PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ .
Thực hiện chủ đề năm học : “ Tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng
giáo dục” và mỗi Thầy cô giáo là một tấm gương sáng tự học và sáng tạo.Do đó
bản thân mỗi Thầy cô giáo cần cố gắng về chuyên môn , nghiệp vụ sư phạm để
có những bài giảng hay, truyền đạt kiến thức, kỹ năng cho đối tượng học sinh
mà mình phụ trách.Muốn làm được điều đó cần đúc rút kinh nghiệp giảng dạy
của mình sau từng mục, từng tiết dạy, bài dạy để ngày càng nâng cao chất lượng
giáo dục.
Nhiệm vụ của ngành giáo dục và đào tạo là : Đào tạo thế hệ trẻ có đủ phẩm
chất năng lực, giáo dục phát triển toàn diện trí,thể,mỹ. Đào tạo nguồn nhân lực
có trình độ tay nghề cao phục vụ đắc lực cho công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc xã hội chủ nghĩa trong thời kỳ công nghiệp hoá- hiện đại hoá đất nước.
Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sức quan
trọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ của học sinh,
giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,lôgíc, trực quan, thấy được ứng dụng
của toán học trong cuộc sống.Toán học có rất nhiều phân môn, lĩnh vực khác
nhau, mỗi lĩnh vực có một vai trò và tầm quan trọng riêng, có những đặc trưng
riêng biệt
Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện
trong đề thi đại học và thi học sinh giỏi. Đa số học sinh đã giải quyết được
những dạng phương trình lượng giác cơ bản, tuy nhiên học sinh chưa thực sự
giải quyết tốt khi gặp các phương trình lượng giác trong đề thi. Việc cung cấp
cho học sinh một số phương pháp giải phương trình lượng giác là một việc làm
cần thiết. Chính vì thế tôi chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải
một số dạng bài toán phương trình lượng giác ở trường THPT”
1
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận của vấn đề
a) Phương trình lượng giác cơ bản:
+) sinx= m
Với
m
x k 2
x k 2 ( k z ).
1 và sin =m (có thể lấy
+) cosx= m x k 2
Với
m
arcsinm).
( k z ).
1 và cos =m (có thể lấy arccosm).
+) tanx= m x= k , với tan =m ( có thể lấy =arctanm)
( k z ).
+) cotx= m x= k , với cot = m ( có thể lấy arccotm)
( k z ).
b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
+) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x) ( f(x) là một biểu thức lượng
giác nào đó). Đặt ẩn phụ: t= f(x)
+)Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2 0)
Biến đổi vế trái về dạng: Csin(x+ ) hoặc Ccos(x+ )
+) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= 0 ( a2+ b2+ c2 0)
Chia hai vế cho cos2x( với cosx 0), hoặc chia hai vế cho sin2x( với sinx 0)
+) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d.
(a2+b2+c2 0 ).
Viết: d= d(sin2x+ cos2x) rồi đưa về dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối
với sinx và cosx.
+) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
2 sin( x
Đặt: t= sinx+ cosx=
2
4
)
2 cos( x
4
(đk:
)
)
sin x cos x
t2 1
2
phương trình bậc hai ẩn t.
+) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx- cosx=
2 sin( x
4
) 2 cos( x
4
)
(đk:
t
2
).
2
t
sin x cos x
1 t2
2
phương trình bậc hai ẩn t.
Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau
Phương pháp giải phương trình lượng giác
Phương pháp giải
phương trình lượng giác
đưa về phương trình tích
Biến đổi
tổng
thành
tích
Biến đổi
tích
thành
tổng
Phương pháp giải phương
trình lượng giác: Đại số
hóa bằng cách đă ăt ẩn phụ
Phương trình
bâ ăc 1, bâ ăc 2
đối với các
hàm số lượng
giác
Phương
trình bâ că 1
đối với sinx
và cosx
Phương pháp giải
phương trình
không mẫu mực
Phương
trình thuần
nhất bâ că 2
đối với sinx
và cosx
Phương pháp giải phương
trình đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải
Phương
trình đối
xứng đôí
vơí sinx,
cosx
Phương trình lượng giác cơ bản
2. Thực trạng vấn đề .
Khi gặp bài toán giải lượng giác ở phức tạp, học sinh rất lúng túng trong
cách giải quyết.Tuy nhiên khi nắm bắt được quy luật của một số dạng toán thì
khó khăn sẽ được giải quyết.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 4 phương pháp. Mỗi phương pháp
tôi đưa ra một số các ví dụ và các bài tập áp dụng, các ví dụ này chủ yếu trong
3
các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi các năm gần đây và một số bài tập tương
tự. Sau đây là một số phương pháp giải phương trình lượng giác
1.Phương pháp1: Sử dụng các biến đổi lượng giác đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần sử dụng
các công thức lượng giác như các công thức hạ bậc, góc nhân đôi, công thức
biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng thì sẽ biến đổi đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải.
Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) .Giải phương trình
x
x
(sin 2 +cos 2 )2 +
cosx =2
3
(1a)
Giải:
Phương trình (1a) tương đương với :
cos 2
x
x
sin 2
2
2
1+ sinx +
x
x
6
6
x
3
3
x
+2sin 2 cos 2 +
cosx
k 2
3
k 2
1
2
3
cosx =2
3
2
sinx +
1
cosx = 2 cos(x-
x 2 k 2
x k 2
6
Vậy nghiệm của phương trình là : x=
2
6
1
) =2
(k z)
+k2 , x= -
6
+k2
(k z ) .
Ví dụ 2 . Giải phương trình :
sin2xcosx +
cos3x =2- cos2xsinx
3
(3a)
Giải:
Phương trình (3a) tương đương với :
1
2
(sin3x +sinx ) +
sin3x +
cos(
6
3
3
cos3x = 2-
cos3x= 2
3 x )=
1
6
1
2
sin3x +
3x =
1
2
(sin3x - sinx)
3
2
cos3x = 1
k2 x = 18 -
Vậy phương trình có nghiệm là:
x=
18
-
k 2
3
k 2
3
(k z)
(k z)
4
Ví dụ 3 (Đại học khối A - 2005). Giải phương trình:
cos23xcos2x - cos2x = 0
(4a)
Giải
Phương trình (4a) tương đương với :
(1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = 0
cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x = 0
cos6x cos2x -1= 0
1
2
(cos4x + cos8x )- 1= 0
cos8x+ cos4x- 2= 0
3
cos 4 x 2 cos 4 x 1
.
cos 4 x 1
2cos 4x + cos4x - 3 = 0
2
k
2
+) cos4x = 1 4x = k2 x =
(k z).
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
k
2
(k z).
Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003).
Giải phương trình:
(2
3 ) cos x 2 sin 2 (
2 cos x 1
x
)
2
4 1
(5a)
Giải
Đk: cosx
1
2
(*)
Phương trình (5a) tương đương với:
(2 (2-
(2-
3
)cosx - [1- cos(x-
3
2
)cosx - 1+ cos(x-
3
)] = 2cosx- 1
2
) = 2cosx - 1
)cosx - 1+ sinx = 2 cosx -- 1
2 cosx - 1 sinx =
3
3
cosx + sinx = 2 cosx - 1
cosx tanx =
3
x=
+ k ( k z ).
3
Kết hợp với điều kiện (*)
5
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
3
+(2k’+ 1)
( k’ z).
Ví dụ 5 (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình :
cos( 2x+
4
)
+ cos( 2x-
4
)+ 4sinx = 2+
2
(1- sinx)
(6a)
Giải:
Phương trình (6a) tương đương với :
2 cos2x.cos
2
2
+ 4 sinx +
4
2
sinx - 2 -
2
cos2x + ( 4 -
2
)sinx - 2 -
sin2x - (4 +
2
) sinx + 2 = 0 (*)
2
1
x k 2
sin
x
1 6
2 sin x
2 5
x k 2
sin
x
2
6
=0
(k z).
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
Ví dụ 6:(HSG-2011)
2
=0
k 2
6
, x=
5
k 2
6
(k z).
Giải phương trình.
(1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= 0.
(7a)
Giải.
Phương trình(7a) tương đương với:
1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= 0
cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx
1
5
Đặt:
cos 2 x
sin
1
5
2
5
,
sin 2 x
cos
1
5
sin x
2
5
cos x
2
5
sin cos2x+ cos sin2x= sin sin2x- cos cosx
sin( 2 x ) cos( x ) sin(2 x ) sin( x
2
)
6
2 x x 2 k 2
2 x x k 2
2
Vậy phương trình có nghiệm là: x= z)
2
x 2 k 2
x 2 k 2
3
3
3
k 2
hoặc x= 3
(k z )
2
k 2
3
3
(k
*Một số bài tập tương tự
Giải các phương trình sau :
1.(Đại học khối B- 2004). 5 sinx- 2 = 3( 1 - sinx ) tan2x
2
2.( Đại học khối B- 2003 ) . cotx - tanx + 4 sin2x = sin 2 x
3. (Đại học khối A - 2009).
