Tài liệu Những tính chất của giao điểm giữa hypebol với đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA GIAO ĐIỂM GIỮA HYPEBOL VỚI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC GÓC TẠO BỞI HAI ĐƯỜNG TIỆM CẬN Sáng kiến kinh nghiệm NGUYỄN HỒNG QUANG THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013 1 ĐẶT VẤN ĐỀ Cách đây mấy năm trong một đề tài SKKN tôi đã đề cập đến vấn đề khai thác một số tính chất đặc trưng của Hypebol hoặc y= y= ax 2  bx  c , (aD  o) Dx  E ax  b , (c  0) để giải các bài toán cực trị và đã giải quyết được một cx  d số bài toán. Trong suốt thời gian qua tôi đã dày công tìm hiểu thêm mối quan hệ giữa các đường tiệm cận của (H) và tiếp tuyến của nó, tôi đã phát hiện thấy một số tính chất của chúng , đặc biệt tôi đã tìm ra 24 tính chất giao điểm của Hypebol và đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận (có thể coi đây là 24 bài toán về cực tri). Với phát hiện này ta có thể đưa ra một cách giải chung cho tất cả các bài toán dạng:  Tìm trên đồ thị y = f(x) điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất ?  Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến điểm I (giao điểm hai đường tiệm cận ) ngắn nhất ?  Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ tiếp tuyến tại M đến điểm I ( giao điểm hai đường tiệm cận )lớn nhất... và còn nhiều bài toán tương tự khác nữa. Khi chưa phát hiện ra 24 tính chất nói trên thì mỗi bài toán dạng này đều có cách giải khác nhau , nhưng các cách giải đó chưa nói lên một cách nhìn chung. Khi phát hiện được 24 tính chất trên tôi đã hướng dẫn học sinh có một cách giải chung nhất cho tất cả các bài toán có dạng trên.Sau một thời gian áp dụng phương pháp này học sinh đã có một cách nhìn các bài toán một cách đơn giản và tự tin hơn. Nhân dịp này tôi xin giới thiệu với các thầy giáo và các em học sinh bài viết với nội dung : Những tính chất của giao điểm giữa Hypebol với đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận . Với mong muốn giúp các em học sinh tự tin và chủ động hơn khi gặp các bài toán dạng trên! 2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Đ1/ TÍNH CHẤT CỦA GIAO ĐIÊM GIỮA HYPEBOL VỚI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC GÓC HỢP BỞI HAI ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HYPEBOL Trước khi nêu các tính chất ta đưa ra một số ký hiệu sau ax  b ax 2  bx  c (H) là Hypebol y = , (aD  o) hoặc y= , (c  0) cx  d Dx  E (d1) là tiện cận đứng của(H) (d2) là tiệm cận còn lại ( ngang hoặc xiên) của(H) I là giao điểm hai tiệm cận  I là góc tạo bởi hai tiệm cân  (d) là phân giác của góc I M , N là hai giao điểm của phân giác (d) với (H) (T) là tiếp tuyến của (H) tại M A là giao điểm của(T) và (d1) B là giao điểm của (T) và(d2) P là chu vi tam giác IAB S là diện tich tam giác IAB Tính chất: Giả sử đường phân giác của góc hợp bởi hai đường tiệm cận của (H) cắt (H) tại hai điểm M, N thì điểm M và N có các tính chất sau: 1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và B thì đoạn AB ngắn nhất. 2) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. 3) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có diện tích của hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất (Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất) 4) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (Bán kính đường tròn nôi tiếp lớn nhất) 5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 3 6) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M có khoảng cách đến giao điểm I của hai tiệm cận là lớn nhất 7) Hai tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất so với các khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song song khác (M, N là hai giao điểm giữa Hypebol với Đường phân giác của góc hợp bởi hai đường tiệm cận của Hypebol ) 8) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F , Khi đó chu vi tam giác IEF nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) 9) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IEF là nhỏ nhất .( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) 10) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác IEF là lớn nhất. ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) 11) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi tam giác MEF nhỏ nhất 12) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF là nhỏ nhất (Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất) 13) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MEF là lớn nhất (Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất) 14) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi hình bình hành EIFM nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) 15) Gọi M1 , M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó M1M2 ngắn nhất 16) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận thì tổng MM1+ MM2 nhỏ nhất 4 17) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó chu vi tam giác MM1M2 nhỏ nhất 18) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM 1M2 nhỏ nhất (Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất) 19) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MM 1M2 lớn nhất (Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất) 20) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IM1M2 nhỏ nhất (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) 21) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M vuông góc với đường thẳng IM ( I là giao điểm của hai tiệm cận) 22) Khoảng cách M đến tâm đối xứng I của (H) là nhỏ nhất so với các khoảng cách từ I đến một điểm khác trên (H) 23) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổng các khoảng cách MM1+ MM2 + IM nhỏ nhất( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) 24) MN là đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của Hypebol * * * Trước khi chứng minh các tính chất trên ta nêu và chứng minh lại một số ax 2  bx  c tính chất đặc trưng của đồ thị hàm số y = và hàm số Dx  E ax  b cx  d ( Hypebol) 5 y= Đ2/ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = SỐ y= I/ ax 2  bx  c VÀ HÀM Dx  E ax  b ( HYPEBOL) cx  d MỐI QUAN HỆ ĐẶC BIỆT GIỮA TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HYPEBOL . ax  b ax 2  bx  c Cho hàm số y = , (aD  o) và hàm số y= , (c  0) có đồ thị cx  d Dx  E là các đường Hypebol (H). Khi đó xét các tính chất đặc trưng sau: Tính chất 1: Tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (H) đến hai đường tiệm cận là một số không đổi. Chứng minh: k ax 2  bx  c , ta viết lại hàm số thành dạng y=ax+b+ cx  d Dx  E 1/ Đối với (H):y = . Khi đó hai đường tiệm cận của (H) là :y = a x+ b ( 1 ) và x = - d (  2 ). c k Gọi M (xo ; axo+ b + cx  d )là điểm tuỳ ý trên (H), khi đó các khoảng cách 0 d(M; ( 1 )) = k (cx0  d ) a  1 2 và d(M; (  2 )) = Vậy d(M; ( 1 )).d(M; (  2 )) = cx0  d . c k cx0  d . c = c a 2  1 ,(không đổi). (cx0  d ) a 2  1 k ax  b k , ta viết lại hàm số thành dạng y = a+ . cx  d cx  d d Khi đó hai đường tiệm cận của (H) là :y = a ( 1 ) và x = - (  2 ). c k Gọi M (xo ; a + cx  d ) là điểm tuỳ ý trên (H), khi đó các khoảng cách 0 k cx0  d d(M; ( 1 )) = cx  d và d(M; (  2 )) = c . 0 2/ Đối với (H):y = k Vậy d(M; ( 1 )).d(M; (  2 )) = cx  d . 0 6 cx0  d k = ,(không đổi). c c Tính chất2: Nếu một cát tuyến  bất kỳ cắt (H) tại hai điểm A,B và cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm C và D thì AC = BD . Chứng minh: 1/ Đối với (H): y=ax+b+ k .Giả sử cát tuyến  có phương trình cx  d y=mx+n khi đó hoành độ các điểm A,B là nghiệm của phương trình: k = mx + n  (ac- mc)x2+(ad +cb- md- cn)x +k + bn- nd = 0. cx  d x x khi đó theo định lý Vi-et ta có hoành độ trung điểm I của AB là: xI= A B 2 1 ad  cb  dm  cn =- . (*) 2 ac  mc ax + b + Mặt khác hoành độ giao điểm C (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận xiên) là nghiệm của phương trình: mx + n = ax + b  xC = nb am d ,khi đó c 1  n  b d  1 ad  cb  dm  cn   =- . Hoành độ trung điểm J của CD là: xJ =  (**). 2am c  2 ac  mc Hoành độ điểm D (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận đứng) : xD = - Từ (*) và (**) suy ra I trùng J hay AC = BD . 2/ Đối với (H): y=a + k .Giả sử cát tuyến  có phương trình y = mx + cx  d n khi đó hoành độ các điểm A ; B là nghiệm của phương trình: a+ k = mx + n  cx  d mcx2+( md + cn – ac )x + nd – ad - k = 0. khi đó theo định lý Vi-et ta có hoành độ trung điểm I của AB là: xI = 1 ac  dm  cn (*) 2 mc x A  xB 2 = . Mặt khác hoành độ giao điểm C (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận ngang) là nghiệm của phương trình: mx + n = a  xC = an . m Hoành độ điểm D (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận đứng) : x D = - d ,khi c đó 1 an 1 ac  dm  cn (**). mc    = . Hoành độ trung điểm J của CD là: xJ =  2 m c 2 7 d Từ (*) và (**) suy ra I trùng J hay AC = BD . Chú ý : Khi C trùng D thì cát tuyến trở thành tiếp tuyến của (H) tại tiếp điểm M (điểm M là điểm trùng của C và D). Từ tính chất trên ta suy ra hệ quả sau: Hệ quả: Nếu tiếp tuyến với (H) tại điểm M bất kỳ cắt hai tiệm cận tại hai điểmA , B thì khi đó M là trung điểm đoạn AB . Tính chất3: Tiếp tuyến với (H) tại điểm M bất kỳ tạo với hai đường tiệm cận của (H) một tam giác có diện tích không đổi. Chứng minh: 1/ Đối với (H): y=ax+b+ y = ax+ b ( 1 ) và x =- k . Khi đó hai đường tiệm cận của (H) là : cx  d k d (  2 ).Gọi M (xo ; y0)( trong đó y0= axo+ b + cx  d ) c 0 là điểm tuỳ ý trên (H), ta có phương trình tiếp tuyến tại M là:   ck k y = a  .  ( x  x0 )  ax0  b  (cx0  d ) 2  cx0  d  Vậy giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là : A(-  d ck d  (   x0 ) +y0). ; a  2  (cx0  d )  c c  Giao điểm của hai đường tiệm cận là : I (- d ad ; b - ) . Ta có: c c SIAB=2SIMA = IA.d(M ;  2 ) = (a  cx  d kc ad  cb cx0  d )( 0 )  y0  = 2 (cx0  d ) c c c 2k cbd (1  c)  ad 2 (1  c ) 2ck  (1  c)(cb  ad )d  = (không đổi). 2 c c c2 k 2/ Đối với (H): y = a + . Khi đó hai đường tiệm cận của (H) là : cx  d k d y = a ( 1 ) và x =- (  2 ).Gọi M (xo ; y0)( trong đó y0= a + cx  d ) là điểm c 0 = tuỳ ý trên (H), ta có phương trình tiếp tuyến tại M là:  ck  k ( x  x0 )  a  y =  . 2  cx0  d  (cx0  d )  Vậy giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là : 8 A(-  d ck d  (   x0 ) +y0). ; a  2  (cx0  d )  c c  Giao điểm của hai đường tiệm cận là : I (- d ; a) . Ta có: c SIAB=2SIMA = IA.d(M ;  2 ) = ( =2 k c cx  d cx  d kc k )( 0 )a a 0 2 (cx0  d ) c cx0  d c (không đổi) II/ Nhận xét : Từ các tính chất trên ta rút ra các nhận xét sau 1. M là giao điểm của (H) và đường phân giác của góc hợp bởi hai đường tiệm cận . Mặt khác theo các tính chất trên M là trung điểm của AB nên suy ra tam giác IAB cân tại I (IA = IB) 2. Theo các tính chất trên diện tích tam giác IAB không đổi và góc I không đổi nên tích IA.IB cũng không đổi 3. Tích IA.IB không đổi suy ra tổng IA + IB nhỏ nhất khi IA = IB ( Tam giác IAB cân tại I ) 4. Tacó AB  IA  IB  2 IA.IB. cos I  2(1  . cos I ).IA.IB  AB  2(1  cos I ) IA.IB ( Hằng số) Dấu bằng xảy ra khi IA = IB . Vậy khi IA = IB thì AB cũng ngắn nhất 2 2 2  2   Sau đây ta áp dụng các nhận xét trên để chứng minh 24 tính chất ở Đ1/ Đ3/ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT Trong mục này ta sẽ chứng minh 24 tính chất đã nêu ở Đ1 Gọi M là giao điểm giữa Hypebol với Đường phân giác góc hợp bởi hai đường tiệm cận ta có các tính chất sau đây. 1)Tiếp tuyến với (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và B thì đoạn AB ngắn nhất. 9 Chứng minh: Tacó   AB 2  IA 2  IB 2  2 IA.IB. cos I  2(1  . cos I ).IA.IB  (*) Theo nhận xét 1 thì IA = IB , khi đó dấu bằng (*) cũng xảy ra Vậy AB đạt giá trị nhỏ nhất (đpcm).  AB 2  2(1  cos I ) IA.IB 2)Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. Chứng minh: Gọi P là chu vi tam giác IAB , ta có : (**) Theo nhận xét 1 thì IA = IB , khi đó dấu bằng (**) cũng xảy ra. Vậy P nhỏ nhất. (đpcm) P  IA  IB  AB  2 IA.IB  2(1  cos I ) IA.IB 3) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có diện tích của hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.  