Tài liệu Một số vấn đề về hàm đơn điệu và hàm lồi ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————– CAO THỊ ÁI LOAN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ HÀM LỒI MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————– CAO THỊ ÁI LOAN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ HÀM LỒI MA TRẬN Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: PGS.TS. LÊ CÔNG TRÌNH Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Công Trình vì đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tất cả các thầy cô trong Khoa Toán và Thống kê, khoa Sư phạm, phòng Đào tạo sau đại học, nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này. Bình Định, ngày ... tháng ... năm 2022 Học viên Cao Thị Ái Loan i Mục lục Mở đầu iii 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giá trị riêng và phổ của ma trận . . 1.2 Vết và định thức của ma trận . . . 1.3 Ma trận dương . . . . . . . . . . . 1.4 Phân tích Schmidt và phân tích phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 3 2 Hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận 2.1 Hàm đơn điệu ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ về hàm đơn điệu ma trận . . 2.1.2 Tiêu chuẩn đạo hàm cho tính đơn điệu ma trận . . 2.2 Hàm lồi ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Hàm lồi ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Hàm Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Định lý Löwner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 8 9 9 15 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 34 ii 19 19 22 28 31 Mở đầu Cho (a, b) ⊆ R là một khoảng mở. Một hàm số f : (a, b) −→ R được gọi là đơn điệu đối với các ma trận vuông cấp n nếu f (A) ≤ f (B) với mọi A, B là các ma trận vuông Hermit cấp n, A và B có các giá trị riêng nằm trong (a, b) thỏa mãn A ≤ B . Ở đây, A ≤ B có nghĩa là B − A là một ma trận nửa xác định dương. Nếu một hàm số là đơn điệu đối với các ma trận vuông cấp bất kỳ thì nó được gọi là một hàm đơn điệu ma trận hay hàm đơn điệu toán tử. Hàm số f : (a, b) −→ R được gọi là hàm lồi ma trận nếu f (tA + (1 − t)B) ≤ tf (A) + (1 − t)f (B) với A, B là các ma trận vuông Hermit cấp bất kỳ có giá trị riêng thuộc khoảng (a, b) và với mọi 0 ≤ t ≤ 1. Nếu −f là hàm lồi ma trận, thì f được gọi là hàm lõm ma trận. Ở đây, với A ∈ Mn (C) là một ma trận vuông phức cấp n Hermit với các giá trị riêng thuộc khoảng (a, b) ⊆ R và f : (a, b) → R là một hàm số, ma trận f (A) được định nghĩa thông qua sự phân tích phổ hoặc phép P chéo hóa của A, tức là, nếu A = ki=1 αi Pi là phân tích phổ của A và A = U Diag(α1 , . . . , αk )U ∗ là phép chéo hóa của A, thì f (A) = k X f (αi )Pi = U Diag(f (α1 ), . . . , f (αk ))U ∗ . i=1 Lý thuyết về các hàm đơn điệu