(1 2 sin x ) cos x
(1 2 sin x )(1 sin x )
4.(Đại học khối D- 2009).
3
=
3
cos5x - 2 sin3x cos2x -sinx= 0
5.(Đại học khối A - 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phương trình
:
5( sinx +
cos 3 x sin 3 x
)
1 2 sin 2 x
cos4x +sin4x +cos(x-
6.(Đại học khối D - 2005) .
7.
4sin
2
x
2
3
-
= cos2x +3
2
cos2x = 1 + cos (
3
x- 4
tanx= cotx+
2 cos 4 x
sin 2 x
4
)
.sin(3x-
4
)
3
-2 =0
)
8.(Đại học khối B- 2009) . sinx + cosx.sin2x +
9.
3
cos3x= 2 ( cos4x + sin3x)
.
2. Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số phương trình lượng giác có thể đưa ẩn phụ vào để chuyển về
phương trình đại số đã biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x);
t= sinu(x)+ cosu(x)....( Chú ý đk ẩn phụ). Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển về
phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ là biểu thức đại số ẩn x như:
t=
2x
3
, t=
6
x
2
... ).
Ví dụ 1. Giải phương trình :
3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= 0 (2b).
Giải.
7
Phương trình ( 2b) tương đương với:
(2b/ )
3( sinx + cosx )+ 4 sinx cosx + 3 = 0
Đặt sinx + cosx = t (
t
t 2 1
2
) sinx.cosx =
2
Phương trình ( 2b/ ) trở thành:
3t + 2t2 - 2+3 = 0 2t2 +3t+ 1 = 0
+) Với t= -1 sinx + cosx = -1
sin(x +
4
+)Với t = sin( x +
1
2
4
sin( x +
4
)=-1
)
x 2 k 2
x k 2
sinx + cosx = -
1
2
=-
)
2
t 1
(t / m)
t 1
2
1
2
)=-2
= sin(-
1
2
4
2
sin( x +
4
(k z)
)
1
=-2
1
x 4 arcsin( 2 2 ) k 2
x 3 arcsin( 1 ) k 2
4
2 2
Vậy phương trình có các nghiệm là:
x=-
+k2 ,
2
1
2 2
x= +k2 ,
x=
1
arcsin(2 2
4
)+k2 ,
x=
3
4
+arcsin(-
)
(k z )
Ví dụ 2. Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= 3
( 3b)
Giải:
ĐK: cosx 0
2t
Đặt tanx= t sin2x= 1 t 2 . Phương trình (3b) trở thành:
2t
1 t2
+ 2t= 3 2t3- 3t2+ 4t- 3= 0 t= 1.
+) Với t= 1 tanx= 1
x
k
4
(k z )
8
k
4
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
(k z )
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3cosx+ 4sinx+
6
6
3 cos x 4 sin x 1
(4b)
Giải.
Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t 3cosx+ 4sinx= t- 1( t
Phương trình (4b) trở thành: t- 1+
6
6
t
o).
t2- t+ 6= 6t
t 6
t2 -7t+ 6= 0
t 1
+) Với t= 6 4sinx+ 3cosx+ 1= 6 4sinx+ 3cosx= 5
3
5
4
5
3
5
4
5
cos x sin x 1 sin cos x cos sin x 1 (sin , cos )
sin(x+ ) = 1 x k 2 x= - k 2 (k z )
2
2
3
4
+)Vớit=1 3cosx+4sinx=0 5 cos x 5 sin x 0 sin( x ) 0
3
4
(sin 5 , cos 5 ) x k x k (k z ) .
x=-
Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ4:
2
k 2
, x=- k (k z )
Giải phương trình:
sin3x - 6 sin2xcosx + 11sinxcos2x - 6 cos3x =0
(4b)
Giải:
+) Nếu cosx = 0 x=
2
+k
(k z)
Phương trình trở thành : 1 = 0 vô lý . Vậy cosx 0 .
Chia cả 2 vế của phương trình ( 4b) cho cos3x 0
khi đó phương trình (4b) trở thành:
tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0
(4b/)
Đặt: tanx=t.
(4b/) t3 - 6t2 +11t - 6 = 0 ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0
9
(t- 1) (t-2) ( t- 3) = 0
t 1
t 2
t 3
+)Với t=1 tanx =1 x=
4
+k
(k z)
(l z , tan =2)
+)Với t =2 tanx = 2 x= + l
+)Với t= 3 tanx= 3 x=
+m
(m z ,tan = 3)
Vậy nghiệm của phương trình là: x=
4
+k , x= +l , x=
+m
( k, l, m z ; tan =2 ;tan =3).
Ví dụ5. Giải phương trình: sin(2x+
6
) cos( x
6
) 1
Giải.
Đặt: x- 6
t 2x
sin( 2t
2t
6
2
) cos t 1 2 cos
2
2
t cot 0
cos t 0
t 2 k
1
cos t
t k
2
3
+) t= 2 k x 6 2 k x
+) t=
2
k
3
k 2 x k 2 x k 2
3
6 3
2
3
+) t=- k 2 x
(k z )
k 2 x
k 2
6
3
6
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x
2
k , x k 2 , x
k 2 ( k z ).
3
2
6
Ví dụ6 (HSGT-2009)
Giải phương trình: sin(3x
4
) sin 2 x.sin( x
4
)
Giải.
Đặt: t x
.Phương trình đã cho trở thành:
4
10
) sin t sin 3t cos 2t sin t
2
sin t 0
sin 3 t sin t 0 2
sin t. cost 0
sin t 1
sin(3t ) sin( 2t
sin 2t 0 t k
x k
2
4
2
x
Vậy các nghiệm của phương trình là:
k (k z ).
4
2
. (*) Một số bài tập tương tự:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
3
1. (HVQHQT- 2000) . cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
2. ( Đại học dự bị khối B- 2004). 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
3. (ĐHGTVT - 2001) . sin4x + sin4( x+
4
) + sin4(x -
4
9
)=8.
4. (ĐHQGNH - 2000) . 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
5. 2sin3x + 4 cos3x = 3sinx
6. 8 cos3( x+
7. 4cos3x +3
8.
3 sin 2
3
) = cos3x
2
sin2x = 8 cosx
x
3
x
cos(
2
2)
2
+
3 sin 2
x
2
cos
x
2
=sin
x
2
cos
2
x
2
x
+sin2( 2
2
x
)cos 2
Bài 2: Cho phương trình:
cos6x + sin6x = msin2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3:
Cho phương trình :
(2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả
mãn:
Bài 4:
0 x
Cho phương trình .
11
m(sinx+ cosx) +1+
1
2
1
1
(tanx +cotx+ sin x + cos x ) =0
1
a) Giải phương trình khi m= 2
b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng (0;
2
).
3.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích.
Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để
nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong
các đề thi đại học mấy năm gần đây. Phương pháp này không phức tạp về tính
toán, về thủ thuật biến đổi nhưng đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các công thức
lượng giác để tạo các biến thức chung.
Một số kỹ năng nhóm thừa số chung đơn giản nhưng rất hiệu quả:
+) cos2x = 1 -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx)
+) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx)
+) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx)
+) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2
+) 1- sin2x = 1- 2 sinxcosx =(sinx-cosx)2
Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008). Giải phương trình :
2sinx( 1 + cos2x)+sin2x = 1+2cosx
(3a)
Giải.
Phương trình (3a) tương đương với:
2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx
4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ 2 cosx
2 sinxcosx ( 1+ 2cosx) = 1 + 2cosx
(1 + 2 cosx) (2 sinxcosx - 1) = 0
2 cos x 1 0
2 sin x cos x 1 0
1
cos x 2
sin 2 x 1
2
x 3 k 2
x 2 k 2
3
x
k
4
(k z)
12
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x=
2
3
+k2 , x=-
2
3
+k2 ,
x=
+k ( k z)
4
Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình:
sin23x - cos24x = sin25x - cos26x
(3b)
Giải.
Phương trình (3b) tương đương với:
sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x
1 cos 6 x
2
+
1 cos 12 x
2
=
1 cos10 x
2
+
1 cos 8 x
2
cos12x - cos6x = cos8x - cos10x
- 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx
2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0
sin 9 x 0
sin x sin 3 x
9 x k
x 3 x k 2
x 3 x k 2
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x=
k
9
x k 9
x k
2
x k
2
, x=
k
2
(k z).
(k z).
Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ). Giải phương trình .
cotx -1 =
cos 2 x
1 tan x
+sin2x -
1
2
sin2x
(3c)
Giải.
tan x 1
Điều kiện xác định: cos x 0
sin x 0
(*)
Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với:
cos x
sin x
-1=
cos x sin x
sin x
cos 2 x sin 2 x
1 tan x
=
+ sin2x -
1
2
2sinxcosx
cos x (cos x sin x)(cos x sin x )
cos x sin x
- sinx(cosx- sinx)
13
cos x sin x
sin x
= cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx)
(cosx - sinx) ( 1 -sinxcosx + sin2x) = 0
cos x sin x 0
2
1 sin x cos x sin x 0
+) cosx -sinx = 0 tanx = 1 x=
1
2
+) 1 - sinxcosx +sin2x = 0 1 -
+ k (k z)
4
sin2x + sin2x = 0
2 - sin2x + (1 - cos2x) = 0 sin2x + cos2x = 3 (vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là: x=
Ví dụ 4: (ĐHQG--HN-99).
4
(k z)
+ k
Giải phương trình.
cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x)
(3d)
Giải.
Phương trình (3d) tương đương với:
2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = 0
cos6x ( 2 cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = 0
cos6x .cos2x - sin6x .cos2x = 0
cos2x ( cos6x - sin6x ) = 0
cos2x ( cos2x - sin2x )( 1- sin2x.cos2x) =0
cos22x ( 1 - sin2x.cos2x) = 0 cos22x (1 -
cos2x = 0 2x =
2
+k x=
Vậy phương trình có nghiệm là:
4
x=
Ví dụ5. (Đại học khối A- 2011).
1 sin 2 x cos 2 x
1 cot 2 x
4
+k
2
+k
2
1
4
sin22x) = 0
( k z)
(k z).
Giải phương trình:
2 sin x sin 2 x
(3e)
Giải.
ĐK: x k
( k z)
14
Phương trình (3e) tương đương với:
sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) =
2
sinx ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2
cos x 0
cos x sin x
2
sinxsin2x
2
sinxcosx
x 2 k
sin( x ) 1
4
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
k
4
x 4 k
x 2m
4
, x=
2m
4
(m, k
z) .
(m, k z ).
Ví dụ 6. (Đại học khối B- 2011). Giải phương trình:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
Giải:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
2sinxcos2x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx
sinx(2cos2x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0
cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= 0
(cos2x+ cosx)(sinx-1) = 0
2
x
k
cos 2 x cos x
3
3
sin x 1
x k 2
2
Vậy các nghiệm của phương trình là:
Ví dụ7 (HSGT-2010).
x
2
k 2 , x k
(k z ).
2
3
3
Giải phương trình:
cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x.
(3f)
Giải.
(3f) (cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x)
(2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)= 0.
(2sin3x- 1)(sinx- co3x) = 0
15
1
sin 3 x 2
cos 3 x cos( x )
2
2
18
3
5
2
k
18
3
x
x
x
x
8
k
k
4
(k z ) .
2
k
Vậy phương trình có nghiệm là:
x= 18 k
2
3
, x=
5
2
k
18
3
,
x=
8
k
, x=2
k
4
(k z).
(*) Một số bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1. Đại học khối A-2010).
2 ( Đại học khối D- 2011) .
(1 sin x cos x ) sin( x
1 tan x
sin 2 x 2 cos x sin x 1
tan x
3
4
=
1
2
cosx
=0
3.(Đại học khối D-2004) . (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx
4.(Đại học khối B - 2005) . 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
5. (Đại học khối D - 2010). sin2x - cos2x + 3 sinx - cosx - 1 = 0
6. (Đại học khối A- 2007) . (1 + sin2x) cosx + ( 1+ cos2x) sinx=1+sin2x
7. (Đại học khối B-2010). (sin2x + cos2x) cosx + 2 cos2x -sinx = 0
4. Phương pháp 4 : Phương pháp đánh giá.
Xét phương trình: f(x)= g(x) (c).
f ( x) A
g ( x) A
Trong đó f(x) A; g(x) A , suy ra (c)
+)Chú ý một số bất đẳng thức cơ bản:
-1 sinx 1 sinnx sin2x
-1 cosx 1 cosnx cos2x
Ví dụ 1.
(n 2)
Giải phương trình sau:
cos2x + cos
3x
4
-2=0
(4a)
16
Giải.
Phương trình (4a) tương đương với:
cos2x + cos
3x
4
Do: cos2x 1; cos
cos2x + cos
3x
4
=2
3x
4
=2
1 cos2x + cos
cos 2 x 1
3x
cos 4 1
x k
k 8
x 3
2
x=k8 (k z).
x=k8
Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2.
3x
4
(k z).
Giải phương trình sau:
sinx.cos4x = 1
Giải
sinx.cos4x = 1 sin 5 x sin 3x 2
Do: -1 sin5x 1, -1 - sin3x 1 nên sin5x-sin3x 2
Phuwowng trình đã cho tương đương với:
k2
x
sin5x 1 10 5
x t2
sin3x 1 x k2 2
6 3
.
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
Ví dụ 3.
2
t 2
(k z).
Giải phương trình :
cos2012x + sin2012 x = 1
Giải.
Ta có: sin2x ( 1- sin2010x) 0
( vì -1 sinx 1)
17
cos2x (1 - cos2010x ) 0
Nên sin2x sin2012x
( vì -1 cosx 1)
cos2x cos2012x
và
Do đó : sin2012x + cos2012x sin2x + cos2x =1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :
sin 2 x 0
sin 2 x(1 sin 2010 x) 0 sin 2010 x 1
2
2
2010
cos x(1 cos x) 0 cos x 0
2010
x 1
cos
Vậy nghiệm của phương trình là :
sin x 0
cos x 0
x =k
2
x = k
2
(k z)
(k z)
Qua ví dụ 3, ta có bài toán tổng quát:
Giải phương trình :
Ví dụ 4.
sinnx + cosnx = 1 ( n 2, n z).
Giải phương trình :
cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = 1 +
2
(4a)
Giải.
Ta có: cos2x + sin2x =
2
sin( 2x +
4
)
2
cos2x( 1- cos3x ) 0 (vì -1 cosx 1)
sin2x ( 1 -cos3x ) 0 ( vì - 1 sinx 1)
Nên : cos5x + sin5x cos2x + sin2 x = 1
Phương trình (4a) dẫn tới hệ:
cos x 0
cos
x
(
1
cos
x
)
0
sin x 1
cos 5 x sin 5 x 1
sin x(1 sin x) 0
cos 2 x sin 2 x 2
cox 1
cos 2 x sin 2 x 2
cos 2 x sin 2 x 2
2
2
3
3
18
Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình đã cho vô nghiệm .
Ví dụ 5.
Giải phương trình:
cos3x +
2 cos 2 3 x
=2 (1+sin22x)
(4b)
Giải:
Ta có:
2(1+ sin22x) 2 x ( vì 0 sin22x 1)
1.cos3x+ 1.
2 cos 2 3 x
(12 12 )(cos 2 3 x 2 cos 2 3 x )
=2
x.
(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki )
Phương trình (4b) dẫn tới hệ sau:
2(1 sin 2 2 x) 2
cos 3x 2 cos 2 3x 2
sin 2 x 0
cos 3x 2 cos 2 3x
x k 2
(k,l z)
2
x l
3
x=2n (n z).
Vậy nghiệm của phương trình là:
x= 2n ( n z)
sin 2 x 0
cos 3x 1
Ví dụ 6:
(ĐH Y Thái Bình) .
2
sin x
sin 2 3 x
+
3 sin 4 x
Giải phương trình:
(cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x.
Giải:
Đk: sin4x 0 x k
4
, k z
3
Ta có: cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = 4 sin4x
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
sin2x +
1
4
( sinx -
1
sin23x = sinx.sin23x (sinx- 2 sin23x)2 +
1
1
sin23x)2 + 4 sin23x.cos23x = 0
2
1
4
( sin23x - sin43x) = 0
(4c)
19
Do (sinx -
1
2
sin23x)2 0 Và sin23x.cos23x 0.
2 k
sin 3x 0 sin3x 0 x
3 x m
sinx 0 sinx 0 x t
k
1
x
sin
x
sin 3x 0
Nên phương trình (4c) dẫn tới hệ sau:
.
2
6
3
sin 3x. cos 3x 0 cos2 3x 0
1 x t2 (k,t mz)
sinx 2 6
5
x 6 t2
2
2
2
kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm là:
x=
6
+k2 , x =
Vậy nghiệm của phương trình là: x=
(*) Bài tập tương tự:
5
+k2
6
6
(k z)
+k2 , x =
5
+k2
6
(k z).
Giải các phương trình sau:
1)
sin3x - cos10x =2
2)
cos8x + sin10x = 1
3)
sinnx +cosnx = 1
4)
sinnx + cosmx =1
(n 2, n z)
(m,n 2, m,n z)
20
- Xem thêm -
.DOC 
23 
344 
123 
