Tài liệu Một số kinh nghiệm giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường MỞ ĐẦU ------˜ ™ ------ I - Lý do chọn đề tài: Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phương pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phương pháp đều có những ưu, nhược điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phương pháp cụ thể để giải quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phương pháp toạ độ đã đơn giản hoá được phần lớn các bài toán trong hình học không gian. Thông qua phương pháp toạ độ và phương pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số. Với học sinh lớp 12 hiện nay nói chung và học sinh ban cơ bản nói riêng, thì việc giải các bài boán hình học không gian sơ cấp đang là vấn đề nan giải. Các em rất vất vả trong việc xác định khoảng cách và góc. Đa số các em đều bỏ qua bài toán hình học không gian trong đề thi. Vì vậy tôi quyết định đưa ra giải pháp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Ở học kỳ II của lớp 12 các em đã được làm quen với phương pháp tọa độ trong không gian, vì thế có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện. II- Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện: - Khách thể: Học sinh lớp 12. - Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian. - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong chương trình PTTH. - Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 chuyên Pháp, năm học 2011 – 2012 2 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường III. Quá trình thực hiện đề tài: 1- Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài: Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian. Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phương pháp toạ độ: • Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a . Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD). 30% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện. 10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu. Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu. 2- Các biện pháp thực hiện đề tài: Bước 1: Hệ thống hoá các kiến thức Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng cho học sinh thông qua một số bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng . 3 - Kết quả thực hiện đề tài: Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phương pháp toạ độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) có số đo bằng 600. a. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD). b. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK  SD và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD). c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK). Kết quả : 100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện. 3 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường 80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu. IV– Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán hình học không gian, học sinh thường không chú ý đến phương pháp toạ độ và tính ưu việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phương pháp toạ độ. Do đó học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian. Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy được tính ưu việt của phương pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy, cô giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ. - Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp. - Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán được thuận tiện. - Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ và ngược lại. 4 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường NỘI DUNG ------˜ ™ ------ Chương I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1/ Hệ trục toạ độ. Cho ba trục toạ độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một rr r tại điểm O. Gọi i, j , k là các véctơ đơn vị tương ứng trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục toạ độ như vậy gọi là hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ toạ độ Oxyz. z + Trục Ox gọi là trục hoành. + Trục Oy gọi là trục tung. + Trục Oz gọi là trục cao. + Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ. x r r k j rO i y 2/ Vectơ đối với hệ toạ độ. rr r r + Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý v . Vì ba vectơ i, j , k không r r r r đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho: v  xi  y j  zk r r Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v , kí hiệu là v( x; y; z ) hoặc r v  ( x; y; z ) . Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của r vectơ v . + Với hai điểm M 1  x1 , y1 , z1  và M 2  x2 , y2 , z2  thì: 5 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường uuuuuur M 1M 2   x2  x1 , y2  y1 , z2  z1  ur uu r + Nếu có hai vectơ v1  ( x1 , y1 , z1 ) và v2  ( x2 , y2 , z2 ) thì: ur uu r (i). v1  v2   x 1  x2 , y1  y2 , z1  z2  ur uu r (ii). v1  v2   x 1  x2 , y1  y2 , z1  z2  ur (iii). kv1  (kx1 , ky1 , kz1 ) ur uu r (iv). v1.v2  x 1.x2  y1. y2  z1.z2 ur uu r (v). v1  v2  x1 x2  y1 y2  z1z2  0 ur (vi). Tích có hướng của hai vectơ v1  ( x1 , y1 , z1 ) uu r v2  ( x2 , y2 , z2 ) là r ur uu r y v  v1 , v2    1  y2 z1 z1 , z2 z 2 một r v vectơ x1 x1 , x2 x2 được xác định và bởi: y1   y2  3/ Khoảng cách giữa hai điểm. Cho hai điểm M 1  x1 , y1 , z1  và M 2  x2 , y2 , z2  , thì khoảng cách d giữa uuuuuur M 1 và M 2 là độ dài của vectơ M 1M 2 : uuuuuur d  M 1M 2   x1  x2  2   y1  y2    z1  z2  . 2 2 4/ Chia một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số cho trước. uuuuu r uuuuur Điểm M  x, y, x  chia đoạn thẳng M 1M 2 theo tỉ số k: MM 1  k MM 2 được xác định bởi công thức: 6 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường x1  kx2  x   1 k  y1  ky2  y  1 k  z1  kz2  z   1 k  Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của M 1M 2 , khi đó toạ độ của M là: x1  x2  x  2  y1  y2  y  2  z1  z2  z   2 5/ Góc giữa hai vectơ ur uu r Góc  giữa hai vectơ v1  ( x1 , y1 , z1 ) và v2  ( x2 , y2 , z2 ) xác định bởi: cos   x1.x2  y1. y2  z1.z2 x11  y11  z11 . x22  y22  z22 . 6/ Hai vectơ cùng phương ur r uu r r Hai vectơ v1  ( x1 , y1 , z1 )  0 và v2  ( x2 , y2 , z2 )  0 cùng phương với nhau khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho: uu r ur y1 v2  kv1  cả ba định thức sau đều bằng 0: y2 z1 z1 , z2 z2 x1 x1 , x2 x2 y1 y2 . 7/ Phương trình mặt phẳng. a. Khái niệm. 7 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường r r Một vectơ n  0 được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với ( ) . Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm M 0  ( ) và một vectơ pháp tuyến của nó. b. Định lý. Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình dạng: Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0) và ngược lại mỗi phương trình dạng đó là phương trình của một mặt phẳng. 8/ Phương trình đường thẳng r a. Định nghĩa: Vectơ a là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) r r  a  0  r  a / /( d ) b. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Vì đường thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình tổng quát của (d) có dạng:  A1 x  B1 y  C1 z  D1  0  1 (d ) :  với điều kiện A1 : B1 : C1  A 2 : B2 : C2 A x  B y  C z  D  0 2    2 2 2 2 trong đó (1), (2) theo thứ tự là phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q). 9/ Phương trình mặt cầu Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm I (a, b, c) cho trước một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phương trình: 8 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường ( x  a )2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 . 9 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường Chương II GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ. I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ. Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng ta phải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc, bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, vectơ với phép toán trên nó. Với bài toán đại số này chúng ta có sự định hướng rõ ràng hơn và khả năng tìm được lời giải nhanh hơn. Để thực hiện được điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm được quy trình giải toán bằng phương pháp toạ độ thích hợp. Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp. Bước 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ. Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán. Bước 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. Trong các bước trên, bước 2 và bước 4 học sinh có thể hoàn toàn làm được nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bước 3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các bài toán. Bước 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phương pháp cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một số đặc điểm của bài toán này. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng với điểm cố định đã biết, dựa vào các đường thẳng vuông góc để 10 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường gắn với các trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi. II/Giải bài toán định lượng trong hình học không gian. Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phương pháp toạ độ thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phương pháp toạ độ ta mới biểu diễn được khoảng cách một cách đơn giản. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng. - Góc, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Tính độ dài đoạn thẳng. 1. Các hình chóp và lăng trụ có sẵn ba cạnh cùng xuất phát từ một điểm lần lượt vuông góc với nhau từng đôi một, ta chọn ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba cạnh đó. Bài 1: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh bằng a. a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC’. b. Gọi K là trung điểm DD’. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng CK và A’D’. 11 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường c. Mặt phẳng (P) qua BB’ và hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai góc bằng nhau. Tính các góc này. Giải. z Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B  Ax, D  Ay và A Az , khi đó: A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , D  0; a;0  A 0;0; a  , B a;0; a  , C  a; a; a  , D 0; a; a  . uuur uuuu r a. Ta có AB  a;0; a  & AC  a; a; a  D’ A’ C’ B’ D B x y A C Gọi  là góc tạo bở A’B và AC’ ta có: uuur uuuu r AB. AC   cos   uuuu r uuuu r 0   . 2 A ' B . AC ' Gọi d1 là khoảng cách giữa A’B và AC’. ta có: uuuu r uuuu r uuur  A ' B, A ' C . AA ' a   d1   uuuu r uuuu r . 6  A ' B, A ' C    a  uuur  a  uuuur  K 0; a ; , KC a ;0; b. Ta có:     & A ' D  0; a; a  . 2 2    Gọi  là góc tạo bởi CK và A’D, ta có: uuur uuuur KC. A ' D 1 cos   uuur uuuur  . 10 KC . A ' D Gọi d2 là khoảng cách giữa CK và A’D, ta có: uuur uuuur uuur KC , A ' D  , KD a   d2   uuur uuuur 3 KC , A ' D    c. Ta có BB’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCC’B’) nên: 12 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường y 0  x  a x  a  0 y 0  BB ' :   BB ' :  Mặt phẳng (P) qua BB’ có dạng: r  P  : x  a  my  0   P  : x  my  a  0  vtpt n  1; m;0  ur uu r Vì (P) hợp với BC’, B’D (có vtcp là u1  0;1;1 và u2  1; 1;1 ) hai góc bằng nhau ( giả sử là  ) nên: sin   m 2  m 2  1 1 m   3  m 2  1 3 m  2 1  m  m 2  4m  2  0  m  2  6 . Với m  2  6 ta được: 6 2 sin    2   2 6  2  1  6 2  22  8 6  6 2  4  6 2  6 1 5 Với m  2  6 ta được: sin   62   2 2   6  2  1    62 22  8 6  62  4  6 2  6 1 5 . Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc , OA= a. OB= b, OC= c. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ ta có: 13 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường O  (0;0;0); A  ( a;0;0) B  (0; b;0); C  (0;0; c) d M ,  OAB    3  z  3 Tương tự  M  1;2;3 PT  ABC  : x y z   1 a b c M   ABC   1 2 3   1 a b c 1 VOABC  abc 6  2  1   1  1 1 2 3 1 2 3    33 . . a b c a b c 1 abc 27 6  2    VOABC  min a  3 1 2 3 1   27      b  6 a b c 3 c  9  2. Các dạng toán khác : Ta xác định chân đường cao, lấy chân đường cao làm gốc O, trục Oz chính là đường cao, từ O trong mặt phẳng đáy dựng hai trục còn lại vuông góc với nhau. Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáyvà tam giác ABC vuông tại C. Độ dài các cạnh là SA  4, AC  3, BC  1 . Gọi M là trung điểm z AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBH) S và (SBC). Giải C A y M H x B Trong mp(ABC) dựng tia Ax vuông góc với AC. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó : A  0;0;0  , B  1;3;0  , C  0;3;0  14 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường uur S  0;0;4   H  1;0;0  , SB  1;3; 4  uuu r uuur SC  0;3; 4  , SH  1;0; 4  . uur uuu r uur uuur SB, SC    0;4;3 , SB, SH    12;0; 3      uuuu r ur uuuur uu r  nSBC  n1   0;4;3 , nSBH  n2   4;0;1 ur uu r n1.n2 3 17  cos   SBC  ,  SBH    ur uu r  85 n1 n2 Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC). Giải: Gọi O là hình chiếu của S trên mp(ABC), suy ra O là trọng tâm tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC khi đó : AI  a 3 a 3 a 3 a , OA  , OI  , IB  IC  2 3 6 2 Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO=h, chon hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có : a 3  O  0;0;0  , S  0;0; h  , A  ;0;0 ,  3  z S N  a 3   a 3 a   a 3 a  I  ;0;0 , B   ; ;0 , C   ;  ;0  6 6 2 6 2       M h I C O a A x B A y  a 3 a h  a 3 a h M  ; ; , N   ; ;  12 4 2 12 4 2    uuuuuu r uuuu r uuur  ah 5a 2 3   n AMN    AM , AN    ;0;  4 24   15 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường 2 uuuuur uur uuu r  a 3 n SBC   SB, SC     ah;0;  6   5a 2  AMN    SBC   h  12 2  SAMN 1  2 2 uuuu r uuur  AM , AN   a 10 .   16 Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = a. a. Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC). b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). *Bài tập làm thêm z Giải S Vì tam giác ABC đều nên HC  AB . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó A H B D O C  a  a   a 3  H  0;0;0  , A   ;0;0 , B  ;0;0 , C 0; ;o  2  2  2    uuu r uuur  a 3  S  0;0; a  .BA  CD  D  a; ;0  2   y x  a a 3  ;0  O là trung điểm AC  O   ; 4 4   a. Mặt phẳng (SBC) có phương trình là : 2x 2 y z    1  2 3x  2 y  3z  a 3  0 a a 3 a  d  O,  SBC    a 57 . 19 uuuuur uuu r uuu r  2 a2 3  b. Theo câu trên thì n SBC   2 3;2; 3 , còn SC , SD    0; a ;  2     16 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường uuuuur  n SCD   0;2; 3  cos   SBC  ,  SCD      7 19 Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ đường cao h. Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên (ABB’A’) một góc  . Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ. Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc � A  600 , B’O vuông góc với đáy ABCD, cho BB’=a. a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy. b. Tính khoảng cách từ B, B’ đến mp(ACD’) Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Tính độ dài đoạn SA biết rằng số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) có số đo bằng 600. d. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD). e. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK  SD và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD). f. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK). III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả cần chứng minh. 17 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 ; O là tâm hình vuông BCC1B1, M là một điểm thuộc đoạn C1O. Mặt phẳng (MA1D) cắt B1D1 ở I và cắt AC tại J. Chứng minh I, M, J thẳng hàng. z A1 Giải : Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. D1 B1 Giã sử cạnh của hình lập phương bằng 1. Ta có : C1 A  0;0;0  , B  1;0;0  , C  1;1;0  , D  0;1;0  M O B x A D C y A1  0;0;1 , B1  1;0;1 , C1  1;1;1 , D1  0;1;1 x 1 uuuu r  BC1  0;1;1  BC1 :  y  m  M  1; m; m  z  m  1  m  1) 2 uuuur uuuu r uuuuuur uuuur uuuu r A1M  1; m; m  1 , A1D  0;1; 1  n A1DM    A1M , A1D    1  2m;1;1 (Với Suy ra mp  A1DM  :  1  2m  x  y  z  1  0 x 1 t uuuur   B1D1  1;1;0   B1D1 :  y  t . z 1  x 1 t y t   1 2m  1   I ; ;1 Tọa độ I là nghiệm của hệ  z  1 2 m 2 m      1  2m  x  y  z  1  0 x  u uuur   1 1  ; ;0   AC  1;1;0   AC :  y  u  J   2 1  m 2 1  m  z  0  18 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường uuu r  1  2 m 2 m  1  2m 2  uuur  1  2m 2m  1  2m 2  MI   ; ;1  m  ; MJ   ; ; m  2m 2(m  1)  2m   2(m  1)  uuu r m  1 uuur MJ hay ba điểm M, I, J thẳng hàng (đpcm). Suy ra : MI  m Bài 2: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Trên BD và AD’ lần lượt lấy hai điểm thay đổi M,N sao cho DM  AN  x (0  x  a 2) CMR: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: z A  (0;0;0); B  (a;0;0) D  (0; a;0); A (0;0; a) A’ C’ B’ Khi đó N C  ( a; a;0) D (0; a; a) A Gọi M  ( x1 ; y1; z1 ), N  ( x2 ; y2 ; z2 ) uuur uuu r BC  (0; a;0); BA  (a;0;0); r Ta có: uuuu MN  ( x2  x1; y2  y1; z2  z1 ) x D’ B D M C Vặt khác theo giả thiết: DM  AN  x Đặt k (0  x  a 2) x a 2 (0  k  1) 19 y Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường  x1  a  k (a ) uuuur uuur  DM  k DB   y1  ka  z  0  1  x1  a  ka   y1  ka z  0  1  x2  ka uuur uuuu r  AN  k AD  y2  0  z  ka  2 uuur uuur uuuu r D BC , BA ', MN  a. a  . z2  z1   0.  y2  y1  .0   x2  x1  .0.a Xét     x2  x1  .  a  .0  a  y2  y1  .a  0.0. z2  z1    a 2  z2  z1   a 2  y2  y1    a 2  z2  z1  y2  y1    a2  ka  0  0  ka  0 uuur uuur uuuu r Suy ra BC , BA ', MN luôn luôn đồng phẳng. Suy ra MN luôn luôn song song với (A’BCD’) cố định. *Bài tập làm thêm. Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng a. CMR khoảng cách từ một điểm bất kì trong không gian đến một trong các đường thẳng AA’, A’C’, CD không thể đồng thời nhỏ hơn a . 2 Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM  a 3a . DN  . CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với 2 4 nhau. Bài 3: Đường thẳng (d) tạo với 2 đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau các góc bằng nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng    chứa các đường thẳng này. CMR hình chiếu vuông góc (d’) của đường thẳng (d) lên mặt phẳng 20 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ Người thực hiện:Lê Thị Tường  cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đường thẳng (d1) và (d2) IV/ Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ tích của nó. Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC vuông cân với AB=AC=a và AA1=h. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và A1C1. Tìm trên đoạn EF điểm I cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ACC1A1). Tính khoảng cách đó. z Giải. Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B  Ax, khi đó: A1 F C1 A C B1 A(0;0;0). B(a;0;0). C(0;a;0). A1(0;0;h). B1(a;0;h). C1(0;a;h). Vì E, F là trung điểm của BC và A1C1 nên: a a a E ( , ,0) và F (0, , h) . 2 2 2 x B y E Phương trình đường thẳng EF được cho bởi: a a  x   t  a a 2 2    Qua E ( 2 , 2 ,0) a  EF :   EF y  t  R.  uuur a 2  vtcp EF (  ,0, h)   z  ht  2  21