Tài liệu Nhập môn đại số tuyến tính

Trường Đại học Thủy lợi Phạm Phú Triêm NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 0 Euclid Vào khoảng 365-275 TCN 1 Lời nói đầu Theo chương trình cải cách giáo dục của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội dung môn Đại số tuyến tính có sự thay đổi, bổ sung với mục tiêu nâng cao một bước chương trình giảng dạy Đại số tuyến tính trong các Trường Đại học Kỹ thuật. Việc cải cách đòi hỏi phải khẩn trương biên soạn một tài liệu phù hợp với môn học này, làm cơ sơ sở chuẩn bị bài giảng của giáo viên, đồng thời là tài liệu học tập thuận lợi cho sinh viên với nhiều bài tập có hướng dẫn cách giải được bổ sung. Với mục đích đó, Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy lợi và tác giả xin trân trọng giới thiệu giáo trình ” Nhập môn Đại số tuyến tính “ và vô cùng cảm ơn các ý kiến đóng góp quý giá của đồng nghiệp, độc giả. Hà nội 10-2004 2 MỤC LỤC Lời nói đầu ................................................................................................................................ 2 Chương I : TRƯỜNG SỐ PHỨC............................................................................................. 6 I- KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC............................................................................................... 6 1- Đặt vấn đề ..................................................................................................................... 6 2- Đơn vị ảo ....................................................................................................................... 6 3- Số phức.......................................................................................................................... 6 4- Số thuần ảo ................................................................................................................... 6 5- Hai số phức bằng nhau ................................................................................................ 6 6- Hai số phức liên hợp với nhau .................................................................................... 7 7- Biểu diễn số phức trên mặt phẳng.............................................................................. 7 8- Dạng lượng giác của số phức ...................................................................................... 7 II- CÁC PHÉP TÍNH ............................................................................................................. 9 1- Cộng và trừ 2 số phức.................................................................................................. 9 2- Nhân 2 số phức ........................................................................................................... 10 3- Chia số phức cho số phức .......................................................................................... 12 4- Căn bậc n của số phức ............................................................................................... 14 III- TRƯỜNG SỐ PHỨC..................................................................................................... 17 Kiểm tra nhận thức............................................................................................................... 23 Chương II : MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ........................................................................... 23 I- KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN ........................................................................................... 23 1- Ma trận cấp m.n......................................................................................................... 23 2- Ma trận không............................................................................................................ 23 3- Hai ma trận bằng nhau.............................................................................................. 23 4- Ma trận đối ................................................................................................................. 24 5- Ma trận chuyển vị ...................................................................................................... 24 6- Ma trận vuông ............................................................................................................ 25 7- Ma trận đơn vị............................................................................................................ 25 8- Ma trận đối xứng ....................................................................................................... 25 II- CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI MA TRẬN........................................................................ 26 1- Cộng và trừ 2 ma trận cùng cấp ............................................................................... 