Chứng minh: Theo định lý sin trong tam giác IAB ta có AB  2 R sin AIB , mà AB ngắn nhất nên R nhỏ nhất do đó tam giác IAB có diện tích của hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất (đpcm) 4) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (Bán kính đường tròn nôi tiếp lớn nhất) Chứng minh: Ta có S IAB  pr , mà S IAB không đổi . Mặt khác theo tính chất 2 chu vi p tam giác IAB nhỏ nhất nên r ( Bán kính đường tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác IAB có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm). 5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Chứng minh: Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên hai tiệm cận. Khi đó tích khoảng cách MM1.MM2 là một số không đổi. Mà MM1= MM2 Nên tổng hai khoảng cách MM1+ MM2 là nhỏ nhất (đpcm) 6) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M có khoảng cách đến giao điểm I của hai tiệm cận (Tâm đối xứng của (H) ) là lớn nhất. 10 Chứng minh: Theo các tính chất trên thì diện tích tam giác IAB không đổi và AB là ngắn nhất nên khoảng cách từ I đến AB ( Đường cao thuộc cạnh AB của tam giác IAB ) là lớn nhất (đpcm) 7) Hai tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất so với các khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song song khác của (H) (M, N là hai giao điểm giữa Hypebol với Đường phân giác của góc hợp bởi hai đường tiệm cận của Hypebol ) Chứng minh Vì I là tâm đối xứng của (H) nên khoảng cách giữa hai tiếp tuyến tại M và N bằng 2 lần khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại M . Mà theo chứng minh trên thì khoảng cách từ I đến AB là lớn nhất , vậy khoảng cách giữa hai tiếp tuyến tại M và N lớn nhất .(đpcm) 8)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F , Khi đó chu vi tam giác IEF nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) Chứng minh: Nhận thấy tam giác IEF có chu vi bằng nữa chu vi tam giác IAB mà ta đã chứng minh được chu vi tam giác IAB nhỏ nhất nên ta có chu vi tam giác IEF nhỏ nhất (đpcm). 9)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF là nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) Chứng minh: Tam giác IEF đồng dạng với tam giác IAB với tỷ số đồng 1 dạng k = 2 . Mà theo tính chất 3, hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất nên hình tròn ngoại tiếp tam giác IEF cũng có diện tích nhỏ nhất (đpcm) 10) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác IEF là lớn nhất. ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) Chứng minh: Ta có S IEF  pr , mà S IEF không đổi . Mặt khác theo tính chất 8 chu vi p của tam giác IEF nhỏ nhất nên r ( r bán kính đường tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác IEF có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm). 11 11)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi tam giác MEF nhỏ nhất. Chứng minh: Nhận thấy tam giác MEF có chu vi bằng nữa chu vi tam giác IAB mà ta đã chứng minh được chu vi tam giác IAB nhỏ nhất nên ta có chu vi tam giác MEF nhỏ nhất (đpcm). 12)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MEF là nhỏ nhất . Chứng minh: Tam giác MEF đồng dạng với tam giác IAB với tỷ số đồng 1 dạng k = 2 . Mà theo tính chất 3, hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất nên hình tròn ngoại tiếp tam giác MEF cũng có diện tích nhỏ nhất (đpcm) 13) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MEF là lớn nhất (Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất) Chứng minh: : Ta có S MEF  pr , mà S MEF không đổi . Mặt khác theo tính chất 11 chu vi p của tam giác MEF nhỏ nhất nên r ( r bán kính đường tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác MEF có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm). 14)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi hình bình hành EIFM nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) Chứng minh: Nhận thấy hình bình hành EIFM có chu vi bằng 2 lần tổng IA + IB mà ta đã chứng minh được IA + IB nhỏ nhất nên ta có chu vi hình bình hành EIFM cũng nhỏ nhất (đpcm). 