Tài liệu Nửa nhóm của kì dị đường cong phẳng

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN CI THÀ MINH PH×ÌNG · t i NÛA NHÂM CÕA Kœ DÀ ×ÍNG CONG PHNG LUŠN V‹N TH„C Sž „I SÈ V€ LÞ THUY˜T SÈ B¼nh ành - N«m 2022 BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN CI THÀ MINH PH×ÌNG · t i NÛA NHÂM CÕA Kœ DÀ ×ÍNG CONG PHNG Chuy¶n ng nh: ¤i sè v  Lþ thuy¸t sè M¢ sè: 8460104 Khâa 23 (2020-2022) Ng÷íi h÷îng d¨n: TS. Nguy¹n Hçng ùc Líi cam oan Tæi xin cam oan luªn v«n Nûa nhâm cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng l  k¸t qu£ nghi¶n cùu v  têng hñp cõa b£n th¥n, ÷ñc thüc hi»n d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa TS. Nguy¹n Hçng ùc, gi£ng vi¶n tr÷íng ¤i håc Th«ng Long. Nhúng ph¦n sû döng t i li»u tham kh£o trong luªn v«n ¢ ÷ñc n¶u rã trong ph¦n t i li»u tham kh£o v  tr½ch d¨n cö thº trong qu¡ tr¼nh thº hi»n nëi dung. Tæi xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m n¸u câ sü khæng trung thüc v· c¡c thæng tin sû döng trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n n y. T¡c gi£ C¡i Thà Minh Ph÷ìng Líi c£m ìn Trong qu¡ tr¼nh x¥y düng · c÷ìng v  ho n th nh luªn v«n th¤c s¾, tæi ¢ nhªn ÷ñc r§t nhi·u sü ëng vi¶n, khuy¸n kh½ch v  gióp ï º câ thº thuªn lñi ¤t ÷ñc k¸t qu£ mong muèn. Do vªy, tæi xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ¸n quþ Th¦y, Cæ v  c¡c ìn và pháng ban cõa pháng  o t¤o sau ¤i håc t¤i Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn ¢ luæn luæn theo dãi v  t¤o i·u ki»n trong suèt qu¡ tr¼nh tæi håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i ¥y. Hìn h¸t l  líi tri ¥n s¥u s­c ¸n quþ Th¦y, Cæ gi¡o cõa khoa To¡n v  Thèng k¶ ; quþ Th¦y, Cæ l  gi£ng vi¶n th¿nh gi£ng ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y c¡c chuy¶n ·, gióp tæi câ ÷ñc n·n t£ng ki¸n thùc vúng ch­c º ho n thi»n luªn v«n n y. °c bi»t, cho ph²p tæi ÷ñc b y tä sü tr¥n quþ v  bi¸t ìn s¥u s­c nh§t ¸n TS. Nguy¹n Hçng ùc, gi£ng vi¶n h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa tæi. Xin ph²p ÷ñc c£m ìn Th¦y v¼ sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  chu ¡o, luæn s®n s ng l­ng nghe v  d¨n d­t tæi i óng h÷îng trong v§n · nghi¶n cùu cõa m¼nh. B¶n c¤nh â, tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh v  b¤n b± ¢ luæn hé trñ v  khuy¸n kh½ch tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  vi¸t luªn v«n n y. Vîi thíi gian nghi¶n cùu cán h¤n ch¸, thüc ti¹n cæng t¡c trong ho n c£nh ¤i dàch Covid-19 g¥y nhi·u trð ng¤i, luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, tæi r§t mong nhªn ÷ñc c¡c þ ki¸n, âng gâp ch¥n th nh tø quþ Th¦y, Cæ gi¡o; çng nghi»p v  b¤n b±. Xin ch¥n th nh c£m ìn. Quy Nhìn, th¡ng 08 n«m 2022 T¡c gi£ C¡i Thà Minh Ph÷ìng Möc löc Danh möc c¡c k½ hi»u, chú vi¸t t­t Mð ¦u Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð 1.1 V nh c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc . . . . . . . . . . . . . . 1.2 C¡c b§t bi¸n cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng . . . . . . . . . . 1.2.1 Tham sè hâa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Bëi giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 B§t bi¸n Milnor, b§t bi¸n Delta v  b§t bi¸n Kappa 1.2.4 Nûa nhâm cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng . . . . . . . Ch÷ìng 2 ành l½ nûa nhâm 2.1 C¡c k¸t qu£ mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 ành lþ nûa nhâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 B§t bi¸n Milnor v  nûa nhâm cõa ÷íng cong ph¯ng 2.3.1 Nh¥n tû cõa ÷íng cong cüc . . . . . . . . . . 2.3.2 K¸t qu£ ch½nh v  chùng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 2 2 5 5 8 11 21 22 22 25 31 31 33 Ch÷ìng 3 Cæng thùc Milnor mð rëng 37 T i li»u tham kh£o 52 3.1 Gi£i k¼ dà cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 B i to¡n mð rëng tø cæng thùc Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Mët sè k½ hi»u vi¸t t­t char(K) ord f (t) gcd(a, b) hf, gi P1 h.o.t degy ψ  ,→ °c sè cõa tr÷íng K. C§p cõa chuéi lôy thøa mët bi¸n f (t). ×îc chung lîn nh§t cõa a v  b. I¶an sinh bði f, g . Khæng gian x¤ £nh mët chi·u tr¶n tr÷íng K. Th nh ph¦n câ bªc cao hìn tr÷îc â. C§p cõa y trong chuéi lôy thøa ψ. To n c§u. ìn c§u. i MÐ †U · t i "Nûa nhâm cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng" l  mët · t i cê iºn, nh÷ng v¨n ang thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh  khoa håc, °c bi»t l  nhúng nghi¶n cùu trong tr÷íng hñp °c sè d÷ìng. "Nûa nhâm cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng" l  nûa nhâm cõa Z ÷ñc x¡c ành ho n to n bði mët ÷íng cong ph¯ng f trong K[[x; y]], ÷ñc ành ngh¾a thæng qua bëi giao (intersection multiplicity), mët b§t bi¸n ¤i sè quan trång trong ¤i sè, H¼nh håc ¤i sè, L½ thuy¸t k¼ dà. Chóng l  nhúng thæng tin tê hñp "ìn gi£n" dòng º nghi¶n cùu c¡c b§t bi¸n quan trång cõa ÷íng cong nh÷ Milnor number (µ), Delta invariants (δ), Zeta function (ζ),...Möc ½ch nghi¶n cùu cõa · t i l  h» thèng l¤i nhúng k¸t qu£ quan trång li¶n quan ¸n nûa nhâm cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng, x¥y düng cæng thùc Milnor v  · cªp tîi h÷îng gi£i quy¸t b i to¡n mð li¶n quan. Do vªy, chóng tæi chån nghi¶n cùu · t i vîi nhi·u v§n · h§p d¨n n y. 1 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð Ph¦n lîn nëi dung ch÷ìng n y ÷ñc h» thèng l¤i tø [6] còng mët sè chùng minh cõa t¡c gi£, c¡c chùng minh tham kh£o công ÷ñc tr½ch d¨n cö thº. 1.1 V nh c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc Cho K l  mët tr÷íng âng ¤i sè. V nh c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc n bi¸n tr¶n tr÷íng K, K[[x1, ..., xn]], ÷ñc ành ngh¾a ( K[[x1 , ..., xn ]] = ) f= X cα xα | cα ∈ K, α = (α1 , ..., αn ) , xα = xα1 1 ...xαnn α∈Nn còng vîi hai ph²p to¡n ” + ” v  ”.” nh÷ sau: • X cα x α + α∈Nn • X