26 2- Nhân ma trận với một số ........................................................................................... 27 3- Nhân 2 ma trận với nhau........................................................................................... 28 III- ĐỊNH THỨC ................................................................................................................. 29 1- Định thức cấp 2 .......................................................................................................... 29 2- Định thức cấp 3 .......................................................................................................... 29 3- Định thức cấp n .......................................................................................................... 31 4- Định lý Laplace .......................................................................................................... 32 5- Tính chất ..................................................................................................................... 39 IV- MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CỦA MA TRẬN VUÔNG............................................... 43 1- Định nghĩa................................................................................................................... 43 2- Tính chất ..................................................................................................................... 44 3- Quy tắc tính ................................................................................................................ 45 V- HẠNG CỦA MA TRẬN ................................................................................................ 48 1- Định nghĩa................................................................................................................... 48 2- Quy tắc tìm hạng của ma trận .................................................................................. 50 3 Kiểm tra nhận thức ............................................................................................................... 59 Chương III: KHÔNG GIAN VECTƠ.................................................................................... 60 I- VECTƠ N- CHIỀU ......................................................................................................... 60 1- Khái niệm.................................................................................................................... 60 2- Sự phụ thuộc tuyến tính của hệ các vectơ................................................................ 60 3- Hạng của hệ vectơ ...................................................................................................... 64 II- KHÔNG GIAN VECTƠ N- CHIỀU.............................................................................. 66 1- Khái niệm.................................................................................................................... 66 2- Biến đổi toạ độ của vectơ........................................................................................... 69 III- ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ............................................................................................... 72 1- Khái niệm.................................................................................................................... 72 2- Dạng ma trận của một ánh xạ tuyến tính ................................................................ 73 3- Ma trận đồng dạng..................................................................................................... 74 IV- KHÔNG GIAN VECTƠ................................................................................................ 76 1- Khái niệm.................................................................................................................... 76 2- Không gian con........................................................................................................... 78 Kiểm tra nhận thức............................................................................................................... 90 Chương IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH............................................................. 91 I- KHÁI NIỆM ..................................................................................................................... 91 1- Hệ phương trình tuyến tính ...................................................................................... 