ma trận được khởi xướng bởi Karel Löwner ([6], 1934), không lâu sau đó, Fritz Kraus ([5], 1936) đã phát triển lý thuyết các hàm lồi ma trận. Sau các phát triển tiếp theo của một số nhà nghiên cứu (chẳng hạn, Bendat và Sherman ([1], 1955), Korányi ([4], 1956)), Hansen và Pedersen ([2], 1982) đã thiết lập các phương pháp nghiên cứu hiện đại đối với các hàm lồi và đơn điệu ma trận. iii iv Một đặc điểm đáng chú ý của lý thuyết Löwner là chúng ta có đặc trưng khác nhau các hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận từ các quan điểm khác nhau. Các biểu diễn tích phân của các hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận là đóng vai trò quan trọng cả về mặt lý thuyết và ứng dụng. Trong Giải tích thực, tính đơn điệu và tính lồi không liên quan trực tiếp với nhau, nhưng trong Giải tích ma trận thì tình huống rất khác. Chẳng hạn, một hàm đơn điệu ma trận trên (0, +∞) là lõm ma trận. Các hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận có nhiều ứng dụng quan trọng, nhưng đối với một hàm cụ thể, việc xác định tính đơn điệu ma trận hoặc tính lồi ma trận của nó là không dễ dàng. Chính vì thế, việc nghiên cứu các đặc trưng và các ví dụ về các hàm đơn điệu và hàm lồi ma trận là rất cần thiết và có ý nghĩa. Mục đích của luận văn nhằm tìm hiểu một số đặc trưng, tính chất và ví dụ về các hàm đơn điệu và lồi ma trận. Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong các chương sau của luận văn, gồm: hàm đơn điệu, hàm lồi; một số kiến thức cơ bản về ma trận, trong đó có sự phân tích phổ và phép chéo hóa ma trận,... và một số kết quả khác liên quan. Chương 2. Hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận Trong chương này chúng tôi trình bày một số định lý và các bất đẳng thức liên quan đến hàm đơn điệu và hàm lồi ma trận. Đồng thời, chúng tôi cũng trình bày một số ví dụ áp dụng. Mặc dù tác giả đã cố gắng tổng hợp tài liệu và trình bày các nội dung liên quan đến hàm đơn điệu và hàm lồi ma trận một cách tốt nhất, nhưng do điều kiện về mặt thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn. 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về ma trận, chuẩn bị cho chương sau của luận văn. Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tham khảo trong cuốn sách của Hiai và Petz ([3]). 1.1 Giá trị riêng và phổ của ma trận Ký hiệu Mn là tập hợp các ma trận vuông phức cấp n. Cho A ∈ Mn và λ ∈ C. Ta nói rằng λ là một giá trị riêng của A nếu tồn tại một vectơ v ∈ Cn khác không sao cho Av = λv. Vectơ v được gọi là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ. Ký hiệu σ(A) là tập tất cả các giá trị riêng của A. Do đó, σ(A) = {λ ∈ C | det(A − λI) = 0}. 