Tài liệu ôn tthi học sinh giỏi Toán 9: căn thức đại số

3 Nhãm 2: c¨n thøc 1. Rót gän biÓu thøc: 2 x 2 1 x2 2 x  2x  1 x  4x  4  2 a. A  .  x 1 x2 x  1 4x  1 x x  ...  2 gän biÓu 2. Rót b. B   . , (n dÊu c¨n). thøc: 1 3. TÝnh tæng: 43n2 3n   12  1 1  4. CMR: x 1  . 1  N , a  . 8   1  ...  5. Cho a, b > 0 vµ b < a2. CMR:  a.   b.  6. Rót gän biÓu thøc:  a. b. a  a  1 8a  1 33  c. d. .  1  . + .  .   1       .  ab 1  : ab  1  ab 1  1  ab  1          a  a  1 2  2a 1    f.    1a  2 a  1   1 a a 7. TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc:  A  b. B  a b a a a a2 b b 2 22 5 8. TÝnh tæng: 1 ab  a. S = c. C  . . 9 5 b. P =  13  9 1 1  1  ... n  n  4n  1  4n  3 1 1 Xuctu.com  .  n1 n2 1  ...  1 n  2005  8  2 10  2 5 . n  2006 . 9. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1 a. 1  1  ...   b. 2 10. So s¸nh 2 sè: A  vµ B  .  . x2x y2 2y 2  2 2 y y2 x2 x2 2 x  83  64 x  1 xx 2 2 32 x2x  5 5 ab ab aa a Xuctu.com a a  44.  1 1 11. Cho a   n  5 2   a. a n2  an1  an . 5 b. an  N , n  N 37   35 5 5  3 29   12 5 3  1 21  6 12 n  1      2   n    . CMR:     TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ĐT:0905671232–0989824932 12. Cho a > b > 0. CMR: a a  b ab  2 a.   . a a  b 2 b.   . ab  13. H·y ®Ò xuÊt c¸c bµi tËp míi b»ng c¸ch khai th¸c c¸c bµi tËp trªn. Chuyªn ®Ò c¨n thøc bËc hai bËc ba 1/ Chøng minh : Gi¸ trÞ cña biÓu thøc :40A 2  57  40 2  57 chia hÕt cho 5 2/TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : B 4 8 21 4 3/TÝnh ) 4 8 8 4 8 21 21 2 1  B 8 4 4 8 ( 2 1 ( 21 47   47   47  ) 4 7 4/Cho a,b,c > 0 vµ . TÝnh : P = Figure 1 5/ Thu gän c¸c biÓu thøc: a) a a  b b  c c  3 abc  0  B  8 8  20  40  c) C  ( 15 6  1 4 12 6  11) 6  2  3  6 )( 6/Cho biÓu thøc: A x4 x4 x 4 8 16 1  x  x2 x4 a.Rót gän biÓu thøc A b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn. c.Chøng minh r»ng : Sè x = + lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x4 16x2 + 32 = 0 7/ TÝnh : A = http://www.xuctu.com - Trang 1 - E mail: [email protected] TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ĐT:0905671232–0989824932 8/ Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = a3 ◻ 6a - 2049 9/T×m a,b tho¶ m·n ®¼ng thøc : 10/ Cho a,b tho¶ m·n hÖ .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : Q = a3 + b3 C¨n thøcBµi 1. x  12007 x  2 x  x2008 1  5 5 2 xx 2 2 32x2x 244 7 7 http://www.xuctu.com - Trang 2 - E mail: [email protected] Cho M  x2 x x2 x  x x  1 x x  1  x  1 . Rót gän M víi 0 # x # 1. Bµi 2. Rót gän biÓu thøc: x 2  5x  x 9  x 2  6A  . 