91 2- Hệ thuần nhất............................................................................................................. 92 II- ĐỊNH LÝ......................................................................................................................... 92 III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI .................................................................................................. 98 1- Phương pháp ma trận nghịch đảo............................................................................ 98 2- Phương pháp Cramer.............................................................................................. 102 3- Phương pháp Gauss ................................................................................................. 108 Kiểm tra nhận thức............................................................................................................. 114 Chương V : VECTƠ RIÊNG - GIÁ TRỊ RIÊNG DẠNG SONG TUYẾN - DẠNG TOÀN PHƯƠNG .............................................................................................................................. 115 I- VECTƠ RIÊNG - GIÁ TRỊ RIÊNG............................................................................... 115 1- Định nghĩa................................................................................................................. 115 2- Định lý ....................................................................................................................... 116 V U C ....................... 118 II- DẠNG SONG TUYẾN 1- Định nghĩa C F(V,U) ............ 118 2- Ma trận của dạng song tuyến.................................................................................. 120 III- DẠNG TOÀN PHƯƠNG ............................................................................................ 123 1- Định nghĩa................................................................................................................. 123 2- Tính xác định của dạng toàn phương .................................................................... 124 3- Dạng chính tắc của dạng toàn phương .................................................................. 125 4- Phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc...................................... 125 5- Luật quán tính.......................................................................................................... 132 IV- ĐƯỜNG BẬC HAI - MẶT BẬC HAI........................................................................ 132 1- Đường bậc hai .......................................................................................................... 133 2- Mặt bậc hai ............................................................................................................... 134 Kiểm tra nhận thức ............................................................................................................. 141 Chương VI: KHÔNG GIAN EUCLID - KHÔNG GIAN UNITA .................................... 142 I- KHÁI NIỆM ................................................................................................................... 142 1- Không gian Euclid.................................................................................................... 142 2- Không gian Unita ..................................................................................................... 142 3- Độ dài của vectơ trong không gian Euclid............................................................. 143 4 4- Góc giữa 2 vectơ trong không gian Euclid............................................................. 143 5- Hai vectơ vuông góc với nhau trong không gian Euclid...................................... 143 II- CƠ SỞ TRỰC CHUẨN ................................................................................................ 147 1- Hình chiếu vuông góc............................................................................................... 147 2- Cơ sở trực chuẩn ...................................................................................................... 151 3- Phần bù trực giao..................................................................................................... 153 Kiểm tra nhận thức ............................................................................................................. 