α∈Nn X c0α xα = α∈Nn α cα x . X α∈Nn c0α xα X (cα + c0α )xα , α∈Nn = X cα .c0β xα+β vîi α + β = (α1 + β1, ..., αn + βn). α,β∈Nn Méi h¤ng tû cαxα, cα 6= 0 trong biºu di¹n cõa f ÷ñc gåi l  mët ìn thùc c§p | α | vîi | α |= α1 + ... + αn . a thùc f ÷ñc gåi l  thu¦n nh§t n¸u f l  têng cõa c¡c ìn thùc còng c§p. ìn thùc câ c§p nhä nh§t trong biºu di¹n cõa f ÷ñc gåi l  ìn thùc d¨n ¦u cõa f v  n¸u ìn thùc d¨n ¦u cõa f câ h» sè b¬ng 1 th¼ f ÷ñc gåi l  mët a thùc monic. ành ngh¾a 1.1. Vîi f ∈ K[[x1, ..., xn]], ta ành ngh¾a bëi cõa f , k½ hi»u l  mt(f ), nh÷ sau mt(f ) = min {|α| = α1 + ... + αn | cα 6= 0} . D¹ th§y mt(f.g) = mt(f )+mt(g), vîi måi f, g ∈ K[[x1, ..., xn]]. Tø â ta câ mët sè k¸t qu£ cì b£n sau. 2 3 M»nh · 1.2. Cho f ∈ K[[x1, ..., xn]] v  m = hx1, ..., xni l  i¶an sinh bði x1, ..., xn cõa K[[x1, ..., xn]]. Khi â i, mt(f ) > 0 ⇔ f ∈ m. ii, mt(f ) = 0 ⇔ f kh£ nghàch, tùc l  tçn t¤i f −1 ∈ K[[x1, ..., xn]] sao cho f.f −1 = 1. Chùng minh. Chó þ r¬ng, n¸u f ∈ m th¼ f = n X fk .xk vîi fk ∈ f ∈ K[[x1, ..., xn]] X cα xα ∈ m. k=1 n¶n mt(f ) > 0. Ng÷ñc l¤i, n¸u mt(f ) > 0 th¼ f = Ph¡t biºu i, d¹ 06=α∈Nn d ng ÷ñc chùng minh. B¥y gií gi£ sû f ∈ K[[x1, ..., xn]] kh£ nghàch. Khi â tçn t¤i f −1 ∈ K[[x1, ..., xn]] sao cho f.f −1 = 1 ⇒ mt(f.f −1 ) = mt(1) = 0 ⇒ mt(f ) + mt(f −1 ) = 0 ⇒ mt(f ) = mt(f −1 ) = 0. Ng÷ñc l¤i, vîi méi f ∈ K[[x1, ..., xn]] ta vi¸t f = f0 + f1 + ... = X fi i≥0 trong â fi l  c¡c a thùc thu¦n X nh§t bªc i. Ta s³ x¥y düng g = go + g1 + ... = gi thäa m¢n f g = 1 b¬ng c¡ch quy n¤p nh÷ i≥0 sau: V¼ mt(f ) = 0 n¶n f0 6= 0. Chån g0 = f0−1. Ta câ f0g0 = 1 mod m. Gi£ sû ¢ x¥y düng ÷ñc g0, g1, ..., gn sao cho    f0 .g0 = 1 k (f0 + ... + fn )(g0 + ... + gn ) = 1 mod mn+1 ⇔ X  fi .gk−i = 0, ∀1 ≤ k ≤ n.   i=0 Chån gn+1 n+1 −1 X fi .gn+1−i = f0 , ta câ i=1 n+1 X i=0 fi .gn+1−i = f0 .gn+1 + n+1 X i=1 fi .gn+1−i = 0. 4 Tø gi£ thi¸t quy n¤p ta câ    f0 .g0 = 1 k X  fi .gk−i = 0, ∀1 ≤ k ≤ n + 1.   ⇔ (f0 + ... + fn+1 ) (g0 + ... + gn+1 ) = 1 mod mn+2 i=0 Do â (f0 + ... + fn)(g0 + ... + gn) = 1 mod mn+1 vîi måi n ≥ 0. Vªy ta x¥y düng ÷ñc g thäa f.g = 1, hay f kh£ nghàch. M»nh · 1.3. K[[x1, ..., xn]] l  mët v nh àa ph÷ìng, ngh¾a l  K[[x1, ..., xn]] câ duy nh§t mët i¶an cüc ¤i. Chùng minh. Ta s³ chùng minh m = hx1, ..., xni l  i¶an cüc ¤i duy nh§t cõa K[[x1 , ..., xn ]]. Tr÷îc h¸t ta c¦n chó þ r¬ng, n¸u i¶an N cõa K[[x1 , ..., xn ]] chùa mët ph¦n tû c ∈ K v  c kh¡c 0 th¼ N = K[[x1, ..., xn]]. T½nh cüc ¤i: Gi£ sû N l  mët i¶an cõa K[[x1, ..., xn]] sao cho m N. Khi â ∃f ∈ N : f ∈ /m⇒f = X cα xα , c0 6= 0 α∈Nn = c0 + X cα x α = c0 + f 2 . α∈Nn ,α6=0 Ta th§y f2 ∈ m ⇒ f2 ∈ N ⇒ c0 = f − f2 ∈ N . Do â N = K[[x1, ..., xn]]. Vªy m l  mët i¶an cüc ¤i. T½nh duy nh§t: Gåi N l  mët i¶an cüc ¤i cõa K[[x1, ..., xn]]. Gi£ sû tçn t¤i f ∈ N m  f ∈ / m, theo M»nh · 1.2 th¼ f kh£ nghàch . Khi â 1 = f.f −1 ∈ N ⇒ N = K[[x1 , ..., xn ]]. i·u n y m¥u thu¨n vîi t½nh cüc ¤i cõa N . Vªy N ⊂ m. V¼ N l  cüc ¤i n¶n N = m, i·u n y chùng tä m l  i¶an cüc ¤i duy nh§t cõa K[[x1 , ..., xn ]]. Vîi AutK (K[[x1, ..., xn]]) l  khæng gian c¡c tü ¯ng c§u ¤i sè tr¶n K[[x1, ..., xn]], ta ành ngh¾a mët sè quan h» giúa c¡c chuéi lôy thøa trong K[[x1, ..., xn]] nh÷ sau. ành ngh¾a 1.4. Cho f, g ∈ K[[x1, ..., xn]], f, g ÷ñc gåi l  i, t÷ìng ÷ìng ph£i, k½ hi»u f ∼r g, n¸u tçn t¤i φ ∈ AutK (K[[x1, ..., xn]]) thäa m¢n f = φ(g). 5 ii, t÷ìng ÷ìng li¶n k¸t, k½ hi»u f ∼c g, n¸u tçn t¤i φ ∈ AutK (K[[x1, ..., xn]]) v  ph¦n tû kh£ nghàch u ∈ K[[x1, ..., xn]] thäa m¢n f = u.φ(g). Rã r ng t÷ìng ÷ìng ph£i l  quan h» "m¤nh" hìn t÷ìng ÷ìng li¶n k¸t, ngh¾a l  ∀f, g ∈ K[[x1 , ..., xn ]] : f ∼r g ⇒ f ∼c g. ành ngh¾a 1.5. X²t chuéi lôy thøa f ∈ K[[x1, ..., xn]]. i, ÷ñc gåi l  b§t kh£ quy n¸u f khæng ph¥n t½ch ÷ñc th nh t½ch cõa hai hay nhi·u chuéi lôy thøa khæng kh£ nghàch trong K[[x1, ..., xn]], tùc l  n¸u f = u.v vîi u, v ∈ K[[x1 , ..., xn ]] th¼ f b§t kh£ quy khi v  ch¿ khi u kh£ nghàch ho°c v kh£ nghàch. ii, f ÷ñc gåi l  thu gån n¸u f ph¥n t½ch ÷ñc d÷îi d¤ng f = f1...fr , trong â fi b§t kh£ quy vîi måi i = 1, ..., r v  hfii 6= hfj i vîi måi i 6= j . Khi â r := r(f ) ÷ñc gåi l  sè nh¡nh cõa f . Trong to n bë nëi dung sau ¥y cõa luªn v«n, c¡c k¸t qu£ ch¿ ÷ñc ph¡t biºu tr¶n v nh c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc hai bi¸n K[[x, y]]. L÷u þ r¬ng, n¸u f ∈ m ⊂ K[[x, y]] th¼ f ÷ñc gåi l  mët k¼ dà ÷íng cong ph¯ng. f 1.2 C¡c b§t bi¸n cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng 1.2.1 Tham sè hâa ành ngh¾a 1.6. Cho f ∈ m ⊂ K[[x, y]] b§t kh£ quy. Khi â tçn t¤i (x(t), y(t)) trong K[[t]]2 sao cho f (x(t), y(t)) = 0 v  thäa m¢n t½nh phê döng r¬ng : vîi méi (u(t), v(t)) ∈ K[[t]]2 m  f (u(t), v(t)) = 0, tçn t¤i duy nh§t h(t) ∈ K[[t]] sao cho u(t) = x (h(t)) v  v(t) = y (h(t)). Ta gåi c°p (x(t), y(t)) nh÷ tr¶n l  mët tham sè hâa cõa f . Sü tçn t¤i cõa tham sè hâa trong ành ngh¾a tr¶n ch½nh l  hñp th nh cõa ph²p chi¸u K[[x, y]]  K[[x, y]]/hf i := Rf , chu©n t­c hâa Rf ,→ Rf (theo [6], ch÷ìng 1, Bê · 3.25) v  ¯ng c§u Rf ∼= K[[t]] (theo [6], ch÷ìng 1, H» qu£ 3.27). 6 Chùng minh tham kh£o tø [7], M»nh · 1.2.4. Do vªy ta câ thº xem tham sè hâa (x(t), y(t)) cõa f b§t kh£ quy nh÷ l  mët çng c§u ϕ x¡c ành nh÷ sau ϕ : K[[x, y]] −→ K[[t]] x 7−→ x(t) y 7−→ y(t) trong â ker(ϕ) = hf i. Nâi c¡ch kh¡c, n¸u (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa cõa f v  g ∈ K[[x, y]] m  g(x(t), y(t)) = 0 th¼ g ≡ 0 (mod f ). V½ dö 1. X²t f (x, y) = x2 − y3. Ta câ x(t) = t3 v  y(t) = t2 l  mët tham sè hâa cõa f . M»nh · 1.7. Cho f b§t kh£ quy nhªn (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa. X²t φ l 
mët tü ¯ng c§u tr¶n K[[x, y]]. Khi â φ−1(x(t)), φ−1(y(t)) l  mët tham sè hâa cõa φ(f ). Chùng minh. Ta câ φ(f ) = f (φ(x), φ(y)) n¶n φ(f ) φ−1 (x(t)), φ−1 (y(t)) = f (x(t), y(t)) = 0.
M°t kh¡c, vîi måi (u(t), v(t)) ∈ K[[t]]2 sao cho φ(f )(u(t), v(t)) = 0, ta câ φ(f )(u(t), v(t)) = 0 ⇒ f (φ(u(t)), φ(v(t))) = 0. Theo t½nh phê döng cõa (x(t), y(t)) èi vîi f th¼ tçn t¤i duy nh§t h(t) ∈ K[[t]] sao cho ( φ(u(t)) = x(h(t)) φ(v(t)) = y(h(t)) ( ⇒ u(t) = φ−1 (x(h(t))) v(t) = φ−1 (y(h(t))) . i·u n y cho th§y φ−1
(x(t)), φ−1(y(t)) thäa m¢n t½nh phê döng èi vîi φ(f ). Vªy φ−1(x(t)), φ−1(y(t)) l  mët tham sè hâa cõa φ(f ). Ti¸p theo, vîi Rf = K[[x, y]]/hf i, ta ành ngh¾a
 Quot(Rf ) = h | h, g ∈ Rf g  v  g 6= 0 l  v nh c¡c th÷ìng cõa Rf v  Rf = x ∈ Quot Rf | ∃m ∈ N∗ 
v  a1, ..., am ∈ Rf : xm + a1xm−1 + ... + am−1x + am = 0 . 7 l  bao âng nguy¶n cõa Rf . Tø ành ngh¾a ta th§y Rf ⊂ Quot(Rf ). Do vªy,  Quot(Rf ) =  x | x, y ∈ Rf , y 6= 0 y ⊂ Quot(Rf ). Ng÷ñc l¤i, l§y hg ∈ Quot(Rf ), khi â h, g ∈ Rf v  g 6= 0. M  f b§t kh£ quy n¶n Rf l  mët mi·n nguy¶n, do vªy g kh£ nghàch. Ta câ h h h − g −1 h = − = 0 g g g trong â −g−1h ∈ Rf n¶n hg ∈ Rf ⊂ Quot(Rf ). Suy ra Quot(Rf ) ⊂ Quot(Rf ). Vªy Quot(Rf ) = Quot(Rf ). (1.1) Tø â ta câ bê · sau. Bê · 1.8. N¸u (x(t), y(t)) l  tham sè hâa cõa f b§t kh£ quy th¼ Quot (K[[x(t), y(t)]]) = Quot (K[[t]]) := K((t)). Chùng minh. Theo k¸t qu£ câ ÷ñc tø [6], Ch÷ìng 1, H» qu£ 3.27 th¼ Rf ∼= K[[t]]. Ta s³ chùng minh Rf ∼= K[[x(t), y(t)]]. Thªt vªy, ta x²t çng c§u φ : K[[x, y]]/hf i −→ K[[x(t), y(t)]] g 7−→ g(x(t), y(t)). Khi â g(x(t), y(t)) ≡ 0 ⇒ g ≡ 0(mod f ) ⇒ g ∈ hf i ⇒ g = 0. Vªy ϕ l  mët ìn c§u. D¹ th§y ϕ công l  mët to n c§u n¶n ϕ l  mët ¯ng c§u, tø â suy ra Rf ∼= K[[x(t), y(t)]]. Còng vîi (1.1) ta câ Quot (K[[x, y]]) ∼ = Quot(Rf ) = Quot(Rf ) ∼ = Quot (K[[t]]) . Vªy Quot (K[[x(t), y(t)]]) = Quot (K[[t]]) . 8 Mët d¤ng tham sè hâa °c bi»t tham kh£o tø [6, tr. 163] ÷ñc ph¡t biºu trong ành l½ 1.9 v  ta công thu ÷ñc khai triºn cõa mët chuéi lôy thøa b§t kh£ quy nh÷ M»nh · 1.10 . ành l½ 1.9. Tham sè hâa Puiseux X²t tr÷íng K vîi °c sè p v  f ∈ m ⊂ K[[x, y]] b§t kh£ quy. Gi£ sû ord f (0, y) = b v  p khæng l  ÷îc cõa b.Khi â tçn t¤i y(t) ∈ hti ⊂ K[[t]] thäa m¢n f tb , y(t) = 0.
Hìn núa, l  mët tham sè hâa cõa f . M»nh · 1.10. Vîi gi£ thi¸t nh÷ ành l½ 1.9. N¸u y(t) = P ck tk ∈ hti ⊂ K[[t]] thäa m¢n f (tm, y(t)) = 0, m ÷ñc chån nhä nh§t theo ngh¾a gcd (m, {k | ck 6= 0}) = 1, ta gåi ξ l  mët c«n nguy¶n thõy bªc m cõa ìn và. Khi â c¡c chuéi y(ξ j t), j = 1, ..., m l  kh¡c nhau æi mët v  tçn t¤i u ∈ K[[x, y]] kh£ nghàch sao cho tb , y(t)
