Tài liệu Một số vấn đề về hàm số học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KIỀU OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KIỀU OANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ HỌC Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số 8460104 : Người hướng dẫn: TS. TRẦN ĐÌNH LƯƠNG i Mục lục Danh mục các ký hiệu ii Mở đầu 1 1 Hàm số học và tích chập Dirichlet 3 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tích chập Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Hàm nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Công thức nghịch đảo Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Hàm nhân hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Đa thức trên vành các hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Một số hàm số học cơ bản 25 2.1 Hàm τ , hàm σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Hàm Liouville λ, hàm Mangoldt Λ . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Số mũ của số nguyên tố và công thức Legendre . . . . . . . . 37 2.5 Ước lượng các hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 44 Danh mục tài liệu tham khảo 45 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A tập hợp tất cả các hàm số học C tập hợp các số phức Z tập hợp các số nguyên N tập hợp các số tự nhiên f ˚g tích chập Dirichlet của f và g τ pnq hàm đếm số các ước khác nhau của một số nguyên dương n σ pnq hàm tính tổng các ước của một số nguyên dương n ϕpnq hàm Euler µpnq hàm Möbius λpnq hàm Liouville Λpnq hàm Mangoldt vp pnq số mũ của số nguyên tố p trong phân tích chính tắc của n ep pnq số mũ của số nguyên tố p trong phân tích chính tắc của n! 1 Mở đầu Các hàm số học đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong hơn 400 năm qua. Các hàm số học không chỉ đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết số, chúng còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như: tổ hợp, lý thuyết xác suất, lý thuyết mật mã, ... Mục đích của luận văn này là hệ thống một số vấn đề liên quan đến các tính chất chung của các hàm số học và tập trung vào việc khảo sát một số hàm số học đặc biệt. Luận văn trình bày một số vấn đề liên quan đến vành các hàm số học đối với tích chập Dirichlet như phép biến đổi Möbius, các công thức liên hệ, biểu diễn các hàm số học. Luận văn cũng trình bày tính chất một số hàm số học cơ bản như: hàm đếm số các ước, tổng các ước, hàm Euler, hàm Möbius, hàm Liouville, hàm Mangoldt,. . ., và mối liên hệ giữa chúng. Luận văn “Một số vấn đề về hàm số học” bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Nội dung của luận văn gồm hai chương. Chương 1: Hàm số học và tích chập Dirichlet Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến vành