Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
A.ĐẶT VẤN ĐỀ .
Thực hiện chủ đề năm học : “ Tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng
giáo dục” và mỗi Thầy cô giáo là một tấm gương sáng tự học và sáng tạo.Do đó
bản thân mỗi Thầy cô giáo cần cố gắng về chuyên môn , nghiệp vụ sư phạm để
có những bài giảng hay, truyền đạt kiến thức, kỹ năng cho đối tượng học sinh
mà mình phụ trách.Muốn làm được điều đó cần đúc rút kinh nghiệp giảng dạy
của mình sau từng mục, từng tiết dạy, bài dạy để ngày càng nâng cao chất lượng
giáo dục.
Nhiệm vụ của ngành giáo dục và đào tạo là : Đào tạo thế hệ trẻ có đủ phẩm
chất năng lực, giáo dục phát triển toàn diện trí,thể,mỹ. Đào tạo nguồn nhân lực
có trình độ tay nghề cao phục vụ đắc lực cho công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc xã hội chủ nghĩa trong thời kỳ công nghiệp hoá- hiện đại hoá đất nước.
Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sức quan
trọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ của học sinh,
giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,lôgíc, trực quan, thấy được ứng dụng
của toán học trong cuộc sống.Toán học có rất nhiều phân môn, lĩnh vực khác
nhau, mỗi lĩnh vực có một vai trò và tầm quan trọng riêng, có những đặc trưng
riêng biệt .Cũng như các vấn đề khác của toán học thì mảng kiến thức về
phương trình ,và bất phương trình có chứa tham số cũng có vai trò hết sức quan
trọng trong việc phát huy tư duy sáng tạo và lôgíc của học sinh .Người thầy phải
cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông mà còn phải trang bị cho các
em những kỹ năng cơ bản cần thiết. Để làm tốt điều này mỗi người thầy phải tự
học tập nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm, đúc kết những
kinh nghiệm giảng dạy,từ đó góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinh một
cách hiệu quả nhất, để mỗi tiết học là một niềm đam mê khám phá tri thức đối
với mỗi học sinh.
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
1
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Trong nhà trường THPT bộ môn toán đóng vai trò hết sức quan trọng, nếu
như học sinh học tốt bộ môn toán thì có thể học tốt các bộ môn khác.Là một
môn học yêu cầu học sinh phải có tư duy lôgíc sáng tạo, phát hiện và giải quyết
vấn đề một cách triệt để.Học sinh phải biết vận dụng lý thuyết vào thực hành
giải toán. Thành công sau mỗi tiết dạy là học sinh có thể vận dụng tốt lý thuyết
để giải một bài toán một cách chính xác khoa học .Thực trạng giảng dạy bộ môn
toán ở trường THPT thì tất cả các khối lớp đều học bộ môn Toán, là một môn
hết sức chủ đạo chiếm một thời lượng nhiều trong phân phối chương trình.Để
học tốt bộ môn Toán thì học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản, và có
kỹ năng cần thiết. Các em học sinh không nắm vững kiến thức, kỹ năng dẫn đến
mất gốc gây nên tình trạng chán học, do đó cần khơi dạy niềm đam mê học bộ
môn Toán của học sinh là việc làm hết sức cần thiết.
Phương trình,bất phương trình
có chứa tham số là một mảng kiến thức quan
trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi
tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. Mặc dù học sinh được cọ sát
phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình
tìm ra cách giải. Nguyên nhân là vì :Thứ nhất, Phương trình,bất phương trình
có chứa tham số là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có
tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận
trên nhiều phương diện.Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn
giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song chưa định
hướng mỗi cách làm của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định
hình và chưa có cái nhìn tổng quát về cách giải .Thứ ba, đa số học sinh đều học
một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất
phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề
chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em.
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
II. KẾT QUẢ CỦA THỰC TRẠNG :
Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện
thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần phương trình và bất phương trình có
chứa tham số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách giải, không biết
phải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến thức cơ bản các em đã biết. Nếu
trang bị cho các em những kỹ năng ,tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh
tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em
sẽ giải quyết được một các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp.
Từ thực trạng và kết quả trên, để việc giải phương trình và bất phương
trình có chứa tham số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi mạnh dạn cải tiến
phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Định hướng cách giải phương trìn, bất
phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm,THPT”.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các giải phương trình và bất phương
trình có chứa tham số thường gặp trong các kỳ thi đại học- cao đẳng và thi học
sinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản như sau:
1.Dạng 1 Các bài toán về phương trình .
Định hướng cho học sinh đưa bài toán về dạng : f ( x) g (m)
Chúng ta thực hiện các bước sau đây :
Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y f ( x) và
y g ( m) .Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị .
Bước 2:Xét hàm số y f ( x)
Tìm tập xác định D
Tìm đạo hàm y / ,rồi giải phương trình y / =0
Lập bảng biến thiên của hàm số .
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
3
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
Bước 3:Kết luận .
Dựa vào bảng biến thiên để suy ra kết luận .
Chú ý :Nếu hàm số y f ( x) liên tục trên D thì phương trình có nghiệm �
min f ( x) �g (m) �max f ( x) .
x�D
x�D
Ví du1: Tìm m để phương trình x 2 2 x m (1) có nghiệm x � 0;1 .
Giải.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị y= f(x)= x 2 2 x
và y=m
Xét hàm số f(x)= x2 -2x, hàm số này xác định và liên tục trên 0;1
y / =2x-2.
y/ 0 � x 1
Bảng biên thiên
Y
-
0
y
y
1
-
+
0
+
0
-1
Từ bảng biên thiên ta có:
m ax f ( x )
min f ( x)
� �
= 0; �
=-1
0;1
0;1�
�
�
�
�
� �
�
�
Vậy để phương trình (1) có nghiệm trên 0;1 là: -1≤m≤0
Ví dụ 2 .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
(m 1) log 21 ( x 2) (m 5) log 1 ( x 2) m 1 0 (1) có hai nghiệm thõa mãn điều
2
2
kiện 2 x1 x2 4 .
Định hướng
-Trước hết cho học sinh đưa bài toán về một bài toán tương đương bằng cách đặt
ẩn phụ .
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
4
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
-Chuyển PT đã cho về dạng f ( x) g (m) .
Giải
Điều kiện : x > 2.
Đặt t log 12 ( x 2) ; 2 x 4 � t 1 .
Phương trình (1) trở thành : (m-1)t2 - (m-5)t +m-1 = 0(2)
Bài toán quy về tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm thõa mãn t1 t2 1 .
PT(2) � m
t 2 5t 1
(3)
t2 t 1
Bài toán quy về tìm m để PT(3) có 2 nghiệm thõa mãn t1 t2 1
t 2 5t 1
Xét hàm số f (t ) 2
trên 1; �
t t 1
và g (m) m
Hàm số y= f (t ) xác định và liên tục trên 1; � .
5 1
2
t
t 1
lim f (t ) lim
;
x ��
x ��
1 1
1 2
t t
1
f '(t )
4t 2 4
(t 2 t 1)2
t 1 �(1; �)
�
� f / (t ) 0 � �
t 1
�
Bảng biến thiên :
t
f (t )
f(t)
-1
0
-
1
0
+
+
7
3
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
5
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
1
-3
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có 2 nghiệm thõa mãn
t1 t2 1
thì -30 phương trình (2) trở thành :
t 2 t 2
m.
t2
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để phương trình :
t 2 t 2
m có nghiệm 0 �t � 2 .
t2
Xét hàm số
Ta có
y f (t )
t 2 t 2
trên 0 �t � 2 .
t2
t 2 4t
0; 2 �
f (t )
<0 với x ��
�
� ta có bảng biến thiên sau :
(t 2) 2
/
x
0
2
-
/
f ( x)
1
2 -1
f ( x)
min f (t ) f ( 2) 2 1; max f (t ) f (0) 1
�
0; 2 �
�
�
�
0; 2 �
�
�
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
2 -1 �m �1.
Ví dụ 4 Tìm m để phương trình
m( x 1 x 2 1) 2 x 2 x 4 x 1 x 2 2 (1) có nghiệm .
Giải . Điều kiện : -1 �x �1.
�
t 2 1 2 x 1 x2
�
Đặt t x 1 x �0 � �
�
t
(1 1)( x 2 1 x 2 )
�
2
2
Vậy 1 �t � 2 .
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
7
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
2
1; 2 �
Ta có phương trình (1) trở thành m(t 1) t t 1, t ��
�
�
(2)
t2 t 1
1; 2 �
m với t ��
Do t+1 >0 nên phương trình (2) �
�
�
t 1
Bài toán quy về tìm điều kiện của m để phương trình
t2 t 1
m (3)có nghiệm
t 1
t ��
1; 2 �
�
�
t2 t 1
1; 2 �
Xét hàm số y f (t )
, t ��
�
�
t 1
f / (t )
t 2 2t
�
1; 2 �
1; 2 �
0, t ��
�
�nên y f (t ) đồng biến trên t ��
�
(t 1) 2
PT (1) có nghiệm � Phương trình (3) có nghiệm
min f (t ) �m �max f (t ) .
� �
�
1; 2 �
1; 2 �
�
�
ۣ�
ۣf (1) m
�
�
f ( 2)
3
ۣۣ
� m 2 2 1
2
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
3
�m �2 2 1
2
Ví dụ 5 .Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
( x 2 2 x ) 2 4m( x 2 2 x ) 3m 1 0 .
Định hướng : Khi gặp bài toán như thế này chúng ta thường đưa về một bài
toán gọn hơn thông qua một bước đặt ẩn phụ và khi đã đặt ẩn phụ thì cần lưu ý
tới điều kiện của ẩn phụ .Sau đó ta chuyển bài toán đã cho về một bài toán tương
đương với nó .
Giải
Ở ví dụ này ta có thể chuyển về bài toán tương đương bằng cách đặt :
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
8
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
t
x 2 2 x ( x 1) 2 1
t
1.
Bài toán đã cho trở thành :
Tìm m để PT
t 2 4mt 3m 1 0, t �1 (1)
� t 2 1 m(4t 3)
Ta thấy t
có nghiệm .
(2)
3
không là nghiệm phương trình (2) nên chia 2 vế phương trình
4
cho (4t-3) �0 ta có
t2 1
m.
4t 3
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị
y f (t )
Xét hàm số f (t )
t2 1
và y m
4t 3
�3 �
t2 1
trên 1; � \ � �
�4
4t 3
Đạo hàm
2(2t 2 3t 2)
f '(t )
;
(4t 3) 2
.
f '(t ) 0
1
� t �t 2
2
Bảng biến thiên :
t
-1
1
2
3
4
2
+ �
f / (t )
+
0
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
9
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
0
+
f (t )
14
+�
+�
2
-�
1
7
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
1
m �ڳm 1 .
4
Bài tập tương tự
1.Tìm m để phương trình : x 2 mx 2 2 x 1 có 2 nghiệm phân biệt .
2. Tìm m để phương trình có nghiệm : 2 x 2 x (2 x)(2 x) m .
3.Tìm m để phương trình có nghiệm : x 6 x 9 x 6 x 9
xm
.
6
2
2
4. Tìm m để phương trình 2 x 5 x 4 x 5 x m (1) có 4 nghiệm phân biệt .
2.Dạng 2 .Tìm điều kiên của tham số m để bất phương trình f ( x ) �g (m) có
nghiệm với x �D
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số y f ( x)
Tìm tập xác định D
Tìm đạo hàm y / ,rồi giải phương trình y / =0
Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
f ( x) �g (m)
Bất phương trình có nghiệm x �D � max
x�D
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h( x) .Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ
điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
10
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
Ví dụ 1.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
x 1 4 x �m (1).
Định hướng : -Đặt điều kiện của ẩn số .
- Chuyển về bài toán tương đương .
-Xác định bài toán thuộc loại nào .
-Bài đó được áp dụng kiến thức nào .
Giải
ĐK : -1 �x �4.
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
x 1 4 x �m
có nghiệm -1 �x �4.
Ta có f / (x)=
1
1
0.
