Tài liệu Nguyên hàm, tích phân chống casio phân thức và đổi biến

Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực. Daïng 1: ÑOÀNG NHAÁT HEÄ SOÁ - MAÃU COÙ DAÏNG TÍCH Phương pháp hệ số bất định: Khi mẫu có thể phân tích thành nhân tử. Câu 1: Cho 1 A B C    ( x  2)( x  5)( x  4) ( x  2) ( x  5) ( x  4) Khi đó tổng S  A  B  C bằng: A.  1 18 B. 0 1 14 Giải: C. D.  1 63 A B C 1    ( x  2)( x  5)( x  4) ( x  2) ( x  5) ( x  4)  A( x  5)( x  4)  B( x  2)( x  4)  C ( x  2)( x  5)  1 ) x  2  14 A  1  A   1 14 1 63 1 ) x  4  18C  1  C  18  A B C  0 ) x  5  63B  1  B  ĐÁP ÁN B. Bình luận: Bài toán này chúng ta sẽ tách phân số ở mẫu số có tích thành các phân số đơn giản hơn. Để làm đươc điều này ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số . Câu 2: Cho A.  1 A B C . Khi đó S  2A  B  C bằng:    x( x  3)( x  3) x x  3 x  3 1 18 B. 0 1 18 Giải: C. D.  1 A B C    x( x  3)( x  3) x x  3 x  3  1  A( x  3)( x  3)  Bx( x  3)  Cx( x  3) ) x  0  9 A  1  A   ) x  3  18 B  1  B  1 18 ) x  3  18C  1  C   2A  B  C  2 9 1 9 1 18 Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Page 1 2 9 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực. ĐÁP ÁN D 2 A B C    . 2 x  3x  2 x x x  1 x  2 Câu 3: Cho các hằng số A, B, C  R thỏa mãn: 3 Khi đó P  ABC . . bằng: A. 2 B. 1 2 D. 2 C. 1 Giải: A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1)  2 ) x  0  A  1 ) x  1  B  2 ) x  2  C  1  ABC  2 ĐÁP ÁN D Câu 4. Cho A.  2x  3 1 1 . Khi đó tổng S  A  B  C bằng: A  B. 2 2x  1 xC 2x  x  1 1 3 B. 1 3 2 3 Giải: D.  C. 2 3 2x  3  4 2x  3 1 5 1  = =  .  .  2 2 x  x  1 (2 x  1)( x  1)  3 2 x  1 3 x  1  A 4 5 2 , B  , C  1  S  A  B  C  3 3 3 ĐÁP ÁN D Daïng 2: NHAÛY LAÀU Câu 6: Nguyên hàm của hàm I   1  x5 dx có dạng  a ln x5  b ln 1  x5   C   x 1 x  5  Khi đó S  10a  b bằng A. 1 B. 2 C. 0 D.3 Giải: 1  x  x dx  1 1  x  d  x   1  1  2 d x     5  x 1  x  5  x 1 x  x 1  x  5 I 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1  ln x5  2ln 1  x5   C  5 1 , b  2  10a  b  0 5 Thầy Mẫn Ngọc Quang Suy ra : a  0989 850 625 Page 2 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực. ĐÁP ÁN C 5  3x a x b dx   ln C 2  x  5x  6 x  2 x  1 x  1 x  2 Câu 7: Cho I   2 Khi đó P  2a  b bằng: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Giải: Ta có:  x  5x  6    x  2x  1 dx    x  5x  6  x  2x  1 2 I 2 2 0 dx dx dx dx  2   2 1 x  2x  1 x  5x  6  x  2  x  3  x  1 2 2 2  1 1  1 x3 I    x  1 dx      ln C  dx  x 1 x2 x3 x2 Suy ra: a  1, b  3  P  2a  b  1 ĐÁP ÁN B Câu 8. Cho I   1 a dx  2  b ln x  c ln 1  x 2  2 x x 1  x  3 Khi đó S  a  b  c bằng: A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 2 Giải: 1  x   x I x 1  x  2 3 2 2 1 1 dx    3  x x 1  x2        2  1 1 1 d 1 x 1 1    3   dx     2  ln x  ln 1  x 2 2 x 2 1 x 2 2x x a   1 1  x2  x2   dx       1  1  x 3 2  x    x3 x 1  x2 x 1 x        dx   1 1 , b  1, c   S  1 2 2 ĐÁP ÁN B Câu 9. Cho I   x2  1 1 dx  a ln x  1   b ln x  c . Khi đó P  2  a  b  c bằng: 2 x x  x  1 A. 2 B. -2 C. 1 D. 0 Giải: Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Page 3 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.  