1.2 Vết và định thức của ma trận Với mỗi ma trận (Aij )n×n ∈ Mn , vết của A được định nghĩa là tổng của các phần tử trên đường chéo chính của A, tức là T rA = A11 + A22 + ... + Ann . Giả sử σ(A) = {λ1 , λ2 , ..., λn }. Khi đó T rA = n X i=1 λi , det(A) = n Y i=1 λi . 2 Định lý 1.2.1. Định thức của ma trận dương A ∈ Mn không vượt quá tích của đường chéo chính det A ≤ n Y Aii . i=1 1.3 Ma trận dương Định nghĩa 1.3.1. Với mỗi A = (Aij )n×n ∈ M, ký hiệu At là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của A, tức là liên hợp phức của ma trận At . Ma trận A ∈ Mn được gọi là Hermit (hay tự liên hợp) nếu A = A∗ . Ma trận U ∈ Mn được gọi là unita nếu U ∗ U = U U ∗ = I. Định nghĩa 1.3.2. Ma trận A ∈ Mn được gọi là dương (hay nửa xác định dương) nếu x∗ Ax ≥ 0, ∀x ∈ Cn , ký hiệu A ≥ 0. Chú ý rằng A ≥ 0 thì A là Hermit. Hơn nữa, nếu A1 ≥ 0, A2 ≥ 0 thì A1 + A2 ≥ 0. Với hai ma trận A, B ∈ Mn , ta viết A ≥ B có nghĩa là A − B ≥ 0. Định lý 1.3.3. Cho A ∈ Mn . Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương. (1) A là ma trận dương, (2) A = A∗ và phổ của A nằm trong R+ = [0, ∞), (3) A được viết dưới dạng A = B ∗ B, với B ∈ Mn . Chú ý rằng A ∈ Mn là dương nếu và chỉ nếu U AU ∗ dương với U là ma trận unita. Định lý 1.3.4. Cho A là một ma trận dương. Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận dương B sao cho B 2 = A. Tập tất cả các ma trận Hermit cấp n được ký hiệu bởi Msa n . 3 Định lý 1.3.5. Cho A và B là các ma trận vuông dương cấp n. Khi đó Cij = Aij Bij (1 ≤ i, j ≤ n) xác định một ma trận dương. Ma trận C gồm các hệ tử Cij của định lý trên được gọi là tích Hadamard (hoặc tích Schur ) của ma trận A và B , kí hiệu C = A ◦ B. Ma trận dương khả nghịch được gọi là ma trận xác định dương. Nếu A là một ma trận xác định dương, ta ký hiệu A > 0. 1.4 Phân tích Schmidt và phân tích phổ Cho A ∈ Mn là một ma trận Hermit. Khi đó, với σ(A) = {λ1 , ..., λn }, tồn tại các vectơ riêng v1 , ..., vn tạo thành một cơ sở trực chuẩn của Cn , với Avi = λi vi , ∀i. Khi đó ta có phân tích A= n X λi vi vi∗ . (1.1) i=1 Phân tích này được gọi là phân tích Schmidt của A. Phân tích Schmidt là duy nhất nếu tất cả các giá trị riêng là phân biệt. Một phân tích khác của ma trận là phân tích phổ. Giả sử ma trận Hermit A có các giá trị riêng µ1 > µ2 > ... > µk . Khi đó A= k X µ j Pj , (1.2) j=1 trong đó Pj là phép chiếu trực giao lên không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng µj . Từ phân tích Schmidt (1.1), ta có X Pj = vi vi∗ , i trong đó tổng được lấy trên tất cả các chỉ số i sao cho λi = µj . Phân tích này luôn là duy nhất. Cho f : (a, b) ⊂ R → R là một hàm số, A ∈ Mn là một ma trận có P giá trị riêng thuộc (a, b). Nếu A có phân tích phổ A = kj=1 µj Pj , với 4 µ1 , ..., µk là các giá trị riêng khác nhau của A, thì ma trận f (A) được định nghĩa bởi f (A) := k X j=1 f (µj )Pj . 