2 x 1 2 4 x
Bảng biến thiên :
x
-1
4
+
f / ( x)
f ( x)
5
5
Bất phương trình có nghiêm khi và chỉ khi
Max f ( x) �
� m
1�x �4
m
5.
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
11
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
Ví dụ 2 .Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx x 3 �m 1 (1)
Giải.
Điều kiện : x �3 .
Đặt t x 3 �0 .
Phương trình (1) tương đương với m(t 2 3) t �m 1
� m(t 2 2) �t 1
ۣ m
t 1
(2)
(t 2 2)
t 1
m
Đặt f (t ) (t 2 2) . Bất pt (2) ۣ
f (t )
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình f (t ) �m (3) có nghiệm t �0 .
t 1
Xét hàm số f (t ) (t 2 2)
f / (t )
t 2 2t 2
(t 2 2) 2
f / (t ) 0 � t 1 � 3
f (t ) 0
Giới hạn xlim
� �
Bảng biến thiên :
t
f(t)
0
-1+
+
+
0
-
f(t)
0
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
12
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình có nghiệm
Max f (t ) �
� m
t �0
3 1
4
m
Dạng 3 .Tìm điều kiên của tham số m để bất phương trình f ( x) �g (m) có
nghiệm với x �D
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số y f ( x)
Tìm tập xác định D
Tìm đạo hàm y / ,rồi giải phương trình y / =0
Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
f ( x) �g (m)
Bất phương trình có nghiệm � min
x�D
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h( x) .Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ
điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình 9 x m.3x m 3 �0 (1) có ít nhất một
nghiệm .
Giải
Đặt t 3x 0 .
Bất phương trình (1) tương đương với t 2 mt m 3 �0
� t 2 3 �m(t 1)
�
t2 3
�m (2) ( Do t>0)
t 1
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm t>0.
Xét hàm số y=f(t)=
t2 3
,t>0
t 1
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
13
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
f / (t )
t 2 2t 3
(t 1) 2
t 1
�
f / (t ) 0 � �
t 3
�
Bảng biến thiên :
x
-
-3
-1
0
1
y
0
y
-
+
1
+
3
+
2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (2) có ít nhất một nghiệm khi
f (t ) �m ۳ m 2 .
và chỉ khi min
t 0
Ví dụ 2 . (Thi HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 12 THPT năm học 2012-2013).
Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực
�x 3 mx 2 �0 (1)
�
�x
4 3.2 x x 4 x 1 �0 (2)
�
Giải .
Điều kiện : x �0
Bất phương trình (2) tương đương với
2
2
x
2
x
� 2 x 4.2
ۣ
x
4.2
x
x
x
�0
�0
x 2
ۣ
ۣ
�0
ۣ
ۣ
�0
x
x
2.
4 (*)
Hệ bất phương trình có nghiệm tương đương với bất phương trình (1) có nghiệm
thõa mãn (*).
Bất PT (1) � x3 mx 2 �0
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
14
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
� x3 2 �mx ) (2)
Xét x=0 thì bpt (1) không thõa mãn .
Với 0 x �4
2
Thì bpt (2) � m �x 2 (3)
x
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình (3) có nghiệm
0 x �4 .
f ( x) x 2
2
x
f / ( x) 2 x
2
x2
Xét hàm số
f / ( x) 0 � x 1 .
Bảng biến thiên
x
f / (x)
f(x)
0
-
-2
1
0
+
4
33
2
3
f ( x)
Bất phương trình có nghiệm ۳ m xmin
� 0;4
۳ m 3
Vậy m �3 thì hệ bất phương trình có nghiệm thực .
Dạng 4 . Tìm điều kiện để bất phương trình dạng f ( x ) �g (m) đúng với
x �D
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số y f ( x)
Tìm tập xác định D
Tìm đạo hàm y / ,rồi giải phương trình y / =0
Lập bảng biến thiên của hàm số .
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
15
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
Bước 2. Kết luận
f ( x) �g ( m) .
Bất phương trình nghiệm đúng với x �D � min
x�D
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h( x) .Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ
điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
1
thõa mãn với mọi x �1 .
x3
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình x3 3mx 2 �
Giải .
Biến đổi bất phương trình về dạng
3mx �x3 2
ۣ 3m
1
x3
x 6 2 x3 1
(Do x �1 ).
x4
x 6 2 x3 1
Xét hàm số f ( x)
.
x4
Miền xác định :
D= 1; �
f / ( x)
2 x 6 2 x3 4
0 x �D
x5
f ( x) �
Giới hạn : xlim
��
Bảng biến thiên
:
x
1
y
+
+
y
+
2
Bất phương trình nghiệm đúng với x �1 � min f ( x) �g (m)
� 2 �3m
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
16
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
2
� m�
3
2
3
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với x �1 � m �
log 22 x
Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình
log 22 x 1
�m nghiệm đúng với mọi x 0
Giải
Đặt t log 22 x .
� t 1.
Bất phương trình tương đương với
Xét hàm số : f (t )
t
�m
t 1
t
.
t 1
Miền xác định : D (1; �)
/
Đạo hàm : f (t )
t2
2 (t 1)3
f / (t ) 0 � t 2
Giới hạn
lim f (t ) �
:
x ��
lim f (t ) �
x �1
Bảng biến thiên:
x
1
y
y
2
-
0
+
+
+
+
2
Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x>0 �
min f (t ) �g (m)
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
17
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
� 2 �m
� m �2
Vậy m �2 thõa mãn điều kiện của bài toán .
1
2
Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x �
92 x
2
x
2(m 1)62 x
2
x
( m 1)42 x
2
x
�0 .
Giải
Chia cả 2 vế cho 42 x x ta có
2
2x
2
3
( ) 2(2 x x ) - 2(m 1) 3
2
2
3
Đặt t
2
2 x2 x
2
x
( m 1) �0
1
2
, do x � nên t �1 .
t 2 2t 1
�
m�
Bất phương trình (1)
2t 1
t 2 2t 1
nghiệm đúng với mọi
2t 1
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình m �
t �1
Xét hàm số y f (t )
t 2 2t 1
, t �1 .
2t 1
f / (t )
2t 2 2t 4
(2t 1) 2
f / (t ) 0 � t 2
Bảng biến thiên :
x
y
-
1
-
2
0
4
+
+
+
y
3
f (t ) ۣ m 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm m �min
t�
1
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
18
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
Dạng 5. Tìm điều kiện để bất phương trình dạng f ( x ) �g (m) đúng với
x �D
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số y f ( x)
Tìm tập xác định D
Tìm đạo hàm y / ,rồi giải phương trình y / =0
Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
f ( x) �g ( m) .
Bất phương trình nghiệm đúng với x �D � max
x�D
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h( x) .Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ
điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1.
Tìm m để bất phương trình sau
( x 4)(6 x) x 2 2 x �m
(1) nghiệm đúng với mọi x� [-4,6].
Định hướng
-ĐK ẩn phụ .
-Chuyển về bài toán tương đương.
Giải
Đặt t =
( x 4)(6 x ) 24 2 x x 2 25 (1 x) 2 , 0 �t �5
Bất phương trình (1) tương đương với t t 2 24 �m .
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình t t 2 24 �m nghiệm đúng với
0 �t �5 .
Xét hàm số f (t ) t 2 t 24, 0 �t �5
f / (t ) 2t 1 � f / (t ) 0 � t
1
2
Bảng biến thiên :
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
19
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…
x
1
2
0
f / (x)
f(x)
-
0
6
5
+
-24
6
-
97
4
Bất phương trình nghiệmđúng với mọi x � [-4,6] khi và chỉ khi
Max f (t ) �۳
m.
0 ��
t 5
m 6
Ví dụ 2.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x .
m( x 4 1) �4 x
(1)
Giải .
TXĐ : D=R.
4x
.
x 1
Bất phương trình (1) � m �
Xét hàm số f ( x)
f / ( x)
4
4x
x 1
4
4 12 x 4
( x 4 1) 2
1
f / ( x) 0 � x �4
3
lim 0
Giới hạn x��
�
Bảng biến thiên :
------------------------------------------------------------------------------------------------GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
20
- Xem thêm -
.DOC 
25 
116 
56 