các hàm số học đối với tích chập Dirichlet: hàm nhân, công thức nghịch đảo Möbius, hàm nhân hoàn toàn và đa thức trên vành các hàm số học. Chúng tôi cũng trình bày một số kiến thức chuẩn bị về số học được dùng trong luận văn. Chương 2: Một số hàm số học cơ bản 2 Trong chương này chúng tôi khảo sát các tính chất của một số hàm số học cơ bản như: hàm đếm số các ước, tổng các ước, hàm Euler, hàm Möbius, hàm Liouville, hàm Mangoldt, công thức Legendre,... và mối liên hệ giữa chúng. Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS. Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy các lớp Cao học Toán khóa 23 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài. Nhân đây chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên để tôi hoàn thành tốt luận văn này. Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực và cố gắng của bản thân nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn. Quy Nhơn, ngày 29 tháng 07 năm 2022 Học viên thực hiện đề tài Nguyễn Kiều Oanh 3 Chương 1 Hàm số học và tích chập Dirichlet Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến vành các hàm số học đối với tích chập Dirichlet: hàm nhân, công thức nghịch đảo Möbius, hàm nhân hoàn toàn và đa thức trên vành các hàm số học. Chúng tôi cũng trình bày một số kiến thức chuẩn bị về số học được dùng trong luận văn. Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [7]. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Cho hai số nguyên a, b P Z, b ‰ 0. Số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên b nếu tồn tại c P Z sao cho a “ bc. Thay cho việc nói a chia hết cho b . ta viết a..b, hoặc nói b chia hết a và viết b|a. Nếu a chia hết cho b thì ta gọi a là một bội của b hay b là một ước của a. Sau đây là một số tính chất cơ bản của quan hệ chia hết. (i) 1 | a với mọi a P Z. 4 (ii) a | a với mọi a P Z, a ‰ 0. (iii) Nếu a | b và b | c thì a | c với mọi a, b, c P Z, a, b ‰ 0. (iv) Nếu a | b thì |a| ď |b| với mọi a, b P Z, a, b ‰ 0. (v) Nếu a | bi với ai , bi P Z, i “ 1, . . . n, thì a | n ÿ bi xi với xi P Z. i“1 Định lý 1.1.1 (Định lý phép chia có dư). Với mỗi cặp số nguyên a, b P Z, b ‰ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q, r P Z sao cho a “ qb ` r với 0 ď r ă |b|. Cho các số nguyên a1 , a2 , . . . , an P Z không đồng thời bằng 0. (i) Số nguyên d được gọi là một ước chung của các ai nếu d | ai với mọi i “ 1, 2, . . . , n. (ii) Số nguyên d được gọi là một ước chung lớn nhất của các ai nếu d là một ước chung của các ai và d chia hết cho mọi ước chung của chúng. Ta dùng kí hiệu pa1 , a2 , . . . , an q để chỉ ước chung lớn nhất dương của a1 , a2 , . . . , an . Cho các số nguyên a1 , . . . , an P Zz t0u. (i) Số nguyên m được gọi là một