Tài liệu Một số vấn đề về hàm ma trận và đạo hàm ma trận

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ĐẠO MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM MA TRẬN VÀ ĐẠO HÀM MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ĐẠO MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM MA TRẬN VÀ ĐẠO HÀM MA TRẬN Ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: PGS.TS. LÊ CÔNG TRÌNH Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của PGS. TS. Lê Công Trình, Trường Đại học Quy Nhơn. Do đó, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê, Khoa Sư phạm cùng quý thầy cô giáo giảng dạy các lớp Cao học Toán khoá 23, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này. Bình Định, ngày 28 tháng 8 năm 2022 Học viên Nguyễn Thị Đạo 1 Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin của 1.2 Một số kiến thức cơ bản về ma trận . . . . . 1.2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan . . . . . . . . 1.2.2 Ma trận chéo hoá được . . . . . . . . 1.2.3 Phổ và giá trị riêng . . . . . . . . . . 1.2.4 Vết và định thức . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Ma trận dương . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Một số bất đẳng thức ma trận cơ bản 1.2.7 Chuẩn ma trận . . . . . . . . . . . . hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 5 7 8 9 9 10 11 2 MỘT SỐ HÀM MA TRẬN 12 2.1 Hàm mũ ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Một số hàm ma trận khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ĐẠO HÀM MA TRẬN 3.1 Đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit . . . . . . . . . . . . 3.2 Đạo hàm của hàm vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 28 30 36 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 1 MỞ ĐẦU P i Cho A ∈ Mn (C) là một ma trận vuông phức cấp n và p(x) = m i=1 ci x là một đa thức một biến hệ số phức. Khi đó giá trị p(A) được định nghĩa một cách tự nhiên là m X p(A) = ci Ai . i=1 Tổng quát hơn với f là một hàm chỉnh hình với khai triển Taylor f (z) = P∞ k k=0 ck (z − a) , A ∈ Mn (C) sao cho toán tử ∥A − aI∥ bé hơn bán kính hội tụ của f , người ta có thể định nghĩa hàm f (A) như sau: f (A) := ∞ X ck (A − aI)k . k=0 Có thể định nghĩa giá trị ma trận của một hàm số bất kì như sau: Với A ∈ Mn (C) là một ma trận vuông phức cấp n tự liên hợp với giá trị riêng thuộc khoảng (a; b) ⊆ R và f : (a; b) −→ R là một hàm số, ma trận f (A) được định nghĩa thông qua sự phân tích phổ và phép P chéo hoá của A, tức là, nếu A = ki=1 αi Pi là sự phân tích phổ của A và A = U Diag(α1 , ..., αk )U ∗ là phép chéo hoá của A, thì f (A) = k X f (αi )Pi = U Diag(f (α1 ), ..., f (αk ))U ∗ . i=1 Theo cách này ta có thể thực hiện các tính toán giải tích trên các ma trận, chẳng hạn, ta có thể nghiên cứu các phép đạo hàm của ma trận. Phép tính đạo hàm ma trận được sử dụng trong thống