15) Gọi M1 , M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó M1M2 nhỏ nhất. 12 Chứng minh: 2 2  2  M 1 M 2  MM 1  MM 2  2MM 1 .MM 2 . cos M  (2  .2 cos M ).MM 1 .MM 2  2  M 1 M 2  (2  2 cos M ) MM 1 .MM 2 (không đổi) (*) Mà MM1= MM2 nên dấu bằng (*) xảy ra khi đó M1M2 nhỏ nhất 16) Gọi M1 , M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổng MM1+ MM2 nhỏ nhất Chứng minh: Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên hai tiệm cận. Khi đó tích khoảng cách MM1.MM2 là một số không đổi. Mà MM1= MM2 Nên tổng hai khoảng cách đó MM1+ MM2 là nhỏ nhất.(đpcm) 17) Gọi M1 , M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó chu vi tam giác MM1M2 nhỏ nhất Chứng minh: Kết hợp tính chất 15 và 16 suy ra chu vi tam giác MM1M2 nhỏ nhất (đpcm) 18) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 nhỏ nhất.   Chứng minh: M 1 M 2 2  MM 1 2  MM 2 2  M 1 M 2 . cos M  (2  .2 cos M ).M 1 M 2  2  M 1 M 2  (2  2 cos I ) M 1 M 2 (*) Mà MM1= MM2 nên dấu bằng (*) xảy ra khi đó M1M2 nhỏ nhất. Mặt khác theo định lý sin áp dụng vào tam giác MM1M2 thì khi M1M2 nhỏ nhất và góc M1MM2 không đổi suy ra bán kính hình tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 nhỏ nhất nên diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 nhỏ nhất. (đpcm) 19) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MM 1M2 lớn nhất (Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất) Chứng minh: Ta có S MM M  pr , mà S MM M không đổi . Mặt khác theo tính chất 17 chu vi p của tam giác MM1M2 nhỏ nhất nên r ( r bán kính đường tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác MM1M2 có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm). 1 2 1 13 2 20) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IM1M2nhỏ nhất (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) Chứng minh: Nhận thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác IM1M2( Vì tứ giác IM1 MM2 nội tiếp đường tròn) Mà theo tính chất 18 thì diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 nhỏ nhất vậy ta có (đpcm) 21) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M vuông góc với đường thẳng IM ( I là giao điểm của hai tiệm cận) Chứng minh: Ta có M là trung điểm của AB và M nằm trên phân giác góc AIB nên tam giác IAB cân tại I suy ra tiếp tuyến AB vuông góc với IM (đpcm) 22) Khoảng cách M đến tâm đối xứng I của (H) là nhỏ nhất so với các khoảng cách từ I đến một điểm khác trên (H) Chứng minh: Theo tính chất 21 thì IM vuông góc với tiếp tuyến AB. Các đoạn khác nối I với một điểm khác điểm M trên (H) là đường xiên nên IM là ngắn nhất (đpcm) 23) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổng các khoảng cách MM1+ MM2 + IM nhỏ nhất( I là giao điểm của hai đường tiệm cận) Chứng minh: Theo tính chất 16 và tính chất 22 ta có tổng MM1+ MM2 + IM nhỏ nhất 24) MN là đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của Hypebol Chứng minh: Theo tính chất 21 thì MN vuông góc với hai tiếp tuyến của (H) tại M và N. Các đoạn thẳng khác nối hai điểm trên hai nhánh của (H) là các đường xiên nên MN ngắn nhất (đpcm). 14 ====================== Sau đây là những bài tập mà khi giải ta áp dụng trực tiếp các tính chất trên Đ4/ Bài tâp 1. Cho hàm số y = MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ . x 1 .Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng x 1 khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất . Bài tập 2. Cho hàm số y = x2 ,từ điểm M trên đồ thị hàm số kẻ đường x 1 thẳng vuông góc với tiệm cân xiên và tiệm cận đứng lần lượt cắt tiệm xiên và tiệm cận đứng tại A và B . a. Chứng minh diện tích của tam giác ABM không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đồ thị. b. Tìm vị trí điểm M sao cho chu vi của tam giác ABM nhỏ nhất. Bài toán 3. Cho hàm số y= x2  x  2 . Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tiếp x 1 tuyến tại đó vuông góc với IM ( điểm I là giao điểm của hai tiệm cận). x2 Bài toán 4. Cho hàm số y = Tìm trên hai nhánh của đồ thị hàm số hai x 1 điểm M và N sao cho MN ngắn nhất. Bài tập 5. Cho họ hàm số y = x + 1 + m 1 (Cm) , (m là tham số và m  -1) x 1 Chứng minh rằng: Điểm M thuộc đồ thị hàm số thoả mãn một trong các điều kiện sau thì luôn nằm trên hai đường thẳng cố định khi m thay đổi . Viết phương trình hai đường thẳng cố đinh đó. a. Tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất. b. Hình bình hành AIBM có chu vi bé nhất(Hình bình hành AIBM thiết lập bằng cách từ M kẻ các đường thẳng song song với hai tiệm cân) c. Khoảng cách từ M đến giao điểm I của hai đường tiệm cận bé nhất d. Tiếp tuyến tại M vuông góc với IM (I là giao điểm của hai đường tiệm cận ). e. Chu vi tam giác ABM nhỏ nhất 15 Bài tập 6. Cho họ hàm số y = 2x  m2 x 1 , (m là tham số) . Chứng minh rằng: Điểm M thuộc đồ thị hàm số thoả mãn một trong các điều kiện sau thì luôn nằm trên hai đường thẳng cố định khi m thay đổi . Viết phương trình hai đường thẳng cố đinh đó. a. Tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất. b. Hình bình hành AIBM có chu vi bé nhất (Hình bình hành AIBM thiết lập bằng cách từ M kẻ các đường thẳng song song với hai tiệm cân) c. Khoảng cách từ M đến giao điểm I của hai đường tiệm cận bé nhất d. Tiếp tuyến tại M vuông góc với IM (I là giao điểm hai tiệm cận) e. Chu vi tam giác ABM nhỏ nhất. ================ KẾT KUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 24 tính chất giao điểm của Hypebol và đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận (có thể coi đây là 24 bài toán về cực tri). Với phát hiện này ta có thể đưa ra một cách giải chung cho tất cả các bài toán dạng:  Tìm trên đồ thị y = f(x) điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất ?  Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến điểm I (giao điểm hai đường tiệm cận ) ngắn nhất ?  Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ tiếp tuyến tại M đến điểm I ( giao điểm hai đường tiệm cận )lớn nhất... và còn nhiều bài toán tương tự khác nữa. Trong thực tế giảng dạy tôi đã truyền thụ phương pháp này cho các lớp học sinh và đã thu được một số kết quả đáng kể đó là học sinh có một cách nhìn đơn giản và tự tin hơn, đặc biệt các em đã không còn ngại hoặc lúng túng mà tìm ra đáp số bài toán nhanh và chính xác hơn khi gặp các bài toán dạng này. Tôi xin được giới thiệu với các thầy giáo và các em học sinh bài viết với nội dung : Những tính chất của giao điểm giữa Hypebol với đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận , với mong muốn giúp các em học sinh tự tin và chủ động hơn khi gặp bài toán dạng trên, và một mục đích nữa là muốn được cùng các đồng nghiệp trao đổi và mở rộng hơn nữa đề tài này Chắc chắn bài viết còn có chỗ khiếm khuyết, vì vậy tôi rất mong và chân thành cảm ơn sự góp ý của đọc giả và các đồng nghiệp ! 16 TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG Ngày 26/4/2013 Người viết Nguyễn Hồng Quang TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Giới thiệu các đề thi Đại học – Cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2012. 2/ Đề thi thử Đại học của các trường : THPT Hàm Rồng - ĐH Hồng Đức THPTC Lam Sơn – THPT Đào Duy Từ ... Các năm 2002 đến năm 2012. 3/ Các đề thi chọn HSG cấp tỉnh – Thanh Hoá từ năm 2002 đến năm 2012. 4/ Kết quả các bài kiểm tra chất lượng theo khối thi đại học của Trường THPT Hàm Rồng từ năm 2002 đến năm 2012 5/ Báo Toán Học Và Tuổi Trẻ các năm 2002 đến 2012. Nhân dịp hoàn thành bài viết này, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các tác giả của các tài liệu kể trên, đã cung cấp những số liệu quan trọng cho bài viết ! -------------------------------------------------------------------------------------------- MỤC LỤC Mục Trang Lời nói đầu Đ1/ Tính chất của giao điêm giữa Hypebol với đường phân giác góc hợp bởi hai đường tiệm cận của 2 17 3 Đ2/ Một số tính chất của đồ thị Hàm số y = số y= ax  b ( Hypebol) cx  d ax 2  bx  c và hàm Dx  E 4 Đ3/ Chứng minh các tính chất 9 Đ4/ Một số bài tập đề nghị Tài liệu tham khảo 15 16 18