Tài liệu Một số khái niệm mở rộng về đại số tổ hợp

Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ RỘNG VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Bắt đầu từ năm 2009-2010 trường THPT Nguyễn Hữu Huân chính thức tuyển sinh các lớp chuyên trong đó có lớp chuyên toán. Việc giảng dạy các lớp chuyên đòi hỏi người giáo viên phải tìm hiểu đi sâu các vấn đề của toán học, trên cơ sở chương trình chuyên đã được áp dụng cho các trường chuyên của thành phố Hồ Chí Minh. Mặc dù không được phân công trực tiếp dạy lớp chuyên nhưng trong tình hình thiếu giáo viên ở một hai năm đầu, tôi được phân công hỗ trợ một chuyên đề cho lớp 11 Chuyên Toán, chuyên đề ĐẠI SỐ TỔ HỢP. Hạn chế của trường là mặc dù được mở lớp chuyên nhưng tài liệu chuyên của trường rất ít, hầu hết giáo viên không được trang bị thêm kiến thức và kĩ năng giảng dạy chuyên, đa số tự tìm tòi đọc sách, tra cứu qua mạng. Các nguồn tài liệu chuyên tuy nhiều nhưng không có hệ thống, và mức độ không dành cho học sinh phổ thông nên việc tìm tài liệu đáp ứng cho một chuyên đề là không đơn giản. Nhằm mục đích tự trang bị thêm cho mình và giúp tổ bộ môn một số tiết chuyên đề về đại số tổ hợp cho lớp 11, tôi đã chọn lọc trong một số tài liệu, những khái niệm mở rộng, các ví dụ, bài tập cũng như ứng dụng sao cho các khái niệm cơ bản của sách giáo khoa là trường hợp đặc biệt của các khái niệm tổng quát hơn, xử lý được nhiều dạng bài hơn, đánh giá vấn đề bằng góc nhìn khác hơn, để viết nên chuyên đề này. Mặc dù hết sức cố gắng nhưng vì còn hạn chế về nhiều mặt nên chắc chắn bài viết này còn nhiều sơ sót và chủ quan, tôi rất mong sự đóng góp từ phía các đồng nghiệp nhằm bổ sung, chỉnh sửa để bài viết hoàn thiện hơn. B. NỘI DUNG: 1 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] I) Các khái niệm nhắc lại II) Mở rộng các phép toán trên tập hợp III) Số phần tử của một tập hợp hữu hạn IV) Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp V) Chỉnh hợp lặp VI) Hoán vị lặp VII) Tổ hợp lặp VIII)Áp dụng vào khai triển đa thức NỘI DUNG: CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I) Các khái niệm nhắc lại 1) Các phép toán tập hợp: A  B  x / x  A  x  B A  B  x / x  A  x  B A \ B  x / x  A  x  B A  X  A C X A  X \ A 2) Ánh xạ: đơn ánh toàn ánh song ánh song ánh còn gọi là ánh xạ 1–1 (hay tương ứng 1–1) nếu có một song ánh từ tập A đến tập B thì A, B có cùng số phần tử (còn gọi là có cùng lực lượng) 3) Phép chứng minh quy nạp: Cho mệnh đề P(n) với n  N * . 2 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected]  P(1) đúng Nếu  vói k  1, gia su P(k) đúng mà P(k  1) cung đúng  thì P(n) đúng, n  N * Lưu ý: đôi khi mệnh đề P(n) chỉ đúng từ n = p trở đi (với p hằng số) 4) Kí hiệu: i 1, n để chỉ các số tự nhiên i chạy từ 1 đến n T(A) để chỉ tập hợp gồm tất cả các tập con của A II) Mở rộng phép toán trên tập hợp 1) Hợp của n tập hợp n A  x / i 1, n : x  A  i i i 1 2) Giao của n tập hợp: n A  x / i 1, n : x  A  i i i 1 3) Tính chất phép hợp và giao 4) Tích Đềcác (Descartes): A  ( B  C )  A  B   ( A  C ) A  ( B  C )  A  B   ( A  C )  Tích Đề các của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu và gồm các phần tử A B   a, b  / a  A  b  B  Tích Đề các của n tập hợp A1 , A2 ,..., An là   A1 A2 ... An   a1 , a2 ,..., an  / ai  Ai , i 1, n Đặc biệt tích Đề các của n tập hợp A là   An A  A...   