1  x2   x  1  x x2  1 1 1 dx  dx     2 dx  2 2  x1 x x  x  1  x  x  1 x  x  1  I  1  2 1 1 1  1 1 1    2    2  dx  2ln x  1   ln x     x x x 1 x  x  1 x  x x  1   a  2, b  1, c  0  P  0 ĐÁP ÁN D. 1 2 Câu 10: Tính tích phân I  1 A. 2 3 B.  x  x  1 dt  ln a  b . Khi đó S  a  2b bằng: 2 2 3 D. 1 C. 1 Giải: I 1 2 x  x  1 1 2 2 dx   1 1 x Suy ra I     1 a 2 x 1 x x  x  1 2 dx   2 1 2 1 1 dx   dx 2 1 x  x  1  x  1 2 2 1 2 1  x 2 4 1   x  1  ln   dx  1  x  1 dx  x  1  ln 1 x 1 x1 1 3 6 4 1 ,b    S  1 3 6 ĐÁP ÁN C Câu 11: Nguyên hàm của f  x   F  x   1 có dạng x  x5 3  a 1  ln x2  bx  1  ln x2  c  C Khi đó P   a  b  2c  b4 bằng 2 2 x . A. 1 B. 1 2 C. 1 2 D. 0 Giải: 2 2 1  x2   x2 1  1 1 1 1  x   x 1 1 x  3  3  3  Ta có: f  x   3 5  3 2 2 2 x x x x 1  x  x x x 1  x2 x 1  x  x 1  x  Vậy dx  f ( x)dx   x   3 1 dx xdx 1   2  ln x  ln( x 2  1)  C 2 2 x 1 x 2x 1  a   , b  0, c  1  P  0 2 ĐÁP ÁN D 1 Câu 12: Cho I  xdx  x  1  a  b ln c . Biết b + c = 1 0 Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Page 4 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực. Với b, c  3 . Khi đó S  A. 0 a2 c  b 2016  bằng: 4 2 1 4 Giải: B. -1 C. D. 1 2 D. 1 2 1  ( x  1)  1 1  dx    1   dx   x  ln( x  1) 0  1  ln 2 x1 x 1 0 0 1 1 I  a  1; b  1; c  2  S  a2 c 1  b2016   4 2 4 ĐÁP ÁN C 1 2 b x 4 dx 1  a  ln b . Khi đó S  24a   12 bằng: 2 3 2 0 x 1 Câu 13: Cho I   A. 0 B. -1 C. 1 Giải: 1 2 1 1 2 4 2 x4 x 11 1   I  2 dx   2 dx    x 2  1  2  dx x 1 x 1 x 1  0 0 0 1  x3  2 13 1 13 b    x  ln x 2  1    ln 3  a  , b  3  S  24a   12  0 24 3 3  0 24 2 ĐÁP ÁN A Daïng 3: MAÃU SOÁ COÙ CHÖÙA BIEÅU THÖÙC BÌNH PHÖÔNG Câu 14: Cho y  3x 2  3x  5 A B C    . Khi đó S  A  B  C bằng: 3 2 x1 x 2 x  3x  2  x  1 A. 1 B. 2 3 5 8 Giải: C. Thầy Mẫn Ngọc Quang D.  0989 850 625 Page 5 5 8 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực. 3x2  3x  5 A B C    3 2 x 1 x  2 x  3 x  2  x  1  A( x  2)  B( x  1)( x  2)  C( x  1)2  3 x 2  3 x  5 11 3 11 )x  2  C  9 )x  1  A  Tính tổng các hệ số không có x , rồi đồng nhất 2 vế ta có ) A  B  2C  5  B   A  x  1 2  16 9 B C 11 16 11     2 x  1 x  2 3  x  1 9( x  1) 9( x  2) 2 3  A  BC  ĐÁP ÁN B Câu 14. Nguyên hàm của y  3x 2  3x  5 a có dạng f x   b ln x  1  c ln x  d  C 3 x  3x  2 x 1   Biết a, c  0 . Chọn nhận định đúng A. a b  0 3 B. a  b  c  d  3 C. ab  cd D. b  c  3 Giải:   11 3x 2  3x  5 16 11  11 16 11  dx   dx     ln x  1  ln x  2  C 2 3   3  x  1 9( x  1) 9( x  2)  x  3x  2 3( x  1) 9 9   11 16 11 ,b  , c  , d  2 3 9 9 ĐÁP ÁN D a   Câu 15. Cho 3x  1 A B C    2 2 x  2 2 x  5 4 x  28 x  65x  50  2x  5 3 Khi đó S  2A  B  C bằng A. 10 B. 13 C. -13 D. -10 Giải: Ta phân tích: 3x  1  x  2  2x  5 2  A B C   x  2 2 x  5  2 x  5 2  3x  1  A  2x  5   B  x  2  2x  5   C  x  2  2 Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Page 6 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.  