bội chung của các ai nếu m chia hết cho tất cả các ai với mọi i “ 1, 2, . . . , n. (ii) Số nguyên m ‰ 0 được gọi là một bội chung nhỏ nhất của các ai nếu m là bội chung của các ai và m chia hết mọi bội chung khác của các ai . Ta dùng kí hiệu ra1 , a2 , . . . , an s để chỉ bội chung nhỏ nhất dương của a1 , a2 , . . . , an . Một số tự nhiên p ą 1 không có ước số dương nào khác ngoài 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố. Số tự nhiên p ą 1 có ước số dương khác 1 và chính nó được gọi là hợp số. Định lý 1.1.2 (Định lý cơ bản của số học). Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành một tích hữu hạn các thừa số nguyên tố và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các nhân tử. 5 Khi phân tích số tự nhiên n ą 1 thành tích các thừa số nguyên tố, có thể một số nguyên tố xuất hiện nhiều lần. Nếu các số nguyên tố p1 , p2 , . . . , pr xuất hiện theo thứ tự α1 , α2 , . . . , αr lần, thì ta viết n “ pα1 pα2 2 ¨ ¨ ¨ pααrr . Ta gọi phân tích này là phân tích chính tắc của n thành tích các thừa số nguyên tố. 1.2 Tích chập Dirichlet Trong mục này, chúng tôi trình bày về hàm số học, tích chập Dirichlet và vành số học đối với tích chập Dirichlet. Định nghĩa 1.2.1. Hàm số học là một ánh xạ từ tập các số nguyên dương đến tập các số phức. Sau đây là một số ví dụ về hàm số học. Ví dụ 1.2.2. (i) Hàm τ đếm số các ước khác nhau của một số nguyên dương n τ pnq “ ÿ 1. d|n (ii) Hàm σ tính tổng các ước của một số nguyên dương n σ pnq “ ÿ d. d|n (iii) Hàm hằng u được xác định bởi công thức upnq “ 1 với mọi số nguyên dương n. 6 (iv) Hàm đơn vị I được xác định bởi công thức $ ’ ’ ’ &1 nếu n “ 1, ’ ’ ’ %0 nếu n ą 1. I pnq “ (v) Hàm đồng nhất N được xác định bởi công thức N pnq “ n với mọi số nguyên dương n. Kí hiệu A là tập hợp tất cả các hàm số học. Với f, g P A, tổng của hai hàm số học f và g, kí hiệu là f ` g, được định nghĩa như sau pf ` g qpnq “ f pnq ` g pnq với mọi số nguyên dương n. Tích thông thường của hai hàm số học f và g, kí hiệu là f g, được định nghĩa như sau pf g qpnq “ f pnqg pnq với mọi số nguyên dương n. Định nghĩa 1.2.3. Cho hai hàm số học f và g. Tích chập Dirichlet của f và g, kí hiệu là f ˚ g, được định nghĩa như sau ˆ ˙ pf ˚ g qpnq “ ÿ f pdqg d|n n d với mọi số nguyên dương n. Sau đây là một số trường hợp đặc biệt của tích chập Dirichlet. Ví dụ 1.2.4. (i) Với f là một hàm số học bất kì ˆ ˙ pf ˚ uqpnq “ ÿ d|n f pdqu n d ÿ “ d|n f pdq. 7 (ii) Đặc biệt, ta có ˆ ˙ pu ˚ uqpnq “ ÿ n d updqu d|n ÿ “ 1 “ τ pnq, d|n ˆ ˙ pN ˚ uqpnq “ ÿ n d N pdqu d|n ÿ “ d “ σ pnq. d|n Mệnh đề 1.2.5. Tập hợp A các hàm số học với phép toán cộng và tích chập Dirichlet là một vành giao hoán có đơn vị. Chứng minh. Rõ ràng pA, `q là một nhóm abel. Hơn