A   a1 , a2 ,..., an  / ai  A, i 1, n n lan Ví dụ: cho A 1;2;3 ; B  a; b . A B  1, a); (1, b ;  2, a); (2, b ;  3, a); (3, b  Hãy nêu các tập tích B A; A2 ; B 3 và nhận xét về sự bằng nhau và khác nhau của 2 phần tử bất kỳ của tập hợp. Ví dụ: Có sự tương ứng 1–1 từ tập R 2   x; y  / x, y  R đến tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy nên ta cũng gọi tập hợp này là R 2 . 3 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] Nhận xét: Tích Đềcác là phép toán có thứ tự. Các phần tử (a;b) của AB được gọi là các cặp sắp thứ tự, các phần tử  a1 , a2 ,..., an  của A1 A2 ... An được gọi là các bộ n–sắp thứ tự. III)Số phần tử của một tập hợp hũu hạn Xét tập hợp A có hữu hạn phần tử. Kí hiệu A là số phần tử của A. 1) Số phần tử của hợp n tập hợp hữu hạn:  Cho n tập Ai , i 1, n không giao nhau. Số phần tử của hợp n tập đó bằng tổng số phần tử của mỗi tập n n i 1 i 1 Ai  Ai , i 1, n trong đó Ai  Aj , i, j  1;2;...; n (thử chứng minh công thức trên)  Với A  X : A  C X A  X  A  Cho 2 tập hợp bất kỳ A, B. Số phần tử của A  B bằng tổng các số phần tử của A và B trừ số phần tử của A  B AB A  B  AB  Cho 3 tập hợp bất kỳ A, B, C. A B C  A  B  C  A B  B C  C  A  A B C (thử chứng minh công thức trên và tự mở rộng cho n tập bất kỳ) Vi dụ: trong tập các số tự nhiên từ 1 đến 280 có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 7? Bao nhiêu số không chia hết cho cả ba?  280  Giải: số các số chia hết cho 2 là   140  2   280  số các số chia hết cho 3 là   93  3   280  số các số chia hết cho 5 là   56  5  4 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected]  280  số các số chia hết cho 2 và 3 là   46  6  280   số các số chia hết cho 2 và 5 là   28  10  280   số các số chia hết cho 3 và 5 là   18  15   280  số các số chia hết cho cả ba số là là   9  30  Suy ra cố các số chia hết cho ít nhất một trong ba số là 140  93  56  46  28  18  9 206 số Suy ra số các số không chia hết cho cả ba số là 280 – 206 = 74 2) Số phần tử của tập tích Đềcác:  Tích AB với A n , B k : Với mỗi i 1, n , ai được ghép với k phần tử trong B Vậy với n phần tử trong A có n k cách ghép thành các phần tử trong AB . Ta có: A B  A . B  Tích A1 A2 ... An với Ai ki , bằng phép quy nạp ta có thể chứng minh A1 A2 ... An k1.k2 ...kn (thử chứng minh công thức trên) n  Đặc biệt An  A 3) Bài toán tìm số ánh xạ từ 1 tập hữu hạn đến 1 tập hữu hạn Cho A có k phần tử, B có m phần tử. Từ A đến B có thể thiết lập được bao nhiêu ánh xạ? Với mỗi ánh xạ f từ A tới B, ta cho ứng với bộ ảnh của k phần tử  a1 , a2 ,..., ak  là  f (a1 ), f (a2 ),..., f (ak )  là một bộ k–sắp thứ tự trong B hay là 5 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] một