Tài liệu Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt

Header Page 1 of 161. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* PHẠM THỊ NGA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐẶC BIỆT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* PHẠM THỊ NGA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐẶC BIỆT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Ths. Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của cô giáo Ths. Dương Thị Luyến, khóa luận của em đến nay đã được hoàn thành. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo Ths. Dương Thị Luyến, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành khóa luận này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức nên đề tài không tránh những thiếu sót. Em rất mong được sự góp ý của các thầy cô, các bạn sinh viên và các bạn đọc để đề tài này được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Nga Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, các bạn sinh viên khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Luyến. Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo. Khóa luận tốt nghiệp "Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Nga Footer Page 4 of 161. Header Page 5 of 161. Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 1.1 Tính chất chia hết trong tập số nguyên . . . . . . . . . . 4 1.2 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . 5 1.3 Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Thuật toán Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Một số định lí cơ bản của số học . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.1 Định lí Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.2 Định lí Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.3 Định lí Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Một vài kiến thức liên quan đến liên phân số . . . . . . . 11 2 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE 2.1 13 Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm . . . . 13 i Footer Page 5 of 161. Header Page 6 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1.3 2.2 Phạm Thị Nga Các cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn . . . 16 Phương trình vô định bậc nhất nhiều ẩn . . . . . . . . . 20 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Điều kiện có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 PHƯƠNG TRÌNH PELL 3.1 3.2 3.3 Phương trình Pell loại I 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.2 Công thức nghiệm của phương trình Pell loại I . . 23 3.1.3 Giải phương trình Pell loại I sử dụng liên phân số vô hạn và liên phân số vô hạn tuần hoàn . . . . . 28 Phương trình Pell loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.2 Điều kiện có nghiệm của phương trình Pell loại II 36 3.2.3 Công thức nghiệm của phương trình Pell loại II . 38 3.2.4 Sử dụng liên phân số để giải phương trình Pell loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Phương trình Pell với tham số n . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2 Công thức nghiệm của phương trình Pell với tham số n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 PHƯƠNG TRÌNH PYTHAGORE 4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Footer Page 6 of 161. 46 50 50 Header Page 7 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 4.2 Phạm Thị Nga Nghiệm của phương trình Pythagore . . . . . . . . . . . 50 4.2.1 Tính chất của bộ ba Pythagore nguyên thủy . . . 53 4.2.2 Cách chế ra bộ ba Pythagore . . . . . . . . . . . 55 5 PHƯƠNG TRÌNH FERMAT 58 5.1 Định lí Fermat lớn với n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN 65 6.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 Phương trình đồng dư bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2.2 Điều kiện có nghiệm và số nghiệm . . . . . . . . . 66 6.2.3 Các cách xác định nghiệm của phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3 Phương trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod m) . . . . . . . . 