A  5 5  Cho x = 2;  ; 0 ta được:  B  10  S  13 2 C  13  ĐÁP ÁN C Câu 16: Cho A, B, C thỏa mãn 1  x  1 x  2  2  A  x  2 2  B C  x1 x 2 Tính S = A + B +2C A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 Gợi ý: Đồng nhất ta được A  B  1,C  1 Daïng 4: BAÄC TÖÛ SOÁ LÔÙN HÔN MAÃU Chúng ta thường thực hiện phép chia cho đa thức rồi tiếp tục tiến hành với phần dư. 2 x2  x  1  a  ln b . x 1 1 Câu 17: Cho  Chọn mệnh đề đúng 2 B. 2a  b  b 2  0 3 A. a  2b C. a  b D. a  b Giải: 2 2 2 2  x2  1 3 3 x2  x  1 1  1  dx  x  dx  xdx  dx  1 x  1 1  x  1  1 1 x  1  2  ln x  1   2  ln 3  2  ln 2  2  ln 2 1 2 3 3 ,b   a  b 2 2 ĐÁP ÁN C a  4x 2  4x  3 Câu 18. Tìm hàm số f (x )  x  ax  ln bx  1  c biết f ' x  và f 0  1 . Khi đó 2x  1     2 3 S  2a  b c bằng A. 0 Ta có f ( x)   B. 1 2 3 Giải: C. D. 4  2  4 x2  4 x  3 2 dx =   2 x  1  dx  x  x  ln 2 x  1  c 2x  1 2x  1   Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Page 7 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực. Mà f(0) = 1  c  1  f ( x)  x2  x  ln 2x  1  1  a  1, b  2, c  1  S   2a  b  c  0 3 ĐÁP ÁN A x 3  3x 2  x  3 1 Câu 19. Cho I  0  x2  2x  3 A. 2  2 dx  a  ln b  1 . Khi đó  2a  b  bằng: B. 3 C. 1 3 D. 2 3 Giải:. Ta có x3  3x2  x  3   x  1  x2  2x  3  . Đặt t  x2  2 x  3  dt   x  1 dx. 1 2 Đổi cận x  0  t  3, x  1  t  6 6 1 6 1 6  1 6 1 6t6 1 Khi đó I   2 dt = 3   2  dt   ln t     ln 2  1 3 2 t t  2 t 3 2 2 t a 1 , b  2   2a  b   3 2 ĐÁP ÁN B 1 Câu 20: I   0 A.  x  1 dx = a + lnb . Khi đó S 2 x 1 2 1 3 B.  a bằng b 1 3 Giải: 2 3 C.  D. 1 2  x2  1  2 x 2x  2x dx    1  2 dx   dx   2 dx 2 x 1 x 1 0 0 0 0 x 1 1 1 I4   1 1   dx   0 0   d x2  1 x 1 2  a  1, b  2  1 1  x  ln  x  1 01  1  ln 2 2 a 1  b 2 ĐÁP ÁN D x3  3 c dx  a   b  5  ln b  c ln . Khi đó P  a.b.c bằng 2 2 0 x  2x  3 1 Câu 21: Cho I   A. 32 B. 30 B. 26 D. 26 Giải: 1 1 1 6  x  1  x  3    x3  3 7x  3  6 1  dx  x  2  dt  x  2  dt       x 2  dx    2 2   x  3 x  1 x  2x  3   x  1 x  3  0  0 x  2x  3 0 0 1 I Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Page 8 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực. 1  x2  5    2 x  6ln x  3  ln x  1    7 ln 2  6ln 3  2 0 2 5 , b  2, c  6  P  30 2 a ĐÁP ÁN B 2 Câu 22: Cho I   1 2 2 A B  dx     . Khi đó S  2A  B .I bằng: x  x  1 1  x x  1   2 2 B. ln 2 3 A. 2 Ta có: Nên  2 3 Giải: D. ln 2 C.  A  B x  A   A  B  0   A  1 1 A B      x  x  1 x x  1 x  x  1 A 1  B  1 1 1 1   x  x  1 x x  1 2 Suy ra I   1 2 2 2 2 2 dx dx dx 2     ln x 1  ln  x  1 |21  ln 2 x  x  1 1 x 1 x  1 2 2 Vậy S   2 A  B .I  I  ln 2 ĐÁP ÁN D Câu 23: Cho I    A dx B      2 x2  x  1   x  1  2 x  1  Khi đó P   2 A  B  bằng: A. 1 B. 3 2 C. 3 D. 0 Giải: I  2x  1  2  x  1 dx dx dx   2 x2  x  1   x  1 2 x  1   x  1 2 x  1 1 1 2  1 2     dx  ln x  1  ln x  1  C 3  x  1 2x  1  3 3 1 3 Khi đó A  , B  2  2A  B  0  P  0 3 ĐÁP ÁN D Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Page 9 Truy cập website http://qstudy.vn/ để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực. Câu 24: I   a 4x  3 dx  ln x  a  b ln cx  1  C . Khi đó S   c bằng: b 2 x  3x  2  2  B. 2 A. 2 C. 4 D. 3 Giải: I  2x  1  2  x  2 dx  ( 1  2 )dx 4x  3 dx    2x  1 x  2   x  2 2x  1 2 x 2  3x  2 a  1 2     dx  ln x  2  2ln 2 x  1  C  a  2, b  2, c  2  S   c  3 b x  2 2 x  1     ĐÁP ÁN D Câu 25: Cho I   4 x3  2 x2  2 x  2 dx  ax3  x  b ln 2x  1  C 2x  1 Và các mệnh đều sau:  1 a - Xem thêm -