158 5 Chương I : TRƯỜNG SỐ PHỨC I- KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC 1- Đặt vấn đề Trong thực tế có nhiều bài toán dẫn đến phương trình không có nghiệm thực, chẳng hạn x2 + 1 = 0 (1.1.1) Vì vậy chúng ta cần mở rộng khái niệm về số, từ tập hợp các số thực ra tập hợp các số có tính chất tổng quát hơn - đó là tập hợp các số phức, mà chúng ta sẽ đề cập sau đây. 2- Đơn vị ảo Đơn vị ảo, được ký hiệu là i, là một số thoả mãn điều kiện i2=–1 (1.1.2) Lúc này phương trình (1.1.1) được giải như sau x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = – 1 ⇔ x = ± −1 ⇔ x = ± i 2 ⇔ x = ± i 3- Số phức Số phức Z là một số được biểu diễn dưới dạng Z = a + ib ; a , b ∈ Ρ - Tập hợp các số thực (1.1.3) trong đó a được gọi là phần thực của số phức Z và được ký hiệu a = ReZ (1.1.4) còn b được gọi là phần ảo của số phức Z và được ký hiệu b = ImZ (1.1.5) Ví dụ 1 1) Z = 1 – 2i ⇔ ReZ = 1, ImZ = – 2 2) Z = – 0,5 + i ⇔ ReZ = – 0,5 , ImZ = 1 4- Số thuần ảo Số thuần ảo là số phức có dạng Z = ib (a = 0) Số thực Z = a là trường hợp riêng của số phức Z = a + ib khi b = 0. Như vậy Ρ ⊂ Χ - Tập hợp các số phức. (Tập hợp các số thực là tập con của Tập hợp các số phức) Ví dụ 2 Z = – i , Z = 3i là các số thuần ảo. 5- Hai số phức bằng nhau Hai số phức bằng nhau là hai số phức có phần thực tương ứng bằng nhau, phần ảo tương ứng bằng nhau. Như vậy với hai số phức Z 1 = a 1 + ib 1 , Z 2 = a 2 + ib 2 ; a 1, b 1, a 2, b 2 ∈ Ρ ⎧a1 = a2 Z1 = Z2 ⇔ ⎨ (1.1.6) ⎩b1 = b2 Ví dụ 3 1) Z 1 = 1 – 2i, Z 2 = 1 + i, Z 3 = – 2i, Z 4 = 3 – i ⇒ Z 1 ≠ Z 2 ≠ Z 3 ≠ Z 4 ⎧Z ⎪ = − 0,5 + i ⎪⎩Z = x + i 2) ⎨Z = − 0,5 + iy ; x , y∈ Ρ ⇒ ⎧x ⎨ ⎩y = − 0,5 = 1 Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau ta có 6 Z = a + ib ≠ 0 ⇔ a2 + b2 > 0 (1.1.7) ( 0 = 0 +i.0) 6- Hai số phức liên hợp với nhau Hai số phức liên hợp với nhau là hai số phức có phần thực tương ứng bằng nhau, phần ảo tương ứng đối dấu với nhau. Như vậy số phức liên hợp với số phức Z = a +ib, ký hiệu là Z , sẽ là Z = a – ib. Ví dụ 4 1) Z = 1 – 2i ⇔ Z = 1 + 2i 2) Z = – 0,5 + i ⇔ Z = – 0,5 – i 3) Z = 4 ⇔ Z = 4 4) Z = – i ⇔ Z = i Dễ dàng nhận thấy Z =Z (1.1.8) (1.1.9) Z∈Ρ⇔ Z=Z 7- Biểu diễn số phức trên mặt phẳng Cho hệ trục toạ độ vuông góc x0y. Cho số phức Z = a + ib. y Trục ảo Trên trục 0x xác định một điểm có hoành độ bằng a. b M Trên trục 0y xác định một điểm có tung độ bằng b. Như vậy ta hoàn toàn xác định được một điểm M(a;b). Trục thực Ngược lại, từ một điểm M(a,b) ta xác định được một 0 a x số phức tương ứng Z = a + ib. Vì vậy trục 0x còn gọi là Trục thực (tương ứng với phần thực a của số phức Z), trục 0y còn gọi là Trục ảo(tương ứng với phần ảo b của số phức Z). Mặt phẳng x0y còn gọi là Mặt phẳng phức. Ví dụ 5 y Trục ảo 1) Z 1 = 1 – 2i ⇔ M 1(1 ; – 2) M2 1 1 4 Trục thực 2) M 2(– 2 ; 1) ⇔ Z 2 = – 2 + I 3) Z 3 = 4 ⇔ M 3(4 ; 0) – 2 – 1 M4 M3 x –2 M1 4) M 4(0 ; – 1) ⇔ Z 4 = – i 8- Dạng lượng giác của số phức Trước tiên ta biểu diễn số phức Z = a + ib trên mặt phẳng. Bán kính vectơ OM được gọi là Môđun của số phức Z và ký hiệu y Trục ảo ⎜Z⎜≡ r = OM (1.1.10) M Góc tạo bởi OM với phần dương trục 0x được gọi là b Argument của số phức Z và ký hiệu ArgZ. Như vậy r ϕ x ArgZ = ϕ + 2kπ ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (1.1.11) 0 aTrục thực Từ hình vẽ ta thấy ⎧a ⎨ ⎩b = rcosϕ = rsinϕ . (1.1.12) Cho nên Z = a + ib = rcosϕ + irsinϕ . Vậy ta có cách biểu diễn số phức Z dưới dạng lượng giác như sau Z = r(cosϕ + i sinϕ) (1.1.13) Dễ dàng nhận thấy 7 Z≠0⇔r>0 (1.1.14) (0 = 0(cosϕ + i sinϕ )) r1(cosϕ1 + i sinϕ1) = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) ⇔ (1.1.15) Ngược lại, ta sẽ tìm được r và ϕ khi đã cho số phức Z = a + ib, theo công thức ⎧r = a 2 + b 2 ⎪ ⎨ b ⎪tgϕ = , a ≠ 0 ⎩ a (1.1.16) ở đây góc ϕ phải chọn sao cho b và sinϕ cùng dấu. Dạng lượng giác tổng quát của số phức Z là Z = ⎜Z⎜[cos(ArgZ) + i.sin(ArgZ)] (1.1.17) Ví dụ 6 1) Hãy biểu diễn Z = 1 + i 3 dưới dạng lượng giác. Giải r= 2 a +b tgϕ = b tgϕ = b a a = = = 2 3 1 3 1 2 1 + ( 3) 2 =2 = 3 ⇒ ϕ1= π = 3 ⇒ ϕ1= π 3 3 Trục sin ,ϕ2=ϕ1+π= 4π ,ϕ2=ϕ1+π= 4π 3 Trục tang ϕ1 3 0 3 Trên trục tang xác định một điểm ứng với 3 . . ϕ2 Nối điểm này với gốc 0 cắt vòng tròn lượng giác tại 2 điểm ứng với ϕ 1, ϕ 2 Ta chọn ϕ 1 vì sinϕ 1 = ⎡ ⎣ Vậy Z = 2 ⎢cos ⎛⎜ π ⎝3 ⎞ ⎠ 3 2 > 0 cùng dấu với b = ⎛π ⎝3 + 2 kπ ⎟ + i sin s ⎜ ⎞⎤ ⎠⎥⎦ b a = 1 −1 = −1 > 0. ; k=0,±1,±2,... + 2 kπ ⎟ 2) Hãy biểu diễn Z = 1 – i dưới dạng lượng giác. Giải r = a 2 + b 2 = 12 + ( −1) 2 = 2 tgϕ = 3 Trục sin ϕ2 ⇒ ϕ 1 = arctg(– 1) , ϕ 2 = ϕ 1 + π 0 Trục tang ϕ1 Vẽ vòng tròn lượng giác. -1 Trên trục tang xác định một điểm ứng với – 1. Nối điểm này với gốc 0 cắt –1 vòng tròn lượng giác tại 2 điểm ứng với ϕ 1, ϕ 2. Ta chọn ϕ 1 vì sinϕ 1 < 0 cùng dấu với b = – 1 < 0. Vậy Z = 2 [cos(ϕ 1+ 2kπ ) + i sin(ϕ 1+ 2kπ )] ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . 3) Khi Z = a , a ∈ Ρ . Nếu a > 0 thì r = a và ϕ = 0 ( điểm M tương ứng nằm trên phần dương trục 0x). Z = a[cos(2kπ) + i sin(2kπ)] ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (1.1.18) Chẳng hạn, dạng lượng giác của Z = 3,1 là Z = 3,1[cos(2kπ ) + i sin(2kπ )] ; k=0,±1,±2,... 8 Nếu a < 0 thì r = – a và ϕ = π ( điểm M tương ứng nằm trên phần âm trục 0x). Z = – a[cos(π + 2kπ ) + i sin(π + 2kπ )] ; k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (1.1.19) Chẳng hạn, dạng lượng giác của Z = – 2 là Z = 2[cos(π + 2kπ ) + i sin(π + 2kπ )] ; k=0,±1,±2,... 