Tài liệu Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THÚY HÀ NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ : 60.46.36 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình đựoc hoàn thành tại : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: GS.TS. Trần Vũ Thiệu Phản biện 2: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày 07 tháng 11 năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên và thư viện Trường Đại học Khoa học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS. Nguy¹n B÷íng. T¡c gi£ xin b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y v· sü tªn t¼nh h÷îng d¨n trong suèt thíi gian t¡c gi£ l m luªn v«n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n, thæng qua c¡c b i gi£ng v  x¶mina, t¡c gi£ th÷íng xuy¶n nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v  âng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u cõa TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy v  c¡c th¦y c¡c cæ trong tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Th.s. L¥m Thòy D÷ìng gi£ng vi¶n ¤i håc S÷ Ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Tø ¡y láng m¼nh, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n c¡c th¦y c¡c cæ. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi c¡c th¦y, c¡c cæ trong Ban gi¡m hi»u, Pháng  o t¤o, Tê To¡n - Tin Tr÷íng Vòng Cao Vi»t B­c, ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  l m luªn v«n cao håc. Xin ch¥n th nh c£m ìn anh chà em håc vi¶n cao håc to¡n K2 v  b¤n b± çng nghi»p g¦n xa ¢ trao êi, ëng vi¶n v  kh½ch l» t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  l m luªn v«n. Luªn v«n s³ khæng ho n th nh ÷ñc n¸u khæng câ sü thæng c£m, gióp ï cõa nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh t¡c gi£. ¥y l  mân qu  tinh th¦n, t¡c gi£ xin k½nh t°ng gia ¼nh th¥n y¶u cõa m¼nh vîi t§m láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c. T¡c gi£ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mët sè kþ hi»u v  chú vi¸t t­t khæng gian Euclide n-chi·u trà tuy»t èi cõa sè thüc β x ÷ñc ành ngh¾a b¬ng y ∀x vîi måi x ∃x tçn t¤i x I ¡nh x¤ çng nh§t A ⊂ B tªp A l  tªp con thüc sü cõa tªp B A ⊆ B tªp A l  tªp con cõa tªp B A ∪ B A hñp vîi B A ∩ B A giao vîi B A × B t½ch ·-c¡c cõa hai tªp A v  B convD bao lçi cõa tªp D AT ma trªn chuyºn và cõa ma trªn A xk → x d¢y {xk } hëi tö m¤nh tîi x xk * x d¢y {xk } hëi tö y¸u tîi x A∗ to¡n tû li¶n hñp cõa to¡n tû A D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n gi¡ trà cõa to¡n tû A MV I b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hén hñp MP b i to¡n cì b£n AP k b i to¡n phö Rn |β| x := y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mð ¦u Nguy¶n lþ b i to¡n phö ¢ ÷ñc G.Cohen [11], [12], [13] giîi thi»u l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1980 trong khi nghi¶n cùu b i to¡n tèi ÷u. Sau â nguy¶n lþ n y ¢ ÷ñc nghi¶n cùu mð rëng cho c¡c tr÷íng hñp kh¡c nhau cõa to¡n tû: Khæng èi xùng, ìn i»u tr÷îc ho°c para-ìn i»u (xem [16], [17], [19], [23], [24], [26], [27], [28], [29]). Nguy¶n lþ b i to¡n phö cho ph²p x¡c ành nghi»m cõa c¡c b i to¡n: b i to¡n cüc tiºu hâa, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung.... b¬ng c¡ch gi£i mët d¢y c¡c b i to¡n phö. G.Mastroeni [21] ¢ sû döng nguy¶n lþ b i to¡n phö cõa Cohen º mð rëng b i to¡n c¥n b¬ng têng qu¡t. °c bi»t l  c¡c ùng döng cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  b i to¡n tèi ÷u hâa. A.Kaplan v  R.Tichatschke [18] ¢ sû döng nguy¶n lþ b i to¡n phö cho b i to¡n ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k·, mð rëng nguy¶n lþ b i to¡n phö cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi to¡n tû a trà khæng èi xùng trong khæng gian Hilbert... B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå c¡c ¡nh x¤ gi£ co ch°t