nữa, tích chập Dirichlet có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng. Thật vậy, giả sử f, g và h là các hàm số học. Khi đó với mọi n nguyên dương ˆ ˙ n pf ˚ g qpnq “ f pdqg d d|n ÿ “ ÿ ˆn˙ g d|n d f pdq ˆ ˙ ÿ “ n d g pdqf d|n “ pg ˚ f qpnq. Cho nên tích chập Dirichlet có tính chất giao hoán. Với mọi n nguyên dương ta có “ « ˆ ˙ff ÿ ‰ n f ˚ pg ˚ hq pnq “ f pdq pg ˚ hq “ d d|n ÿ “ f pd1 q – d1 d2 “n “ ‰ pf ˚ g q ˚ h pnq “ fi ÿ ÿ fi ÿ – ÿ “ ÿ “ ‰ pf ˚ g qpd2 q hpd1 q d 1 d 2 “n » d1 d2 “n f pd1 qg paqhpbq, d1 ab“n ‰ pf ˚ g qpd1 q hpd2 q “ d1 d2 “n “ ÿ g paqhpbqfl “ ab“d2 ÿ “ ‰ d 1 d 2 “n » ÿ “ f pd1 q pg ˚ hqpd2 q f paq.g pbqfl hpd1 q “ ab“d2 ÿ f paqg pbqhpd1 q d1 ab“n f pd1 qg paqhpbq. d1 ab“n “ ‰ “ ‰ Do đó f ˚ pg ˚ hq pnq “ pf ˚ g q ˚ h pnq. Cho nên tích chập Dirichlet có tính chất kết hợp. 8 Với mọi n nguyên dương ta có « ˆ ˙ ˆ ˙ff ÿ ‰ n n `h f ˚ pg ` hq pnq “ f pdq g “ d d|n d ˆ ˙ ˆ ˙ ÿ n n “ f pdqg ` f pdqh d d d|n d|n ÿ “ pf ˚ g qpnq ` pf ˚ hqpnq. Cho nên tích chập Dirichlet có tính chất phân phối đối với phép cộng. Cuối cùng, ta thấy rằng hàm I được xác định bởi công thức $ ’ ’ &1 nếu n “ 1, ’ ’ %0 nếu n ą 1 I pnq “ là phần tử đơn vị. Thật vậy với mọi n nguyên dương ta có ˆ ˙ pI ˚ f qpnq “ ÿ I pdqf d|n n d “ I p1qf pnq ` ¨ ¨ ¨ ` I pnqf p1q “ f pnq, ˆ ˙ pf ˚ I qpnq “ ÿ f pdqI d|n n d “ f p1qI pnq ` ¨ ¨ ¨ ` f pnqI p1q “ f pnq. Vậy tập hợp A tất cả các hàm số học với phép toán cộng và tích chập Dirichlet là một vành giao hoán có đơn vị. Hơn nữa ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.2.6. Tập hợp A các hàm số học cùng với phép toán cộng và tích chập Dirichlet tạo thành một miền nguyên. Chứng minh. Ta chứng minh rằng trong A không có ước của 0, nghĩa là nếu f, g P A và f, g ‰ 0 thì f ˚ g ‰ 0. Đặt M “ ( ( n P N | f pnq ‰ 0 và N “ n P N | g pnq ‰ 0 . Rõ ràng khi đó M ‰ H và N ‰ H. 9 Gọi m, n lần lượt là các phần tử nhỏ nhất của M, N . Khi đó ta có ˆ mn pf ˚ g qpmnq “ f pdqg d d|mn ˙ ÿ ˆ ˙ ÿ mn “ ` f pmqg pnq ` 0.g f pdq.0 d d|mn d|mn ÿ d ăm d ăn “ f pmqf pnq ‰ 0. Vì vậy f ˚ g ‰ 0, và ta có điều phải chứng minh. Nếu một hàm số học khả nghịch với tích chập Dirichlet thì ta kí hiệu f ´1 là nghịch đảo Dirichlet của f . Kết quả sau đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một hàm số học có nghịch đảo Dirichlet. Mệnh đề 1.2.7. Cho f là một hàm số học. Khi đó f khả nghịch đối với tích chập Dirichlet khi và chỉ khi f p1q ‰ 0. Hơn nữa, f ´1 được cho bởi công thức truy hồi sau f ´1 1 p1q “ , f p1q f ´1 ÿ 1 pnq “ ´ f f p1q d|n,dăn ˆ ˙ n f ´1 pdq với n ą 1. d Chứng minh. Giả sử f khả nghịch trong vành các hàm số học A. Khi đó f ˚ f ´1 “ I. Từ đó suy ra pf ˚ f ´1 qp1q “ f p1qf ´1 p1q “ I p1q “ 1. Vậy nên f p1q ‰ 0. Ngược lại, giả sử f p1q ‰ 0. Ta chứng minh sự tồn tại của f ´1 bằng phương pháp quy nạp. Xét phương trình pf ˚ f ´1 qpnq “ I pnq. Với n “ 1 ta có pf ˚ f ´1 qp1q “ f p1qf ´1 p1q “ I pnq “ 1. 