f = u. m  Y  j y−y ξ x 1 m  . j=1 Hìn núa, m = b . 1.2.2 Bëi giao Vîi f, g ∈ K[[x, y]], ta ành ngh¾a bëi giao cõa f v  g, k½ hi»u i0(f, g), nh÷ sau • N¸u f b§t kh£ quy th¼ i0 (f, g) = ord g(x(t), y(t)) • vîi (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa cõa f . N¸u f khæng b§t kh£ quy, ta ph¥n t½ch f d÷îi d¤ng f = f1...fr trong â fi l  b§t kh£ quy vîi måi i = 1, ..., r. Khi â i0 (f, g) = r X i0 (fi , g). i=1 Mët ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng cõa bëi giao ÷ñc tham kh£o tø [6], Ch÷ìng 1, M»nh · 3.12, ph¡t biºu nh÷ sau M»nh · 1.11. Cho f, g ∈ K[[x, y]], ta câ i0 (f, g) = dimK K[[x, y]]/hf, gi. 9 M»nh · 1.12. Cho f ∈ K[[x, y]] b§t kh£ quy, ta câ mt(f ) = min {i0 (f, x), i0 (f, y)} = min {ord x(t), ord y(t)} , trong â (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa cõa f . Chùng minh. Tr÷îc h¸t ta nhªn x²t r¬ng, f (x, 0) 6= 0 v  f (0, y) 6= 0. Thªt vªy, v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ f ≡ 0 (mod x) ho°c f ≡ 0 (mod y), i·u n y m¥u thu¨n vîi t½nh b§t kh£ quy cõa f. Ta vi¸t l¤i f d÷îi d¤ng f = αxm + βy n + h.o.t, trong â α, β 6= 0. Khi â mt(f ) = min {m, n} = min {ord f (x, 0), ord f (0, y)} . M  ord f (x, 0) = i0 (f, y) = ord y(t) v  ord f (0, y) = i0 (f, x) = ord x(t) n¶n mt(f ) = min {ord f (x, 0), ord f (0, y)} = min {i0 (f, y), i0 (f, x)} = min {ord x(t), ord y(t)} . C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa bëi giao ÷ñc ph¡t biºu trong M»nh · 1.13 v  Chó þ 1.14 nh÷ sau. M»nh · 1.13. Vîi f, g, h ∈ K[[x, y]], ta câ i, i0(f, g) = i0(g, f ). ii, i0(f, g) < +∞ khi v  ch¿ khi f v  g khæng câ nh¥n tû chung. iii, vîi méi tü ¯ng c§u φ ∈ AutK(K[[x, y]]) v  u, v ∈ K[[x, y]] kh£ nghàch b§t k¼ ta câ i0 (f, g) = i0 (φ(f ), φ(g)) = i0 (u.φ(f ), v.φ(g)) . Chùng minh. i, câ ÷ñc tø k¸t qu£ cõa M»nh · 1.11. ii, Gåi ph¥n t½ch f = f1 ...fr vîi fi b§t kh£ quy vîi måi i = 1, ..., r v  g = g1 ...gs vîi gj b§t kh£ quy vîi måi j = 1, ..., s. Khi â i0 (f, g) < +∞ ⇔ r X s X i0 (fi , gj ) < +∞ i=1 j=1 ⇔ i0 (fi , gj ) < +∞ , ∀i, j ⇔ hfi i = 6 hgj i , ∀i, j ⇔f v  g khæng câ nh¥n tû chung. 10 Vîi tü ¯ng c§u φ tr¶n K[[x, y]], ta s³ ch¿ ra φ(hf, gi) = hφ(f ), φ(g)i. Thªt vªy, vîi måi h ∈ hf, gi th¼ h = f1.f + g1.g trong â f1, g1 ∈ K[[x, y]], ta câ iii, φ(h) = φ(f1 .f + g1 .g) = φ(f1 ).φ(f ) + φ(g1 ).φ(g) ∈ hφ(f ), φ(g)i. Suy ra φ(hf, gi) ⊂ hφ(f ), φ(g)i. Ng÷ñc l¤i, vîi måi h ∈ hφ(f ), φ(g)i ta câ h = f1 .φ(f ) + g1 φ(g) = φ φ−1 (f1 ).f + φ−1 (g).g ∈ φ(hf, gi).
Do â , hφ(f ), φ(g)i ⊂ φ(hf, gi). Vªy φ(hf, gi) = hφ(f ), φ(g)i. M  φ l  mët ¯ng c§u n¶n hf, gi ∼= φ (hf, gi) = hφ(f ), φ(g)i. Suy ra ∼ K[[x, y]]/hf, gi K[[x, y]]/hφ(f ), φ(g)i = ⇒ dim K[[x, y]]/hf, gi = dim K[[x, y]]/hφ(f ), φ(g)i Theo M»nh · 1.11 ta câ (1.2) Hìn núa, vîi u, v ∈ K[[x, y]] kh£ nghàch ta câ hφ(f ), φ(g)i = hu.φ(f ), v.φ(g)i. Do â i0 (f, g) = i0 (φ(f ), φ(g)) dim K[[x, y]]/hφ(f ), φ(g)i = dim K[[x, y]]/hu.φ(f ), v.φ(g)i ⇒ i0 (φ(f ), φ(g)) = i0 (u.φ(f ), v.