4) Khi Z = ib , b ≠ 0 . Nếu b > 0 thì r = b và ϕ = π 2 (điểm M tương ứng nằm trên phần dương trục 0y). ⎡ ⎣ ⎞⎤ ; k=0,±1,±2,... ⎝2 ⎠⎥⎦ π π ⎡ Chẳng hạn, dạng lượng giác của Z = 4,5i là Z = 4,5 ⎢cos ⎛⎜ + 2kπ ⎞⎟ + i sin ⎛⎜ ⎠ ⎝2 ⎣ ⎝2 Z = b ⎢cos ⎛⎜ π ⎞ ⎠ ⎛π ⎝2 + 2 kπ ⎟ + i sin ⎜ (1.1.20) + 2 kπ ⎟ ⎞⎤ ;k = ⎠⎥⎦ + 2 kπ ⎟ 0,±1,±2,... π Nếu b < 0 thì r = – b và ϕ = – (điểm M tương ứng nằm trên phần âm trục 0y). 2 ⎡ ⎣ ⎞⎤ ; k=0,±1,±2,... 2 ⎝ 2 ⎠⎥⎦ π π ⎡ Chẳng hạn, dạng lượng giác của Z = – i là Z = 1 ⎢cos ⎛⎜ − + 2kπ ⎞⎟ + i sin ⎛⎜ − ⎠ ⎝ 2 ⎣ ⎝ 2 Z = – b ⎢cos ⎛⎜ − π ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ + 2 kπ ⎟ + i sin ⎜ − π + 2 kπ ⎟ (1.1.21) ⎞⎤ ;k=0 ⎠⎥⎦ + 2 kπ ⎟ ,±1,±2,... Dễ dàng nhận thấy (1.1.22) (1.1.23) Z =Z Arg Z = – ArgZ II- CÁC PHÉP TÍNH 1- Cộng và trừ 2 số phức a- Định nghĩa Tổng (hoặc Hiệu) của 2 số phức Z1, Z2, ký hiệu Z 1 + Z 2 (hoặc Z 1 – Z 2), là một số phức có phần thực bằng tổng (hoặc hiệu) phần thực tương ứng, phần ảo bằng tổng (hoặc hiệu) phần ảo tương ứng. Như vậy với hai số phức Z 1 = a 1 + ib 1 , Z 2 = a 2 + ib 2 ; a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ∈ Ρ ta có Z 1 ± Z 2 = (a 1 ± a 2 ) + i(b 1 ± b 2 ) (1.2.1) Ví dụ 7 Hãy tính tổng và hiệu của 2 số phức sau đây Z1 = 1 + 2i, Z2 = – 2 + i. Giải Z 1 + Z 2 = (1 – 2 ) + i( 2 + 1 ) = – 1 + 3i Z 1 – Z 2 = (1 + 2 ) + i( 2 – 1 ) = 3 + i Z 2 + Z 1 = (– 2 + 1 ) + i(1 + 2 ) = – 1 + 3i Z 2 – Z 1 = (– 2 – 1 ) + i(1 – 2 ) = – 3 – i b- Biểu diễn hình học y Trục ảo * Biểu diễn 2 số phức bằng các điểm tương ứng 9 M3 Z 1 = a 1 + ib 1 ⇔ M 1(a1 ; b1 ) M2 Z 2 = a 2 + ib 2 ⇔ M 2 (a2 ; b2 ) M1 * Áp dụng biểu diễn hình học phép cộng, trừ 2 vectơ Z1 + Z2 ⇔ M 3( a1 + a2 ; b 1 + b2 ) Trục thực M3 là đỉnh đối diện với 0 của hình bình hành 0M1M3M2 0 M4 x Z1 – Z2 ⇔ M 4( a1 – a2 ; b 1 – b2 ) M4 là đỉnh của hình bình hành 0M2M1M4 mà M1 là đỉnh đối diện với 0. Ví dụ 8 Hãy biểu diễn hình học tổng và hiệu của 2 số phức sau đây Z1 = 1 + 2i, Z2 = – 2 + i. Giải * Biểu diễn hình học của Z1 , Z2 : Z1 = 1 + 2i ⇔ M 1(1 ; 2) Z2 = – 2 + i ⇔ M 2(– 2 ; 1) . * Biểu diễn hình học của Z1 + Z2 , Z1 – Z2 : y Trục ảo M3 Z 1 + Z 2 = –1 + 3i ⇔ M 3 (– 1 , 3 ) Z1 – Z2 = 3 + i ⇔ M 4( 3 , 1 ) 3 c- Tính chất 2 M1 M2 M4 1* Giao hoán: Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ M4 2* Kết hợp: (Z 1 + Z 2) + Z3 = Z 1 + (Z 2 + Z3) = -2 -1 0 1 3 Z 1 + Z 2 + Z3 ∀ Z 1 , Z 2 , Z3 ∈ Χ 3* Với số không 0 ∈ Χ: Z + 0 = 0 + Z ; ∀ Z ∈ Χ 4* Số đối của số phức Z = a + ib , ký hiệu là – Z , là số phức thoả mãn điều kiện Z + (– Z ) = (– Z ) + Z = Z – Z = 0 ; ∀ Z ∈ Χ Dễ dàng nhận thấy – Z = – a – ib (1.2.2) −Z = Z (1.2.3) – (– Z) = Z . (1.2.4) Arg(– Z) = ArgZ + π (1.2.5) 5* Bất đẳng thức tam giác: Z1 ± Z 2 ≤ Z1 + Z 2 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ 6* Z + Z = 2ReZ ; ∀ Z ∈ Χ 7* Z1 ± Z 2 = Z1 ± Z 2 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ 8* – (Z1 ± Z2) = – Z1 m Z2 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ 2- Nhân 2 số phức a- Định nghĩa Tích của 2 số phức Z 1, Z 2, ký hiệu Z 1Z 2, là một số phức thu được như nhân 2 nhị thức, với chú ý là i 2 =– 1 Như vậy với hai số phức Z 1 = a 1 + ib 1 , Z 2 = a 2 + ib 2 ; a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ∈ Ρ ta có Z 1Z 2 = (a 1 + ib 1)( a 2 + ib 2) = a 1a 2 + ia 1b 2 + ia 2b 1 + i2b 1b 2 = a 1a 2 + i(a 1b 2 + a 2b 1) – b 1b 2 Cuối cùng ta được Z 1Z 2 = (a 1a 2 – b 1b 2) + i(a 1b 2 + a 2b 1) (1.2.6) 10 Ví dụ 9 Hãy tìm tích của 2 số phức sau đây Z1 = 1 + 2i , Z2 = – 2 + i. Giải Z 1Z 2 = (1 + 2i)( – 2 + i) = 1.( – 2) + i.1.1 + i.2. (– 2) + i2.2.1 = – 2 + i(1 – 4) – 2 = – 4 – 3i b- Dạng lượng giác Giả sử 2 số phức Z 1, Z 2 đã cho dưới dạng lượng giác: Z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) , Z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) . Lúc ấy Z 1Z 2 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) r2(cosϕ2 + i sinϕ2) = r1r2(cosϕ1cosϕ2 + icosϕ1sinϕ2 + i cosϕ2sinϕ1 + i2 sinϕ1sinϕ2) = r1r2[(cosϕ1cosϕ2 – sinϕ1sinϕ2) + i(cosϕ1sinϕ2 + cosϕ2sinϕ1)] Cuối cùng ta có Z 1Z 2 = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)] (1.2.7) Như vậy, Tích 2 số phức dưới dạng lượng giác là một số phức dưới dạng lượng giác có:Môđun bằng tích 2 Môđun tương ứng và Argument bằng tổng 2 Argument tương ứng. Từ đó ta thu được Công thức Moivre sau đây [r(cosϕ + isinϕ)]n = r n(cosnϕ + isinnϕ) (1.2.8) Chú ý Công thức Moivre đúng cho n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . với r > 0. (Hiển nhiên Công thức Moivre vẫn đúng cho n = 0 , 1 , 2 , . . . với r = 0) Ví dụ 10 Tìm tích 2 số phức sau đây dưới dạng lượng giác Z1 = 2 + i 2 , Z2 = ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎝ 3 cos ⎜ − ⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎟ + i sin ⎜ − ⎟⎥ 3⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ π Giải * Biểu diễn Z 1 dưới dạng lượng giác ⎡ Z1 = 2 ⎢ ⎣ 2 2 +i 2⎤ 2 ⎡ π ⎥ = 2 ⎢cos 4 ⎣ ⎦ + i sin π⎤ 4⎥ ⎦ * Ta tính được Z 1Z 2 = 2 2 ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎝ 3 cos ⎜ − ⎡ ⎢ ⎣ ⎛π ⎝4 3 cos ⎜ − ⎞ ⎛π ⎟ + i sin ⎜ 3⎠ ⎝4 π − ⎞⎤ ⎟⎥ = 3 ⎠⎦ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎟ + i sin ⎜ − ⎟⎥ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠⎦ π * Hơn nữa, theo cụng thức Moivre ta cú ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ Z 14 = 2 4 ⎢cos ⎜ 4. ⎟ + i sin ⎜ 4. ⎟⎥ = 16(cosπ + isinπ) = – 16 ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 4⎠ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ Z 1− 6 = 2 - 6 ⎢cos ⎜ −6. ⎟ + i sin ⎜ −6. ⎟⎥ = ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 4⎠ ⎡ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞⎤ 1 cos ⎜ − + i sin ⎜ − ⎟ ⎟ = ⎢ 64 ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎥⎦ 64 1 c- Tính chất 11 1* Giao hoán: Z 1Z 2 = Z 2Z 1 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ 2* Kết hợp: (Z 1Z 2)Z 3 = Z1(Z 2Z 3) = Z1Z 2Z 3 ; ∀ Z 1 , Z 2, Z 3∈ Χ 3* Phân phối với phép cộng 2 số phức: (Z 1 ± Z 2)Z 3 = Z 1Z 3 ± Z 2Z 3 ; ∀ Z 1 , Z2, Z3∈ Χ 4* Với số một 1 ∈ Χ (1 = 1 + i.0): Z.1 = 1.Z = Z ; ∀ Z ∈ Χ 5* Số phức nghịch đảo của số phức Z = a + ib ≠ 0 , ký hiệu là Z- 1 , là số phức thoả mãn điều kiện: Z Z – 1 = Z – 1Z = 1 ; ∀ Z ≠ 0 , Z ∈ Χ (1.2.9) Dễ dàng nhận thấy Z = a + ib ≠ 0 ⇔ Z – 1 = (Z – 1) – 1 = Z (Z 1Z 2) – 1 = Z 1– 1Z 2– 1 Z −1 = 1 a 2 a +b 2 −i b 2 a +b 2 (1.2.10) (1.2.11) (1.2.12) . Z (1.2.13) Arg Z – 1 = – Arg Z 6* Z1Z 2 = Z1 .Z 2 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ 7* Với Z = a + ib ta có: Z (−Z ) = Z Z = Z 2 (1.2.14) 2 = a +b (1.2.15) 2 3- Chia số phức cho số phức a- Định nghĩa Z1 Thương của 2 số phức Z 1, Z 2 , ký hiệu Z1 Z2 có .Z 2 = Z2. Z1 Z2 (khi Z2 ≠ 0), là một số phức thỏa mãn Z2 = Z1 (1.2.16) Như vậy với hai số phức Z 1 = a 1 + ib 1, Z 2 = a 2 + ib 2 ≠ 0; a 1, b 1, a 2, b 2 ∈ Ρ ta Z1 Z2 = a1a2 + b1b2 2 a2 2 + b2 +i − a1b2 + a2 b1 2 (1.2.17) 2 a2 + b2 Dễ dàng kiểm tra lại Z1 Z2 .Z2 = a 1 + ib 1 = Z 1 Công thức (1.2.17) rất khó nhớ. Khi thực hành, để tìm với Z 2 . Thật vậy Z1 Z2 = Z1 Z 2 = Z2 Z2 ( a1 + ib1 )( a2 − ib2 ) = 2 2 2 2 a2 2 + b2 . Dễ dàng nhận thấy x + iy = x − iy 2 x +y 2 Z2 a1a2 − ia1b2 + ia2 b1 − i b1b2 a2 + b2 1 Z1 ; x, y ∈Ρ Ví dụ 11 12 , x2 + y2 > 0 ta nhân cả tử và mẫu = a1a2 + b1b2 2 a2 2 + b2 +i − a1b2 + a2 b1 2 2 a2 + b2 Tìm thương Z1 Z2 của 2 số phức Z 1 = 1 – 2i, Z 2 = 2 + i. Giải Z1 Z1 Z 2 = Z2 = Z2 Z2 (1 − 2i )( 2 − i ) = (1 − 2i )( 2 − i ) = – i 2 2 2 2 2 +1 2 +1 b- Dạng lượng giác Giả sử 2 số phức Z 1, Z 2 đó cho dưới dạng lượng giác: Z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1), Z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) ≠ 0 Nếu ta đặt Z1 Z2 = r(cosϕ + i sinϕ) thì Z1 = Z1 Z2 .Z 2 = r.r2[cos(ϕ + ϕ2) + isin(ϕ + ϕ2)] Vì Z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) cho nên r.r2 = r 1 ⇒ r = r1 r2 ; ϕ + ϕ2 = ϕ1 ⇒ ϕ = ϕ1 – ϕ2 Vậy Z1 Z2 = r1 r2 [cos(ϕ 1 – ϕ2) + isin(ϕ 1 – ϕ2)] (1.2.18) Như vậy dưới dạng lượng giác, Thương của 2 số phức là một số phức có Mụđun bằng thương Mụđun của số phức tử số cho Mụđun của số phức mẫu Argument bằng hiệu Argument của số phức tử số cho Argument của số phức mẫu số Ví dụ 12 Tìm thương Z1 Z2 của 2 số phức sau đây dưới dạng lượng giác Z1 = 2 ⎡⎢cos ⎣ π 4 + i sin ⎡ ⎢ ⎣ π⎤ , Z2 = 4⎥ ⎦ ⎛ ⎝ 3 cos ⎜ − ⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎟ + i sin ⎜ − ⎟⎥ 3⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ π .Giải Z1 Z2 = 2 3 ⎡ ⎛π ⎢cos ⎜⎝ 4 ⎣ + ⎞ ⎛π ⎟ + i sin ⎜ 3⎠ ⎝4 π c- Tính chất 1* Z – 1 = ⎛Z ⎞ 2* ⎜ 1 ⎟ ⎝ Z2 ⎠ 3* −1 Z1 ± Z 2 Z3 = = 1 , ∀ Z ∈ Χ, Z ≠ 0 Z Z2 Z1 Z1 Z3 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ, Z 1 ≠ 0, Z 2 ≠ 0 ± Z2 Z3 ; ∀ Z 1 , Z 2 , Z 3 ∈ Χ, Z 3 ≠ 0 13 + ⎞⎤ ⎟⎥ = 3 ⎠⎦ π 2 3 ⎡ 7π ⎢⎣cos 12 + i sin 7π ⎤ 12 ⎥ ⎦ 4* 5* Z1 = Z2 Z1 Z3 Z1Z 3 = Z2 ⇔ Z 1Z 4 = Z 2 Z 3 ; ∀ Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 ∈ Χ, Z 2 ≠ 0, Z 4 ≠ 0 Z4 ; ∀ Z 1, Z 2, Z 3 ∈ Χ, Z 2 ≠ 0, Z 3 ≠ 0 Z2 Z3 6* − Z1 Z2 = ⎛Z ⎞ Z1 −Z2 7* ⎜ 1 ⎟ = Z ⎝ 2 ⎠ =− Z1 Z1 Z2 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ, Z 2 ≠ 0 ; ∀ Z 1 , Z 2 ∈ Χ, Z 2 ≠ 0 Z2 4- Căn bậc n của số phức a- Định nghĩa Căn bậc n của số phức Z, ký hiệu là n Z ( Z) = Z , là một số phức thỏa mãn điều kiện n n (1.2.19) b- Dạng lượng giác Giả sử dưới dạng lượng giác Z = r(cosϕ + i sinϕ), n Z = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) Lúc này r(cosϕ + i sinϕ) = [r1(cosϕ1 + i sinϕ1)]n = r1n(cosnϕ1 + i sinnϕ1) Vì vậy r1n = r ⇔ r1 = n r ϕ + 2kπ ; nϕ1 = ϕ + 2kπ ⇔ ϕ1 = n ;k=0,±1,±2,... Cuối cùng ta được n Z = n ⎡ ϕ ⎢⎣cos r + 2 kπ n + i sin ϕ + 2 kπ ⎤ ⎥⎦ ; k = 0, ± 1, ± 2 , . . . n Thu gọn lại, ta có công thức cho n giá trị khác nhau của căn bậc n của số phức Z: n Z = n r ⎡ ϕ ⎢⎣cos + 2 kπ n + i sin ϕ + 2 kπ ⎤ ⎥⎦ ; k = 0, 1, . . . ,n – 1 n Ví dụ 13 1) Tìm 3 1 + i . Giải * Biểu diễn 1 + i dưới dạng lượng giác r = tgϕ = b 1 = =1 a 1 ⇒ ϕ1= π 4 (1.2.20) Trục sin 2 2 2 2 a + b = 1 +1 = 2 ,ϕ2=ϕ1+π= 5π 4 1 Trục tang ϕ1 . 0 ϕ2 Vẽ vòng tròn lượng giác. Trên trục tang xác định một điểm ứng với 1. Nối điểm này với gốc 0 cắt vòng tròn lượng giác tại 2 điểm ứng với ϕ 1 ,ϕ 2. Ta chọn ϕ 1 vì sinϕ 1 = 2 2 > 0 cùng dấu với b = 1 > 0. Vậy 1+i= ⎡ ⎢⎣ 2 cos π 4 + i sin * Áp dụng công thức (1.2.20) 14 π⎤ 4⎥ ⎦ 3 1+i = 3 ⎛ π 2 ⎜ cos ⎝ 4 ⎞ ⎟ 4⎠ π + i sin = 3 ⎛ π + 2 kπ ⎜ 2 ⎜ cos 4 3 ⎜ ⎝ π + i sin 4 + 2 kπ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ k = 0, 1, 2 (vì n – 1 = 3 – 1 = 2) Như vây 3 1+i có ba giá trị khác nhau k = 0: 6 ⎡ ⎢⎣ 2 cos ⎛ π ⎜ k = 1: 6 2 ⎜ cos 4 ⎜ ⎝ ⎛ π ⎜ k = 2: 6 2 ⎜ cos 4 ⎜ ⎝ 2) Tìm Giải 1− i 3) Tính Giải 5 1−i 3 12 + i sin ⎤ 12 ⎥ ⎦ π ⎞ ⎟ 6 ⎛ 9π 9π ⎞ + i sin 4 ⎟ = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ 3 3 12 ⎠ ⎝ 12 ⎟ ⎠ π ⎞ + 2.2π + 2.2π ⎟ 6 ⎛ 17π 17π ⎞ + i sin 4 + i sin ⎟ ⎟ = 2 ⎜ cos 3 3 12 12 ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ π + 2π + 2π . 1− i – 1 = 1) Như vậy π = ⎛ 2⎜ 2 −i 2⎞ ⎡ ⎢ ⎣ ⎟ = ⎠ 2 ⎝ 2 π ⎛ − + 2 kπ ⎜ = 4 2 ⎜ cos 4 2 ⎜ ⎝ ⎛ ⎝ 2 cos ⎜ − − + i sin π 4 ⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎟ + i sin ⎜ − ⎟⎥ 4⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ π + 2 kπ 2 ⎞ ⎟ ⎟ , k = 0, 1 (vì n – 1 = 2 ⎟ ⎠ có hai giá trị khác nhau k = 0: 4 ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ 2 ⎢cos⎜ − ⎟+i sin ⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ 8 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 8⎠ k = 1: 4 π π ⎡ ⎤ − + 2π ⎥ ⎢ − + 2π 7π 7π ⎤ 4 ⎡ 2 ⎢cos 4 +i sin 4 ⎥ = 2 ⎢cos +i sin ⎥ . 2 2 8 8 ⎦ ⎣ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 5 3 = 5 2 kπ 2 kπ ⎞ ⎛ 5 +i sin 3(cos 0 + i sin 0) = 3 ⎜ cos ⎟ 5 5 ⎠ ⎝ k = 0, 1, 2, 3, 4 (vì n – 1 = 5 – 1 = 4) 4) Tính Giải 8 −2i . ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ 8 −2i = 8 2 cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ = ⎢ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎥⎦ ⎣ 15 π ⎛ − ⎜ 8 2 ⎜ cos 2 ⎜ ⎝ + 2 kπ 8 − + i sin π 2 + 2 kπ 8 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ k = 0, 1, . . . ,7 (vì n – 1 = 8 – 1 = 7) Chú ý 1) Khi tìm Z = a + ib ta có thể thực hiện bằng cách khác như sau Tìm c, d ∈ R thoả mãn a + ib = c + id. Thật vậy, bình phương 2 vế ta được a + ib = (c + id)2 = c2 +2icd + i2d2 . ⎧ Giải hệ ⎨c 2 ⎩2cd a + ib = 2 −d = a ta sẽ tìm được c, d và như vậy =b ⎛ ±⎜ ⎜ ⎝ ⎛ a + ib = ± ⎜ ⎜ ⎝ 2 2 a +b +a 2 2 2 +i 2 a +b +a 2 2 2 2 −i ⎞ ⎟ , khi b ≥ 0 ⎟ ⎠ −a ⎞ ⎟ , khi b < 0 ⎟ ⎠ a +b −a a +b 2 2 (1.2.21) (1.2.22) Ví dụ 14 Tìm 1 + i . Giải Vì b = 1 > 0 cho nên theo công thức (1.2.21) ta tìm được 2 giá trị khác nhau của 1+ i 1+ i ⎛ = ±⎜ ⎜ ⎝ 2 2 1 +1 +1 2 1 +1 −1 ⎞ 2 +i 2 2 ⎛ ⎟ = ±⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 +1 2 +i 2 −1 ⎞ 2 ⎟⎟ ⎠ 2) Khi giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta vẫn sử dụng công thức nghiệm x1,2 = 2 −b ± b − 4 ac 2a Ví dụ 15 1) Giải phương trình x2 + 2x + 3 = 0. Giải Ta có 2 nghiệm x1,2 = 2 −2 ± 2 − 4.1.3 2.1 =–1± −2 =–1±i −2 2) Giải phương trình x2 – 2x + 3 = 0. Giải Ta có 2 nghiệm x1,2 = 2 2 ± ( −2) − 4.1.3 2.1 = 1± −2 = 1± i 2 3) Giải phương trình (1 + i)x2 – 2ix + 3 = 0 . Giải x1,2 = Trước tiên ta tìm −4 − 3i 2 2i ± ( −2i ) − 4.(1 + i ).3 2.(1 + i ) = i ± −4 − 3i 1+ i với b = – 3 < 0 theo công thức (1.2.22) 16 −4 − 3i =± ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ( −4)2 + ( −3)2 +( −4) −i 2 ⎞ ⎛ 1 ( −4)2 +( −3) 2 −( −4) ⎟ 9⎞ ⎟ = ± ⎜ 2 −i 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎟ ⎠ Vậy x1,2 = i± i ± −4 − 3i = 1+ i 1 2 (1 − 3i ) 1+ i ± = 1 ⎡⎣1 + ( ± 2 2 − 3)i ⎤ ⎦ 1+ i ± = 1 2 ⎡⎣1 + ( ± 2 2 − 3)i ⎤ (1 − i ) ⎦ 2 1 +1 Từ đây ta tìm được 2 nghiệm của phương trình đã cho x1 = [1 + ( 1 ] 2 −3) i (1 − i ) = 2 2 1 [( 2 2 ⎛ ⎞ 1 1 ⎟ ⎛1 ⎞ +⎜ − 2 ⎟ i 2 −2 ) + ( 2 −4 ) i = ⎜ − ⎜2 ⎟ ⎝2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ] x2 = − 1 2 2 [1 + ( − ] 2 −3) i (1 − i ) = 1 2 2 [( ⎛1 2⎞ ⎛1 ⎞ 2 +2) + ( 2 +4) i = ⎜ + ⎟+⎜ + 2 ⎟ i ⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝2 ] 3) Tương ứng với n giá trị khác nhau của vòng tròn đơn vị mà một đỉnh là M0(1 ; 0 ). n 1 là n đỉnh của đa giác đều nội tiếp III- TRƯỜNG SỐ PHỨC Ta nhận thấy rằng, trên Ρ và rộng hơn là trên Χ xác định 2 phép tính: Phép cộng 2 số và phép nhân 2 số với các tính chất tương ứng. Vì vậy ta có ý tưởng