Tài liệu Một số phương pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ’’.

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO MỸ ĐỨC CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THCS AN TIẾN Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc ---oo0oo--- ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SƠ YẾU LÝ LỊCH - Họ và tên : Phạm Thu Huyền - Ngày, tháng, năm sinh : 18 /10 / 1984 - Năm vào ngành : 2010 - Chức vụ : Giáo viên - Đơn vị công tác : Trường THCS An Tiến - Mỹ Đức - Hà Nội - Trình độ chuyên môn : Cao Đẳng Sư phạm - Hệ đào tạo : Chính quy - Bộ môn giảng dạy : Toán – Lý - Kỷ luật : Không 1 A- ĐẶT VẤN ĐỀ: I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán đại số 9, các em học sinh đã được tiếp cận với loại bài tập giải phương trình vô tỉ đa số là những bài tập đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán đó rất phong phú và đa dạng mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Hơn nữa trong chương trình sách giáo khoa đại số 9 hiện hành chỉ giới thiệu một số ví dụ cơ bản về bài tập giải phương trình vô tỉ và không đưa ra được phương pháp giải cho từng dạng bài, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác bài toán giải phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. Do đó việc vận dụng các giải pháp để rèn luyện, phát huy năng lực sáng tạo của học sinh là một việc cực kỳ cấp thiết. Tôi đã suy nghĩ, trăn trở về vấn đề này và đã tìm được một số giải pháp có hiệu quả. Trong bài viết này, tôi xin mạnh dạn trình bày một số giải pháp đó với mong muốn góp thêm một vài kinh nghiệm nhỏ để dạy toán đạt hiệu quả tốt hơn. Đồng thời góp phần làm cho các em học sinh yêu thích môn Toán hơn, nâng cao vị trí, vai trò của môn toán trong nhà trường. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Từ lý do chọn đề tài như trên và từ cơ sở thực tiễn giảng dạy toán 9 ở trường THCS AN TIẾN, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ’’. III. GIỚI HẠN VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: - Một số bài toán cơ bản, nâng cao về giải phương trình vô tỉ trong chương trình đại số 9. - Đề tài được áp dụng thực hiện trong năm 2012--2013 trong quá trình giảng toán của tôi đối với lớp 9B trường THCS AN TIẾN IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát, điều tra từ thực tế dạy và học. 2 - Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh. - Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học. - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm tìm ra những khó khan, thuận lợi khi giải quyết các bài toán ở các lớp trước. - Lựa chọn các ví dụ và các bài tập cụ thể để phân tích tỉ mỉ những sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải. Từ đó phát huy năng lực tư duy, kỹ năng vận dụng kiến thức để học sinh đưa ra lời giải đúng cho bài toán. - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến của các giáo viên cùng bộ môn. 3 B- NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Tên đề tài: “Một số phương pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ’’. I. CƠ SỞ LÝ LUẬN: Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. Vì vậy muốn học tốt môn Toán, các em cần biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Giáo viên cần định hướng, giúp các em học sinh có những kỹ năng trình bày chặt chẽ, suy luận logic, biết cách tổng kết sâu sắc các dạng toán. Đồng thời giúp các em phát hiện hướng mở rộng, nâng cao nhằm gây hứng thú, tìm tòi, phát huy tính chủ động sáng tạo… Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp với mục đích giúp cho học sinh THCS vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình vô tỉ Trong giới hạn của Sáng kiến kinh nghiệm, tôi hướng dẫn học sinh các dạng thường gặp sau: * Dạng I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản Phương trình vô tỉ cơ bản dạng: Dạng 1 = g(x) Dạng 2 Dạng 7 Dạng 3 Dạng 4 Dạng 8 Dạng 5 Dạng 9 4 Dạng 6 Dạng 10 1. Phương trình có dạng: f ( x ) = g(x) (1) Để tìm được x thì bài toán trên quy về giải hệ: Phương trình (1)   g ( x)  0  2  f ( x)  g ( x) Điều kiện g(x)  0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) sau khi giải phương trình f(x)= g2(x) chỉ cần so sánh các nghiệm vừa nhận được với điều kiện g(x)  0 để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm. f ( x)  g ( x) 2. Phương trình có dạng: (2)  f ( x)  0 (2)    f ( x)  g ( x) Điều kiện f(x)  0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2). Chú ý ở đây không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả f(x) và g(x) không âm vì f(x) = g(x) 3 Phương trình có dạng: f ( x )  k (k là hằng số) (3) +) TH1 :nếu k =0 khi đó (3)   f ( x)  0 f ( x)  0 +) TH2: nếu k <0 khi đó phưong trình (3) vô nghiệm +) TH3: nếu k >0 khi đó (3)  f ( x)  k 2 4.Phương trình có dạng:  f ( x )  k (k là hằng số) (4) f 2 ( x)  k 2  f ( x)  k 5. Phương trình có dạng: f 2 ( x)  g ( x) (5) Phương trình (5)  f ( x)  g ( x)     f ( x )0 f ( x ) g ( x ) 6. Phương trình có dạng:    f 2 ( x)  k Phương trình (6)  f ( x)  k 5 f ( x )0 f ( x ) g ( x ) (6) ( k  0) hoặc  f(x) = k 7. Phương trình có dạng: ( f ( x)  g ( x )  c (c là hằng số) (7) +) TH1: nếu k <0: (7) vô nghiệm  f ( x)  0 f ( x )  g ( x)  0    g ( x)  0 +) TH2: nếu k=0, ta có:  f ( x)  0 +) TH3: nếu k >0 thì buộc điều kiện   g ( x)  0 Bình phương hai vế phương trình (7) ta có: f ( x )  g ( x )  2 f ( x) g ( x )  c 2  2 f ( x ) g ( x )  c 2  f ( x )  g ( x)  4 f ( x) g ( x)  c 2  f ( x)  g ( x) 8.Phương trình dạng :  2 f ( x )  g ( x )  h( x ) (8)  f ( x)  0  điều kiện phương trình (8) :  g ( x)  0  h( x )  0  sau đó bình phương hai vế của (8) ta có: f ( x )  g ( x )  2 f ( x ) g ( x )  h( x )  2 f ( x ) g ( x )  h( x )  f ( x )  g ( x )  4 f ( x ) g ( x )   h( x )  f ( x )  g ( x ) 9. Phương trình dạng :  2 f ( x)  k (k  0 ) (9) g ( x) f ( x) tìm điều kiện để g ( x)  0 ( g ( x)  0 ) (9)   f ( x)  k2 g ( x) f ( x)  g ( x ).k 2 10. Phương trình dạng: P ( x). Q( x)  0  Q( x)  0    P ( x )  0   Q( x)  0  6  Dạng II: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ khác Phương pháp giải phương trình vô tỉ khác dạng khác Phân tích biểu thức dưới dấu căn thành nhân tử Đưa về bình phương của một tổng Nhân biểu thức liên hợp Phương pháp đối lập Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Sử dụng bất đẳng thức Đưa phương trình về dạng tích Phương PPP pháp đặt ẩn phụ Loại này được thực hiện qua các ví dụ cụ thể. II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI: Học sinh đa số nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài tập về giải phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 9 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít. Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này. Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 1. Bài toán: Giải phương trình 2 x  3 = x – 2. 7 (1) Học sinh thường giải như sau: Điều kiện của phương trình (1) là x  3 (*) 2 (1)  2x - 3 = x2 - 4x + 4  x2 - 6x + 7 = 0. Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 - 2 . Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - 2 bị loại . Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + 2 . Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x  3 (*) để lấy nghiệm và 2 nghiệm phương trình là x = 3 + 2 và x = 3 - 2 . Theo tôi cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng 3 điều kiện x  là điều kiện cần và đủ. 2 2. Bài toán: Giải phương trình 5x2  6 x  7 = x3 5x2  6 x  7  0 Khi gặp bài toán này học sinh thường đặt điều kiện  x 3  0 sau đó bình phương hai vế để giải phương trình. Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 3  0 là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện. 3. Bài toán: Giải phương trình (x + 4) x  2 = 0 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: x  4  0  x  4  (x + 4) x  2 = 0   x  2  x-2 =0 Nhận xét. Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 4 không phải là nghiệm của phương trình trên. 8 B  0  Chú ý rằng: A B  0   A  0 ở đây đã bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2)  B  0  4. Bài toán: Giải phương trình 5 4 x 2  12 x  11 = 4x2 - 12x + 15 Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc trung học. 5. Bài toán: Giải phương trình x2  x2 x5  x  5 . Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: ( x  5). x2  x2  x5 ( x  5) ( x  2)  x  2 x  2  0  x  2    2 2 2  x  5  x  2    x  2   x  3 x  10  x  4 x  4   x  2   3 x  4 x  4  10   x  2   x  14 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét. Rõ ràng x = - 14 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm. Cần chú ý rằng: B. A  AB khi A  0; B  0  B  AB khi A  0; B  0 Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0. 6.Bài toán : Giải phương trình: 9x 2 = 2x - 1 Học sinh thường giải như sau: 9x2 = (2x - 1)2  9x2 = 4x2 - 4x + 1 9  5x2 + 4x – 1 = 0   x 1  1  x 1   2 5 Nhưng thực tế cả hai nghiệm đều không phải nghiệm của Phương trình. Đó là do học sinh đã không đặt điều kiện để hai vế không âm trước khi bình phương hai vế. 7.Bài toán: Giải phương trình: 4x 2  4x  1  6 Các em học sinh thường không nhận ra biểu thức dưới dấu căn là hằng đẳng thức để có cách giải đơn giản mà thường bính phương hai vế dẫn đến giải phương trình đã cho phức tạp hơn. * Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán giải phương trình vô tỉ III. MỘT SỐ GIẢI PHÁP: Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ năng khi biến đổi và giải phương trình vô tỉ Dạng I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạng cơ bản: 1. Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f ( x ) = g(x). (1) a. Phương pháp: Giáo viên chỉ cho học sinh thấy được rằng khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm: f ( x ) = g(x)   g ( x)  0  2  f ( x)  g ( x) Điều kiện g(x)  0 là điều kiện cần và đủ vì f(x)= g2(x)  0. Không cần đặt thêm điều kiện f(x)  0. b. Các ví dụ: 10 + Ví dụ 1. Giải phương trình 3x  4 = x – 3. (1) Điều kiện: x  3 (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x - 4  0) Khi đó (1)  3x - 4 = (x - 3)2  x2 - 6x + 9 = 3x - 4  x2 - 9x + 13 = 0  9  29 x  2    9  29 x   2 đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương trình (1) là: x= 9  29 2 Lưu ý. không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x  3 (*) để lấy nghiệm. + Ví dụ 2. Giải phương trình 3 x 2  2 x  1 = 3x + 1. (2) Nhận xét. Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x 2 - 2x -1  0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm. Ta có thể giải như sau: Điều kiện: x  - 1 (**) 3 Khi đó (2)  3x2 - 2x - 1 = (3x + 1)2  3x2 - 2x - 1 = 9x2 + 6x + 1  x  1  3x2 + 4x + 1 = 0   x   1 3  1 đối chiếu với điều kiện (**) ta thu được nghiệm phương trình (2) là x = - . 