phần tử của tích Đềcác B k . Tương ứng này là 1–1 nên số ánh xạ f từ k A vào B bằng B k  B m k 4) Bài toán về số tập con của một tập hợp hữu hạn: Chứng minh rằng số tất cả các tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2n Giải: dùng quy nạp, gọi T(A) là tập chứa tất cả các tập con của A với n = 1, A chỉ có 2 tập con là rỗng và chính nó, T(A) 2 giả sử tập hợp A gốm k phần tử a1 , a2 ,..., ak có 2k tập con. Nếu ghép vào A một phần tử ak 1 nữa ta được tập A’ có k + 1 phần tử. T(A’) được chia thành 2 phần, một phần gồm tất cả tập con có chứa ak 1 và phần kia gồm các tập con không chứa ak 1 . Kí hiệu A* là một tập con nào đó của A’ chứa ak 1 , A*  T ( A' ) \ T ( A) . Khi đó với mỗi tập con A* của A’, ta đặt tương ứng với tập phần bù của nó trong A’, tức là A’\A*, tập này không chứa ak 1 nên là con của A. Tương ứng này là 1–1 nên số tập con A* của A’ bằng với số tập con của A là 2k . Ngoài ra T ( A' )  T ( A)   A * nên T ( A' ) 2 T ( A) 2.2 k 2 k 1 n Vậy nếu A có n phần tử thì T ( A) 2 Cách giải khác: cho A có n phần tử, xét tập Y  0,1 . Với mỗi tập con B của A ta lập một ánh xạ f : A  Y sao cho nếu x  B thì f(x) = 1, nếu x  B thì f(x) = 0. Tương ứng từ T(A) đến tập các ánh xạ như trên là 1–1 nên T ( A) bằng số các ánh xạ từ A tới Y và bằng 2 k 5) Chứng minh quy tắc cộng và quy tắc nhân của phép đếm Quy tắc cộng: Một bài toán chọn sao cho ít nhất một trong các khả năng A1 , A2 ,..., Ak xảy ra có thể chia thành k trường hợp A1 , A2 ,..., Ak , mỗi trường hợp Ai , i 1, k có ai cách chọn, giả sử không có cách chọn của Ai nào có 6 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] phần chung với cách chọn của A j . Kết quả là có k a i cách chọn i 1 Để giải quyết bài toán chọn đó ta xét k tập hợp A1 , A2 ,..., Ak trong đó Ai  A j , i, j 1, k , mỗi cách chọn ai là một phần tử của Ai , yêu cầu k của bài toán là tìm số phần tử của A , do đó số cách chọn là i i 1 k k i 1 i 1 Ai  Ai Hệ quả: Số cách chọn của bài toán A trong X, (tức nếu thỏa A thì không chọn) là A  X  A Có thể mở rộng quy tắc cộng cho k trường hợp tùy ý ( có giao) 7 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] Quy tắc nhân: Bài toán chọn đồng thời A1 , A2 ,..., Ak , mỗi công đoạn Ai , i 1, k có ai cách chọn có kết quả là a1.a2 ...ak cách chọn Ta xét mỗi bộ cách chọn  A1 , A2 ,..., Ak  như là một phần tử của tích đề các A1 A2 ... Ak , số cách chọn theo yêu cầu bài toán là số phần tử của tập tích Đềcác tức là a1.a2 ...ak IV) Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp: 1) Hoán vị: VD1: Tìm số song ánh có thể lập được từ tập A có n phần tử lên chính nó. VD2: có bao nhiêu cách xếp thứ tự tập hợp 1;2;...;2n sao cho các số chẵn đều ở vị trí chẵn. 2) Chỉnh hợp: Tìm số đơn ánh có thể lập từ tập A có k phần tử đến tập B có n phần tử, với 1 k n Trong mặt phẳng cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường gấp khúc hở, bao nhiêu đường gấp khúc khép kín gồm k cạnh được tao thành 3) Tổ hợp: Trong tập hợp A gồm n phần tử  a1 , a2 ,...an  