Tài liệu Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

BË GI•O DÖC V€ TR×ÍNG €O T„O „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TO•N o n Thà Thóy PH’P VÀ TÜ, PH’P TÀNH TI˜N V€ ÙNG TRONG TRONG GIƒI TO•N HœNH HÅC PH‹NG KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC H Nëi N«m 2016 BË GI•O DÖC V€ TR×ÍNG €O T„O „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TO•N o n Thà Thóy PH’P VÀ TÜ, PH’P TÀNH TI˜N V€ ÙNG DÖNG TRONG GIƒI TO•N HœNH HÅC PH•NG Chuy¶n ng nh: H¼nh Håc KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m H Nëi N«m 2016 1 Líi c£m ìn º ho n th nh khâa luªn tèt nghi»p n y, em xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ gi¡o trong Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H t¼nh gióp ï ch¿ b£o em trong suèt thíi gian theo håc t¤i khoa v Nëi 2, ¢ tªn trong thíi gian l m khâa luªn. °c bi»t em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s-c tîi th¦y gi¡o PGS.TS. Nguy¹n N«ng T¥m - Gi£ng vi¶n Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2, ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n em, luæn tªn t¥m ch¿ b£o v ành h÷îng cho em trong suèt qu¡ tr¼nh l m khâa luªn º em câ ÷ñc k¸t qu£ nh÷ ng y hæm nay. M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g-ng, song thíi gian v kinh nghi»m b£n th¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡c b¤n sinh vi¶n v b¤n åc. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nëi, ng y 02 th¡ng 05 n«m 2016 Sinh vi¶n o n Thà Thóy Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ THÓY Líi cam oan Khâa luªn n y l k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa b£n th¥n em d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o PGS.TS. Nguy¹n N«ng T¥m. Trong khi nghi¶n cùu ho n th nh · t i nghi¶n cùu n y em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o. Em xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i "Ph²p và tü, ph²p tành ti¸n v ùng döng v o gi£i to¡n h¼nh håc ph¯ng" l k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu, håc tªp v né lüc cõa b£n th¥n, khæng câ sü tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c. N¸u sai em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m. H Nëi, ng y 02 th¡ng 05 n«m 2016 Sinh vi¶n o n Thà Thóy i Möc löc Líi mð ¦u 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Ph²p bi¸n h¼nh trong m°t ph¯ng . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1.1.1 ành ngh¾a ph²p bi¸n h¼nh (xem [1]) . . . . . . 1 1.1.2 Sü x¡c ành ph²p bi¸n h¼nh (xem [1]) . . . . . . 1 1.1.3 T½ch cõa hai ph²p bi¸n h¼nh (xem [1]) . . . . . 2 1.2 Ph²p díi h¼nh trong m°t ph¯ng . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 ành ngh¾a ph²p díi h¼nh (xem [1]) . . . . . . . 2 1.2.2 T½nh ch§t cõa ph²p díi h¼nh (xem [1]) . . . . . 2 1.3 Ph²p tành ti¸n trong m°t ph¯ng . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.1 ành ngh¾a ph²p tành ti¸n (xem [1]) . . . . . . . 3 1.3.2 C¡c t½nh ch§t cõa ph²p tành ti¸n (xem [1]) . . . 4 1.3.3 Biºu thùc tåa ë cõa ph²p tành ti¸n (xem [1]) . 5 1.4 Ph²p và tü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1 ành ngh¾a ph²p và tü (xem [1]) . . . . . . . . . 