3x  x 2  (x  2) 9  x 2 x3  3x  (x2 1) x2  4  2 x3  3x  (x2 1) x2  4  2 B C 1  1  2x ( x  2) 4 1  1 2x 4  2  x 2 1  2  x 2 1 , víi x < 0. 1 Bµi 3. Cho biÓu thøc: B = 2 H·y rót gän biÓu thøc B råi tÝnh gi¸ trÞ cña gãc nhän  khi x = sin   B Bµi 1: (4,0 ®iÓm) Cho biÓu thøc : 3 x2 2 x3 P(x)  15 x  11   1 x  x3 x2 x3 a) T×m gi¸ trÞ cña P(x)  1 . 2 x ®Ó b) So s¸nh P(x) víi 2 . Bµi 4. Cho biÓu thøc: 3      1 2 1 1 N  3 . . 2      2  x 1 2 x 2 x  1   1  1 1        3   3   Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña x ®Ó N = 1/3.  2x 1 x Bµi 5: Cho biÓu thøc: 1  1  x 2 ( (1  x) 3 (1  x)3 ) 21x2 M  1    1 x  2x x  x x   x  x 1 x x .     1 x   2 x 1 .   vµ 1. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M cã nghÜa, khi ®ã h·y rót gän M. 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc (2000 ◻ M) khi x # 4. 3. T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó gi¸ trÞ cña M còng lµ sè nguyªn. Bµi 6: Cho biÓu thøc: 1. Rót gän P. P 2x  2 x x x 1 x x 1  x x  x x . 2/ So s¸nh P víi 5. 3/ Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc 8/P chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 7: Cho biÓu thøc: A  x  4 x  4 x  4 x  4 . 16  8 1  x2 x 1. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A x¸c ®Þnh. 3/T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 8: Cho biÓu thøc:  1  3x 1 9x  3 1  2  : .    x2 P  x 1  x x2  x 1 1. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa, khi ®ã h·y rót gän P. 2. T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó 1/P lµ sè tù nhiªn. 3. T×m gi¸ trÞ cña P víi x 3 4  2 .  Bµi x2 P  9: Cho biÓu thøc: x  2  :2  x .  x3    2 x x  x  5  6 1. Rót gän P. x3  x 1        2/ T×m x ®Ó  Bµi 10: Cho c¸c biÓu thøc: B 5x P 2  1 1 5  . 2 x 1  . A 2  : 2 4x 1 1 2x 1 2x 1 4x  4x   4  2 3  19  8 3 1. Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña x ®Ó A cã nghÜa? 3/ Rót gän A vµ B. 2. T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña x ®Ó A = B. Bµi 11: Cho c¸c biÓu thøc: P  x1 1. Rót gän P. nhÊt cña biÓu thøc: Bµi 12: Cho biÓu thøc: A  x2 x 1 Q 2 P x1  x x  1  . x x 1 2/T×m gi¸ trÞ lín  x . x2 x x 1  x1  x x  1  1 x 1 . 1. T×m x ®Ó A cã nghÜa. H·y rót gän A. x  33  8 2 . 3/TÝnh A víi 2. Chøng minh r»ng: A < 1/3. 2x 2  6 ( x2  1)(x  2)  5 Bµi 13: Cho . y  f (x)  2 x  3x  4 hµm sè 1. T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x). 2. Chøng minh y # 3. ChØ râ dÊu b»ng x¶y ra khi x b»ng bao nhiªu? x2 x Bµi 14: Cho biÓu thøc: Px x  1 1. Rót gän P. P.  2x x x  2(x 1) x1  . 