φ(g)) . (1.3) Tø (1.2) v  (1.3) ta câ i·u c¦n chùng minh. Chó þ 1.14. X²t f l  b§t kh£ quy v  g, h ∈ K[[x, y]], khi â ta câ i, i0(f, g + h) ≥ inf {i0(f, g), i0(f, h)} , ¯ng thùc x£y ra n¸u i0(f, g) 6= i0(f, h). ii, n¸u i0(f, g) = i0(f, h) < +∞ th¼ tçn t¤i mët h¬ng sè c ∈ K sao cho i0 (f, g − c.h) > i0 (f, g). Chùng minh. Gåi (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa cõa f . i, Ta câ i0 (f, g + h) = ord (g + h) (x(t), y(t)) = ord (g (x(t), y(t)) + h (x(t), y(t))) ≥ inf {ord g (x(t), y(t)) , ord h (x(t), y(t))} = inf {i0 (f, g), i0 (f, h)} . °t i0(f, g) = ord g (x(t), y(t)) := ng v  i0(f, h) = ord h (x(t), y(t)) := nh, ta câ thº vi¸t g, h d÷îi d¤ng X X g(x(t), y(t)) = an tn + an tn v  h(x(t), y(t)) = bn tn + bn tn , g h g h n>ng n>nh 11 trong â an , bn g h 6= 0. Khi â (g + h)(x(t), y(t)) = ang tng + bnh tnh + X X an tn + n>ng bn tn . n>nh Do vªy, n¸u ng 6= nh, khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ sû ng < nh th¼ ord (g + h) (x(t), y(t)) = ng = inf {ng , nh } = inf {ord g (x(t), y(t)) , ord h (x(t), y(t))} . Vªy n¸u i0(f, g) 6= i0(f, h) th¼ ¯ng thùc cõa ph¡t biºu x£y ra. ii, N¸u i0 (f, g) = i0 (f, h), tùc l  ng = nh := n0 th¼ ta vi¸t l¤i X g(x(t), y(t)) = an0 tn0 + an tn v  h(x(t), y(t)) = bn tn 0 0 + n>n0 vîi an , bn 0 0 6= 0. Chån c = ab n 0 ∈ K, n0 X bn tn , n>n0 ta câ ! (g − ch)(x(t), y(t)) = (an0 tn0 ) + X an tn − c bn0 tn0 + X bn tn n>n0 n>n0 = X (an − c.bn )tn . n>n0 Suy ra ord (g − ch)(x(t), y(t)) > n0, tùc l  i0(f, g − ch) > i0(f, g). Ti¸p theo ta ành ngh¾a mët sè b§t bi¸n còng vîi mèi li¶n h» ban ¦u cõa chóng vîi bëi giao. 1.2.3 B§t bi¸n Milnor, b§t bi¸n Delta v  b§t bi¸n Kappa B§t bi¸n Milnor Cho f ∈ K[[x, y]] vîi f = X cij xi y j . Ta ành ngh¾a c¡c ¤o h m ri¶ng cõa (i,j)∈N2 f theo hai bi¸n x , y nh÷ sau fx := X ∂f = icij xi−1 y j ∂x i6=0  °t J(f ) = ÷ñc ành ngh¾a ∂f ∂f ; ∂x ∂y  v  fy := X ∂f = jcij xi y j−1 . ∂y j6=0 v  gåi l  i¶an Jacobi cõa f . Sè Milnor µ(f ) cõa f µ(f ) = dimK Mf vîi Mf = K[[x, y]]/J(f ). Còng vîi kh¡i ni»m bëi giao ta th§y µ(f ) = i0 (fx, fy ). B§t bi¸n Delta 12 Vîi f ∈ K[[x, y]] , ta x²t Rf = K[[x, y]]/hf i v  bao âng nguy¶n Rf cõa Rf ¢ ÷ñc ành ngh¾a ð möc 1.2.1. Sè Delta cõa f , k½ hi»u δ(f ) ÷ñc ành ngh¾a l  sè chi·u cõa khæng gian Rf /Rf , tùc l  δ(f ) = dimK Rf /Rf . Bê · 1.15. Cho f ∈ K[[x, y]] b§t kh£ quy v  (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa cõa f. Khi â δ(f ) = dimK K[[t]]/K[[x(t), y(t)]]. Chùng minh. Nh­c l¤i tø chùng minh cõa Bê · 1.8 ta câ Rf ∼ = K[[t]] v  Rf ∼ = K[[x(t), y(t)]]. Vªy Rf /Rf ∼ = K[[t]]/K[[x(t), y(t)]], suy ra δ(f ) = dimK Rf /Rf = dimK K[[t]]/K[[x(t), y(t)]]. Bê · 1.16. Cho f, g ∈ K[[x, y]] l  hai chuéi lôy thøa thu gån v  khæng câ nh¥n tû chung. Khi â δ(f g) = δ(f ) + δ(g) + i0 (f, g). Chùng minh. V¼ f v  g khæng câ nh¥n tû chung n¶n hf gi = hf i ∩ hgi. Khi â tçn t¤i mët d¢y khîp 0 → K[[x, y]]/hf gi → K[[x, y]]/hf i ⊕ K[[x, y]]/hgi → K[[x, y]]/hf, gi → 0. °t O1 = K[[x, y]]/hf i v  O2 = K[[x, y]]/hgi. Ta câ δ(f g) = dimK r M ! K[[ti ]] / (K[[x, y]]/hf gi) i=1 = dimK 0 rM +r00 ! K[[ti ]] / (O1 ⊕ O2 ) + dimK (O1 ⊕ O2 ) / (K[[x, y]]/hf gi) i=1 0 = dimK r M ! K[[ti ]] /O1 + dimK i=1 = δ(f ) + δ(g) + i0 (f, g). 