5 1.4.2 C¡c tr÷íng hñp °c bi»t (xem [1]) . . . . . . . . 6 1.4.3 T½nh ch§t cõa ph²p và tü (xem [1]) . . . . . . . 6 1.4.4 t½ch cõa hai ph²p và tü (xem [1]) . . . . . . . . 7 ii Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc 2 Ùng döng ph²p tành ti¸n v O€N THÀ THÓY ph²p và tü v o gi£i to¡n h¼nh håc ph¯ng 2.1 B i to¡n chùng minh . . . . 8 ............... 8 2.1.1 B i to¡n chùng minh . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Gi£i b i to¡n chùng minh nhí sû döng ph²p bi¸n h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Khai th¡c b i to¡n chùng minh nhí sû döng ph²p bi¸n h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 B i to¡n t½nh to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 B i to¡n t½nh to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Ùng döng ph²p bi¸n h¼nh v o gi£i to¡n t½nh to¡n 20 2.2.3 Khai th¡c b i to¡n t½nh to¡n nhí ph²p bi¸n h¼nh 21 2.3 B i to¡n quÿ t½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 B i to¡n quÿ t½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Gi£i b i to¡n quÿ t½ch nhí ph²p bi¸n h¼nh . . . 30 2.3.3 Khai th¡c b i to¡n quÿ t½ch nhí ph²p bi¸n h¼nh 31 2.4 B i to¡n düng h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.1 B i to¡n düng h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.2 Gi£i b i to¡n düng h¼nh nhí ph²p bi¸n h¼nh . . 40 2.4.3 Khai th¡c b i to¡n düng h¼nh nhí ph²p bi¸n h¼nh 41 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iii Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ THÓY Líi mð ¦u Vi»c ÷a nëi dung c¡c ph²p bi¸n h¼nh v o ch÷ìng tr¼nh to¡n ð bªc trung håc cì sð v THPT khæng ch¿ nh¬m cung c§p cho håc sinh nhúng cæng cö mîi º gi£i to¡n m cán tªp trung cho håc sinh l m quen vîi c¡c ph÷ìng ph¡p t÷ duy v suy luªn mîi, bi¸t nh¼n nhªn sü vi»c v c¡c hi»n t÷ñng xung quanh trong cuëc sèng vîi sü vªn ëng v bi¸n êi cõa chóng º nghi¶n cùu, t¼m tái, kh¡m ph¡, t¤o cì sð cho sü ra íi cõa nhúng ph¡t minh v s¡ng t¤o trong t÷ìng lai. Th½ dö nh÷ tr÷îc ¥y khi c¦n chùng minh hai tam gi¡c n o â b¬ng nhau, håc sinh th÷íng ph£i chùng minh c¤nh v gâc cõa hai tam gi¡c â thäa m¢n c¡c i·u ki»n ÷ñc n¶u ra trong c¡c ành lþ nâi v· hai tam gi¡c b¬ng nhau. Sau khi håc c¡c ph²p bi¸n h¼nh trong m°t ph¯ng ng÷íi ta câ thº ành ngh¾a sü b¬ng nhau cõa hai tam gi¡c v têng qu¡t hìn èi vîi hai h¼nh ph¯ng b§t k¼ nh÷ sau: " H¼nh H ÷ñc gåi l b¬ng h¼nh H' n¸u câ mët ph²p díi h¼nh trong m°t ph¯ng bi¸n h¼nh H th nh h¼nh H'. Nh÷ vªy, kh¡i ni»m "b¬ng nhau" cõa hai h¼nh ph¯ng ÷ñc x¥y düng düa tr¶n kh¡i ni»m v· ph²p díi h¼nh l mët ph²p bi¸n h¼nh. Düa tr¶n c¡c mèi quan h» v c¡c b§t bi¸n cõa c¡c thù h¼nh håc kh¡c nhau â, ng÷íi ta câ thº t¼m ra c¡c ph÷ìng ph¡p v cæng cö kh¡c nhau º gi£i mët b i to¡n. Ngo i ra câ thº düa v o mët b i to¡n cö thº n o â vîi ph²p bi¸n h¼nh chóng ta cán câ kh£ n«ng t¤o ra c¡c 1 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ THÓY b i to¡n mîi kh¡c nhau v ¥y l mët vi»c l m mang l¤i nhi·u hùng thó trong vi»c t¼m tái nghi¶n cùu h¼nh håc håc. Hìn núa vi»c lüa chån c¡c cæng cö th½ch