3 11 + Ví dụ 3. Giải phương trình 5 4 x 2  12 x  11 = 4x2 - 12x + 15. (3) Nhận xét. Biểu thức ngoài dấu căn là biểu thức bậc hai, nếu ta bình phương hai vế thì sẽ đi đến một phương trình bậc bốn rất khó giải. Ta có thể giải bài toán như sau: Chưa vội đặt điều kiện ở bước giải này, ta biến đổi (3) 4 x 2  12 x  11  5 4 x 2  12 x  11  4  0 Đặt 4 x 2  12 x  11 = t ; đk t  0 , (***) . Phương trình trở thành: t2 - 5t + 4 = 0 t  1   t  4 (thoả mãn điều kiện (*** ) Với t = 1  4 x 2  12 x  11 = 1  4x2 - 12x + 10 = 0 phương trình này vô nghiệm. Với t = 4  4 x 2  12 x  11 = 4  4x2 - 12x - 5 = 0  3  56 x  4    3  56 x   4 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 3  56 4 V x= 3  56 4 * Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải: điều kiện phương trình là gì, đặt cái gì, biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương, biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả, kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào. 2. Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f ( x)  g ( x) (2) a. Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi: (2)   f ( x)  0( g ( x)  0)   f ( x )  g ( x) Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g(x)  0 và f(x)  0 vì f(x) = g(x) b. Các ví dụ: 12 + Ví dụ 1. Giải phương trình 3 x  2 = 2x 1 . Điều kiện: x   1 2 (1) (*) (1)  -3x + 2 = 2x + 1  5x = 1  x= Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 (thoả mãn với điều kiện*) 5 1 5 1 Lưu ý. Điều kiện x   , (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình 2 (1) nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương trình. + Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x 2  3x  4 = 7x  2 . (2) Nhận xét. Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm. Điều kiện: x  2 7 (*). (2)  2x2 + 3x - 4 = 7x +2  2x2 - 4x - 6 = 0   x  1 x  3  Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của phương trình là x = 3. + Ví dụ 3. Giải phương trình 2x  5  x  2 . (*) Tóm tắt bài giải: (*)  2x  5  x  2  0 x2   2 x  5  x  2  x  2   x  7 13 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. + Ví dụ 4: Giải phương trình: x 2  x  1  2 x 2  5 x  9 (4) 1 1 3 2 2 *Nhận xét:ta thấy x  x  1  x  2 x.   2 4 4 2 1 3   x     0 2 4  Do đó (4)  x2  x  1  2 x2  5x  9  x2  6x  8  0 x  2   x  4 Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 hoặc x=4 3.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x )  k (k là hằng số) (3) a) Phương pháp giải: +) TH1: Nếu k =0 khi đó (3)   f ( x)  0 f ( x)  0 +) TH2: Nếu k <0 khi đó phưong trình (3) vô nghiệm +) TH3: Nếu k >0 khi đó (3)  f ( x)  k 2 b)Các ví dụ: +Ví dụ 1: Giải phương trình : x  5  0 (1) Giải Nhận xét : do vế phải của (1) bằng 0 ,còn vế trái của (1) x  5  0 Do đó ta biến đổi (1)  x 5  0  x5 Vậy x=5 là nghiệm của phương trình +Ví dụ 2: Giải phương trình: x  10  2 (2) Giải: 14 Nhận xét: ta thấy vế phải của (2) là một số âm,còn vế trái của (2) thì: x  10  0 .Do đó phương trình (2)vô nghiệm +Ví dụ 3: Giải phương trình 2x  3  1 2 (3) Giải: Ta thấy 1  2 >0 do đó: (3)   2x  3  2   1 2  2  2x  3  1 2 2  2  2x  2 2  x 2 Vậy x  2 là nghiệm của phương trình 4.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f ( x )  k (k là hằng số) (4) a) Phương pháp giải: (4)  f 2 ( x)  k 2  f ( x)  k b) Các ví dụ: +Ví dụ 1: Giải phương trình x  2 3  4  4 (1) (1)   x2 34   2 4  2  x2 34 4  x  2 3 Vậy phương trình có nghiệm là x  2 3 +Ví dụ 2: Giải phương trình 6  3x  3 (2) Giải: (2)   6  3x  2  ( 3) 2  6  3x  3  3x  3  3x  9  x3 15 Vậy x= 3 là nghiệm của phương trình +Ví dụ 3: Giải phương trình x 2  5 x  6 (3) Giải: (3)   x2  5x  2  6  2  x2  5x  6  x2  5x  6  0 x  1    x  6 Vậy nghiệm của phương trình là x=1 hoặc x= -6 5.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f 2 ( x)  g ( x) (5) a. Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải như sau: Phương trình (3)  f ( x)  g ( x)     f ( x )0 f ( x ) g ( x )    f ( x )0 f ( x ) g ( x ) hoặc b. Ví dụ1: Giải phương trình:  9x 2 = 2x – 1 ( Bài toán 6) (3x) 2  2 x  1  3x  2 x  1   3 x0     3x2 x1  3 x0   3 x 2 x 1   x0  x 1 5 (loại)  x0    x 1  (loại) hoặc Vậy phương trình vô nghiệm. +Ví dụ 2:Giải phương trình x 2  6 x  9  3x  1 (2) Nhận xét:ta thấy biểu thức dưới dấu căn là hằng đẳng thức nên ta không bình phương hai vế để mất dấu căn mà đưa về cách giải dạng 5 rồi xét giá trị tuyệt đối 16 (2)    x3  2  3x  1 x  3  3x  1  x  3  3 x  1   x  3     x  3  3 x  1   x  3  x  2 (tm)   x  3  x  1/ 2  (loai )  x  3 Vậy x= 2 là nghiệm của phương trình 6.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f 2 ( x)  k (6) ( k  0) ( Đây là phương trình dạng đặc biệt của dạng 3) a. Phương pháp: Phương trình (6)  f (x  k  f(x) =  k b. Các ví dụ: +Ví dụ1: 4x 2  4x  1  6 Giải phương trình:   ( Bài toán 7) (2 x  1) 2  6  2 x  1  6  2 x16   2 x16   x 5 2  x  7 2 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 5/2; x = -7/2. +Ví dụ 2: Giải phương trình x 4  7 (2) 2)   ( x 2 )2  7 x2  7  x 7 Vậy x   7 là nghiệm của phương trình 7.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f ( x)  g ( x)  c (c là hằng số) (7) 17 a) Phương pháp giải: -Nếu k <0: (7) vô nghiệm -Nếu k=0: ta có:  f ( x)  0 f ( x)  g ( x )  0    g ( x)  0  f ( x)  0 - Nếu k >0 thì buộc điều kiện   g ( x)  0 Bình phương hai vế phương trình (7) ta có: f ( x )  g ( x )  2 f ( x) g ( x )  c 2  2 f ( x ) g ( x )  c 2  f ( x )  g ( x)  4 f ( x) g ( x)  c 2  f ( x)  g ( x)  2 b) Các ví dụ: +Ví dụ 1:Giải phương trình 2 x  3  x  1  5 (1) Giải: Nhận xét: ta thấy vế trái của (1) : 2 x  3  0; x  1  0  2x  3  x 1  0 Còn vế phải =-5 <0 do đó phương trình (1) vô nghiệm +Ví dụ 2: Giải phương trình: x  1  x 2  4 x  3  0 (2)  x 1  0 2)   2  x  4x  3  0  x  1     x  1  x  1   x  3  Vậy phương trình có nghiệm x=-1 +Ví dụ 3: Giải phương trình: 5  x  3  x  6 (3) Giải: 15  x  0 ۣ ĐK:  3  x  0 x 3 (*) Bình phương hai vế của (3) 18 (3)  15  x  3  x  2  15  x  2  15  x ĐK:   (3  x)  36  (3  x)  18  2 x  15  x  (3  x)  9  2 x x  9  (15  x)(3  x)  (9  x) 2  x 2  18 x  45  81  x 2  18x  x 1 x=1 thoả mãn (*) nên x=1 là nghiệm của phương trình +Ví dụ 4: Giải phương trình x  9  x  18  1 Giải:  x  9  x  18  1 x 9  0    x  18  0   x  9  x  18  1  2 x  18 x  9   x  18  x 18   x  18  16   x  18  4 x 34 vậy x=34 là nghiệm của phương trình 8.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x )  g ( x )  h( x ) (8) a)Phương pháp giải:  f ( x)  0  điều kiện:  g ( x)  0  h( x )  0  sau đó bình phương hai vế của (8) ta có: f ( x )  g ( x )  2 f ( x ) g ( x )  h( x )  2 f ( x ) g ( x )  h( x )  f ( x )  g ( x )  4 f ( x ) g ( x )   h( x )  f ( x )  g ( x )  2 b) Các ví dụ: 19 +Ví dụ 1: Giải phương trình x  4  2 x  1  x  20 (1) Giải: x  4  0  Điều kiện:  x  1  0 ۳ x  x  20  0  1 Bình phương hai vế của (1) ta có: 5 x  8  4 x 2  5 x  4  x  20  x 2  5 x  4   x  3 (2) x 3 0 Điều kiện :  x 3 Tiếp tục bình phương hai vế của (2): (2)  x 2  5 x  4  ( x  3) 2  x2  5x  4  x2  6x  9  11x  5  x  5 /11(tm) Vậy x= 5/11 là nghiệm của phương trình +Ví dụ 2: Giải phương trình x  4  1  x  1  2 x (3) Giải: x  4  0  Điều kiện 1  x  0  4  x  1/ 2 1  2 x  0  Bình phương hai vế của (3) ta có: (3)  x  4  1  x  2 ( x  4)(1  x)  1  2 x  5  2 ( x  4)(1  x)  1  2 x  2 ( x  4)(1  x)  2(2  x)  ( x  4)(1  x)  2  x Đk:  ۣ 2  x 0 x 2 Lại tiếp tục bình phương hai vế của phương trình trên sau khi đặt đk cho vế phải ta có: 20