2/T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2 x 2. T×m x ®Ó biÓu thøc Q nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn. P Bµi 15: Cho biÓu thøc; P 1   x  1   1. Rót gän P. Bµi 16: Cho biÓu thøc: 2 x x x  x x  1  :  1 2 x  # víi1. x # 0; x     x 1  2/T×m x sao cho P < 0.  2x x  x  x M   x x  x 1 x x 1   x 1 x .   2 x 1 2x  x 1  1. H·y t×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa, sau ®ã rót gän M. 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã cña M? Bµi 17: Cho biÓu P(x)  2 2x x12 . 3x  4x 1 thøc: 1. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P(x) x¸c ®Þnh. Rót gän P(x). 2. Chøng minh r»ng nÕu x > 1 th× P(x).P(-x) < 0. 2 Bµi 18: Cho biÓu thøc: P   x 1  x 1   . 1 x  .    x 1 x 1. Rót gän P. ®Ó Bµi 19: Cho M x2 x x 1  x 1    2 2  2/T×m x  x1  x x  1  1 P  2. x víi x # 0, x # 1. 1 x 1. Rót gän M. 2/ Chøng minh r»ng víi víi x # 0, x # 1, ta cã M < 1/3. Bµi 20: Cho biÓu thøc: 1. Rót gän P. x x 1 x x 1 x 1 x  x P  x x  . x 2/T×m x ®Ó P = 9/2.  a3 2 a   1 a a : Bµi 21: Cho biÓu thøc: 2 1   P a    a 1 1 a a    1. Rót gän P.    Bµi 22: Cho  biÓu thøc:  a 1 .  1  1a  1 2/ T×m a ®Ó   1 . P  1 x :   1   x  1   x 1  P 2 x x x x  x 1 8  1.   1. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa vµ rót gän P. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu xthøc Q  P  nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 23: Cho biÓu thøc: 1. Rót gän A. 2 x9 x3 2 x 1 A  x  5 x  6  x  2  3 x . 2. T×m x ®Ó A < 1. 3/ TÝnh gi¸ trÞ cña A víi  5  29 12  5 . x  29 12  Bµi P  24: Cho biÓu thøc: x  1    xy  1  1. Rót gän P. xy  x 1  :  1 xy  x  x  1    1 xy  xy  1    xy 1    1  6 , t×m gi¸ trÞ lín 2/ Cho  x y nhÊt 1 cña P. : 1 . Bµi 25: Cho biÓu thøc: P  1 x x x  x x x  x2  T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa vµ h·y rót gän P. 2 P  2x  T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó gi¸ còng lµ sè nguyªn. x 1 trÞ cña Q  x3  3x2  (x2  4) x2 1  4 Bµi 26: Cho biÓu thøc: P x3  3x2  (x2  4) x2 1  4 víi x # 1. 1. Rót gän P(x). 1. 2/ Gi¶i ph¬ng tr×nh P(x) = Bµi 27: XÐt biÓu thøc: Px x  2x  2 x 1 x x  3x  3 x 1  víi x # 0. 1. Rót gän P. 2/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.  : 1 x  Bµi 28: Cho biÓu thøc: Px 3  x  2 x2  x  2  3 x x  5 x  6   x  1     1. Rót gän P. 2/ T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P < 0. 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc 1/P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 29: Cho A  x2  x x  x x x x 1. Rót gän A m·n Bµi 30: Cho biÓu thøc P x2 x x x  1 1. Rót gän P cña P  2x x  x 2/ T×m x tháa A  x  2 1 . 2( x 1) x1  2/ T×m gi¸ trÞ trÞ nhá nhÊt 2 x 2. T×m x ®Ó biÓu thøc Q  nhËn giá trÞ lµ sè nguyªn trªn vµ P lµ mét sè nguyªn? H·y chØ ra toµn bé c¸c sè ®ã. §Ò 1:  C©u 1 : Chøng minh : sè A = lµ mét sè nguyªn. 6 2   35  2 22 3  12  Híng dÉn c©u 1: 62  6 2 A = 1  C©u 2 :Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m. Chøng minh : a+ b ab  ac  bc  a  b  c. +c=  Híng dÉn c©u 2 a  b  c  ab  ac  bc  ab c y  a   b 2   c 2 a  b  c 2 0   C©u 3 : Cho x , y , z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x   z 0 1 Chøng 1 1 0 minh : yzx zxy  xyz  Híng dÉn c©u 3: x  z  0 suy ra x   z  x  y  z  2 T¬ng tù : z + x - xz ; x + y - z = 2 y= 2 Do ®ã ta cã : 1 1 1 yzx zxy xyz  1 1   1  C©u 4: T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ x,y,z tháa m·n ®iÒu kiÖn : Híng dÉn c©u 4: xyy y  xy y  x    z    x 0  x z ®iÒu kiÖn x,y,z  0 vµ x +z x  y  y(x  y  z)  xy  (x  y)( y  z)  0   yz VËy x = y 0 hoÆc y = z 0   C©u 5 :Cho biÕt x  H·y tÝnh : E = x+ y.  Híng dÉn c©u 5: y   3  z (1) Nh©n hai vÕ (1) x  x 2 3 ta cã : cho x y z 2 xz 2 yz xyz xy  3 y  3 ( x  ) y   x    Nh©n hai vÕ (1) y  y 2 3 ta cã cho  3 x   3 ( y  ) x  Céng 2 vµ 3 ta cã : x+y = 0. C©u 6 : Cho x vµ y tháa x  y Chøng minh x + y = 1. Híng dÉn c©u 6: C¸ch 1: lµm gièng c©u 5. yx  y  z y x y y  z xy xyz y. x  y  z   y   1(1) (2) (3) C¸ch 2: 1 suy ra 1  xy 2 x 1 1y2 y 1x2 yx  yz x 2 3 y2 3  x 2   2   1  y Suy ra y  x y 1 C©u 7: Cho ba sè thùc x, y, z kh¸c 0 vµ 1 1 1 Chøng minh :    0 2 x y  2 1x y 2 0 2 (1)  xz z Híng dÉn c©u 7: §iÒu kiÖn x+y, y + z vµ x+z 0 B×nh ph¬ng hai vÕ (1) ta cã 1  1  1  0 2  z  (x  z)( y  x)  z  xy  yz  xz  0  2 35   13 48  x  C©u 8 : 6 2 Cho lµ c¸c sè h÷u tØ. (x  z)( ya,b,c  x) Chøng minh : y z lµ mét sè höu tØ  Híng dÉn c©u 8 : §Æt x = a-b , y = b-c vµ z = c-a ta cã x+ y+z=0 2 1 1 1 1 1  1 Ta cã     2  2 2 x y z x y   z   xyz  2. x.y. z 1  1 1   x2 y2z2  C©u 9: a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu xx thøc : A = b)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :B = 3x x  Híng dÉn c©u 9 : a)®iÒu kiÖn ®Ó tån t¹i x lµ x  0 do ®ã A = x  0 Nªn MinA = 0 khi vµ chØ khi x =0  2 1 1 x + 1 chó ý : c¸ch gi¶i sai : A =1      MinA   ( ë ®©y dÊu b»ng  kh«ng thÓ x¶y ra v× khi ®ã 1 1 1   http://www.xuctu.com (a  b)2 (b  c) 2 (c  a) 2 2 4 4 1 x   lµ ®iÒu v« lÝ. 2 - Trang 7 - 4 E mail: [email protected] b)§iÒu kiÖn x  3 ; §Æt y = 13 1  2  3 x 13    4  y 2  suy ra y2 = 3-x Do ®ã B = 3-y2 + y= 4  C©u 10 :T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x2y víi c¸c ®iÒu kiÖn x,y lµ sè d¬ng vµ 2x + xy = 4.  