5 Chương 2 Hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, một số ví dụ và đặc trưng cho các hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận. Các kết quả trong chương này được tổng hợp và trình bày lại từ chương 4 trong cuốn sách của Hiai và Petz ([3]). 2.1 2.1.1 Hàm đơn điệu ma trận Định nghĩa và ví dụ về hàm đơn điệu ma trận Định nghĩa 2.1.1. Cho (a, b) ⊂ R là một khoảng. Hàm f : (a, b) → R gọi là đơn điệu đối với mọi ma trận vuông cấp n nếu f (A) ≤ f (B) với ma trận Hermit cấp n A và B thỏa mãn A ≤ B và có giá trị riêng thuộc (a, b). Nếu f đơn điệu đối với mọi cấp của ma trận, f được gọi là hàm đơn điệu ma trận Ví dụ 2.1.1. Hàm f (x) = −(t + x)−1 là đơn điệu ma trận trên [0, ∞), với t > 0 là một tham số. Thật vậy, lấy A và B là các ma trận xác định dương cùng cấp. Khi đó At := tI + A và Bt := tI + B khả nghịch và −1/2 At ≤ Bt ⇐⇒ Bt −1/2 ⇐⇒∥ Bt −1/2 At Bt −1/2 At Bt −1/2 ≤ I ⇐⇒∥ Bt −1/2 At Bt ∥ (2.1) ∥≤ 1. Do phép liên hợp bảo toàn chuẩn toán tử, nên từ điều kiện cuối cùng của −1/2 1/2 bất đẳng thức (2.1), ta có ∥ Bt At ∥≤ 1, tức là Bt−1 ≤ A−1 t . 6 Ví dụ 2.1.2. Hàm f (x) = log x là đơn điệu ma trận trên khoảng (0, ∞). Thật vậy, ta có thể biểu diễn tích phân cho hàm log x bởi công thức  Z ∞ 1 1 log x = − dt. 1 + t x + t 0 Hàm dưới dấu tích phân ft (x) := 1 1 − 1+t x+t là đơn điệu ma trận theo ví dụ trước. Suy ra n X ci ft(i) (x) i=1 là đơn điệu ma trận với mọi t(i) và ci dương thuộc R. Do tích phân là giới hạn của các hàm số dạng này nên nó cũng là một hàm đơn điệu ma trận. Ví dụ 2.1.3. Hàm f+ (x) =  0 X n=−∞ 1 nπ − 2 (n − 1/2)π − x n π + 1  là đơn điệu ma trận trên khoảng (−π/2, +∞) và  ∞  X nπ 1 f− (x) = − (n − 1/2)π − x n2 π + 1 n=1 là đơn điệu ma trận trên khoảng (−∞, π/2). Vì vậy, tan x = f+ (x) + f− (x) = ∞  X −∞ nπ 1 − 2 (n − 1/2)π − x n π + 1  là đơn điệu ma trận trên khoảng (−π/2, π/2). √ Ví dụ 2.1.4. Hàm f (x) = x là đơn điệu ma trận trên [0, ∞). Để chứng minh hàm căn bậc hai là hàm đơn điệu ma trận, ta xét hàm sau √ F (t) := A + tX 7 với t ∈ [0, 1] và A, X là các ma trận dương. Nếu F tăng thì √ √ F (0) = A ≤ A + X = F (1). Để chứng minh F tăng, ta chỉ cần kiểm tra rằng các giá trị riêng của là dương. Lấy đạo hàm của đẳng thức F (t)F (t) = A + tX, ta được F ′ (t) F ′ (t)F (t) + F (t)F ′ (t) = X. P Chú ý rằng F ′ là Hermit. Giả sử F ′ (t) = i λi Ei là phân tích phổ (cả giá trị riêng và phép chiếu đều phụ thuộc vào giá trị của t). Khi đó X λi (Ei F (t) + F (t)Ei ) = X i và sau khi nhân Ej vào bên trái và bên phải, ta được 2λj T rEj F (t)Ej = T rEj XEj . Vì cả hai vết đều dương nên λj dương. Ví dụ 2.1.5. Tổng quát hơn, với mọi 0 < t < 1, tính đơn điệu của ma trận giữ nguyên: 0 ≤ A ≤ B suy ra At ≤ B t (bất đẳng thức Löwner). Tiếp theo ta xét trường hợp t > 1. Lấy các ma trận 3  " # 0 1 1 1 . A =  2 3  và B = 2 1 1 0 2 Khi đó ta có thể kiểm tra A ≥ B ≥ 0. Vì B là một phép chiếu trực giao nên với mỗi p > 1 ta có B p = B và  p  3 1 −   2 2  p p   A −B = p .  