n trªn ta cã thÓ khai th¸c nhiÒu bµi to¸n nh sau. Cho a  2 . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña VD 1 T 1 a a Ta cã T  Sai lÇm cña häc sinh : 1 1  a  2 .a  2 VËy a a MinT  2 , sai lÇm c¸ch lµm trªn ë chç lµ 1 MinT  2  a   a  1, ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra v× a  2 . a Qu¸ tr×nh ph©n tÝch lêi gi¶i : Ta lËp mét b¶ng c¸c 1 gi¸ trÞ t¬ng øng cña a, vµ T nh sau : a a 2 3 4 5 …. 100 1 a 1 2 1 3 1 4 1 5 …. 1 100 1 5 ….. T 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 100 1 100 Nh vËy khi gi¸ trÞ cña a cµng t¨ng th× gi¸ trÞ cña T cµng t¨ng. tõ ®ã ta dù ®o¸n lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T lµ khi a=2 . Hay ta cã thÓ nãi : a=2 . MinT  5 ®¹t ®îc t¹i ®iÓm 2 5 2 Do bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n x¶y ra dÊu b»ng khi c¸c sè tham gia ph¶i b»ng nhau. Do ®ã t¹i a=2 th× ta kh«ng thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi hai sè a 1 . VÊn ®Ò lµ ta chän c¸c sè tham gia bÊt ®¼ng thøc a gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n nh thÕ nµo . Ta 1 1 thÊy r»ng v× a  2 do ®ã ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt a 2 cña T ( ttøc lµ T ph¶i cã chiÒu  ) th× ta sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®Ó lµm mÊt 1 sè h¹ng , hay sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh a 1 céng vµ trung b×nh nh©n trong ®ã cã mét sè lµ , sè cßn a a a 1 l¹i lµ sè cã d¹ng . Nh vËy ta sÏ cÇn t×m k sao cho  t¹i k k a ®iÓm dÊu b»ng x¶y ra a=2, tøc lµ : S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : a  2 th× 1 1  a  2  a  1 k a vµ a 1 2 1     k  4 . Tõ ®©y ta sÏ biÕn ®æi biÓu thøc T k a k 2 theo híng x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng nh trªn : mµ Bµi gi¶i 1 3a a 1    a 4 4 a 3a a 1  2 . 4 4 a 3.2 5  1  4 2 T a 5 khi a=2. 2 VD 2 : Cho a  2 . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 1 T a 2 a VËy MinT  Dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra t¹i ®iÓm : a=2 ( t¬ng tù nh vÝ dô 1). Sai lÇm cña häc sinh : Ta cã 1 7a a 1  a    a2 8 8 a2 . a 1 7a 2 7a  .    8 a2 8 8a 8 S §Õn ®©y th× häc sinh kh«ng biÕt ®¸nh gi¸ thÕ nµo cho ®óng n÷a mÆc dï ®· x¸c ®Þnh ®îc ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng . Nguyªn nh©n lµ c¸c em cha sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n mét c¸ch phï hîp . Khi sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ a 1 trung b×nh nh©n víi hai sè vµ 2 th× khi ®¸nh gi¸ tõ 8 a a 1 2 tæng sang tÝch ta ®îc 2 . 2  , nh vËy cha hÕt a ë mÉu 8 a 8a sè . Nh vËy cha t×m ®îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T. Qu¸ tr×nh ph©n tÝch lêi gi¶i : NhËn thÊy 1 1 a 2 a 2 4 . Nh vËy ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T a2 4 ( tøc lµ T cã chiÒu  ) th× ta ph¶i biÕn ®æi T sao cho khi sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh 1 nh©n lµm mÊt sè h¹ng 2 . Do ®ã khi sö dông bÊt ®¼ng a thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n sÏ cã 1 sè 1 a a h¹ng 2 vµ 2 sè cßn l¹i cã d¹ng ( cã hai sè ®Ó khi a k k 1 nh©n vµo sÏ hÕt thõa sè a cña 2 ). a S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : 1 1  a 2  4 2 1    k 8 a2   a 1 k 4   2 k a Bµi gi¶i Ta cã S a  1 6a  a a 1       a2 8  8 8 a2  6.2 a a 1 9  33 . . 2  8 8 8 a 4 9 khi a=2. 4 Cho a  4 . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña VËy MinT  VD 3: T  a2  18 a Dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra t¹i ®iÓm : a=4 Qu¸ tr×nh ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : Do a  4 suy ra ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P ta ph¶i sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®Ó lµm mÊt a ë díi mÉu sè . Tøc lµ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi c¸c sè trong ®ã cã 1 sè 18 lµ a S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng :  18 18  a  2  9 16 16  9  k  a4   2 k 9  a  18  k a Bµi gi¶i   2  18 a 18  7a 2 2 T a     a  16 a  16  9  a 2 18 7a 2 9 7a 2 2 .   . a. a  16 a 16 9 2 9 9 7.16  . 4 4  25 16 2 VËy MinT  25 x¶y ra khi a=4 NhËn xÐt : Khi cÇn lµm mÊt sè h¹ng nµo th× chÝnh sè h¹ng ®ã lµ 1 sè h¹ng tham gia trong bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n . Qua 3 vÝ dô trªn chóng ta ®· lµm quen víi c¸c bµi to¸n mµ gi¶ thiÕt cho d¹ng a   . Sau ®©y chóng ta sÏ lµm quen víi gi¶ thiÕt a   . VD 4 : Cho 0  a  T  2a  1 . a2 1 . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2 Sai lÇm cña häc sinh : Ta cã 1 1 1 T  2a  2  a  a  2  3 3 a.a. 2  3 VËy MinT  3 . Sai lÇm c¸ch a a a 1 lµm trªn ë chç : MinT  3  a  2  a  1 , ®iÒu nµy kh«ng thÓ a 1 x¶y ra v× 0  a  . Râ rµng lµ c¸c em còng biÕt sö dông bÊt 2 ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n song cha hîp lý cô thÓ lµ cha x¸c ®Þnh ®óng ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng trong bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n . Qu¸ tr×nh ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : T¬ng tù c¸c vÝ dô trªn ta lËp mét b¶ng c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña T khi a thay ®æi nh sau : A 1 2 1 3 1 4 …. 1 10 2a 1 2 3 1 2 …… 1 5 1 a2 4 9 16 …. 100 T 5 1 2 ….. 9 2 3 16 100 1 5 Nh vËy khi gi¸ trÞ cña a cµng nhá th× gi¸ trÞ cña T cµng t¨ng. tõ ®ã ta sÏ dù ®o¸n gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T lµ 5 1 khi a  . 2 5 Hay ta cã thÓ nãi : MinT  ®¹t ®îc t¹i ®iÓm a=2 . 2 1 1 4 . Nh vËy ta ph¶i ¸p dông MÆt kh¸c v× 0 a 2 a2 bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n nh thÕ nµo ®Ó lµm mÊt tham sè a ë trªn tö sè . Do ®ã chóng ta nghÜ ®Õn viÖc ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n trong ®ã cã mét sè lµ a. S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : a 1   a  2 1 4    k 8  1 2 k  a 2  ka 1  2 Bµi gi¶i T  2a  1  1  7  a  a    a2  8a 2  8a 2 1 7  a 2 8a 2 3 7.4   5 2 8  3 3 a.a. 1   do a   2  1 . 