10 Từ đó suy ra f ´1 p1q “ 1 . f p1q Giả sử f ´1 pk q được xác định cho tất cả k ă n. Ta sẽ xác định f ´1 pnq. Ta có ˆ ˙ pf ˚ f ´1 qpnq “ f p1qf ´1 pnq ` ÿ f d|n,d‰n n f ´1 pdq “ 0. d Từ đó suy ra f ´1 ÿ 1 f pnq “ ´ f p1q d|n,dăn ˆ ˙ n f ´1 pdq. d Vậy ta có điều phải chứng minh. Rõ ràng tập hợp tất cả các hàm số học khả nghịch đối với tích chập Dirichlet tạo thành một nhóm. 1.3 Hàm nhân Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm nhân. Định nghĩa 1.3.1. Một hàm số học f ‰ 0 được gọi là một hàm nhân nếu f pmnq “ f pmqf pnq với mọi số nguyên dương m, n nguyên tố cùng nhau. Ví dụ 1.3.2. (i) Rõ ràng các hàm số học u, I và N trong các Ví dụ 1.2.2 (iii), (iv), (v) là các hàm nhân. (ii) Các hàm số học τ và σ trong các Ví dụ 1.2.2 (i), (ii) là các hàm nhân. Phép chứng minh cho điều này sẽ được trình bày trong Mệnh đề 2.1.1. Sau đây là một số tính chất đơn giản của hàm nhân. Mệnh đề 1.3.3. Nếu f là một hàm nhân thì f p1q “ 1. 11 Chứng minh. Vì f ‰ 0 nên có số nguyên dương n sao cho f pnq ‰ 0. Khi đó ta có f pnq “ f p1.nq “ f p1qf pnq. Từ đó suy ra f p1q “ 1. Mệnh đề 1.3.4. Cho f là một hàm nhân, và n “ pα1 1 pα2 2 ¨ ¨ ¨ pαr r là phân tích chính tắc của n thành tích các thừa số nguyên tố trong đó p1 , p2 , . . . , pr là các số nguyên tố phân biệt và α1 , α2 , . . . , αr là các số nguyên dương. Khi đó f pnq “ f ppα1 1 qf ppα2 2 q . . . f ppαr r q. Chứng minh. Vì pα1 1 , pα2 2 , . . . , pαr r là các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một cho nên từ định nghĩa của hàm nhân ta có ngay công thức cần phải chứng minh. Từ Mệnh đề 1.3.4 ta có ngay kết quả sau. Hệ quả 1.3.5. Cho f và g là hai hàm nhân. Khi đó f “ g khi và chỉ khi f ppα q “ g ppα q với mọi số nguyên tố p và α nguyên dương. Từ định nghĩa của hàm nhân ta có tính chất mở rộng sau. Mệnh đề 1.3.6. Cho f là một hàm nhân. Khi đó, ta có f prm, nsqf ppm, nqq “ f pmqf pnq với mọi số nguyên dương m hoặc n, trong đó rm, ns, pm, nq lần lượt là bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất của m và n. Chứng minh. Giả sử p1 , p2 , . . . , pr là các ước nguyên tố của m và của n. Khi đó ta có phân tích n“ r ź pki i i“1 và m “ r ź plii i “1 với k1 , . . . , kr , l1 , . . . , lr là các số nguyên không âm. Từ đó suy ra rm, ns “ r ź i“1 maxpki ,li q pi và pm, nq “ r ź i“1 minpki ,li q pi . 