chứng minh rằng số tập con chứa phần tử ai bằng số tập con không chứa ai Ta gọi X là tập tất cả tập con chứa ai , Y là tập tất cả tập con không chứa ai và lập ánh xạ f đi từ X vào Y sao cho ứng với mỗi tập con B chứa ai , f(B) là tập phần bù của B trong A, f là đơn ánh. Ngược lại mỗi tập B’ trong Y đều là ảnh của A\B’ nên f là toàn ánh. Suy ra f song ánh nên X Y 8 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] Bằng ngôn ngữ tập hợp, hãy chứng minh tính chất Cnk Cnn  k và Cnk11  Cnk 1 Cnk V) Chỉnh hợp lặp: 1) Định nghĩa Cho tập hợp X  a1 , a2 ,..., an  , từ X ta lấy ra 1 phần tử, sau đó bỏ phần tử đó trở lai X, tiếp tục lấy phần tử thứ hai,… cứ như thế đến khi lấy được phần tử thứ k, ta được một bộ k–sắp thứ tự gọi là một chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử (vì phần tử lấy ra lần sau có thể lặp lại phần tử đã lấy ra trước đó) Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ank n k chứng minh: cách 1 ta chia làm k giai đoạn: mỗi giai đoạn có n cách chọn phần tử để lấy nên có n k cách lập chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử cách 2: mỗi chỉnh hợp lăp chập k của n phần tử có thể xem là một phần tử của tích Đề các X k , do đó số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử bằng số phần tử của tích bằng n k 2) Bài tập: 1/ Có bao nhiêu cách chọn để cất 10 món đồ vào 4 hộp, biết rằng mỗi hộp có thể đựng cả 10 món? 2/ Có bao nhiêu số điện thoại bàn được tạo biết các số đó phải bắt đầu bằng 38, 39, 24 hoặc 25 và mỗi số điện thoại bàn có 8 chữ số? 3/ Trong máy tính mỗi kí tự được xem bằng một byte mã hóa bằng một chuỗi nhị phân có 8 chữ số. Với cách mã hóa như vậy có thể biểu diễn được bao nhiêu kí tự? 4/ Một người vào nhà sách mua một số sách. Trong nhà sách có n tựa sách, mỗi tựa sách có p bản. Hỏi người đó có bao nhiêu quyết định chọn mua sách mà không ra về tay không? 9 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] 5/ Trên cùng một loại vải có 5 màu khác nhau, nhà thiết kế cho phép 3 xướng ngôn viên đài truyền hình chọn một trong số 7 kiểu áo khác nhau và chọn màu để may cho họ khi cùng dẫn một chương trình. Hỏi họ có bao nhiêu sự lựa chọn? HD: có 35 màu và kiểu để 3 người chọn, nên có 353 sự lựa chọn. 6/ Có bao nhiêu kết quả khác nhau từ việc tung một đồng xu n lần? 7/ Có bao nhiêu kết quả khác nhau từ việc gieo một xúc xắc n lần? 9/ Một hình chữ nhật có thể chia thành n.p ô vuông (n cột, p dòng). Có bao nhiêu cách đặt n vật vào các ô vuông đó, mỗi ô chỉ chứa được 1 vật, sao cho không có 2 vật nào thuộc cùng một cột (có thể cùng dòng) biết: a) n vật đó giống hệt nhau. b) các vật đó khác nhau đôi một. HD: a) chọn p dòng cho mỗi cột là chỉnh hợp có lặp chập p của n phần tử. b) chọn cột cho n vật khác nhau có n! cách, trong mỗi cột lại chọn trong p dòng, nên có … VI) Hoán vị lặp: 1) Định nghĩa: Hoán vị có lặp cấp n kiểu k1 , k2 ,..., km là một chỉnh hợp có lặp chập n của m phần tử trong đó quan tâm đến số lần lặp lại của phần tử thứ i là ki . Như vậy k1  k2  ...  