2 NhËn xÐt: Qua 4 vÝ dô trªn ta thÊy khi sö dông kü thuËt x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng, nÕu ®· x¸c ®Þnh ®îc mét sè tham gia bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n gi¶ xö lµ a th× sè cßn b b l¹i sÏ cã d¹ng lµ . Ta chän a  t¹i ®iÓm dù ®o¸n k k x¶y ra dÊu b»ng ®Ó x¸c ®Þnh sè k. VËy MinT  5 khi a  3. Mét sè bµi to¸n ¸p dông Bµi to¸n 1 T  xy   x, y  0 Cho  . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x  y  1 1 . xy Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : T  xy  1 1  2 xy.  2 , xy xy suy ra MinT=2. Sai lÇm c¸ch lµm trªn lµ 1 MinT  2  xy   xy  1 ®iÒu nµy m©u thuÉn v× xy  x  y xy  4 2  1 . Râ rµng häc sinh ®· biÕt xö dông tÝch 4 1  1 ®Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng xy vµ trung b×nh nh©n song l¹i kh«ng ®Ó ý ®Õn rµng buéc bµi to¸n . Chóng ta còng thÊy bµi to¸n nµy cã hai biÕn x,y . Tuy nhiªn cã thÓ ®a vÒ bµi to¸n 1 biÕn quen thuéc b»ng c¸ch ®Æt a=xy vµ nhí ®iÒu kiÖn cña Èn phô a . xy. §Æt  x  y a  xy  4 2  1 4 Bµi to¸n ®· cho trë thµnh : trÞ nhá nhÊt cña T  a  Cho 0  a  1 . T×m gi¸ 4 1 ( néi dung t¬ng tù vÝ dô 4). a S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng 1  a  1  1 4 4 a      k  16 4 1 4 k a  ka Bµi gi¶i : 1 1 15 a  a 16a 16a 1 15 1 15  2 a.    16a 16a 2 16a 1 15 17    2 16. 1 4 4 17 1 1 VËy MinT  khi a  hay x  y  . 4 4 2 T a Bµi to¸n 2 T  xyz   x, y , z  0 Cho  . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x  y  z  1 1 . xyz Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : T  xyz  1 1  2 xyz. 2 , xyz xyz suy ra MinT=2. Sai lÇm c¸ch lµm trªn lµ 1 MinT  2  xyz   xyz  1 ®iÒu nµy m©u thuÉn v× xyz  x  y  z xyz  2 27  1 . 27 1 §Æt a  xyz   3  x  y  z  27   a 27 . Bµi to¸n ®· cho trë thµnh : trÞ nhá nhÊt cña T  a  Cho 0  a  1 . T×m gi¸ 4 1 ( néi dung t¬ng tù vÝ dô 4). a S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : 1  a  1  1 4 4 a      k  16 . 4 1 4 k a  ka Bµi gi¶i: 1 1 15 a  a 16a 16a 1 15 1 15  2 a.    16a 16a 2 16a 1 15 17    . 2 16. 1 4 4 17 1 1 VËy MinT  khi a  hay x  y  . 4 4 2 T a Bµi to¸n 3  a, b, c  0  Cho  3.  a  b  c  2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T  a  b  c  Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : 1 1 1   . a b c T abc 1 1 1  1  1  1     a    b    c   a b c  a  b  c 1 1 1  2 a.  2 b.  2 c.  6 a b c Suy ra MinT=6 , sai lÇm c¸ch lµm trªn lµ 1  a   a  1 3  MinT  6   b   a  b  1  a  b  c  3  b 2  1  c   c  m©u thuÉn . Qu¸ tr×nh ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i nhËn thÊy r»ng T lµ biÓu thøc ®èi xøng cña a,b,c do ®ã dù ®o¸n 1 MinT ®¹t ®îc t¹i a  b  c  . 2 S¬ ®å x¸c ®Þnh dÊu b»ng : 1  a  b  c  1  1 2 2 abc      k 4 1 1 2 1 2 k   abc  ka kb kc Bµi gi¶i : T abc 1 1 1  1   1   1  31 1 1    a    b     c        a b c  4a   4b   4c  4  a b c  1 1 1 3 1 1 1 9 1  2 b.  2 c.  .3 3 . .  3  . 3 4a 4b 4c 4 a b c 4 abc 9 1 9 1 15  3 .  3 .  . 4 abc 4 3.1 2 3 2 2 15 1 VËy MinT  x¶y ra khi a  b  c  . 2 2 Chó ý Ngoµi c¸ch gi¶i trªn bµi to¸n cßn cã thÓ gi¶i theo c¸ch kh¸c ch¼ng h¹n .  2 a. 1 1 1   a b c 9 9 27  abc  abc  abc 4 a  b  c 4 a  b  c  T abc 2  a  b  c 9 27  4 a  b  c 4 a  b  c 2 27 15  2.   . 3 4. 