70 6.4 Phương trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod pα ) . . . . . . . . 73 6.4.1 Nghiệm của phương trình f (x) ≡ 0 (mod pα ) 6.4.2 Cách giải của phương trình f (x) ≡ 0 (mod pα ) . . 73 . 75 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.5 Footer Page 7 of 161. iii Header Page 8 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong toán học hiện đại, Số học đóng một vai trò quan trọng. Các bài toán Số học luôn luôn là các bài toán hay và khó lôi cuốn các nhà Toán học lớn cũng như những người yêu thích và say mê toán học đi sâu tìm hiểu và nghiên cứu. Phương trình nghiệm nguyên là một trong những đề tài hay, lí thú của Số học. Được nghiên cứu từ thời Diophante thế kỉ thứ III, đến nay phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng do đó mà phần lớn phương trình nghiệm nguyên không có cách giải tổng quát, mỗi bài toán với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Bên cạnh đó có một số phương trình có cách giải riêng như: phương trình Diophante, phương trình Pythagore, phương trình Pell nhưng chưa được hệ thống một cách đầy đủ và rõ ràng. Với những lí do trên cùng với lòng đam mê và được sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo hướng dẫn Th.s Dương Thị Luyến, em đã chọn đề tài "Một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt". Footer Page 8 of 161. 1 Header Page 9 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga 2. Mục đích yêu cầu của đề tài Đề tài nhằm hệ thống một cách đầy đủ, chính xác định nghĩa cũng như cách giải của một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt như: phương trình Diophante, phương trình Pell, phương trình Pythagore, phương trình đồng dư một ẩn. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt. Phạm vi nghiên cứu: do hạn chế về mặt thời gian cũng như tài liệu và năng lực nghiên cứu nên đề tài của em chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu một số phương trình nghiệm nguyên đặc biệt. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu một số phương trình có cách giải tổng quát. 5. Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp, so sánh, nghiên cứu các tài liệu liên quan. Hệ thống khái quát các vấn đề. 6. Cấu trúc khóa luận Lời nói đầu Mục lục Footer Page 9 of 161. 2 Header Page 10 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga Phần 1 Mở đầu Phần 2 Nội dung Chương 1 Các kiến thức cơ bản Chương 2 Phương trình Diophante Chương 3 Phương trình Pell Chương 4 Phương trình Pythagore Chương 5 Phương trình Fermat Chương 6 Phương trình đồng dư một ẩn Phần 3 Kết luận Tài liệu tham khảo. Footer Page 10 of 161. 3 Header Page 11 of 161. Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tính chất chia hết trong tập số nguyên Định nghĩa 1.1. Cho a, b là 2 số nguyên, b 6= 0 . Nếu có 1 số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói b chia hết a hay b là ước của a và kí hiệu b \ a. . Ta cũng nói rằng a chia hết cho b hay a là bội của b và kí hiệu a .. b. Tính chất 1.1.1. Các tính chất của tính chia hết 1. ±1 \ a, ∀a ∈ Z. 2. a \ 0, ∀a ∈ Z. 3. a \ a, ∀a ∈ Z. 4. ∀a, b ∈ Z, a \ b và b \ a ⇒ a = ±b. 5. ∀a, b, c ∈ Z, a \ b và b \ c ⇒ a \ c. 6. b \ ai , ∀i = 1, n ⇒ b \ n P ai xi , ∀x0 , x1 , . . . , xn ∈ Z. i=0 7. mi \ ai , ∀i = 1, n ⇒ n Q 0 mi \ n Q 0 thì a ≥ b. Footer Page 11 of 161. 4 ai . Nếu a, b nguyên dương và b \ a Header Page 12 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga Định lý 1.1. Định lí về phép chia có dư Với mỗi cặp số nguyên a, b và b 6= 0, tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho a = bq + r, 0 ≤ r < |b| Số q, r lần lượt được gọi là thương và dư trong phép chia có dư của a chia cho b. 1.2 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất Định nghĩa 1.2. Một số nguyên d được gọi là ước chung của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an nếu d là ước của mỗi số nguyên đó. Định nghĩa 1.3. Ước chung lớn nhất của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng. Kí hiệu d = (a1 , a2 , . . . , an ). Định nghĩa 1.4. Một số nguyên m được gọi là bội chung của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an nếu d là bội của mỗi số nguyên đó. Định nghĩa 1.5. Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên a1 , a2 , . . . , an là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung dương của chúng. Kí hiệu m = [a1 , a2 , . . . , an ]. Tính chất 1.2.1. Các tính chất của ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất   a b 1. d = (a, b) ⇔ , =1 d d m m m = [a, b] ⇔ , = 1. a b Footer Page 12 of 161. 5 Header Page 13 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga   a \ bc 2. ⇒ a \ c.  (a, b) = 1 3. (a, b) = 1, (a, c) = 1 ⇒ (a, bc) = 1. 4. (a, b) = 1 ⇒ (ac, b) = (c, b). 5. ∀ k ∈ N∗ , (ka1 , ka2 , . . . , kan ) = k (a1 , a2 , . . . , an ). [ka1 , ka2 , . . . , kan ] = k [a1 , a2 , . . . , an ] 6. Nếu d = (a, b) thì ∃ u, v ∈ Z : au + bv = d. 7. ∀a, b ∈ Z∗+ , [a, b] = 1.3 ab . (a, b) Số nguyên tố Định nghĩa 1.6. Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước nào khác ngoài 1 và chính nó (không có ước thực sự) được gọi là số nguyên tố. Định lý 1.2. Định lí cơ bản về sự phân tích ra thừa số nguyên tố Mỗi số tự nhiên n > 1 đều phân tích được thành tích những thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số. Tức là n = p1 p2 ...pn , pi ∈ ℘, ∀i = 1, n. Trong sự phân tích n thành thành tích của các thừa số nguyên tố thì có thể xảy ra trường hợp là nhiều thừa số nguyên tố bị lặp lại. Gọi pi , i = 1, k là các ước nguyên tố đôi một phân biệt của n, với các bội tương ứng là αi , i = 1, k, αi > 0 thì ta được n = pα1 1 .pα2 1 . . . pαk k . gọi là dạng phân tích Footer Page 13 of 161. 6 Header Page 14 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga tiêu chuẩn của n. 1.4 Đồng dư Định nghĩa 1.7. Cho a, b ∈ Z, m ∈ N∗ . Ta nói 2 số a, b đồng dư với nhau theo môđun m nếu trong các phép chia a và b cho m ta được cùng số dư. Kí hiệu a ≡ b (mod m). Hệ thức a ≡ b (mod m) gọi là đồng dư thức. Mệnh đề 1.1. Cho a, b ∈ Z, m ∈ N∗ . Các điều kiện sau tương đương: 1. a ≡ b (mod m) . 2. a = b + mq, q ∈ Z. 3. m \ (a − b). Tính chất 1.4.1. Một số tính chất cơ bản của đồng dư thức 1. a ≡ a (mod m) , ∀ a ∈ Z. a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a(mod m). a ≡ b (mod m) , b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m). 2. a ≡ b (mod m) ⇒ a.k ≡ b.k (mod m) , k ∈ Z. a ≡ b (mod m) ⇒ ak ≡ bk (mod m) , k ∈ N.    a ≡ b (mod m)  a + c ≡ b + d (mod m) 3. ⇔ .  c ≡ d (mod m).  ac ≡ bc (mod m) Footer Page 14 of 161. 7 Header Page 15 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga 4. a ≡ b (mod m) ⇔ a ≡ b + km (mod m) , k ∈ Z. 5. Nếu ai ≡ bi (mod m) , ∀ i = 1, k thì ta có k P hi ai ≡ i=1 k P hi bi (mod m). i=1 6. Nếu ai ≡ bi (mod m) , ∀ i = 1, k thì ta có k Q ai ≡ i=1 k Q bi (mod m). i=1   a ≡ b (mod m) b a ≡ (mod m) 7. ⇔  ∀ c \a, c \ b, (c, m) = 1 c c   a ≡ b (mod m) a b m ⇔ 8. ≡ mod  ∀ c \a, c \ b, c \ m c c c 9. Nếu a ≡ b (mod mi ) , ∀ i = 1, k và m = [m1 , m2 , . . . , mk ] thì a ≡ b (mod m). 1.5 Thuật toán Euclide Tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên Chú ý: Nếu cho a, b, q, r ∈ Z, a = bq + r thì ta có (a, b) = (b, r). • Cho a, b ∈ Z . Nếu a \ b hoặc b \ a thì ta có (a, b) = a hoặc (a, b) = b • Nếu trường hợp trên không xảy ra ta có các hệ thức sau biểu diễn một dãy hữu hạn các phép chia có dư a = bq0 + r1 ,0 < r1 < |b| b = r1 q2 + r2 , 0 < r2 < r1 Footer Page 15 of 161. 8 Header Page 16 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga ... rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , 0 < rn < rn−1 rn−1 = rn qn . Dãy hữu hạn các phép chia có dư liên tiếp này gọi là thuật toán Euclide thực hiện trên hai số nguyên a, b. Dãy này phải là hữu hạn và thuật toán Euclide phải kết thúc với số dư rn+1 = 0. Theo chú ý trên ta có (a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = . . . = (rn−1 , rn ) = rn . Như vậy ƯCLN của hai số nguyên a và b là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclide thực hiện trên a và b. Nhận xét 1.1. Thuật toán Euclide mở rộng Dựa vào thuật toán Euclide, từ các đẳng thức ta rút được ri = ri−2 − ri−1 qi−1 , ∀i = 1, n. Ta có đẳng thức cuối cùng rn = rn−2 − rn−1 qn−1 (1.1) Thay rn−1 = rn−3 − rn−2 qn−2 vào (1.1) ta được rn = rn−2 − (rn−3 − rn−2 qn−2 ) qn−1 = (qn−2 qn−1 + 1) rn−2 − rn−3 . (1.2) Thay rn−2 = rn−4 − rn−3 qn−3 vào (1.2) ta được rn = (qn−2 qn−1 + 1) (rn−4 − rn−3 qn−3 ) − rn−3 . (1.3) Cứ tiếp tục như thế thay lần lượt rn−3 , ..., r1 vào và cuối cùng ta được đẳng thức ax + by = c. Footer Page 16 of 161. 