§¹i häc HuÕ
Tr-êng §¹i Häc S- Ph¹m
...........................
Phan Hång TÝn
Mét sè líp më réng
cña m«®un néi x¹, x¹ ¶nh vµ øng dông
Chuyªn Ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè
M· sè: 62 46 01 04
LuËn ¸n TiÕn sÜ To¸n häc
Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt
HuÕ - N¨m 2016
1
Lêi cam ®oan
T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu
cña riªng t«i, c¸c kÕt qu¶ vµ sè liÖu nghiªn cøu
nªu trong luËn ¸n lµ trung thùc, ®-îc c¸c ®ång
t¸c gi¶ cho phÐp sö dông vµ ch-a tõng ®-îc
c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh nµo kh¸c.
Phan Hång TÝn
2
Lêi c¶m ¬n
Lêi ®Çu tiªn, t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn GS. TS. Lª V¨n
ThuyÕt, ng-êi ®· h-íng dÉn t«i hoµn thµnh luËn ¸n nµy, ng-êi ®· truyÒn cho
t«i niÒm ®am mª khoa häc, ®· tËn t×nh d¹y b¶o, h-íng dÉn vµ ®éng viªn t«i
trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu cña m×nh.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n Khoa To¸n; Phßng §µo t¹o Sau ®¹i häc Tr-êng §¹i häc S- ph¹m - §¹i häc HuÕ vµ Ban §µo t¹o - §¹i häc HuÕ ®·
t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu
vµ hoµn thµnh ch-¬ng tr×nh nghiªn cøu sinh cña m×nh.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n Tr-êng Cao ®¼ng C«ng nghiÖp HuÕ ®· hç trî
vÒ vËt chÊt còng nh- tinh thÇn, t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i trong suèt thêi gian
häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n nhãm nghiªn cøu §¹i sè kÕt hîp, GS. TS.
Lª V¨n ThuyÕt; GS. TSKH. Ph¹m Ngäc ¸nh - ViÖn Hµn l©m khoa häc
Hungary; GS. TS. Bïi Xu©n H¶i -Tr-êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn - §¹i
häc Quèc gia TP. HCM; TS. Phan D©n -Tr-êng §¹i häc Quèc tÕ Hång Bµng
TP. HCM; TS. Tr-¬ng C«ng Quúnh -Tr-êng §¹i häc S- ph¹m - §¹i häc §µ
N½ng; TS. TrÇn Giang Nam - ViÖn To¸n häc; TS. TrÞnh Thanh §Ìo - Tr-êng
§¹i häc Khoa häc Tù nhiªn - §¹i häc Quèc gia TP. HCM, ®· cã nh÷ng ý
kiÕn th¶o luËn, gãp ý cã gi¸ trÞ trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu t¹i ViÖn nghiªn
cøu Cao cÊp vÒ To¸n.
Cuèi cïng, t«i xin c¶m ¬n c¸c thµnh viªn trong gia ®×nh, nh÷ng ng-êi
®· ®ång c¶m, chia sÎ, ®éng viªn, cæ vò vµ lµ ®éng lùc thóc ®Èy t«i hoµn
thµnh viÖc häc tËp vµ nghiªn cøu cña m×nh. T«i xin c¶m ¬n nh÷ng ng-êi
b¹n vµ ®ång nghiÖp ®· cã sù quan t©m, ®éng viªn t«i v-ît qua nh÷ng khã
kh¨n ®Ó hoµn thµnh luËn ¸n nµy.
3
Môc lôc
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Ch-¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ.
C¸c ký hiÖu vµ kh¸i niÖm c¬ b¶n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M«®un néi x¹ vµ mét sè líp m«®un më réng cña nã. . . . . . . . .
M«®un x¹ ¶nh vµ mét sè líp m«®un më réng cña nã. . . . . . . . .
M«®un vµ vµnh Artin, N¬te. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vµnh tùa Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
18
21
25
28
Ch-¬ng 2. M«®un vµ vµnh gi¶ c+ -néi x¹.
2.1. M«®un gi¶ c-néi x¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. M«®un gi¶ c+ -néi x¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ch-¬ng 3. Mét sè tr-êng hîp më réng cña m«®un x¹ ¶nh.
3.1. M«®un n©ng cèt yÕu vµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. . . . . . . . . 58
3.2. M«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3. M«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con
bÐ cèt yÕu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Danh môc c¸c c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Tµi liÖu tham kh¶o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4
B¶ng c¸c ký hiÖu vµ viÕt t¾t
Z
N
A ≤ B (A < B)
A ≤max B
A ≤⊕ B
A ≤e B
A B
A δ B
A e B
A∼
=B
A⊕B
ACC (DCC)
E(M), Soc(M)
End(M)
u. dim(M)
HomR (M, N )
Im(f ), Ker(f )
M (I)
MI
MR (R M)
Rad(M), J (R)
δ(M)
Rade (M)
Z(M)
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Vµnh c¸c sè nguyªn
TËp c¸c sè tù nhiªn
A lµ m«®un con (t.-., con thùc sù) cña B
A lµ m«®un con cùc ®¹i cña B
A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña B
A lµ m«®un con cèt yÕu cña B
A lµ m«®un con bÐ (®èi cèt yÕu) cña B
A lµ m«®un con δ-bÐ cña B
A lµ m«®un con bÐ cèt yÕu cña B
A ®¼ng cÊu víi B
Tæng trùc tiÕp cña m«®un A vµ m«®un B
§iÒu kiÖn d©y chuyÒn t¨ng (t.-., gi¶m)
Bao néi x¹, ®Õ cña m«®un M (t-¬ng øng)
Vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un M
ChiÒu Goldie (chiÒu ®Òu) cña m«®un M
Nhãm c¸c R-®ång cÊu tõ M vµo N
¶nh, h¹t nh©n cña ®ång cÊu f (t-¬ng øng)
⊕i∈I M (tæng trùc tiÕp cña I b¶n sao cña M)
Πi∈I M (tÝch trùc tiÕp cña I b¶n sao cña M)
M lµ mét R-m«®un ph¶i (t.-., tr¸i)
C¨n cña m«®un M, c¨n cña vµnh R (t-¬ng øng)
Tæng c¸c m«®un con δ-bÐ cña M
Tæng c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu cña M
M«®un con suy biÕn cña m«®un M
5
Më ®Çu
Trong luËn ¸n nµy, R ®-îc dïng ®Ó ký hiÖu cho vµnh kÕt hîp cã ®¬n
vÞ 1 6= 0 vµ mäi R-m«®un lµ m«®un unita. Víi vµnh R ®· cho, ta viÕt MR
(t.-., R M) ®Ó chØ M lµ mét R-m«®un ph¶i (t.-., tr¸i), khi kh«ng sî nhÇm
lÉn vÒ phÝa cña m«®un, ta viÕt gän lµ m«®un M thay cho MR.