12 ( Do maxpki , li q, minpki , li q “ tki , li u, và vì f là hàm nhân cho nên ta có ` ˘ ` f rm, ns f pm, nq ˘ r ´ ź maxpki ,li q pi f “ i“1 r ź “ r ¯ź ´ minpki ,li q pi f ¯ i“1 ´ maxpki ,li q ¯ ´ f pi minpki ,li q ¯ f pi i“1 r ź “ f ppki i qf pplii q “ i“1 r ź f ppki i q i“1 r ź f pplii q “ f pmqf pnq. i“1 Vậy ta có điều phải chứng minh. Sau đây là một số tính chất của hàm nhân liên quan đến tích chập Dirichlet. Mệnh đề 1.3.7. Cho f và g là hai hàm nhân. Khi đó tích chập Dirichlet f ˚ g cũng là một hàm nhân. Chứng minh. Giả sử m, n là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Trước tiên ta có nhận xét rằng với d là một số nguyên dương, nếu d | mn thì d “ d1 d2 trong đó d1 | m và d2 | n. Do đó ˆ mn pf ˚ g qpmnq “ f pdqg d d|mn ˙ ˙ ˆ ÿ mn . f pd1 d2 qg d d 1 2 |n ÿ ÿ “ d1 | m d2 Vì f và g là những hàm nhân, và pd1 , d2 q “ pm{d1 , n{d2 q “ 1 cho nên ˙ ˆ ˆ pf ˚ g qpmnq “ n m f pd1 qf pd2 qg g d1 d2 |n ˙ ÿ ÿ d1 | m d2 » fi » ˆ ÿ “ – d1 | m f pd1 qg fi ˙ m fl – d1 d ˆ ÿ 2 |n f pd2 qg ˙ n fl d2 “ pf ˚ g qpmqpf ˚ g qpnq. Vậy f ˚ g là một hàm nhân. Mệnh đề 1.3.8. Nếu f là một hàm nhân thì f có nghịch đảo Dirichlet, và f ´1 cũng là một hàm nhân. Chứng minh. Vì f là một hàm nhân cho nên, theo Mệnh đề 1.2.7, f có nghịch đảo Dirichlet. Ta chứng minh phần còn lại bằng phương pháp phản chứng. 13 Giả sử trái lại rằng f ´1 không là hàm nhân, nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m, n nguyên tố cùng nhau sao cho f ´1 pmqf ´1 pnq ‰ f ´1 pmnq. Ta chọn hai số nguyên dương m, n thỏa mãn hai điều kiện trên có tích mn bé nhất. Nếu mn “ 1 thì f ´1 p1q ‰ 1, nhưng I p1q “ f ´1 p1qf p1q “ f ´1 p1q ‰ 1, mâu thuẫn với điều I là hàm nhân. Nếu mn ‰ 1 thì với d1 d2 ă mn ta có f ´1 pd1 d2 q “ f ´1 pd1 qf ´1 pd2 q. Do đó ˆ ÿ 0 “ I pmnq “ f ´1 pdqf d|mn mn d ˙ ˆ ÿ ÿ “ f ´1 pd1 d2 qf d1 | m d2 | n mn d1 d2 ˙ Vì f là hàm nhân cho nên từ đó suy ra ˆ ÿ 0 “ f ´1 pd1 d2 qf f ´1 ´1 d1 |m,d2 |n d1 d2 ămn mn d1 d2 ˙ ` f ´1 pmnq ˆ ÿ “ pd1 qf pd2 qf d1 m,d2 |n d1 d2 ămn ˙ ˆ m f d1 n d2 ˙ ` f ´1 pmnq Ta cũng có ˆ 0 “ I pmqI pnq “ ÿ ÿ f ´1 pd1 qf ´1 pd2 qf d1 |m d2 |n ˆ ÿ “ d1 |m,d2 |n d1 d2 ămn f ´1 pd1 qf ´1 pd2 qf ˙ ˆ m f d1 n d2 ˙ ˆ m f d1 n d2 ˙ ˙ ` f ´1 pmqf ´1 pnq. Vì f ´1 pmqf ´1 pnq ‰ f ´1 pmnq cho nên từ đó suy ra I pmqI pnq ‰ I pmnq, mâu thuẫn với điều I là hàm nhân. Vậy ta có điều phải chứng minh. Từ Mệnh đề 1.3.7 và Mệnh đề 1.3.8, ta thấy ngay rằng tập các hàm nhân với tích Dirichlet là một nhóm con của nhóm tất cả các hàm số học khả nghịch. Sau đây là một tính chất của hàm nhân liên quan đến điều kiện để một số là số nguyên tố. 14 Mệnh đề 1.3.9. Nếu f và g là các hàm nhân và nhận giá trị dương. Khi đó n là một số nguyên tố khi và chỉ khi pf ˚ g qpnq “ pf ` g qpnq. Chứng minh. Giả sử n là một số nguyên tố. Khi đó ta có ˆ ˙ ÿ pf ˚ g qpnq “ f pdqg d|n n d “ f p1qg pnq ` f pnqg p1q “ 1.g pnq ` f pnq.1 “ f pnq ` g pnq “ pf ` g qpnq. Đảo lại, giả sử pf ˚ g qpnq “ pf ` g qpnq, và