00 r M i=1 ! K[[ti ]] /O2 + dimK K[[x, y]]/hf, gi 13 Chùng minh tr¶n câ tham kh£o mët sè ki¸n thùc v  k¸t qu£ v· d¢y khîp v  sè chi·u cõa c¡c khæng gian têng trüc ti¸p ÷ñc tr¼nh b y trong [6]. H» qu£ 1.17. N¸u f l  thu gån vîi ph¥n t½ch f = f1 ... fr th¼ δ(f ) ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc   r X 2δ(f ) = 2δ (fi ) + i=1 X i0 (fi , fj ) . j6=i Hìn núa, n¸u f thu gån th¼ δ(f ) < +∞. Chùng minh. Theo bê · 1.16, ta câ δ(f ) = δ(f1 ...fr ) = δ(f1 ) + δ(f2 ...fr ) + i0 (f1 , f2 ...fr ) = δ(f1 ) + δ(f2 ) + δ(f3 ...fr ) + i0 (f2 , f3 ...fr ) + r X i0 (f1 , fi ) i=2 = ... = δ(f1 ) + ... + δ(fr ) + = r X δ(fi ) + i=1 = r 1X 2 1 2 r X r X i0 (fi , fj ) i=1 j=i+1 r XX i0 (fi , fj ) i=1 i6=j   2δ(fi ) + i=1 X i0 (fi , fj ) j6=i suy ra 2δ(f ) = r X i=1  2δ(fi ) +  X i0 (fi , fj ) . j6=i Hìn núa, c¡c fi b§t kh£ quy th¼ δ(fi) < +∞ v  i0(fi, fj ) < +∞ n¶n δ(f ) < +∞. Ta k¸t thóc chùng minh t¤i ¥y. B§t bi¸n Kappa Ta x²t f ∈ K[[x, y]] v  (α : β) ∈ P1. Ta ành ngh¾a cüc cõa f èi vîi (α : β) (ho°c l  èi vîi ÷íng th¯ng l(α:β) := αx + βy) l  P(α:β) (f ) := α.fx + β.fy Nhªn x²t 14 N¸u ϕ(x, y) = (αx + γy, βx + δy), αδ − βγ 6= 0, l  mët ph²p bi¸n êi tåa ë tuy¸n t½nh, th¼ P(1:0) (f ◦ ϕ) = ∂(f ◦ ϕ) ∂f ∂f = α. ◦ ϕ + β. ◦ ϕ, ∂x ∂x ∂y khi â P(1:0)(f ◦ ϕ) = P(α:β)(f ) ◦ ϕ, têng qu¡t hìn núa, ta câ P(α:β) (f ◦ ϕ) = Pϕ(α:β) (f ) ◦ ϕ Thªt vªy ta câ ϕ(α : β) = (α2 + βγ : αβ + βδ) P(α:β) (f ◦ ϕ) = α(f  ◦ ϕ)x + β(f ◦ ϕ)y  d(αx + γy) d(βx + δy) = α (fx ◦ ϕ). + (fy ◦ ϕ). dx dx   d(βx + δy) d(αx + γy) + (fy ◦ ϕ). + β (fx ◦ ϕ). dy dy = α (αfx ◦ ϕ + βfy ◦ ϕ) + β (γfx ◦ ϕ + δfy ◦ ϕ)
= α2 + βγ fx ◦ ϕ + (αβ + βδ) fy ◦ ϕ.  
= α2 + βγ fx + (αβ + βδ) fy ◦ ϕ = Pϕ(α:β) (f ) ◦ ϕ Bê · 1.18. Cho f ∈ K[[x, y]] v  (α : β) ∈ P1, khi â i0 f, P(α:β) (f )
= µ(f ) + i0 −βx + αy, P(α:β) (f )
(1.4) = µ(f ) + i0 (−βx + αy, f ) − 1. Chùng minh. X²t ϕ(x, y) = (αx + γy, βx + δy), αδ − βγ 6= 0 l  mët ph²p bi¸n êi tåa ë tuy¸n t½nh, th¼ bði nhªn x²t tr¶n ta câ P(1:0)(f ◦ ϕ) = P(α:β)(f ) ◦ ϕ. Hìn núa l(−β:α) ◦ ϕ = −β(αx + γy) + α(βx + δy) = (αδ − βγ)y = l(0:1) v  i0(f ◦ ϕ, g ◦ ϕ) = i0(f, g), µ(f ◦ ϕ) = µ(f ). Ta câ thº vi¸t l¤i (1.4) nh÷ sau i0 f, P(α:β) (f ) ⇔ i0 f ◦ ϕ, P(α:β) (f ) ◦ ϕ ⇔

= µ(f ) + i0 −βx + αy, P(α:β) (f )

= µ(f ◦ ϕ) + i0 (−βx + αy) ◦ ϕ, P(α:β) (f ) ◦ ϕ i0 (f ◦ ϕ, (f ◦ ϕ)x ) = µ(f ◦ ϕ) + i0 ((αδ − βγ)y, (f ◦ ϕ)x ) (1.5) N¸u ta thay f ◦ ϕ b¬ng f th¼ tø (1.5) câ ÷ñc ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng sau i0 (f, fx ) = µ(f ) + i0 (y, fx ) = i0 (fx , fy ) + i0 (y, fx ) V¼ vªy thay v¼ chùng minh (1.4) ta s³ chùng minh (1.6) (1.6)