Nh- chóng ta ®· biÕt, vµnh tùa Frobenius (th-êng ®-îc viÕt t¾t lµ vµnh
QF) lµ vµnh tù néi x¹ hai phÝa vµ Artin hai phÝa. ViÖc nghiªn cøu lo¹i vµnh
nµy xuÊt ph¸t tõ lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm h÷u h¹n. Nh÷ng n¨m ®Çu cña
thÕ kû XX, G. Frobenius vµ mét sè t¸c gi¶ kh¸c nh- R. Brauer, C. Nesbitt,
T. Nakayama b¾t ®Çu nghiªn cøu vÒ ®¹i sè Frobenius, c¸c kÕt qu¶ liªn quan
®· ®-îc c«ng bè trong nh÷ng n¨m cuèi cña thËp niªn 30 vµ ®Çu cña thËp
niªn 40. Kh¸i niÖm vµnh tùa Frobenius ®-îc T. Nakayama giíi thiÖu vµo
n¨m 1939. C¸c t¸c gi¶ C. Faith vµ E. A. Walker ®· chØ ra mét ®Æc tr-ng
quan träng cña c¸c m«®un trªn vµnh QF: vµnh R lµ QF khi vµ chØ khi mäi
R-m«®un ph¶i (hoÆc tr¸i) néi x¹ lµ x¹ ¶nh, khi vµ chØ khi mäi R-m«®un
ph¶i (hoÆc tr¸i) x¹ ¶nh lµ néi x¹. Tuy nhiªn, ®Æc tr-ng tù néi x¹ hai phÝa vµ
Artin hai phÝa ®-îc nªu ë trªn lµ kh¸ m¹nh, chÝnh v× vËy nhiÒu t¸c gi¶ ®·
t×m c¸ch gi¶m nhÑ c¸c ®iÒu kiÖn nµy ®Ó ®Æc tr-ng cho vµnh QF.
N¨m 1951, ®iÒu kiÖn tù néi x¹ hai phÝa vµ Artin hai phÝa ®-îc M. Ikeda
gi¶m nhÑ trë thµnh ®iÒu kiÖn tù néi x¹ mét phÝa vµ Artin mét phÝa. Sau
®ã, n¨m 1965, Y. Utumi ®· ®Æc tr-ng vµnh QF bëi ®iÒu kiÖn liªn tôc hai
phÝa vµ Artin hai phÝa. N¨m 1966, C. Faith ®· ®-a ra ®iÒu kiÖn gi¶m nhÑ so
víi kÕt qu¶ cña M. Ikeda, ®ã lµ ®iÒu kiÖn tù néi x¹ mét phÝa vµ tháa m·n
®iÒu kiÖn ACC trªn c¸c linh hãa tö tr¸i (hoÆc ph¶i). §ång thêi, B. Osofsky,
W. K. Nicholson vµ M. F. Yousif còng ®· ®Æc tr-ng vµnh nµy th«ng qua
vµnh hoµn chØnh, ®ã lµ ®iÒu kiÖn tù néi x¹ hai phÝa (hoÆc néi x¹ ®¬n hai
phÝa) vµ hoµn chØnh tr¸i. N¨m 1994, W. K. Nicholson vµ M. F. Yousif ®·
6
më réng kÕt qu¶ cña Y. Utumi vµ cña C. Faith víi ®iÒu kiÖn ®ñ lµ vµnh liªn
tôc ph¶i, min-CS tr¸i vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn c¸c linh hãa tö ph¶i.
Ngoµi ra, nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c còng ®· nghiªn cøu vµ t×m c¸ch ®Æc tr-ng vµnh
tùa Frobenius theo c¸c h-íng më réng kh¸c, ch¼ng h¹n nh-, J. Clark vµ
D. V. Huynh ([9]); C. Faith vµ D. V. Huynh ([16], ... Tuy nhiªn, cho ®Õn
nay mét gi¶ thuyÕt cña C. Faith, vµnh tù néi x¹ ph¶i vµ hoµn chØnh tr¸i
hoÆc ph¶i lµ vµnh QF, vÉn ch-a cã c©u tr¶ lêi. Gi¶ thuyÕt nµy vÉn cßn më
®èi víi vµnh nöa nguyªn s¬.
ViÖc nghiªn cøu më réng ®Æc tr-ng cña vµnh QF chñ yÕu tËp trung theo
hai h-íng, mét lµ gi¶m nhÑ ®iÒu kiÖn tù néi x¹ hoÆc hai lµ gi¶m nhÑ ®iÒu
kiÖn Artin. Trong ®Ò tµi nµy, chóng t«i vÉn lÊy ®Æc tr-ng cña vµnh QF lµm
nÒn. §Þnh lý Faith-Walker chØ ra mét ®Æc tr-ng quan träng cña vµnh QF ®ã
lµ, vµnh R lµ QF khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i (hoÆc tr¸i) néi x¹ lµ x¹
¶nh, khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i (hoÆc tr¸i) x¹ ¶nh lµ néi x¹. ChÝnh
v× vËy, c¸c tr-êng hîp më réng cña m«®un néi x¹ vµ x¹ ¶nh ®-îc xem xÐt
®Õn. Cô thÓ, trong Ch-¬ng 2, chóng t«i nghiªn cøu c¸c líp më réng cña
m«®un néi x¹ vµ trong Ch-¬ng 3 lµ c¸c líp më réng cña m«®un x¹ ¶nh.
§ång thêi, viÖc nghiªn cøu ®Æc tr-ng cña vµnh QF th«ng qua c¸c líp vµnh
më réng cña vµnh tù néi x¹ vµ vµnh Artin nh- ®· nªu ë trªn lµ mét h-íng
nghiªn cøu ®-îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m nh»m t×m c©u tr¶ lêi cho gi¶ thuyÕt
cña C. Faith. Tõ viÖc nghiªn cøu c¸c líp më réng cña m«®un néi x¹, chóng
t«i t×m ®Æc tr-ng cña vµnh QF th«ng qua c¸c líp vµnh ®ã, ®ång thêi, tõ viÖc
nghiªn cøu c¸c líp më réng cña m«®un x¹ ¶nh, chóng t«i t×m ®Æc tr-ng cña
vµnh QF th«ng qua ®Æc tr-ng cña vµnh Artin, vµnh hoµn chØnh, vµnh nöa
hoµn chØnh,...
CÊu tróc cña LuËn ¸n gåm cã 3 ch-¬ng. Ch-¬ng 1 tr×nh bµy vÒ c¸c
kiÕn thøc chuÈn bÞ, Ch-¬ng 2 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn m«®un
gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+ -néi x¹, Ch-¬ng 3 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ m«®un
7
n©ng cèt yÕu, m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu.
Tõ viÖc kh¶o s¸t c¸c líp m«®un trªn, ë Ch-¬ng 2, chóng t«i ®-a ra c¸c ®Æc
tr-ng cña vµnh QF th«ng qua vµnh gi¶ c+ -néi x¹ vµ ë Ch-¬ng 3 lµ c¸c ®Æc
tr-ng cña m«®un vµ vµnh Artin th«ng qua m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ
®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu.
Kh¸i niÖm vÒ m«®un néi x¹ b¾t ®Çu xuÊt hiÖn trong danh môc c¸c c«ng
tr×nh nghiªn cøu vÒ nhãm aben. N¨m 1935, Zippin chØ ra r»ng, mét nhãm
aben lµ chia ®-îc khi vµ chØ khi nã lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña mäi nhãm lín
h¬n, chøa nã nh- lµ mét nhãm con. Kh¸i niÖm m«®un néi x¹ ®-îc R. Baer
nghiªn cøu ®Çu tiªn vµo n¨m 1940. Nh÷ng n¨m sau ®ã, kh¸i niÖm nµy vµ
c¸c kh¸i niÖm më réng cña nã ®· nhËn ®-îc sù quan t©m nghiªn cøu cña
nhiÒu nhµ To¸n häc trªn thÕ giíi. N¨m 1961, R. E. Jonhson vµ E. T. Wong
([27]) ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un tùa néi x¹. §©y lµ mét líp m«®un më
réng cña líp m«®un néi x¹. NhiÒu ®Æc tr-ng cña m«®un tùa néi x¹ vµ vµnh
tù néi x¹ còng ®· ®-îc chØ ra.
Mét líp m«®un më réng cña líp tùa néi x¹ ®-îc S. Singh vµ S. K. Jain
([39]) ®-a ra vµo n¨m 1967, ®ã lµ líp m«®un gi¶ néi x¹. M«®un M ®-îc
gäi lµ gi¶ néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A cña M, víi mçi ®¬n cÊu tõ A vµo
M, ®Òu më réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo M. C¸c t¸c gi¶ R. R. Hallett
([21]), S. K. Jain, S. Singh ([26]) vµ M. L. Teply ([40]) ®· ®-a ra c¸c vÝ dô
chøng tá r»ng líp m«®un nµy lµ më réng thùc sù cña líp m«®un tùa néi x¹.
Sau ®ã, nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c còng ®· tiÕp tôc nghiªn cøu vÒ líp m«®un nµy
vµ líp vµnh t-¬ng øng, ch¼ng h¹n, A. K. Tiwary vµ B. M. Padeya ([45]),
T. Wakamatsu ([48]), P. C. Bharadwaj vµ A. K. Tiwary ([6]), H.Q. Dinh
([12]), ...
N¨m 1982, M. Harada ([22]) ®-a ra kh¸i niÖm m«®un GQ-néi x¹. M«®un
M ®-îc gäi lµ GQ-néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A ®¼ng cÊu víi m«®un
8
con ®ãng cña M, víi mçi ®ång cÊu tõ A vµo M ®Òu më réng ®-îc ®Õn
®ång cÊu tõ M vµo M. Sau ®ã, C. S. Clara vµ P. F. Smith ([11]) ®-a ra kh¸i
niÖm m«®un tùa c-néi x¹. M«®un N ®-îc gäi lµ tùa c-néi x¹ nÕu víi mçi
m«®un con ®ãng A cña M vµ mçi ®ång cÊu tõ A vµo M ®Òu cã thÓ më
réng ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo M.
Ngoµi ra, c¸c líp më réng kh¸c nh- m«®un liªn tôc, tùa liªn tôc, CS,...
còng ®-îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m nghiªn cøu, ch¼ng h¹n, Y. Utumi ([47]);
S. K. Jain, S. H. Mohamed ([24]), S. K. Jain, B. J. Muller ([25]); K. Oshiro
([35], [36]); M. Harada ([22]), L. V. Thuyet, T. C. Quynh ([42]); L. V. Thuyet
vµ N. Chien ([10]);...
Theo h-íng më réng trªn, chóng t«i ®-a ra c¸c kh¸i niÖm më réng cña
m«®un néi x¹, ®ã lµ m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+ -néi x¹. M«®un M ®-îc
gäi lµ gi¶ c-néi x¹ (t.-., gi¶ c+ -néi x¹) nÕu víi mäi m«®un con A cña M,
A ®ãng trong M (t.-., A ®¼ng cÊu víi m«®un con ®ãng cña M), víi mçi
®¬n cÊu tõ A vµo M ®Òu më réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo M. C¸c
kÕt qu¶ liªn quan ®· ®-îc c«ng bè trong c¸c bµi b¸o [2], [37], [44] vµ ®-îc
tr×nh bµy trong Ch-¬ng 2 cña luËn ¸n. Chóng t«i chøng minh ®-îc r»ng,
líp m«®un gi¶ c+ -néi x¹ lµ líp m«®un më réng thùc sù cña c¸c líp m«®un
gi¶ néi x¹ vµ líp m«®un liªn tôc. §ång thêi, líp m«®un gi¶ c+ -néi x¹ lµ
líp con thùc sù cña líp m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ líp m«®un tháa m·n ®iÒu
kiÖn C2. H¬n n÷a, mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó m«®un gi¶ c+ -néi x¹ lµ m«®un
liªn tôc hoÆc tùa néi x¹ còng ®· ®-îc chØ ra.
Mét tÝnh chÊt quan träng cña líp m«®un gi¶ c+ -néi x¹ ®ã lµ tÝnh néi x¹
t-¬ng hç cña c¸c h¹ng tö trùc tiÕp cña chóng. Trong [32], S. H. Mohamed
vµ B. J. Muller ®· chØ ra r»ng nÕu M ⊕ N lµ m«®un liªn tôc th× M lµ N -néi
x¹. T¸c gi¶ H. Q. Dinh ([12]) còng ®· chøng minh ®-îc kÕt qu¶ t-¬ng tù
®èi víi tr-êng hîp M ⊕ N lµ gi¶ néi x¹. KÕt qu¶ trªn vÉn ®óng ®èi víi
9
m«®un gi¶ c+ -néi x¹, tuy nhiªn c¸c ph-¬ng ph¸p chøng minh cña c¸c t¸c
gi¶ trªn kh«ng ¸p dông ®-îc ®èi víi tr-êng hîp nµy:
§Þnh lý 2.2.11. NÕu M ⊕ N lµ gi¶ c+ -néi x¹ th× M lµ N -néi x¹.
TÝnh chÊt quan träng tiÕp theo cña líp m«®un gi¶ c+ -néi x¹ ®ã lµ chÝnh
quy cña vµnh th-¬ng cña vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña chóng. §©y lµ kÕt qu¶
më réng kÕt qu¶ ®èi víi m«®un liªn tôc cña Y. Utumi:
§Þnh lý 2.2.21. Cho M lµ m«®un gi¶ c+ -néi x¹ vµ S = End(M). Khi
®ã S/J (S) lµ vµnh chÝnh quy Von Neumann vµ J (S) = ∆(S) = {s ∈
S| Ker s ≤e M}.
Tõ ®ã, chóng t«i ®-a ra c¸c ®Æc tr-ng cña vµnh tùa Frobenius. §Þnh lý
Faith-Walker chØ ra r»ng, nÕu mäi R-m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ néi x¹ th× R lµ
vµnh tùa Frobenius. Ngoµi ra, C. Faith ([16]) còng ®· chøng minh r»ng nÕu
P
(N)
RR lµ néi x¹ (nghÜa lµ R lµ -néi x¹ ®Õm ®-îc ph¶i) th× R lµ vµnh tùa
Frobenius. Trong [23], t¸c gi¶ D. V. Huynh còng ®· chøng minh r»ng, nÕu
P
R lµ vµnh tùa liªn tôc ph¶i, -CS ®Õm ®-îc ph¶i vµ nöa hoµn chØnh th× R
lµ vµnh tùa Frobenius. Chóng t«i ®Æc tr-ng vµnh tùa Frobenius th«ng qua
vµnh gi¶ c+ -néi x¹ vµ gi¶m nhÑ ®iÒu kiÖn trong ®Þnh lý Faith-Walker vµ kÕt
qu¶ cña C. Faith ([16]):
§Þnh lý 2.2.20. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi vµnh R:
(1) R lµ tùa Frobenius;
(2) Mçi R-m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ gi¶ c+ -néi x¹;
(N)
(3) RR lµ gi¶ c+ -néi x¹;
P
(4) R lµ -CS ®Õm ®-îc ph¶i víi chiÒu Goldie h÷u h¹n vµ lµ gi¶ c+ -néi
x¹ ph¶i.
10
Mét ®Æc tr-ng kh¸c cña vµnh tùa Frobenius ®-îc W. K. Nicholson vµ
M. F. Yousif chøng minh trong [34], vµnh R lµ tùa Frobenius khi vµ chØ khi
R lµ vµnh liªn tôc ph¶i, min-CS tr¸i vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn c¸c
linh ho¸ tö ph¶i. Chóng t«i gi¶m nhÑ ®iÒu kiÖn vµnh liªn tôc ph¶i bëi ®iÒu
kiÖn gi¶ c+ -néi x¹ ph¶i vµ thªm ®iÒu kiÖn min-CS ph¶i trong kÕt qu¶ cña
hai t¸c gi¶ trªn. Cô thÓ:
§Þnh lý 2.2.33. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi vµnh R:
(1) R lµ tùa Frobenius;
(2) R lµ gi¶ c+ -néi x¹ ph¶i, min-CS hai phÝa vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ACC
trªn c¸c linh ho¸ tö ph¶i.
KÕt qu¶ trong Ch-¬ng 2 còng chØ ra r»ng, nÕu R lµ vµnh gi¶ c+ -néi x¹
ph¶i vµ CS ph¶i th× R lµ vµnh liªn tôc ph¶i. Tuy nhiªn, chóng t«i ch-a cã
c©u tr¶ lêi cho c©u hái "vµnh gi¶ c+ -néi x¹ ph¶i vµ min-CS ph¶i cã lµ vµnh
liªn tôc ph¶i hay kh«ng?". Ngoµi c¸c kÕt qu¶ trªn, chóng t«i ®-a ra c¸c ®Æc
tr-ng cña vµnh Artin nöa ®¬n th«ng qua m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+ -néi
x¹. Vµnh R lµ Artin nöa ®¬n khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i gi¶ c-néi
x¹ lµ néi x¹, khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i cã hÖ sinh ®Õm ®-îc lµ gi¶
c+ -néi x¹. §©y lµ kÕt qu¶ më réng kÕt qu¶ cña B. Osofsky "vµnh R lµ Artin
nöa ®¬n khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i h÷u h¹n sinh lµ néi x¹".