3 2 2 NhËn xÐt : Tõ néi dung bµi to¸n 4 ta cã mét sè bµi to¸n cã c¸ch gi¶i t¬ng tù nh sau. Bµi to¸n 3.1: Cho tam gi¸c ABC nhän . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau 1 1 1 T  cos A  cos B  cos C    . cos A cos B cos C Bµi to¸n 3.2: Cho tam gi¸c ABC. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau 1 1 1 T  sin A  sin B  sinC    . sin A sin B sin C Bµi to¸n 4  a, b, c  0  Cho  3 a  b  c   2 2 2 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T  a  b  c  1 1 1   . a b c Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : 1 1 1 1 1 1 T  a2  b2  c 2       2a 2b 2c 2a 2b 2c 1 1 1 1 1 1 9 9  9 9 a 2b 2c 2 . . . . .  3  MinT  3 2a 2b 2c 2a 2b 2c 4 4 Ph©n tÝch sai lÇm : 9 1 1 1 1 1 MinT  3  a 2  b 2  c 2     3  abc 3 2a 2b 2c 4 4 2 3 3  m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt . Tuy 2 2 nhiªn viÖc t¸ch l¹ kh«ng hîp lý v× dÊu b»ng kh«ng x¶y ra . Suy ra a  b  c  3 Qu¸ tr×nh ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Ta thÊy r»ng T lµ biÓu thøc ®èi xøng cña a,b,c do ®ã dù ®o¸n 1 MinT ®¹t ®îc t¹i a  b  c  . 2 S¬ ®å x¸c ®Þnh dÊu b»ng : 1  2 2 2 a  b  c  1  1 2 4 a bc       k 8 1 1 2 1 4 k 2 2 2   a b c  ka kb kc Bµi gi¶i : T  a 2  b2  c 2   9 9 a 2b 2 c 2 . VËy MinT  1 1 1 1 1 1 31 1 1           8a 8b 8c 8a 8b 8c 4  a b c  1 1 1 3 9 9 18 29 . .  .    2 2 2 64a 64b 64c 4 abc 2 4 4 27 1 x¶y ra khi a  b  c  . 4 2 Bµi to¸n 5 Cho x,y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n x  y  5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña    T  4 1  . x 4y Ph©n tÝch lêi gi¶i: NÕu ®Ó nguyªn T nh trªn th× kh«ng thÓ nhËn biÕt ®îc c¸ch gi¶i, do ®ã ta cã thÓ viÕt l¹i T nh sau : 4 1 1 1 1 1 1 T       . Ta nhËn thÊy r»ng tæng x 4y x x x x 4y c¸c mÉu sè cña 5 phÇn tö trªn b»ng 4  x  y   20 , v× vËy ®Ó lµm bµi tËp trªn ta sÏ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi 5 sè trªn . Khi ®ã ta ph¶i x  y  5 x  4   1 1 cã  . Tõ ®ã dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra khi   y 1  x  4y  x  4 .   y 1 Bµi gi¶i 4 1 1 1 1 1 1 25 25 5 T          x 4y x x x x 4y x  x  x  x  4y 4 x  y  4 VËy MinT  x  4 5 khi  . 4  y 1 Chó ý : Néi dung bµi trªn cã thÓ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ë d¹ng kh¸c . a 1 1 1 1  a2  ...  an     ...  an  a1 a2  2  n  Bµi to¸n 6 : Cho x,y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n x  y  3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña    T  3 x  4 y  1 8  x y Ph©n tÝch lêi gi¶i: BiÓu thøc T trong bµi to¸n trªn cã 1 8 chøa c¸c ph©n sè ; , v× vËy ®Ó t×m Min ta ph¶i t×m x y c¸ch lµm mÊt c¸c ph©n sè nµy b»ng c¸ch ghÐp chóng víi c¸c sè kh¸c ®Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n . Qua ®ã ta biÕt c¸c sè tham gia bÊt 1 8 1 ; . Râ rµng kh«ng thÓ ghÐp 3x víi ®¼ng thøc lµ vµ 4y x y x 8 víi v× khi ®ã kh«ng x¶y ra dÊu b»ng . Ta cã thÓ biÕn ®æi y 1 8 l¹i biÓu thøc T nh sau T  2 x  2 y  x   2 y  vµ lóc nµy ¸p x y dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh 8 1 nh©n cho c¸c cÆp sè x, vµ 2 y, . y x  x  y  3  x 1 1    khi ®ã sÏ x¶y ra dÊu b»ng v×  x  . y  2 x   8  2 y  y  Bµi gi¶i T  3x  4 y  1 8 1 8   2x  2 y  x   2 y  x y x y 1 8  2  x  y   2 x.  2 2 x.  6  2  8  16 x y VËy MinT  16 khi x  1, y  2 . NhËn xÐt : + Trong thùc tÕ nhiÒu khi kh«ng ph¶i lócnµo biÓu thøc cÇn chøng minh còng cho díi d¹ng biÓu thøc ®èi xøng gi÷a c¸c biÕn . Khi ®ã ta nªn t¸ch ghÐp vµ kÕt hîp víi gi¶ thiÕt ®Ó dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra t¹i ®iÓm nµo vµ biÕn ®æi biÓu thøc theo dù ®o¸n ®ã . + Néi dung c¸c bµi to¸n trªn ta ®Òu cã thÓ x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng cô thÓ . Tuy nhiªn nhiÒu bµi to¸n ta kh«ng thÓ x¸c ®Þnh ®îc ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng mµ chØ t×m ra mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÕn. Bµi to¸n 7 : Cho x, y  0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña    T  xy x y  xy x  y Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : T xy x y x  y xy  2 .  2  MinT  2 . xy x  y xy x  y Ph©n tÝch sai lÇm : xy x y MinT  2   1 xy  x  y v« lý v× x  y  2 xy . xy x  y Ph©n tÝch lêi gi¶i: BiÓu thøc T lµ biÓu thøc ®èi xøng víi x,y nªn T ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x=y . MÆt kh¸c ta x y thÊy r»ng xy  2  1 do ®ã ta sÏ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc x y x y 2 gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n trong ®ã cã mét x y xy sè lµ sè cßn l¹i cã d¹ng . k xy x y S¬ ®å x¸c ®Þnh dÊu b»ng :  xy 1   x  y 2 1 2  x y     k  4. 2 k xy x  y    k xy x  y  Bµi gi¶i T xy  x  y xy  3  x  y  x y     xy x  y  4 xy x  y  4 xy 2 xy 3.2 xy x y 3 5 .  1  2 2 4 xy x  y 4 xy 5 khi x  y . 2 Chó ý : Bµi to¸n trªn cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch ®Æt xy 1 t  vµ cã thÓ ®a T vÒ biÓu thøc quen thuéc trong c¸c x y 2 vÝ dô trªn . Bµi to¸n 8 : Cho x, y, z  0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña    VËy MinT  T x y z yz zx xy      yz zx x y x y z Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : x y z yz zx xy T      yz zx x y x y z  x yz  y zx  z xy         x  z x y  x y z  yz 2 x yz y zx z x y . 2 . 2 . 6 yz x zx y x y z VËy : MinT=6. Ph©n tÝch sai lÇm : DÊu b»ng x¶y ra khi x y z yz zx x y      1 yz zx x y x y z x  y  z    y  z  x  x  y  z  0 v« lý z  x  y  Ph©n tÝch lêi gi¶i : Do T lµ biÓu thøc ®èi xøng cña x,y,z lªn ta dù ®o¸n T ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x=y=z. S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng y z 1  x  y  z  z  x  x  y  2 1 2 x yz     k4 y  z z  x x  y x y z 2 k        kx ky kz yz zx x y Bµi gi¶i : T x y z y  z z  x x  y 3 y  z z  x x  y           yz zx x y 4x 4y 4z 4 x y z  xyz  x  y   y  z   z  x  3  xyz   3  9  15  6. 6 3  6. 6 2 4 xyz  x  y   y  z   z  x  4 2 2  xyz  2 15 khi x  y  z . 2 Bµi to¸n 9: Cho a, b, c, d  0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña    VËy MinT   2a  2b  2c  2d  T  1  1  1  1    3b  3c  3d  3a  Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : Do T lµ biÓu thøc ®èi xøng víi a,b,c,d nªn dù ®o¸n T ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi a=b=c=d. 2a 2b 2c 2d 2     Khi ®ã do ®ã ta nghÜ ®Õn viÖc t¸ch 3b 3c 3d 3a 3 2a 1 1 1 a a      biÓu thøc 1  sau ®ã ¸p dông bÊt ®¼ng 3b 3 3 3 3b 3b thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi bé 5 sè nµy , víi c¸c biÓu thøc kh¸c hoµn toµn t¬ng tù . Bµi gi¶i 2 3 2  5 1  2a  1  1  1  a  a  5. 5  1   a   5  a   0  3b 3 3 3 3b 3b  3   3b  3  3b   2 3 2  2b 1 1 1 b 5 b 1 b 5 b            5. 5         0 1   3   3c  3  3c   3c 3 3 3 3c 3c  2 3 2  2c 1 1 1 c 5 c 1   c  5  c        5. 5         0 1   3   3d  3  3d   3d 3 3 3 3d 3d 2  3 2 5 d 1 d 5 d  2d 1 1 1 d      5 1  3a  3  3  3  3a  3a  5.  3   3a   3  3a   0       Nh©n hai vÕ víi vÕ c¸c biÓu thøc trªn ta ®îc : 2 5  2a  2b  2c  2d  625  a b c d  625 T  1  1  1  . . . .   1   81  3b  3c  3d  3a  81  b c d a  VËy MinT  625  abcd . 81 NhËn xÐt : + ViÖc x¸c ®Þnh ®óng ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng còng lµ yÕu tè quyÕt ®Þnh ®Õn vuÖc biÕn ®æi bµi to¸n , ¶nh hëng ®Õn híng lµn cña bµi to¸n còng nh lêi gi¶i ®óng cña bµi to¸n. + Ph©n tÝch nh÷ng sai lÇm trªn lµ do häc sinh kh«ng kiÓm tra dÊu b»ng cña c¸c bÊt ®¼ng thøc, vµ v× vËy c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt ®Òu ph¶i yªu cÇu gi¸ trÞ ®ã ®¹t t¹i ®©u. PhÇn 2 : Kü thuËt x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng khi ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh nh©n sang trung b×nh céng I. KiÕn thøc chuÈn bÞ : 1. BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi hai sè kh«ng ©m a,b: ab ab  DÊu “=” x¶y ra khi a = b. 2 2. BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi ba sè kh«ng ©m a,b,c : abc 3 abc  DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c. 3 3. BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi n sè kh«ng ©m a1 ; a2 ;...., an : n a1 a2 ...an  a1  a2  ...  an n DÊu “=” x¶y ra khi a1  a2  ...  an . II. Mét sè bµi to¸n thêng gÆp : 0  x  3 Bµi to¸n 10: Cho  0  y  4 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña T   x  3  4  y   2 x  3 y  Ph©n tÝch : 1 T   6  2 x   12  3 y   2 x  3 y  6 1  6  2 x    12  3 y    2 x  3 y       36 6 3  3 x  0 6  2 x  12  3 y  2 x  3 y  DÊu “ = “ khi  y 2 x  0 MaxT  36  VËy  y  2 Bµi to¸n 11:  a, b, c  0 Cho  a  b  c  1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña T  a  b  b  c  c  a Sai lÇm cña häc sinh : BiÕn ®æi  a  b  .1   b  c  .1   c  a  .1  a  b  1   b  c   1   c  a   1  T  a b  bc  ca  2 2 2 a  b  c  3 5   . 2 2 2 5  a  b  b  c  c  a 1 2 ®iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt ®Çu bµi lµ a,b,c d¬ng vµ a  b  c  1 . Râ rµng häc sinh ®· biÕt sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n tuy nhiªn kh«ng lé lý ®ång thêi t¹i ®iÓm ®ã kh«ng x¶y ra dÊu b»ng . Ph©n tÝch sai lÇm : MaxT  Qu¸ tr×nh ph©n tÝch lêi gi¶i : NhËn thÊy r»ng T lµ biÓu thøc ®èi xøng cña a,b,c nªn T ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi a=b=c. Do ®ã ta cã : a  b  c  1 1 2  a b c   abbc ca   3 3 a  b  c