9 Header Page 17 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.6 1.6.1 Phạm Thị Nga Một số định lí cơ bản của số học Định lí Euler Định nghĩa 1.8. Cho m là số tự nhiên khác 0 ta định nghĩa ϕ (m) là số các số tự nhiên nhỏ hơn m và nguyên tố với m. Ta có ϕ (m) được xác định như sau ∗ Giả sử m = pα1 1 .pα22 . . . pαnn với = 1, n.  pi ∈ ℘,αi ∈N , ∀ i  1 1 1 Ta có ϕ (m) = m 1 − 1− ... 1 − . p1 p2 pn Đặc biệt nếu m là số nguyên tố thì ϕ (m) = m − 1. Định lý 1.3. Định lí Euler Nếu a, m ∈ Z, m > 0 và (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1 (mod m) 1.6.2 Định lí Fermat Định lý 1.4. Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý. Khi đó nếu (a, p) = 1 thì ap−1 ≡ 1 (mod p) Tổng quát ta có ap ≡ a (mod p) 1.6.3 Định lí Wilson Định lý 1.5. Với p là một số nguyên tố ta có đồng dư thức (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Footer Page 17 of 161. 10 Header Page 18 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.7 Phạm Thị Nga Phương trình nghiệm nguyên Giải phương trình chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, . . .) thỏa mãn phương trình đó. Khi giải phương trình nghiệm nguyên do phải lợi dụng các tính chất của tập số nguyên Z nên ngoài việc biến đổi tương đương ta còn dùng đến các biến đổi mà giá trị của ẩn chỉ thỏa mãn điều kiện cần của nghiệm, trong trường hợp này ta cần kiểm tra lại các giá trị đó bằng cách thử trực tiếp vào phương trình đã cho. Một phương trình nghiệm nguyên có thể vô nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có vô số nghiệm. trong trường hợp có vô số nghiệm nguyên, các nghiệm nguyên của phương trình đã cho được biểu thị bằng công thức có chứa tham số là một số nguyên. 1.8 Một vài kiến thức liên quan đến liên phân số Định nghĩa 1.9. Định nghĩa liên phân số hữu hạn Cho a0 là số nguyên, a1 , a2 , . . . , an , an > 1 là các số nguyên dương. Khi đó biểu thức dạng 1 a0 + a1 + 1 a2 + . .. + 1 an−1 + 1 an được gọi là một liên phân số hữu hạn có độ dài n. Kí hiệu [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] Footer Page 18 of 161. 11 Header Page 19 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Nga Định nghĩa 1.10. Định nghĩa liên phân số vô hạn Liên phân số vô hạn là biểu thức có dạng 1 a0 + a1 + 1 a2 + . 1 .. + an−1 + 1 an + . . . trong đó a0 là số nguyên ai , ∀i 6= 0 là các số nguyên dương . Kí hiệu: [a0 ; a1 , a2 , . . . , an , . . .] . Định nghĩa 1.11. Định nghĩa giản phân Cho liên phân số hữu hạn hoặc vô hạn . Giả sử hai dãy số nguyên dương p0 , p1 , . . . , pn , . . . và q0 , q1 , . . . , qn , . . . được xác định như sau: p 0 = a0 q0 = 1 p 1 = a1 a0 + 1 q 1 = a1 p 2 = a2 p 1 + p 0 q 2 = a2 q 1 + q 0 ... ... pk = ak pk−1 + pk−2 qk = ak qk−1 + qk−2 Khi đó liên phân số [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ], với k ∈ Z gọi là giản phân thứ k của liên phân số đã cho. Kí hiệu Ck = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ] và được xác định như sau Ck = Footer Page 19 of 161. 12 pk qk Header Page 20 of 161. Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE 2.1 Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1. Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c (2.1) trong đó a, b, c là các số nguyên, x và y là các ẩn nguyên cần tìm. 2.1.2 Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm Định lý 2.1. Điều kiện có nghiệm Cho phương trình ax + by = c, trong đó a, b, c là các số nguyên, a, b 6= 0, d = (a, b). Khi đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi d \ c. Chứng minh • Giả sử phương trình đã cho có nghiệm tức là ∃ x0 , y0 ∈ Z sao cho ax0 + by0 = c. Footer Page 20 of 161. 13 (2.1.1)