Nh- ®· nªu ë trªn, mét ®Æc tr-ng quan träng cña vµnh QF lµ mäi m«®un
néi x¹ lµ x¹ ¶nh vµ mäi m«®un x¹ ¶nh lµ néi x¹. V× vËy, ta xÐt ®Õn kh¸i
niÖm ®èi ngÉu cña m«®un néi x¹, ®ã lµ m«®un x¹ ¶nh. Kh¸i niÖm nµy ®-îc
H. Cartan vµ S. Eilenberg ®-a ra vµo n¨m 1956. Sau ®ã, c¸c kh¸i niÖm më
réng cña nã còng ®· ®-îc c¸c t¸c gi¶ kh¸c nghiªn cøu, ch¼ng h¹n, m«®un
tùa x¹ ¶nh, m«®un rêi r¹c, m«®un tùa rêi r¹c, m«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn
D1, D2, D3, ... M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ bÐ trong M, ký hiÖu lµ
N M, nÕu N + L = M th× L = M. M«®un P ®-îc gäi lµ phñ x¹ ¶nh
11
cña m«®un M nÕu P lµ x¹ ¶nh vµ tån t¹i toµn cÊu f : P → M sao cho
Ker f P . Ta biÕt r»ng kh«ng ph¶i mäi m«®un ®Òu cã phñ x¹ ¶nh, v× vËy,
H. Bass ([5]) ®· gäi vµnh R lµ hoµn chØnh ph¶i nÕu mäi R-m«®un ph¶i ®Òu
cã phñ x¹ ¶nh. NÕu mäi R-m«®un ph¶i h÷u h¹n sinh ®Òu cã phñ x¹ ¶nh th×
vµnh R ®-îc gäi lµ vµnh nöa hoµn chØnh. Sau ®ã, n¨m 1966, F. Kasch vµ
E. A. Mares ([28]) ®· chuyÓn kh¸i niÖm nµy sang m«®un vµ ®Æc tr-ng vµnh
hoµn chØnh, nöa hoµn chØnh th«ng qua m«®un cã phÇn phô (supplemented).
M ®-îc gäi lµ m«®un cã tÝnh chÊt mäi m«®un con ®Òu cã phÇn phô, ®-îc
gäi t¾t lµ m«®un cã phÇn phô, nÕu mäi m«®un con N cña M, tån t¹i L sao
cho N + L = M vµ N ∩ L L. C¸c t¸c gi¶ trong [28] ®· chØ ra r»ng vµnh
R lµ hoµn chØnh ph¶i (t.-., nöa hoµn chØnh) nÕu mäi R-m«®un (t.-., h÷u h¹n
sinh) lµ m«®un cã phÇn phô, ®ång thêi vµnh R lµ nöa hoµn chØnh nÕu vµ
chØ nÕu RR lµ m«®un cã phÇn phô. Ngoµi ra, I. Al-Khazzi vµ P. F. Smith
([3]) ®· chøng minh r»ng, m«®un M lµ Artin khi vµ chØ khi M lµ m«®un
cã phÇn phô vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con phÇn phô vµ
m«®un con bÐ.
Më réng kh¸i niÖm m«®un con bÐ, trong [51], Y. Zhou giíi thiÖu kh¸i
niÖm m«®un con δ-bÐ. M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ δ-bÐ trong M, ký
hiÖu lµ N δ M, nÕu N + L = M víi M/L suy biÕn th× L = M. Tõ ®ã t¸c
gi¶ nµy còng ®· ®-a ra tr-êng hîp më réng cña vµnh hoµn chØnh (t.-. nöa
hoµn chØnh) ®ã lµ vµnh δ-hoµn chØnh (t.-., δ-nöa hoµn chØnh). Sau ®ã, n¨m
2007, M. T. Kosan ([29]) ®· ®-a ra kh¸i niÖm m«®un δ-n©ng (δ-lifting) vµ
m«®un cã δ-phÇn phô (δ-supplemented), ®ång thêi ®Æc tr-ng vµnh δ-hoµn
chØnh, δ-nöa hoµn chØnh th«ng qua c¸c líp m«®un nµy. Cô thÓ, vµnh R lµ
δ-hoµn chØnh ph¶i (t.-., δ-nöa hoµn chØnh) khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i
(t.-., h÷u h¹n sinh) x¹ ¶nh lµ δ-n©ng, khi vµ chØ khi mäi R-m«®un ph¶i (t.-.,
h÷u h¹n sinh) x¹ ¶nh lµ m«®un cã δ-phÇn phô. Trong [49], Y. Wang tiÕp tôc
kh¶o s¸t vÒ líp m«®un cã δ-phÇn phô, ®ång thêi chøng minh r»ng m«®un
12
M lµ Artin khi vµ chØ khi M lµ m«®un cã δ-phÇn phô nhiÒu vµ tháa m·n
®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con δ-phÇn phô vµ m«®un con δ-bÐ. Mét líp
con cña líp m«®un cã δ-phÇn phô còng ®· ®-îc c¸c t¸c gi¶ E. Buyukasik
vµ C. Lomp ([7]) kh¶o s¸t, ®ã lµ líp m«®un δ-®Þa ph-¬ng. §ång thêi c¸c
t¸c gi¶ trong [7] ®· ®-a ra c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét m«®un cã δ-phÇn phô lµ
m«®un cã phÇn phô, vµnh δ-nöa hoµn chØnh lµ nöa hoµn chØnh. N¨m 2013,
R. Tribak ([46]) tiÕp tôc kh¶o s¸t líp m«®un δ-®Þa ph-¬ng vµ còng ®· ®Æc
tr-ng vµnh δ-nöa hoµn chØnh, vµnh nöa hoµn chØnh th«ng qua líp m«®un
nµy.
N¨m 2011, D. X. Zhou vµ X. R. Zhang ([53]) ®· ®-a ra kh¸i niÖm më
réng kh¸i niÖm m«®un con δ-bÐ, ®ã lµ m«®un con bÐ cèt yÕu (essentially
small). M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ bÐ cèt yÕu trong M, ký hiÖu lµ
N e M, nÕu N + L = M víi L ≤e M th× L = M. Theo ®ã, chóng
t«i ®-a ra kh¸i niÖm m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. M«®un M ®-îc gäi lµ
cã phÇn phô cèt yÕu nÕu mäi m«®un con N cña M, tån t¹i m«®un con L
sao cho M = N + L vµ N ∩ L e L. C¸c líp con cña líp m«®un cã
phÇn phô cèt yÕu còng ®· ®-îc ®Ò xuÊt vµ kh¶o s¸t, ®ã lµ c¸c líp m«®un
n©ng cèt yÕu, ®Þa ph-¬ng cèt yÕu. M«®un M ®-îc gäi lµ n©ng cèt yÕu
nÕu víi mçi m«®un con N cña M, tån t¹i sù ph©n tÝch M = A ⊕ B sao
cho A ≤ N vµ N ∩ B e M. M«®un M ®-îc gäi lµ ®Þa ph-¬ng cèt yÕu
P
nÕu Rade (M) = {N ≤ M|N e M} lµ m«®un con cùc ®¹i vµ bÐ cèt
yÕu trong M. C¸c kÕt qu¶ liªn quan ®· ®-îc c«ng bè trong bµi b¸o [38],
mét phÇn trong bµi b¸o [43] vµ ®-îc tr×nh bµy trong Ch-¬ng 3 cña luËn ¸n.
Chóng t«i ®· kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt ®ång ®iÒu cña c¸c líp m«®un trªn vµ chØ
ra mèi liªn hÖ cña chóng víi c¸c líp m«®un δ-n©ng, m«®un cã δ-phÇn phô,
m«®un δ-®Þa ph-¬ng vµ m«®un ®Þa ph-¬ng. Cô thÓ, líp m«®un n©ng cèt yÕu
(t.-., m«®un cã phÇn phô cèt yÕu) lµ c¸c líp më réng cña líp m«®un δ-n©ng
(t.-., m«®un cã δ-phÇn phô). H¬n n÷a, líp m«®un n©ng cèt yÕu lµ më réng
13
thùc sù cña líp m«®un δ-n©ng, líp m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu chøa líp c¸c
m«®un ®Þa ph-¬ng mµ kh«ng lµ m«®un ®¬n. Bªn c¹nh ®ã, chóng t«i chøng
minh ®-îc r»ng, tæng trùc tiÕp cña mét m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu víi mét
m«®un nöa ®¬n lµ m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu vµ m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu
lµ tæng trùc tiÕp cña mét m«®un cyclic, ®Þa ph-¬ng cèt yÕu víi mét m«®un
nöa ®¬n. Mét ®Æc tr-ng quan träng cña m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu M ®ã
lµ M cã duy nhÊt mét m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i vµ mçi m«®un con thùc
sù, cèt yÕu trong M chøa trong mét m«®un con cùc ®¹i. Cô thÓ:
§Þnh lý 3.2.10. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng ®èi víi m«®un M:
(1) M lµ m«®un ®Þa ph-¬ng cèt yÕu;
(2) Rade (M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M vµ mçi m«®un con thùc sù, cèt
yÕu trong M chøa trong mét m«®un con cùc ®¹i;
(3) M cã duy nhÊt mét m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i vµ mçi m«®un con thùc
sù, cèt yÕu trong M chøa trong mét m«®un con cùc ®¹i.
Tõ tÝnh nöa ®¬n cña m«®un M/ Rade (M), trong ®ã M lµ m«®un cã
phÇn phô cèt yÕu vµ ®Æc tr-ng Artin cña m«®un Rade (M) th«ng qua ®iÒu
kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu, chóng t«i chØ ra mét ®Æc
tr-ng Artin cña m«®un M:
§Þnh lý 3.3.7. Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã M lµ Artin khi vµ chØ khi M
lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c
m«®un con phÇn phô cèt yÕu vµ m«®un con bÐ cèt yÕu.
Ngoµi ra, mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét m«®un lµ m«®un cã phÇn phô cèt
yÕu nhiÒu (amply e-supplemented) còng ®· ®-îc chØ ra. Ch¼ng h¹n, m«®un
cã phÇn phô cèt yÕu vµ π-x¹ ¶nh lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu;
m«®un M h÷u h¹n sinh vµ mäi m«®un con cyclic cña M lµ m«®un cã phÇn
phô th× M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu;...
14
Ch-¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
1.1
C¸c ký hiÖu vµ kh¸i niÖm c¬ b¶n.
Cho N lµ m«®un con cña M. M«®un con N ®-îc gäi lµ cèt yÕu (hay
m«®un con lín) trong M, ký hiÖu lµ N ≤e M, nÕu N ∩ A 6= 0 víi mäi
m«®un con A kh¸c kh«ng cña M. M«®un con K cña M ®-îc gäi lµ ®ãng
trong M nÕu K kh«ng cã më réng cèt yÕu thùc sù, nghÜa lµ, nÕu L lµ mét
m«®un con cña M sao cho K ≤e L th× K = L. M«®un con H cña M
®-îc gäi lµ phÇn bï cña N trong M nÕu H lµ m«®un con lín nhÊt trong
c¸c m«®un con Q cña M tho¶ m·n tÝnh chÊt Q ∩ N = 0 ([13, 1.10]). Sau
®©y lµ mét sè tÝnh chÊt cña m«®un con ®ãng:
Bæ ®Ò 1.1.1 ([13, 1.10]). Cho L, K, N lµ c¸c m«®un con cña m«®un M vµ
K ≤ L. Khi ®ã ta cã:
(1) Tån t¹i m«®un con ®ãng H cña M sao cho N ≤e H.
(2) M«®un con K ®ãng trong M khi vµ chØ khi víi Q ≤e M, K ≤ Q th×
Q/K ≤e M/K.
(3) NÕu L ®ãng trong M th× L/K ®ãng trong M/K.
(4) NÕu K ®ãng trong L vµ L ®ãng trong M th× K ®ãng trong M.
(5) Gi¶ sö N lµ phÇn bï cña K. Khi ®ã K ®ãng trong M khi vµ chØ khi
K lµ phÇn bï cña N trong M.
M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ bÐ (hay ®èi cèt yÕu) trong M nÕu víi
mäi L ≤ M, N + L = M th× L = M. M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ
15
m«®un con cùc tiÓu nÕu N 6= 0 vµ N kh«ng chøa thùc sù bÊt kú m«®un con
kh¸c kh«ng nµo cña M. M«®un con L cña M ®-îc gäi lµ m«®un con cùc
®¹i nÕu L 6= M vµ L kh«ng thùc sù chøa trong bÊt kú m«®un con thùc sù
nµo cña M.
P
M«®un con Rad(M) =
{N ≤ M|N M} ®-îc gäi lµ c¨n cña
m«®un M. §Õ cña m«®un M ®-îc ký hiÖu lµ Soc(M) vµ ®-îc x¸c ®Þnh
T
bëi Soc(M) = {N ≤ M|N ≤e M}. §èi víi vµnh R, ta cã Rad(RR) =
Rad(R R), v× vËy c¨n cña vµnh R ®-îc ký hiÖu lµ J (R) = Rad(RR ).
Víi R-m«®un M cho tr-íc vµ X ⊂ M, linh ho¸ tö ph¶i cña X trong
R ®-îc ký hiÖu lµ rR (X) vµ ®-îc x¸c ®Þnh bëi rR (X) = {r ∈ R| xr =
0 víi mäi x ∈ X}. Linh ho¸ tö tr¸i ®-îc ®Þnh nghÜa hoµn toµn t-¬ng
tù vµ ký hiÖu lµ lR (X). NÕu kh«ng sî nhÇm lÉn vÒ vµnh R, linh ho¸
tö ph¶i vµ tr¸i cña X trong R cã thÓ viÕt gän lµ r(X), l(X). Ký hiÖu
Z(M) = {m ∈ M|rR (m) ≤e R} lµ m«®un con suy biÕn cña M, nÕu
M = Z(M) th× M ®-îc gäi lµ m«®un suy biÕn. NÕu Z(M) = 0 th× M
®-îc gäi lµ m«®un kh«ng suy biÕn.
M«®un M kh¸c kh«ng ®-îc gäi lµ ®Òu (uniform) nÕu bÊt kú hai m«®un
con kh¸c kh«ng cña M ®Òu cã giao kh¸c kh«ng, nghÜa lµ mäi m«®un con
kh¸c kh«ng ®Òu cèt yÕu trong M. M«®un M ®-îc gäi lµ cã chiÒu ®Òu (hay
chiÒu Goldie) lµ n, ký hiÖu lµ u. dim M = n, nÕu tån t¹i m«®un con V cèt
yÕu trong M sao cho V lµ tæng trùc tiÕp cña n m«®un con ®Òu. Ng-îc l¹i,
ta viÕt u.dim M = ∞. M«®un M ®-îc gäi lµ kh«ng ph©n tÝch ®-îc nÕu M
lµ m«®un kh¸c kh«ng vµ M kh«ng lµ tæng trùc tiÕp cña c¸c m«®un con kh¸c
kh«ng. M«®un M kh¸c kh«ng ®-îc gäi lµ ®¬n nÕu M chØ cã hai m«®un
con tÇm th-êng lµ 0 vµ M. M«®un M ®-îc gäi lµ nöa ®¬n nÕu M lµ tæng
trùc tiÕp cña c¸c m«®un ®¬n.
§Þnh nghÜa 1.1.1. Cho L lµ tËp c¸c m«®un con nµo ®ã cña m«®un M.
16
i) TËp L ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn t¨ng (ACC) nÕu
víi mäi d·y L1 ≤ L2 ≤ · · · ≤ Ln ≤ . . . trong L, tån t¹i n ∈ N sao cho
Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
ii) TËp L ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn gi¶m (DCC) nÕu
víi mäi d·y L1 ≥ L2 ≥ · · · ≥ Ln ≥ . . . trong L, tån t¹i n ∈ N sao cho
Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
Cho I lµ i®ªan cña vµnh R. NÕu víi mäi lòy ®¼ng f cña vµnh th-¬ng
R/I tån t¹i luü ®¼ng e cña vµnh R sao cho e − f ∈ I th× ta gäi c¸c lòy ®¼ng
n©ng ®-îc modulo I.
§Þnh nghÜa 1.1.2. PhÇn tö a cña vµnh R ®-îc gäi lµ chÝnh quy nÕu tån
t¹i phÇn tö x ∈ R sao cho axa = a. Vµnh R ®-îc gäi lµ chÝnh quy Von
Neumann nÕu mäi phÇn tö cña R lµ chÝnh quy. Vµnh R ®-îc gäi lµ nöa
chÝnh quy nÕu R/J (R) lµ vµnh chÝnh quy Von Neumann vµ c¸c luü ®¼ng
n©ng ®-îc modulo J (R).
TËp con I cña R ®-îc gäi lµ T -lòy linh tr¸i (t.-., ph¶i) nÕu mäi d·y
a1 , a2, ... trong I, tån t¹i n sao cho a1.a2 ....an = 0 (t. -., an .....a2 .a1 = 0).
I ®-îc gäi lµ lòy linh nÕu tån t¹i n ∈ N sao cho I n = 0.
§Þnh nghÜa 1.1.3. Vµnh R ®-îc gäi lµ nöa nguyªn s¬ nÕu R/J (R) lµ nöa
®¬n vµ J (R) lµ lòy linh. Vµnh R ®-îc gäi lµ nöa hoµn chØnh nÕu R/J (R)
lµ nöa ®¬n vµ c¸c lòy ®¼ng n©ng ®-îc modulo J (R). Vµnh R ®-îc gäi lµ
hoµn chØnh tr¸i (t.-., ph¶i) nÕu R/J (R) lµ nöa ®¬n vµ J (R) lµ T -lòy linh
tr¸i (t.-., ph¶i).
Theo ®Þnh nghÜa, vµnh nöa nguyªn s¬ lµ vµnh hoµn chØnh tr¸i hoÆc ph¶i.
Vµnh hoµn chØnh tr¸i hoÆc ph¶i lµ vµnh nöa hoµn chØnh.
17
1.2
M«®un néi x¹ vµ mét sè líp m«®un më réng cña nã.
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho M, N lµ c¸c R-m«®un. M ®-îc gäi lµ N -néi x¹ nÕu
víi mäi m«®un con A cña N , víi mçi ®ång cÊu tõ f : A → M, tån t¹i më
réng cña f tõ N vµo M. M«®un M ®-îc gäi lµ néi x¹ nÕu M lµ N néi x¹
víi mäi m«®un N . M«®un M ®-îc gäi lµ tùa néi x¹ nÕu M lµ M-néi x¹.
Vµnh R ®-îc gäi lµ tù néi x¹ ph¶i (t.-., tr¸i) nÕu RR (t.-., R R) lµ m«®un
tùa néi x¹.
§Þnh lý 1.2.1 (Tiªu chuÈn Baer). M«®un M lµ néi x¹ khi vµ chØ khi víi mäi
i®ªan ph¶i I cña R vµ ®ång cÊu β : I → M, tån t¹i ®ång cÊu f : RR → M
lµ më réng cña β.
Theo ®Þnh nghÜa, m«®un M lµ néi x¹ nÕu M lµ N -néi x¹ víi mäi m«®un
N . Tiªu chuÈn Baer chØ ra r»ng, R-m«®un M lµ néi x¹ khi vµ chØ khi M lµ
R-néi x¹. H¬n n÷a, kh¸i niÖm vµnh néi x¹ vµ vµnh tù néi x¹ lµ trïng nhau.
Sau ®©y lµ mét sè kh¸i niÖm më réng cña m«®un néi x¹:
§Þnh nghÜa 1.2.2 ([39]). Cho M vµ N lµ hai R-m«®un. M ®-îc gäi lµ gi¶
N -néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A cña N , víi mçi ®¬n cÊu tõ A vµo M,
®Òu më réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ N vµo M. M«®un M ®-îc gäi lµ gi¶
néi x¹ nÕu M lµ gi¶ M-néi x¹.
§Þnh nghÜa 1.2.3 ([32]). Cho M lµ R-m«®un.
i) M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C1 (hay M lµ m«®un CS) nÕu mçi
m«®un con A cña M, A cèt yÕu trong h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
ii) M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C2 nÕu mçi m«®un con ®¼ng cÊu
víi h¹ng tö trùc tiÕp cña M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
iii) M ®-îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C3 nÕu víi A, B lµ hai h¹ng tö
18
trùc tiÕp cña M, A ∩ B = 0 th× A ⊕ B lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
iv) M ®-îc gäi lµ liªn tôc (t.-., tùa liªn tôc) nÕu M lµ CS vµ tho¶ ®iÒu
kiÖn C2 (t.-., C3).
Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy, nÕu m«®un M lµ tùa néi x¹ th× M lµ gi¶ néi x¹.
C¸c t¸c gi¶ R. R. Hallett ([21]), K. S. Jain, S. Singh ([26]) vµ M. L. Teply
([40]) ®· chØ ra r»ng, líp m«®un gi¶ néi x¹ lµ më réng thùc sù cña líp
m«®un tùa néi x¹. Trong [12], Q. H. Dinh ®· chøng minh r»ng líp m«®un
gi¶ néi x¹ lµ líp con cña líp c¸c m«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn C2.
§Þnh lý 1.2.2 ([12, Theorem 2.6]). NÕu M lµ gi¶ néi x¹ th× M tho¶ m·n
®iÒu kiÖn C2.
Mèi quan hÖ gi÷a m«®un néi x¹ vµ c¸c tr-êng hîp më réng cña nã ®-îc
thÓ hiÖn qua s¬ ®å sau:
Néi x¹
→
tùa néi x¹
↓
gi¶ néi x¹
→
→
liªn tôc
↓
C2
→
→
tùa liªn tôc
↓
C3
→ C1
Ngoµi c¸c líp m«®un trªn, c¸c líp m«®un sau còng lµ c¸c tr-êng hîp
më réng cña m«®un néi x¹:
§Þnh nghÜa 1.2.4. Cho M, N lµ c¸c R-m«®un.
i) M«®un M ®-îc gäi lµ N -néi x¹ ®¬n nÕu víi mäi m«®un con A cña
N , víi mçi ®ång cÊu f : A → M sao cho f (A) lµ m«®un con ®¬n, tån t¹i
®ång cÊu tõ N vµo M lµ më réng cña f . Vµnh R ®-îc gäi lµ néi x¹ ®¬n
ph¶i (t.-., tr¸i) nÕu RR (t.-., R R) lµ R-néi x¹ ®¬n ([34]).
ii) M«®un M ®-îc gäi lµ GQ-néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con A ®¼ng
19
cÊu víi m«®un con ®ãng cña M, víi mçi ®ång cÊu tõ A vµo M ®Òu më
réng ®-îc ®Õn ®ång cÊu tõ M vµo M ([22]).
iii) M«®un N ®-îc gäi lµ M-c-néi x¹ nÕu víi mçi m«®un con ®ãng A
cña M vµ mçi ®ång cÊu tõ A vµo N ®Òu cã thÓ më réng ®Õn ®ång cÊu tõ
M vµo N . M«®un M ®-îc gäi lµ c-néi x¹ nÕu M lµ N -c-néi x¹ víi mäi
m«®un N . M«®un M ®-îc gäi lµ tùa c-néi x¹ nÕu M lµ M-c-néi x¹ ([11]).
Sau ®©y lµ tÝnh néi x¹ t-¬ng hç cña c¸c h¹ng tö trùc tiÕp cña m«®un gi¶
néi x¹ vµ m«®un tùa liªn tôc:
MÖnh ®Ò 1.2.3 ([12, Theorem 2.2]). NÕu M = K ⊕ N lµ gi¶ néi x¹ th× K
lµ N -néi x¹.
MÖnh ®Ò 1.2.4 ([32, Proposition 2.10]). NÕu M = K ⊕ N lµ tùa liªn tôc
th× K lµ N -néi x¹.
Ta biÕt r»ng, trong tr-êng hîp tæng qu¸t, tæng trùc tiÕp cña c¸c m«®un
tùa néi x¹ (t.-., tùa liªn tôc) ch-a h¼n lµ m«®un tùa néi x¹ (t.-., tùa liªn tôc).
C¸c ®Þnh lý sau ®©y chØ ra mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó tæng trùc tiÕp c¸c m«®un
tùa néi x¹ (t.-., tùa liªn tôc) lµ tùa néi x¹ (t.-., tùa liªn tôc):
MÖnh ®Ò 1.2.5 ([32, Corollary 1.19]). M«®un ⊕ni=1 Mi lµ tùa néi x¹ khi vµ
chØ khi Mi lµ Mj -néi x¹ víi mäi i, j = 1, 2, ..., n. §Æc biÖt, M n lµ tùa néi
x¹ khi vµ chØ khi M lµ tùa néi x¹.
§Þnh lý 1.2.6 ([32, Theorem 2.13]). Cho {Mi : i ∈ I} lµ hä c¸c m«®un tùa
liªn tôc. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng:
(1) M = ⊕i∈I Mi lµ tùa liªn tôc;
(2) ⊕i∈I\j Mi lµ Mj -néi x¹.
20
- Xem thêm -
.PDF 
92 
717 
116 