Ti , i = 1, 2, ...N, thuëc khæng gian Hilbert hay Banach l  mët v§n · lîn v  hi»n ÷ñc r§t nhi·u c¡c nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi quan t¥m. Trong tr÷íng hñp N = 1 th¼ b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa ¡nh x¤ gi£ co ch°t tr¶n tªp C l  tªp con cõa khæng gian Hilbret ¢ ÷ñc F.E.Browder [7], G.Marino v  H.K.Xu [20], B.E.Rhoades [25] nghi¶n cùu. Trong tr÷íng hñp N > 1 th¼ b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå c¡c ¡nh x¤ gi£ co ch°t tr¶n tªp C l  tªp con cõa khæng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 gian Hilbert ¢ ÷ñc G.Wang, J.Peng, H.J.Lee [30] nghi¶n cùu. B¬ng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cõa Tikhonov, GS.TS Nguy¹n B÷íng v  Ph¤m V«n Sìn [8] ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t trong khæng gian Hilbert. GS.TS. Nguy¹n B÷íng [9] ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p l°p hi»u ch¿nh bªc 0 º t¼m nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cho ¡nh x¤ li¶n töc Lipschitz ìn i»u v  l  iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t tr¶n tªp con lçi âng trong khæng gian Hilbert. Trong luªn v«n n y chóng tæi ch¿ tr¼nh b y mët kh½a c¤nh li¶n quan ¸n ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh k¸t hñp vîi nguy¶n lþ b i to¡n phö º t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t trong khæng gian Hilbert. Sü k¸t hñp n y ¢ ÷ñc Baasansuren v  Khan [5] l  nhúng ng÷íi ¦u ti¶n sû döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hén hñp. Bè cöc luªn v«n gçm 02 ch÷ìng: Ch÷ìng I: C¡c kh¡i ni»m cì b£n Trong ch÷ìng n y giîi thi»u mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Hilbert, b i to¡n °t khæng ch¿nh, b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung, nguy¶n lþ ¡nh x¤ co, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n... Ch÷ìng II: Nguy¶n lþ b i to¡n phö hi»u ch¿nh t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t Ch÷ìng n y gçm 2 ph¦n: + Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t. + Nguy¶n lþ b i to¡n phö hi»u ch¿nh t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t. Do thíi gian câ h¤n n¶n luªn v«n mîi ch¿ døng l¤i ð vi»c t¼m hiºu, tªp hñp t i li»u, s­p x¸p v  tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¢ câ theo chõ · °t ra. Trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n công nh÷ trong qu¡ tr¼nh sû lþ v«n b£n ch­c ch­n khæng thº tr¡nh khäi sai sât, r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa Th¦y cæ v  b¤n åc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Ch÷ìng 1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Trong ch÷ìng n y, chóng tæi · cªp ¸n c¡c v§n · sau. Trong möc 1.1, chóng tæi giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m v  ki¸n thùc li¶n quan ¸n khæng gian Hilbert. Trong möc 1.2, chóng tæi tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa to¡n tû. Möc 1.3, chóng tæi tr¼nh b y b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung. Möc 1.4 ph¡t biºu v  minh håa v· b i to¡n °t khæng ch¿nh. Trong möc 1.5, chóng tæi giîi thi»u v· nguy¶n lþ b i to¡n phö v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. T i li»u tham kh£o ch½nh cõa ch÷ìng n y l  [1], [2], [3], [4]. 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cõa khæng gian Hilbert ành ngh¾a khæng gian Hilbert 1.1.1. Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n R. Mët t½ch væ h÷îng trong X l  mët ¡nh x¤ h., .i : X × X → R tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau: i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0; ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X ; iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X. Khæng gian tuy¸n t½nh X còng vîi t½ch væ h÷îng h., .i ÷ñc gåi l  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn