Người Thầy
MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
Một phương pháp giải bài toán chia hết
.
Khi gặp bài toán chứng minh F (n) .. A với n ∈ N ta vẫn thường sử
dụng phương pháp quy nạp. Cụ thể các bước của phương pháp quy nạp
là
.
1. F (1) .. A
.
.
2. Giả sử F (n) .. A ta chứng minh F (n + 1) .. A.
.
.
.
Nhưng để ý rằng: Nếu a .. c thì b .. c ⇔ a − b .. c
Vậy ta có thể xem nó là một dạng khác của phương pháp quy nạp. Tức
.
là để chứng minh F (n).. A ta qua các bước
.
1. F (1) .. A
.
2. F (n + 1) − F (n) .. A
Sau đây ta xét một số bài toán áp dụng phương pháp trên.
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 thì
F (n) = 16n − 15n − 1
chia hết cho 225.
Giải
.
Ta có ngay F (1) = 0 .. 225.
.
.
Giả sử F (n) .. 225 ta chứng minh F (n + 1) − F (n) .. 225. Thật vây
F (n + 1) − F (n) = 15.16n − 15 = 15(16n − 1)
.
.
Vì 16n − 1 .. 15 nên ta có F (n + 1) − F (n) .. 225 (đpcm).
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 thì
G(n) = 32n+3 + 40n − 27
chia hết cho 64.
[email protected]
1
05/05/2014
Người Thầy
MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
Giải
.
Ta có ngay G(1) = 256 .. 64.
.
.
Giả sử G(n) .. 64 ta chứng minh G(n + 1) − G(n) .. 64. Thật vây
G(n + 1) − G(n) == 8.32n+3 + 40 = 8(32n+3 + 5)
Suy ra
.
.
G(n + 1) − G(n) .. 64 ⇔ F (n) = 32n+3 + 5 .. 8, ∀n ≥ 1, n ∈ N
.
Ta có F (1) = 248 .. 8.
.
.
Giả sử F (n) .. 8 ta chứng minh F (n + 1) − F (n) .. 8.
Thật vậy
.
F (n + 1) − F (n) = 8.32n+3 .. 8
.
Do đó, ta có G(n + 1) − G(n) .. 64. (đpcm).
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 ta có
1. 10n + 18n − 1 chia hết cho 27;
2. 22n+1 + 1 chia hết cho 3;
3. 10n − 4n + 3n chia hết cho 9;
4. 4n + 15n − 1 chia hết cho 9;
Giải
1. Đặt F (n) = 10n + 18n − 1.
.
Ta có F (1) = 27 .. 27.
Xét
F (n + 1) − F (n) = 9.10n + 18 = 9(10n + 2).
Nhận xét rằng
.
.
F (n + 1) − F (n) .. 27 ⇔ G(n) = 10n + 2 .. 3.
.
.
Có G(1) = 12 .. 3 và G(n + 1) − G(n) = 9.10n .. 3
.
Dó đó, ta có F (n + 1) − F (n) .. 27 (đpcm).
[email protected]
2
05/05/2014
Người Thầy
MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
2. Đặt H(n) = 22n+1 + 1. Ta có ngay
.
H(n + 1) − H(n) = 3.22n+1 .. 3 (đpcm).
3. Đặt F (n) = 10n − 4n + 3n. Ta có
F (n + 1) − F (n) = 9.10n − 3.4n + 3 = 3(3.10n − 4n + 1)
Suy ra
.
.
F (n + 1) − F (n) .. 9 ⇔ G(n) = 3.10n − 4n + 1 .. 3
Thật vậy, ta có
.
G(n + 1) − G(n) = 27.10n − 3.4n ..3
Suy ra điều phải chứng minh.
4. Đặt F (n) = 4n + 15n − 1. Ta có
F (n + 1) − F (n) = 3.4n + 15 = 3(4n + 15)
Suy ra
.
.
F (n + 1) − F (n) .. 9 ⇔ G(n) = 4n + 15 .. 3
Thật vậy, ta có
.
G(n + 1) − G(n) = 3.4n .. 3
Suy ra điều phải chứng minh.
[email protected]
3
05/05/2014