1 3  − 2 2 Ta có 1 det(Ap − B p ) = 2  p 3 (2.3p − 2p − 4p ). 8 Nếu Ap ≥ B p thì ta phải có det(Ap −B p ) ≥ 0, tức là 2.3p −2p −4p ≥ 0, nhưng điều này không đúng khi p > 1. Do đó Ap ≥ B p không đúng với mọi p > 1. Từ đó ta thấy rằng hàm f (x) = xt là đơn điệu ma trận trên [0, ∞) với mọi t ∈ (0, 1). 8 2.1.2 Tiêu chuẩn đạo hàm cho tính đơn điệu ma trận Định lý 2.1.2. ([3, Theorem 3.23]) Cho A, B ∈ Mn (C) là các ma trận tự liên hợp và t ∈ R. Cho f : (α, β) −→ R là hàm khả vi liên tục và giả sử rằng các giá trị riêng của A + tB thuộc (α, β) với t − t0 nhỏ. Khi đó  d  T rf (A + tB) = T r(Bf ′ (A + t0 B)). (2.2) dt t=t0 Bổ đề 2.1.3. Cho f : (α, β) −→ R là một hàm thuộc lớp C 1 và A = Diag(t1 , t2 , ..., tn ) với α < ti < β (1 ≤ i ≤ n). Nếu B = B ∗ thì đạo hàm của hàm t 7→ f (A + tB) là một tích Schur  d  = D ◦ B, (2.3) f (A + tB) dt t=t0 trong đó D là ma trận sai phân    f (ti ) − f (tj ) ti − tj Dij =  f ′ (ti ) nếu ti − tj ̸= 0, nếu ti − tj = 0. Định lý 2.1.4. Một hàm trơn f : (a, b) −→ R là đơn điệu ma trận đối với các ma trận vuông cấp n nếu và chỉ nếu ma trận sai phân D ∈ Mn xác định bởi:    f (ti ) − f( tj ) ; nếu t − t ̸= 0, i j ti − tj Dij = (2.4)  f ′ (ti ), nếu ti − tj = 0, là ma trận dương với t1 , t2 , ..., tn ∈ (a, b). Chứng minh. (⇒). Cho A là một ma trận Hermit và B là một ma trận dương cấp n. Khi f là đơn điệu ma trận, t 7−→ f (A, tB) là hàm tăng theo biến thực t, vì vậy, đạo hàm của nó là một ma trận nửa xác định dương. d Để tính đạo hàm ta sử dụng công thức f (A + tB)|t=0 = D ◦ B như dt ở Bổ đề 2.1.3 Định lý Schur suy ra đạo hàm này dương nếu ma trận sai phân dương. (⇐). Xét ma trận B có các hàng và các cột bằng 1. Khi đó D ◦ B = D. 9 Ví dụ 2.1.6. Hàm f (x) := exp x không là đơn điệu ma trận. Thật vậy, vì ma trận sai phân   exp x − exp y exp x   x−y D =  exp y − exp x  exp y y−x có định thức không dương với x = 0 và y đủ lớn, nên D không xác định dương. Ví dụ 2.1.7. Ta xét hàm đơn điệu (√ x f (x) = (1 + x)/2 nếu 0 ≤ x ≤ 1, nếu 1 ≤ x. Đây là hàm đơn điệu ma trận trong các đoạn [0, 1] và [1, ∞). Thật vậy, theo Định lý 2.1.4, f là hàm đơn điệu trên [0, ∞) đối với ma trận cấp 2. Ta cần chứng minh rằng với 0 < x < 1 và 1 < y, ma trận   f (x) − f (y) " # ′ f (x) ′ ′  x − y  = f (x) f (z) ( với z ∈ [x, y])   f (x) − f (y) f ′ (z) f ′ (y) ′ f (y) x−y là một ma trận dương. Điều này đúng. Tuy nhiên f không đơn điệu đối với các ma trận có cấp lớn hơn. 2.2 Hàm lồi ma trận 2.2.1 Tập lồi và hàm lồi Cho V là một không gian