Tổng quát hóa điều này cho tập hợp các phần tử (có cùng đặc trưng) . Đó là khái niệm“ Trường “ mà chúng ta sẽ xét dưới đây. Định nghĩa Tập hợp T được gọi là Trường nếu trên T xác định 2 phép tính sau đây với các tính chât tương ứng. Phép cộng 2 phần tử của T: ∀ x, y ∈ T ⇒ x + y ∈ T với các tính chất: 1* Giao hoán: x + y = y + x ; ∀ x, y ∈ T 2* Kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z ; ∀ x, y, z ∈ T 3* Tồn tại “ Phần tử không “, ký hiệu là 0 ∈ Τ, thoả mãn điều kiện x + 0 = 0 + x = x; ∀ x ∈ T 4* Tồn tại “ Phần tử đối “ của x ∈ T, ký hiệu là – x ∈ T, thoả mãn điều kiện x + (– x )= (– x ) + x = 0 ; ∀ x ∈ T Phép nhân 2 phần tử của T: ∀ x, y ∈ T ⇒ xy ∈ T với các tính chất: 1* Giao hoán: xy = yx ; ∀ x, y ∈ T 2* Kết hợp: (xy)z = x(yz) = xyz ; ∀ x, y, z ∈ T 3* Phân phối với phép cộng 2 phần tử của T: (x + y )z = xz + yz ; ∀ x, y, z ∈ T 4* Tồn tại “ Phần tử trung hòa “, ký hiệu là e ∈ T, thoả mãn điều kiện x.e = e.x = x; ∀ x ∈ T 5* Tồn tại “ Phần tử nghịch đảo “ của x ∈ T, x ≠ 0, ký hiệu là x – 1 ∈ T, thỏa mãn x x –1 = x –1x = e ; ∀ x ∈ T Ví dụ 16 17 1) T = Ρ - Trường số thực với phép cộng 2 số thực và phép nhân 2 số thực, trong đó Phần tử không là số 0, Phần tử đối của số thực x là – x, Phần tử trung hoà là số 1, Phần tử nghịch đảo của số thực x ≠ 0 là 1 x . 2) T = Χ - Trường số phức với phép cộng 2 số phức và phép nhân 2 số phức trong đó Phần tử không là số 0, Phần tử đối của số phức Z là – Z, Phần tử trung hoà là số 1, Phần tử nghịch đảo của số phức Z ≠ 0 là 1 Z . 3) Τ là tập hợp các hàm thực f(x) có hữu hạn điểm gián đoạn và nghiệm trên [a;b] với phép cộng 2 hàm và phép nhân 2 hàm là một Trường vì * f(x), g(x) ∈ T thì f(x) + g(x) ∈ T cùng các tính chất, trong đó Phần tử không là f(x) ≡ 0 ∈ T, Phần tử đối của f(x) ∈ T là – f(x) ∈ T. * f(x), g(x) ∈ T thì f(x).g(x) ∈ T cùng các tính chất, trong đó Phần tử trung hoà là f(x) ≡ 1 ∈ T, Phần tử nghịch đảo của f(x) ≠ 0 và f(x) ∈ T là 1 f ( x) ∈ T. 4) Tập hợp TH = {ib : b ∈ Ρ} - tập hợp tất cả các số thuần ảo, với phép cộng là phép cộng 2 số phức và phép nhân là phép nhân 2 số phức, không phải là một trường. Thật vậy, vì 2i ∈ TH, 5i ∈ TH nhưng 2i.5i = 10i2 = – 10 ∉ TH. Như vậy, để chứng tỏ một tập hợp, với 2 phép tính được xác định, không phải là một trường, ta chỉ cần chỉ ra một điều kiện nào đó trong định nghĩa không thoã mãn là đủ. Bài tập 1) Tìm x, y, z, w ∈ Ρ thoả mãn: a) (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i 2i)x + (4 + 5i) = y + 3i b) (– 1 + ⎧(1 + ix ) − (2 y − 3i ) + 4(1 − iz ) = 5 + i . ⎩(3 − 2iy ) + z − 2(1 + iw) = x − i c) ⎨ ⎧ x + iy − z + iw ⎪ ⎨ y w ⎪⎩tg = tg x z =1 d) x + iy + ( z + iw) = i 2) Thực hiện các phép tính: a) (2 + 3i) + (4 – i) b) (– 5 + 6i) – (7 + 8i) d) (6 + 11i)(7 + 3i) e) (4 – 7i)2 g) 3−i h) 4 + 5i 4 + 5i i) 3−i 4 j) i 5 c) (3 + 5i)(4 – i) f) (– 2 + 3i)3 −i (1 − i 3 ) + ( −1 − i 3 ) 15 k) n) 7 −5 − 12i l) 6 m) 1− i 3 2 − 2i 3) Đưa các số phức sau đây về dạng lượng giác: 18 (1 − i ) 20 15 (1 + i ) 20 a) – 7 i) – sin π 8 b) 8 – icos c) 4i d) – 5i e) 2 + 2i f) 2 – 2i g) 2 + i h) 1 – i 3 π 8 4) Sử dụng công thức Moivre để biểu diễn các biểu thức sau đây: a) cos2x , sin2x và cos4x , sin4x theo luỹ thừa của cosx , sinx ; x ∈ Ρ b) tg6x theo luỹ thừa của tgx ; x ∈ Ρ 5) Giải các phương trình sau đây: a) x2 + x + 1 = 0 b) x2 – x + 1 = 0 c) x2 – (2 + i)x – 1 + 7i = 0 d) x2 – (3 – 2i)x + 5 – 7i = 0 e) x4 – 3x2 + 4 = 0 f) x4 3 2 + 2x + 3x + 4x + 2 = 0 g) x4 + 6x3 + 9x2 + 100 = 0 h)⎮x⎮2 + (1 + i)x + i = 0 6) Tính w1n + w2n với n là số nguyên dương, trong đó w1 = − 1 2 −i − 1 2 +i 3 2 , w2 = 3 2 7) Với n là số nguyên dương, hãy tính: a) ( 1+ ε)n , ε = cos 2π 3 + i sin 2π b) (1 + 3 cosα + i sinα)n , α ∈ Ρ ⎛ 2 knπ c) ∏ ⎜ e k =1 ⎝ ⎞ n −1 ⎛ 2 kπ ⎜ cos k =0 ⎝ n n −1 ∑ biết rằng eia = cosa + isina ; a ∈ Ρ − 1⎟ ⎠ + i sin 2 kπ n ⎞ ⎟ ⎠ d) 5 8) Với ϕ ∈ Ρ và k là số nguyên dương, hãy tính: A = 1 + cosϕ + cos2ϕ + . . . + coskϕ B= sinϕ + sin2ϕ + . . . + sinkϕ 9) Chứng minh: a) Nếu x + iy = (a + ib)n ; x , y , a , b ∈ Ρ ; n = 1 , 2 , . . . thì x2 + y2 = (a2 + b2)n b) Nếu a + ib = ± (x + iy) ; x , y , a , b ∈ Ρ thì a − ib = ± (x – iy) c) ⎜Z1 + Z2⎜2 + ⎜Z1 – Z2⎜2 = 2(⎜Z1⎜2 + ⎜Z2⎜2) ⎡1 + itgx ⎤ n d) ⎢ ⎥ ⎣1 − itgx ⎦ e) Nếu Z+ = 1 Z 1 + itgnx 1 − itgnx ;n=1,2,...;x ∈Ρ = 2cosθ ; θ ∈ R thì Z m + 1 Z = 2cosmθ ; m = 1 , 2 , . . . m f) Tổng các nghiệm của phương trình 1 + Z + Z2 + Z3 + Z4 = 0 bằng – 1 g) cos sin h) i) 2 2.1.π 10 2.1.π 10 4 + cos + sin 6 2.2.π 10 2.2.π 10 8 + cos + sin 10 2.3.π 10 2.3.π + . . . + sin 10 12 + . . . + cos 14 16 − C16 + C16 − C16 + C16 − C16 + C16 − C16 + C16 = 255 2.9.π 10 2.9.π 10 =–1 =0 . − C17 + C17 − C17 + C17 − C17 + C17 − C17 + C17 = C17 − C17 + C17 − C17 + C17 − C17 + C17 − C17 2 4 6 8 10 12 14 16 19 1 3 5 7 9 11 13 15 = 255