kê, đặc biệt là để phân tích thống kê phân phối nhiều biến, phân phối chuẩn nhiều biến và các phân phối eliptic khác. ([2], [5], [4]). Phép tính đạo hàm ma trận còn có nhiều ứng dụng trong giải tích nhiều biến ([1], 2012). Do đó, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số vấn đề về hàm ma trận và đạo hàm ma trận" để nghiên cứu và trình bày trong luận văn này. 2 Mục tiêu của luận văn là nhằm tìm hiểu một số hàm ma trận và đạo hàm của một số hàm ma trận đó, đặc biệt là đạo hàm Fréchet. Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Nội dung của luận văn gồm ba chương, cụ thể Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản trong Giải tích cổ điển và một số kiến thức cơ bản về ma trận liên quan đến các chương sau của luận văn. Chương 2. Một số hàm ma trận Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến giá trị ma trận của các hàm số: hàm mũ, hàm luỹ thừa, hàm logarit,.. Chương 3. Đạo hàm ma trận Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến đạo hàm ma trận của một số hàm thường gặp như: hàm mũ, hàm logarit,..., đặc biệt là đạo hàm Fréchet. Mặc dù bản thân đã cố gắng nhưng do năng lực bản thân và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản trong Giải tích cổ điển và một số kiến thức cơ bản về ma trận liên quan đến các chương sau của luận văn. Các kết quả liên quan đến khai triển Taylor của hàm số có thể tìm được trong các giáo trình Giải tích cổ điển. Các khái niệm và kết quả cơ bản về ma trận trong chương này có thể tham khảo trong chương 1 của tài liệu [3]. 1.1 Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin của hàm số Định lý 1.1.1. Cho P (x) là đa thức đại số bậc n với hệ số thực n P (x) = a0 + a1 x + ... + an x = n X ak xk . k=0 Khi đó với mọi x0 ∈ R đa thức P (x) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng P (x) = n X P (k) (x0 ) k=0 k! (x − x0 )k , trong đó P (k) (x0 ) kí hiệu cho đạo hàm của P tại x = x0 . Công thức này được gọi là công thức Taylor với tâm x0 của đa thức P (x). Đối với các hàm khả vi cấp n tại x0 ∈ R, ta có Định nghĩa 1.1.2. Cho f : I −→ R là một hàm khả vi cấp n tại x0 ∈ I . Đa thức n X f (k) (x0 ) Tn (f ; x) = (x − x0 )k k! k=0 4 được gọi là đa thức Taylor với tâm x0 của hàm f khả vi cấp n tại x0 . Đặt Rn (f ; x) = f (x) − Tn (f ; x). Khi đó công thức f (x) = Tn (f ; x) + Rn (f ; x) được gọi là công thức Taylor với tâm x0 của hàm f . Trong trường hợp x0 = 0 công thức này được gọi là công thức Maclaurin. Đại lượng Rn (f ; x) được gọi là phần dư của công thức Taylor. Định lý 1.1.3 (Taylor). Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n − 1 trong δ− lân cận Vδ (x0 ) của x0 và có đạo hàm hữu hạn cấp n tại x0 . Khi đó f có thể biểu diễn dưới dạng f (x) = n X f (k) (x0 ) k! k=0 (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) khi x −→ x0 . Công thức trên được gọi là công thức Taylor (dạng địa phương) với phần dư P eano. Định lý 1.1.4 (Taylor). Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n trong (a; b) và có đạo hàm cấp n + 1 tại mọi x ∈ (a; b) có thể trừ ra điểm x0 ∈ (a; b). Khi đó giữa x0 và x ∈ (a; b) bất kì tồn tại c sao cho f (x) = n X f (n) (x0 ) k=0 k! (x − x0 )k + Rn+1 (f ; x), (1.1) trong đó 1 R(n+1) (f ; x) = n!p  x − x0 x−c p (x − c)n+1 f (n+1) (c), p ∈ R, p > 0. Công thức (1.1) được gọi là công thức Taylor của hàm f với phần dư Rn+1 dưới dạng Schomilch - Roche. Sau đây là công thức Maclaurin của một số hàm số sơ cấp. (1) Hàm số f (x) = ex có đạo hàm mọi cấp trên R và f (n) (x) = ex , ∀n nên ta có x2 xn 1 e =1+x+ + ... + + eθx xn+1 , θ ∈ (0; 1). 2! n! (n + 1)! x 5 (2) Hàm số f (x) = sin x có đạo hàm mọi cấp trên R và f (n) (x) = π sin x + n , ∀n nên ta có 2 h π i 2n+1 sin θx + (2n + 1) x 2n−1 x3 2 n−1 x sin x = x − + ... + (−1) + 3! (2n − 2)! (2n + 1)! với θ ∈ (0; 1). (3) Hàm số f (x) = cos x có đạo hàm mọi cấp trên R nên ta có h π i 2n cos θx + (2n) x 2(n−1) x2 x4 n−1 x 2 cos x = 1 − + − ... + (−1) + 2! 4! [2(n − 1)]! (2n)! với θ ∈ (0; 1). (4) Hàm số f (x) = ln(1 + x) có đạo hàm mọi cấp tại mọi x > −1 và ta có x2 xn−1 ln(1 + x) = x − + ... + (−1)n + Rn (x). 2 n−1 1.2 Một số kiến thức cơ bản về ma trận Trong toàn bộ luận văn, kí hiệu Mn := Mn (C) cho tập hợp các ma trận vuông phức cấp n. 1.2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan Một khối Jordan là một ma trận có dạng  a 1 0  0 a 1  Jk (a) =  0 0 a  .. .. .. . . . ... ... ... ... 0 0 0 ...  0  0  0 , ..  . a trong đó a ∈ C. Đây là ma trận tam giác trên Jk (a) ∈ Mk . Chúng ta thường sử dụng kí hiệu Jk := Jk (0). Khi đó Jk (a) = aIk + Jk trong đó Ik và Jk giao hoán. 6 Ví dụ 1.2.1. Ma trận Jk xác định bởi ( 1 nếu j = i + 1, (Jk )ij = 0 còn lại. Do đó ( (Jk )ij (Jk )jk = 1 nếu j = i + 1 và k = i + 2, 0 còn lại. Suy ra ( (Jk2 )ij = 1 nếu j = i + 2, 0 còn lại. Nhận thấy nếu luỹ thừa của Jk càng tăng, dòng chứa 1 sẽ dịch chuyển lên càng cao. Cụ thể Jkk = 0. Các ma trận Jkm (0 ≤ m ≤ k − 1) là độc lập tuyến tính. Nếu a ̸= 0 thì det Jk (a) ̸= 0 và do đó Jk (a) khả nghịch. Ta có thể tìm nghịch đảo của phương trình dạng   k−1 X (aIk + Jk )  cj Jkj  = Ik . j=0 Phương trình trên có thể viết lại như sau ac0 Ik + k−1 X (acj + cj−1 Jkj ) = Ik . j=1 Ta tìm được cj = −(−a)−j−1 (0 ≤ j ≤ k − 1). Đặc biệt, với k = 3, ta có  −1   a 1 0 a−1 −a−2 a−3     a−1 −a−2  . 0 a 1 =  0 0 0 a 0 0 a−1 □ 7 Định lý 1.2.2 (Dạng chuẩn tắc Jordan). Với mọi ma trận X ∈ Mn , tồn tại một ma trận khả nghịch S ∈ Mn sao cho   Jk (λ1 ) 0 ... 0  1   0  −1 J (λ ) . . . 0 k 1 1  S = SJS −1 , X =S . . . ...  ..  . . . .   0 0 . . . Jkm (λm ) trong đó k1 + k2 + ... + km = n. Ma trận Jordan J được xác định duy nhất. Định lý 1.2.3 (Cayley - Hamilton). Nếu p là đa thức đặc trưng của X ∈ Mn thì p(X) = 0. 1.2.2 Ma trận chéo hoá được Một ma trận A ∈ Mn là chéo hoá được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch S ∈ Mn sao cho A = S Diag(λ1 , λ2 , ..., λn )S −1 , với λ1 , λ2 , ..., λn ∈ C là các giá trị riêng của A. Trong trường hợp này f (A) = S Diag(f (λ1 ), f (λ2 ), ..., f (λn ))S −1 , (1.2) trong đó f là hàm biến phức xác định trên tập hợp chứa các giá trị riêng của A. Nếu các số λ1 , λ2 , ..., λn khác nhau thì ta có đa thức p(x) bậc n − 1 sao cho p(λi ) = f (λi ) : n Y X x − λi f (λj ). p(x) = λ − λ j i j=1 i̸=j Công thức trên được gọi là công thức nội suy Lagrange. Do đó ta có f (A) = p(A) = n Y X A − λi I j=1 i̸=j λj − λi f (λj ), trong đó I kí hiệu cho ma trận đơn vị cấp n trong Mn . 8 1.2.3 Phổ và giá trị riêng Cho A ∈ Mn và λ ∈ C, ta nói λ là một giá trị riêng của A nếu tồn tại v ∈ Cn \ {0} sao cho Av = λv. Vectơ v được gọi là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ. Kí hiệu σ(A) là tập tất cả các giá trị riêng của A. Do đó,  σ(A) = λ ∈ C \ det(A − λI) = 0 . Cho A ∈ Mn là một ma trận Hermit. Khi đó với σ(A) = {λ1 , ..., λn } tồn tại các giá trị riêng v1 , ..., vn tạo thành một cơ sở trực chuẩn của Cn với Avi = λi vi , ∀i. Khi đó ta có phân tích A= n X λi vi vi∗ . (1.3) i=1 Phân tích này được gọi là phân tích phân tích Schmidt của A. Phân tích Schmidt được gọi là duy nhất nếu tất cả các giá trị riêng là phân biệt. Một phân tích khác cũng thường được dùng là phân tích phổ. Giả sử ma trận Hermit A có các giá trị riêng µ1 > µ2 > ... > µk , khi đó A= k X µj Pj , (1.4) j=1 trong đó Pj là phép chiếu trực giao lên không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng µj . Từ phân tích Schmidt (1.3), X Pj = vi vi∗ , i trong đó tổng được lấy trên tất cả các chỉ số i sao cho λi = µj . Phân tích này luôn là duy nhất. Cho f : (a, b) ⊆ R → R là một hàm số, A ∈ Mn là một ma trận có giá P trị riêng thuộc (a, b). Nếu A có phân tích phổ A = kj=1 µj Pj với µi là các giá trị riêng khác nhau của A thì ma trận f (A) được định nghĩa bởi f (A) = k X j=1 f (µj )Pj . 9 1.2.4 Vết và định thức Với mỗi ma trận A = (Aij )n×n ∈ Mn , vết của A được định nghĩa là tổng các phần tử trên đường chéo chính của A, tức là T rA = A11 + A22 + ... + Ann . Giả sử σ(A) = {λ1 , λ2 , ..., λn }. Khi đó T rA = n X λi và det A = i=1 n Y λi . i=1 Định lý 1.2.4. Định thức của ma trận dương A ∈ Mn không vượt quá tích các phần tử trên đường chéo chính det A ≤ n Y Aii . i=1 1.2.5 Ma trận dương Định nghĩa 1.2.5. Với mỗi A = (Aij )n×n ∈ Mn , kí hiệu AT là ma trận chuyển vị của A, kí hiệu A∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của A, tức là liên hợp của AT . Ma trận A ∈ Mn được gọi là Hermit (hay tự liên hợp) nếu A = A∗ . Ma trận U ∈ Mn được gọi là unita nếu U ∗ U = U U ∗ = I. Tập tất cả các ma trận Hermit cấp n dược kí hiệu bởi Msa n . Định nghĩa 1.2.6. Ma trận A ∈ Mn được gọi là dương (hay nửa xác định dương) nếu x∗ Ax ≥ 0, ∀x ∈ Cn , kí hiệu A ≥ 0. Chú ý rằng A ≥ 0 thì A là Hermit. Hơn nữa, nếu A1 ≥ 0, A2 ≥ 0 thì A1 + A2 ≥ 0. Định lý 1.2.7. Cho A ∈ Mn . Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương. 1. A là ma trận dương. 2. A = A∗ và phổ của A nằm trong R+ = [0, ∞). 3. A được viết dưới dạng A = B ∗ B với toán tử B ∈ Mn . Chú ý rằng A ∈ Mn là dương nếu và chỉ nếu U AU ∗ dương với U là một ma trận unita. 10 Định lý 1.2.8. Cho A là một ma trận dương. Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận dương B sao cho B 2 = A. Ma trận dương khả nghịch được gọi là ma trận xác định dương. Nếu A là một ma trận xác định dương, kí hiệu A > 0. Định nghĩa 1.2.9. Cho các số λ1 , λ2 , ..., λn > 0. Ma trận A được gọi là ma trận Cauchy nếu 1 Aij = . λi + λj Ta có 1 = λi + λj Z ∞ e−tλi e−tλj 0 và ma trận A(t)ij := e−tλi e−tλj là dương với mọi t ∈ R. Do đó Z A= ∞ A(t)dt 0 cũng dương. 1.2.6 Một số bất đẳng thức ma trận cơ bản Định lý 1.2.10. Giả sử 0 < A, B ∈ Mn là các ma trận khả nghịch và A ≤ B. Khi đó B −1 ≤ A−1 . Định lý 1.2.11. Nếu A ≤ B thì λk (A) ≤ λk (B) với mọi k. Bổ đề 1.2.12. Giả sử A, B ∈ Mn là các ma trận Hermit. 1. Nếu A ≤ B thì T rA ≤ T rB. 2. Nếu 0 ≤ A ≤ B thì det A ≤ det B. Định lý 1.2.13. Cho A = (Aij )n×n và B = (Bij )n×n là các ma trận vuông dương cấp n. Khi đó Cij = Aij Bij (1 ≤ i, j ≤ n) xác định một ma trận dương. Ma trận C gồm các hệ tử Cij của định lý trên được gọi là tích Hadamard (hoặc tích Schur) của ma trận A và B , kí hiệu C = A ◦ B. 11 1.2.7 Chuẩn ma trận Định nghĩa 1.2.14. Không gian Mn các ma trận trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng ⟨A, B⟩ = T rA∗ B. Tích vô hướng này được gọi là tích vô hướng Hilbert -Schmidt. Định nghĩa 1.2.15. Chuẩn Hilbert -Schmidt của ma trận A = (Aij )n×n ∈ Mn được định nghĩa như sau   12 n q X √ ∥A∥2 := ⟨A, A⟩ = T rA∗ A =  (1.5) |Aij |2  . i,j=1 Định nghĩa 1.2.16. Chuẩn toán tử của một ma trận A ∈ Mn được xác định bởi n o n ∥A∥:= sup ∥Ax∥: x ∈ C , ∥x∥= 1 . Nếu ∥A∥≤ 1 thì ma trận A được gọi là một ma trận co rút (contraction). Ví dụ 1.2.17. Giả sử A ∈ Mn và ∥A∥< 1. Khi đó I − A là khả nghịch và −1 (I − A) = ∞ X An . n=0 Vì (I − A) N X An = I − AN +1 và ∥AN +1 ∥≤ ∥A∥N +1 n=0 nên (I − A) ∞ X An = I. (1.6) n=0 Công thức (1.6) được gọi là chuỗi Neumann. □ 12 Chương 2 MỘT SỐ HÀM MA TRẬN Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến giá trị ma trận của các hàm số: hàm mũ,hàm luỹ thừa, hàm logarit,...Các khái niệm và kết quả trong chương này được trình bày từ cuốn sách Hiai và Petz [3]. 2.1 Hàm mũ ma trận Định nghĩa 2.1.1. Cho A ∈ Mn (C) là một ma trận vuông phức cấp n. Hàm mũ của A, được kí hiệu là eA hoặc exp(A), là một ma trận vuông cấp n được định nghĩa bởi chuỗi luỹ thừa sau: A e := ∞ X An n=0 n! . Chuỗi ở trên là chuỗi hội tụ vì ∞ n ∞ n X A X ∥A∥ = e∥A∥ . ≤ n! n! n=0 n=0 Do đó hàm mũ của A là xác định. Ví dụ 2.1.2. Cho ma trận  a 0  A= 0 0 1 a 0 0 0 1 a 0  0 0  . 1 a (2.1) 13 Ta có  a 0  A= 0 0 1 a 0 0 0 1 a 0   0 1   0 0  = a 0 1 a 0 0 1 0 0 0 0 1 0   0 0   0 0 + 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0  0 0   = aI + J. 1 0 Ta có J m = 0, ∀m > 3. Hơn nữa n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3 a J + a J An = an I + nan−1 J + 2 2.3 và ∞ An ∞ an ∞ ∞ ∞ P P P an−1 1P an−2 2 1 P an−3 3 = I+ J+ J + J 2 n=2 (n − 2)! 6 n=3 (n − 3)! n=0 n! n=0 n! n=1 (n − 1)! 1 1 = ea I + ea J + ea J 2 + ea J 3 . 2 6   1 1 1 1 2 6 0 1 1 1   2 . Do đó eA = ea  □  0 0 1 1 0 0 0 1 Ví dụ 2.1.3. Cho ma trận Ta có  0  1  B2 =  0  0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4  0  0  0 . 0  0  0  0  B22 =  2  0 0  0  0  B23 =  0  6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  0  0 , 0  0  0  0  0 , 0  0 14  0  0  B24 =  0  0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  0  0  0  0 và B2m = 0, với m ≥ 5. P B2 B22 B23 B24 B2n = I + + + + . Do đó eB2 = ∞ n=0 n! 1 2 6 24 Vậy   1 0 0 0 0   1 1 0 0 0    e B2 =  1 2 1 0 0 .   1 3 3 1 0 1 4 6 4 1 □ Ví dụ 2.1.4. Cho ma trận   −3 1 −1   B = −7 5 −1 . −6 6 −2 Ma trận chuẩn tắc Jordan J của B bằng   −2 1 0   J = P −1 BP =  0 −2 0 , 0 0 4   1 1 0   trong đó P = 1 1 1 . 0 −1 1 " # " # −2 1 0 1 Ta có J1 (−2) = = (−2)I + N với N = và J2 (4) = [4]. 0 −2 0 0 Khi đó " # " # " # " # 1 0 0 1 1 1 0 0 1 + ... = , eN = + + 2! 0 0 0 1 0 1 0 0 15 " eJ1 (−2) = e−2 eN = e−2 # # " e−2 e−2 1 1 , = 0 e−2 0 1 eJ2 (4) = e4 và  eJ = eJ1 (−2)⊕J2 (4) Do đó  e−2 e−2 0   =  0 e−2 0  . 0 0 e4 −1 JP −1 eB = eP  = P eJ P  e−2 e−2 0   = P  0 e−2 0  P −1 0 0 e4   0 e−2 −e−2   =  −e−4 e−2 + e4 −e−2  . e−2 − e4 −e−2 + e4 e−2 □ Chú ý rằng với ma trận A trên đây ta có n  A . eA = lim I + n→∞ n (2.2) Thật vậy, ta có e aI+J      a 1 n A n = lim I 1 + = lim I + . + J n−→∞ n−→∞ n n n □ Tổng quát hơn ta có kết quả sau. Định lý 2.1.5. Ký hiệu "   m X 1 A k Tm,n (A) = k! n #n (m, n ∈ N). k=0 Khi đó lim Tm,n (A) = lim Tm,n (A) = eA . m→∞ n→∞ 16 A Chứng minh. Ma trận B = e n và ma trận   m X 1 A k T = k! n k=0 giao hoán. Do đó eA − Tm,n (A) = B n − T n = (B − T )(B n−1 + B n−2 T + ... + T n−1 ). Ta có đánh giá ∥eA − Tm,n (A)∥ ≤ ∥B − T ∥n × max{∥B∥i ∥T ∥n−i−1 : 0 ≤ i ≤ n − 1}. Vì ∥T ∥ ≤ e ∥A∥ n và ∥B∥ ≤ e ∥A∥ n nên A ∥eA − Tm,n (A)∥ ≤ n∥e n − T ∥e n−1 n ∥A∥ . Bằng cách chặn phần dư của chuỗi Taylor,   ∥A∥ m+1 ∥A∥ n−1 ∥A∥ n A e n e n ∥e − Tm,n (A)∥ ≤ (m + 1)! n hội tụ đến 0 trong cả hai trường hợp m → ∞ và n → ∞. Định lý 2.1.6. Cho A, B ∈ Mn (C). Khi đó AB = BA khi và chỉ khi et(A+B) = etA etB (t ∈ R). Chứng minh. Giả sử AB = BA. Khi đó A B e e = Do đó ∞ X 1 Am B n . m!n! m,n=0 ∞ X 1 e e = Ck , k! A B k=0 trong đó Ck := k! m n A B . m!n! m+n=k X Vì AB = BA và Ck = (A + B)k nên ∞ X 1 (A + B)k = eA+B . e e = k! A B k=0