vectơ. Khi đó u, v ∈ V được gọi là các đầu mút của đoạn thẳng [u, v] := {λu + (1 − λ)v : λ ∈ R, 0 ≤ λ ≤ 1} . Tập con A ⊂ V được gọi là lồi nếu với bất kỳ u, v ∈ A thì đoạn thẳng [u, v] là chứa trong A. 10 Tập con A là lồi nếu và chỉ nếu với mọi tập con Pnv1 , v2 , ..., vn hữu hạn Pn và với mọi số thực dương λ1 , ..., λn thỏa mãn i=1 λi = 1, ta có i=1 λi vi ∈ A. Giao của các tập lồi là lồi. Cho (a, b) ⊆ R. Khi đó tập hợp {A ∈ Mn |σ(A) ⊂ (a, b), A Hermit} là một tập lồi. Ví dụ 2.2.1. Tập hợp  Sn := D ∈ Msa : D ≥ 0 và T rD = 1 n là một tập lồi. Thật vậy, do Sn là giao của các tập lồi nên Sn là một tập lồi. Nếu n = 2, thì một phép tham số hóa phổ biến của các ma trận trong S2 là # " 1 1 1 + λ3 λ1 − iλ2 = (I + λ1 σ1 + λ2 σ2 + λ3 σ3 ), 2 λ1 + iλ2 1 − λ3 2 trong đó σ1 , σ2 , σ3 là các ma trận Pauli. Điều kiện cần và đủ để các ma trận trên đây thuộc S2 là λ21 + λ22 + λ23 ≤ 1. Điều này cho thấy S2 có thể xem như là hình cầu đơn vị trong R3 . Nếu n > 2, thì hình học của tập hợp Sn không được tường minh như vậy. Nếu A là một tập con của không gian vectơ V , thì bao lồi của A, ký hiệu coA, là tập lồi nhỏ nhất chứa A, tức là ( n ) n X X coA := λi vi : vi ∈ A, λi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, = 1, n ∈ N . i=1 i=1 Cho A ⊂ V là một tập lồi. Vectơ v ∈ A là một điểm cực trị của A nếu điều kiện sau đây thỏa mãn v1 , v2 ∈ A, 0 < λ < 1 λv1 + (1 − λ)v2 = v 11 suy ra v1 = v2 = v . Trong tập lồi S2 , các điểm cực trị tương ứng với các tham số thỏa mãn 2 λ1 + λ22 + λ23 = 1. Nếu S2 được xem như là một quả cầu trong R3 thì các điểm cực trị nằm trên biên của quả cầu. Cho khoảng J ⊂ R. Hàm số f : J → R được gọi là lồi nếu f (ta + (1 − t)b) ≤ tf (a) + (1 − t) f (b) (2.5) với mọi a, b ∈ J, 0 ≤ t ≤ 1. Bất đẳng thức này tương đương với sai phân cấp hai dương, tức là f (b) f (c) f (a) + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)   1 f (c) − f (a) f (b) − f (a) = − ≥0 (c − b) c−a b−a f [2] [a, b, c] = (2.6) với mọi a, b, c ∈ J . Nếu f ∈ C 2 (J), thì với x ∈ J ta có f ” (x) lim f [a, b, c] = . 2 a,b,c→x [2] Do đó tính lồi tương đương với tính dương của đạo hàm cấp hai. Chú ý rằng, với một hàm lồi f , ta có bất đẳng thức Jensen X X f( t i ai ) ≤ ti f (ai ) i i P trong đó ai ∈ J, ti ⩾ 0 và i ti = 1. Bất đẳng thức Jensen dạng tích phân là Z  Z f g(x)dµ(x) ≤ f ◦ g(x)dµ(x). Định nghĩa (2.5) đúng nếu J là một tập con lồi của một không gian vectơ và f là một hàm thực xác định trên nó. Hàm f được gọi là lõm nếu −f là lồi. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và A ⊂ V là một tập con lồi. Hàm số F : A → R ∪ {+∞} được gọi là lồi nếu F (λx + (1 − λ)y) ≤ λF (x) + (1 − λ)F (y) 12 với mọi x, y ∈ A, 0 < λ < 1. Lấy [u, v] ⊂ A là đoạn thẳng, và định nghĩa hàm số F[u,v] (λ) := F (λu + (1 − λ)v) trên đoạn [0,1]. F lồi nếu và chỉ nếu F[u,v] : [0, 1] → R lồi với u, v ∈ A. Ví dụ 2.2.2. Hàm A 7→ log T reA là lồi trên tập hợp các ma trận Hermit. Điều này tương đương với tính lồi của hàm số f (t) = log T r(eA+tB ) (t ∈ R) (2.7) với mọi A, B ∈ Msa n . Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh f ”(0) ≥ 0. Theo Định lý 2.1.2, T reA+tB B ′ . f (t) = T reA+tB Để tính đạo hàm cấp hai, ta sử dụng khai triển Dyson Z 1 eA+tB = eA + t euA Be(1−u)(A+tB) du. 0 Để có thể viết f ”(0) theo một dạng thuận tiện, ta định nghĩa tích trong Z 1 T retA X ∗ e(1−t)A Y dt. ⟨X, Y ⟩Bo := 0 (thường được gọi là tích vô hướng Bogoliubov ). Khi đó ⟨I, I⟩Bo ⟨B, B⟩Bo − ⟨I, B⟩2Bo f ”(0) = , (T reA )2 là dương theo bất đẳng thức Schwarz. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều. Giả sử đối ngẫu được cho bởi cặp song tuyến tính ⟨., .⟩ . Cho hàm lồi F : V → R ∪ {+∞} thì hàm lồi liên hợp F ∗ : V ∗ → R ∪ {+∞} được cho bởi công thức F ∗ (v ∗ ) = sup{⟨v, v ∗ ⟩ − F (v) : v ∈ V }. 13 Định lý 2.2.1. Nếu F : V → R ∪ {+∞} là phiếm hàm lồi nửa liên tục dưới thì F ∗∗ = F . Định lý 2.2.2. Cho α : Mn → Mm là một ánh xạ tuyến tính dương unita (tức là α(I) = I ) và f : R → R là một hàm lồi. Khi đó T rf (α(A)) ≤ T rα(f (A)) với mọi A ∈ MSa n . Chứng minh. Xét phân tích phổ của mỗi A ∈ Msa n và mỗi α(A) : X X A= νj Qj và α(A) = µi Pi . j i Khi đó µi = T r(α(A)Pi )/T rPi = X νj T r(α(Qj )Pi )/T rPi . j Do f lồi nên f (µj ) ≤ X f (νj )T r(α(Qj )Pi )/T rPi . j Khi đó T rf (α(A)) = X f (µi )T rPi ≤ X f (νj )T r(α(Qj )Pi ) = T rα(f (A)). i,j i Định lý 2.2.3. Cho f : (a, b) → R là một hàm lồi và Ci , Ai ∈ Mn sao cho k X δ(Ai ) ⊂ (a, b) và Ci Ci∗ = I. i=1 Khi đó T rf k X i=1 ! Ci Ai Ci∗ ≤ k X i=1 T rCi f (Ai )Ci∗ . 14 Chứng minh. Ta chỉ chứng minh trường hợp T rf (CAC ∗ + DBD∗ ) ≤ T rCf (A)C ∗ + T rDf (B)D∗ , với CC ∗ + DD∗ = I. Trường hợp tổng quát hơn được chứng minh tương tự. Xét F := CAC ∗ + DBD∗ và xét phân tích phổ của A và B dưới dạng tích phân Z X X X= µX λdE X (λ), (X = A, B), j Pi = i X trong đó µX i là các giá trị riêng, Pi là các phép chiếu lên các không gian riêng và các độ đo giá trị ma trận E X xác định trên tập con Borel S của R là X X PiX : µX ∈ S . E (S) = i Với A, B, C, D ∈ Mn và với vectơ ξ ∈ Cn , ta định nghĩa độ đo µξ  µξ (S) = (AE A (S)C ∗ + DE B (S)D∗ )ξ, ξ   = E A (S)C ∗ ξ, C ∗ ξ + E B (S)D∗ ξ, D∗ ξ . (2.8) Nếu ξ là vecto riêng đơn vị của F , thì ⟨f (CAC ∗ + DBD∗ )ξ, ξ⟩ = ⟨f (F )ξ, ξ⟩ = f (⟨F ξ, ξ⟩) Z  =f λdµξ (λ) Z ≤ f (λ)dµξ (λ) (2.9) = ⟨(Cf (A)C ∗ + Df (B)D∗ )ξ, ξ⟩ . Ví dụ 2.2.3. Hàm log là hàm lõm. Nếu A ∈ Mn là xác định dương và ta định nghĩa các phép chiếu Pi := E(ii), thì từ định lý trên, ta có T r log n X i=1 Pi APi ≥ n X i=1 T r Pi (log A)Pi .