n không phải là số nguyên tố. Khi đó ta có ˆ ˙ ÿ f pdqg d|n n d “ f pnq ` g pnq. Viết lại ta được ˆ ˙ ÿ f pdqg d|n d‰1,n n ` f p1qg pnq ` f pnqg p1q “ f pnq ` g pnq. d Từ đó suy ra ˆ ˙ ÿ f pdqg d|n d‰1,n n ` f p1qg pnq ` f pnqg p1q “ 0. d Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì theo giả thiết f và g nhận giá trị dương. Vậy ta có điều phải chứng minh. 15 1.4 Công thức nghịch đảo Möbius Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm Möbius và công thức nghịch đảo Möbius. Hàm số học Möbius được định nghĩa như sau. $ ’ ’ ’ ’ 1 nếu n “ 1, ’ ’ ’ & µpnq “ p´1qk nếu n là tích của k số nguyên tố phân biệt, ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ nếu n chia hết cho p2 với p là một số nguyên tố . %0 Mệnh đề 1.4.1. Hàm Möbius là một hàm nhân. Chứng minh. Thật vậy, cho m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, ta phải chứng minh rằng µpmnq “ µpmqµpnq. Nếu m “ n “ 1 thì đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Bây giờ, giả sử rằng m và n chia hết cho bình phương của một số nguyên tố. Rõ ràng khi đó µpmnq “ 0 “ µpmqµpnq. Trong trường hợp còn lại giả sử m “ p1 p2 . . . pk và n “ q1 q2 . . . qt . Vì pm, nq “ 1 nên không có ước nguyên tố chung trong phân tích chính tắc của m và n. Do đó µpmq “ p´1qs , µpnq “ p´1qt , µpmnq “ p´1qs`t . Vậy ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.4.2. Nghịch đảo Drichlet của hàm Möbius µ là hàm hằng u. Chứng minh. Ta chứng minh µ ˚ u “ I. Vì u và µ là các hàm nhân cho nên µ ˚ u là một hàm nhân theo Mệnh đề 1.3.7. Vì I cũng là một hàm nhân cho nên, theo Hệ quả 1.3.5, ta chỉ cần chứng minh pµ ˚ uqppα q “ I ppα q với p là một số nguyên tố, α là một số nguyên không âm bất kì. 16 Thật vậy, nếu α “ 0 thì ta có pu ˚ µqpp0 q “ pu ˚ µqp1q “ 1 “ I p1q. Giả sử α ě 1. Rõ ràng khi đó ta có pα pu ˚ µqpp q “ µpdqu d d|pα ˆ ˙ ÿ ÿ α α ÿ “ µpdq “ d|pα µppk q “ µpp0 q ` µppq ` ¨ ¨ ¨ ` µppα q k “0 ´ ¯ “ µpp0 q ` µppq vì µppk q “ 0 với mọi k ě 2 “ µp1q ` µppq “ 1 ´ 1 “ 0 “ I ppα q. Vậy ta có điều phải chứng minh. Từ Mệnh đề 1.4.2 ta có ngay kết quả sau. Hệ quả 1.4.3. Với n là một số nguyên dương bất kì ÿ $ ’ ’ ’ &1 nếu n “ 1, ’ ’ ’ %0 nếu n ą 1. µpdq “ d|n Kết quả sau đây là một áp dụng của nghịch đảo Dirichlet của hàm Möbius. Mệnh đề 1.4.4 (Công thức nghịch đảo Möbius). Cho hai hàm số học f và g. Khi đó ˆ ˙ g pnq “ ÿ f pdq ô f pnq “ d|n ÿ µpdqg d|n n d trong đó n là một số nguyên dương. Chứng minh. Đẳng thức g pnq “ ÿ f pdq tương đương với g “ f ˚ u. Vì nghịch d|n đảo Drichlet của hàm Möbius µ là hàm hằng u theo Mệnh đề 1.4.2, cho nên điều này tương đương với g ˚ µ “ f ˚ I “ f . Viết tường minh công thức này ta có điều phải chứng minh. Đối với hàm Möbius chúng ta có tính chất sau.