Híng dÉn c©u 10 : Ta cã A 1 = cã : 2x.xy 2 1 A = 2x.xy  2 C©u 11 : xx 22 3  3 y 2 3 2 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho hai sè d¬ng 2x vµ xy ta 2 1 (2x  xy) 4 y 2 3 http://www.xuctu.com x 2 3 y 22 3 3 2 x 2 3 - Trang 7 - E mail: [email protected] x §Ò II C©u 1: (§Ò thi tuyÓn sinh THPT L¬ng V¨n Ch¸nh 20052006) a)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng k , ta cã : 1 k   1x 2 1y2  1  2  k (k  1) k 1  1 b)Chøng minh r»ng :    1 1  23 2  1 1  2 , víi mäi sè (n  nguyªn 1) n  ....... 4 3 d¬ng n . C©u 2: (§Ò thi tuyÓn sinh THPT L¬ng V¨n Ch¸nh 20022003) TÝnh : T= C©u 3: (§Ò thi tuyÓn sinh THPT L¬ng V¨n Ch¸nh 19992000) 20 Rót gän : B = 3 5 22 5 17  4 15 23C©u  6 10 4: (65/400) 30  12 T×m 6 c¸c sè x,y, z tháa  z2 x 1 2 (x  y  z)  C©u 5 : (67/400) Cho a,b,c lµ c¸c sè h÷u tØ tháa m·n : ab +bc +ca = 1. chøng minh r»ng sè : A= lµ mét sè h÷u tØ. C©u 6 (80/1001) trong ®ã c¸c dÊu chÊm cã T×m x biÕt : nghÜa lµ lÆp x= ®i lÆp l¹i c¸ch viÕt c¨n thøc cã chøa ch÷ sè 5 vµ 13 mét c¸ch v« h¹n lÇn. C© 7: (82/1001) Rót gän : A =  C©u 8: (84/1001) Cho sè x =  a)Chøng tá r»ng x lµ nghiÖm cña phnw¬ng tr×nh : x2 - 3x - 18 =0. b)TÝnh x . C©u 9: (87/1001)chøng minh ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc sau: http://www.xuctu.com - Trang 8 - E mail: [email protected] y1   b)  3 3  2 2  1  36  8 ( §Ò thi líp 10 chÊt lîng cao THPT  Duy T©n 2006-2007) C©u 10: ( §Ò thi líp 10 chÊt lîng cao THPT Duy T©n 2006-2007) a)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = 5x x1  2  Gi¶i ph¬ng 5  x  x  1 = -x + 2x +1 tr×nh: C©u 11: (81/1001)(Thi HSG toµn quèc 1999) (1  a 2 )(1  b 2 )(1  c 2 ) 5  13 5   13  ... http://www.xuctu.com - Trang 9 - E mail: [email protected] 3 182 33125  ( 5  2)3 17 5  38 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : A = (3x3 +8x2 +2 )2006 víi x = 14  6 5 5 bc ab ca 1999 2001 3 9  4 5 2000 C©u 12 ( bµi 11/tr120 c®b®tvµ cùc trÞ) Cho a,b,c  0 Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2  a b c §Ò 3:  C©u 1 : ;So s¸nh A vµ B. ;B  Cho A =  2000 Híng dÉn : Ta cã : A 1999 2000 2000   2000  1999 1  2000  1999  B 2001   2001  2000 2000 1999 1  2001  2000 2001 Do ®ã A  >B  C©u 2:Rót gän biÓu thøc : (12 2 64 3 2)3 2(1  2 3  4) 3 14  8 3 2000 . 3  C©u 3 ( §Ò thi vµo líp 10 chuyªn n¨m 20012002 Hµ T©y) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x,y,z tháa m·n ph¬ng tr×nh:    1 2 (x  y  z)  3000. Híng dÉn:§k : x 2000 ;y 2001 ; z  2002 Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng 2  1)  ( ( 2 2  1)  ( ) 0 Do ®ã ta cã : x=2001; y = 2002 ; z= 2003  C©u 4 : ( §Ò thi vµo líp 10 chuyªn vßng 1 n¨m 2002-2003 Hµ Néi) 1 Chøng minh ®¼ng thøc : 1 1 Híng dÉn: z  2002 y  2001 x  2000 23  2 3 2 23  1  2 1 3 1 1 2