hñp trong méi lo¤i to¡n h¼nh håc kh¡c nhau l mët vi»c l m c¦n thi¸t gióp chóng ta ti¸t ki»m ÷ñc thíi gian v cæng sùc gi£i to¡n. Xu§t ph¡t tø nhªn thùc tr¶n v láng ham m¶ mæn håc vîi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o PGS.TS.Nguy¹n N«ng T¥m , em m¤nh d¤n chån · t i: Ph²p tành ti¸n, ph²p và tü v ùng döng v o gi£i to¡n h¼nh håc ph¯ng º thüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p cõa m¼nh. Khâa luªn ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· ph²p tành ti¸n v ph²p và tü bao gçm ành ngh¾a, t½nh ch§t v mët sè chó þ quan trång. Ch÷ìng 2: ùng döng cõa ph²p và tü, ph²p tành ti¸n v o gi£i to¡n h¼nh håc ph¯ng Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· ùng döng cõa ph²p và tü v ph²p tành ti¸n v o gi£i b i to n chùng minh, b i to¡n t½nh to¡n, b i to¡n düng h¼nh v b i to¡n quÿ t½ch. Do l l¦n ¦u thüc tªp nghi¶n cùu, thíi gian câ h¤n v n«ng lüc b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n ch-c ch-n b i nghi¶n cùu n y khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. Em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng âng gâp, þ ki¸n 2 cõa c¡c th¦y cæ v b¤n åc º · t i n y ÷ñc ho n ch¿nh v ¤t k¸t qu£ cao hìn. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nëi, ng y 02 th¡ng 05 n«m 2016 Sinh vi¶n o n Thà Thóy 3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· ph²p tành ti¸n v ph²p và tü bao gçm ành ngh¾a, t½nh ch§t, mët sè chó þ quan trång nh¬m thuªn ti»n cho vi»c tr¼nh b y ð c¡c möc sau. 1.1 Ph²p bi¸n h¼nh trong m°t ph¯ng 1.1.1 ành ngh¾a ph²p bi¸n h¼nh (xem [1]) Mët song ¡nh f : P ! P tø tªp iºm cõa P l¶n ch½nh nâ ÷ñc gåi l ph²p bi¸n h¼nh cõa m°t ph¯ng. 1.1.2 Sü x¡c ành ph²p bi¸n h¼nh (xem [1]) Muèn x¡c ành mët ph²p bi¸n h¼nh f : P ! P ta c¦n n¶u rã quy t-c f â b¬ng c¡ch x¡c ành sau ¥y: - Quy t-c f ÷ñc x¡c ành b¬ng c¡c ph²p düng h¼nh cì b£n trong m°t ph¯ng nh÷: t¼m giao iºm cõa hai ÷íng th¯ng ¢ ÷ñc x¡c ành n o â, düng ÷íng th¯ng i qua mët iºm v vuæng gâc vîi mët ÷íng th¯ng cho tr÷îc. 1 - Quy t-c f cán ÷ñc x¡c ành bði biºu thùc li¶n h» giúa tåa 0 0 ë 0 (x; y) cõa iºm M vîi t¤o ë (x ; y ) cõa iºm M = f(M) èi vîi h» tåa ë Oxy cho tr÷îc n o â. 1.1.3 T½ch cõa hai ph²p bi¸n h¼nh (xem [1]) N¸u ta dòng mët ph²p bi¸n h¼nh f : P ! P º bi¸n mët iºm M b§t k¼ cõa P th nh mët iºm M' rçi l¤i dòng ph²p bi¸n h¼nh thù hai g : P ! P bi¸n M' th nh M". Ta câ: M'=f(M) v M"= g(M'). Khi â ph²p bi¸n h¼nh h bi¸n iºm M th nh iºm M" gåi l t½ch cõa hai ph²p bi¸n h¼nh f v g v k½ hi»u: h = g f. Ta câ h(M) = (g f)(M) = M' = g(M') =g[f(M)]. 1.2 Ph²p díi h¼nh trong m°t ph¯ng 1.2.1 ành ngh¾a ph²p díi h¼nh (xem [1]) Mët ph²p bi¸n h¼nh f : P ! P ÷ñc gåi l mët ph²p díi h¼nh n¸u trong m°t ph¯ng P vîi hai iºm M, N b§t k¼ v hai £nh cõa chóng l¦n l÷ñt l M' = f(M); N' = f(N) ta luæn câ M'N' = MN. 1.2.2 T½nh ch§t cõa ph²p díi h¼nh (xem [1]) T½nh ch§t 1 Ph²p díi h¼nh bi¸n ba iºm A,B,C th¯ng h ng vîi B n¬m giúa A v C th nh ba iºm A',B',C' th¯ng h ng vîi B' n¬m giúa A' v C' H» qu£ 1.1. Ph²p díi h¼nh bi¸n mët ÷íng th¯ng th nh mët ÷íng th¯ng, bi¸n tia th nh tia, bi¸n mët o¤n th¯ng th nh mët o¤n th¯ng