km n Số hoán vị lặp cấp n kiểu k1 , k2 ,..., km của m phần tử Cn (k1 , k2 ,..., km )  n! k1!k2!...km ! Chứng minh: Nếu thay ki các phần tử thứ i bằng các phần tử khác nhau thì ta được một hoán vị không lặp với n phần tử Cn (k1 , k 2 ,..., k m )k1!k 2 !...k m !n! 2) Số phân hoạch của một tập hợp hữu hạn: Cho tập hợp X có n phần tử, có thể phân chia tập X thành m tập con rời 10 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] rạc X i , i 1, m có số phần tử theo thứ tự là ki . Số cách phân chia đó (gọi là n! số phân hoạch của X theo kiểu ki ) là Cn (k1 , k2 ,..., km )  k !k !...k ! 1 2 m 3) Ví dụ:  có bao nhiêu cách gieo một xúc xắc 21 lần với 1 lần xuất hiện số 1, 2 lần xuất hiện số 2,…, 6 lần xuất hiện số 6?  có bao nhiêu cách gieo một đồng xu n lần trong đó có đúng k lần xuất hiện mặt sấp? n! k 4) Nhận xét: Cn (k , n  k )  k!(n  k )! Cn 5) Bài tập 1/ Có bao nhiêu cách đặt 2 đèn xanh và 4 đèn đỏ thành 1 hàng. 2/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số biết chữ số 2 có mặt ba lần, chữ số 1 có mặt hai lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần. 3/ Có bao nhiêu cách chia 10 người thành ba nhóm sao cho số người trong mỗi nhóm theo thứ tự là 2, 3, 5. 4/ Có bao nhiêu số được hoán vị từ số 19001289 5/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm m+n phần tử thành hai nhóm lần lượt chứa m và n phần tử? Ví dụ: chia  a, b, c, d  thành hai nhóm mỗi nhóm 2 phần tử 6/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm 2m phần tử thành hai nhóm, mỗi nhóm m phần tử? 7/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm m+n+p phần tử thành ba nhóm lần lượt chứa m, n và p phần tử? 8/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm 3m phần tử thành ba nhóm, mỗi nhóm m phần tử? 11 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] 9/ Có 9 chữ số 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 6 chữ số rút ra từ các số đó? VII) Tổ hợp lặp: 1) Định nghĩa: Cho n phần tử . Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử trong đó các phần tử có thể trùng lặp lại lấy từ n phần tử đã cho Lưu ý: gọi là nhóm, không gọi là tập hợp vì trong tập hợp mỗi phần tử chỉ được viết đúng một lần 2) Ví dụ: a) Tổ hợp lặp chập 3 của 2 phần tử  a; b là aaa, aab, abb, bbb b) Tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử  a; b; c là aa, ab, ac, bc, bb, cc 3) Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là Cnk Cnkk  1 Cnn k1  1 Chứng minh: Cách 1:Cho tập hợp X có n phần tử, mỗi tổ hợp lặp chập k của được xem k k k như một đơn thức có dạng a1 a2 ...an trong đó a1; a2 ;...; an là n phần tử của 1 2 n X, k1; k2 ;...; kn là các số tự nhiên thỏa k i 0 và k1  k 2  ...  k n k . Đặt ki 1 li , ta có li  0 và l1  l2  ...  ln k  n (1). Số các đơn thức như vậy được tạo thành chính là số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) Trong PT (1) ta chỉ cần xác định n–1 nghiệm l1  l2  ...  ln  1 . Ta dùng một cây thước thẳng 2 đầu mút AB dài n + k cm. Ứng với mỗi nghiệm li ta lấy điểm M i sao cho AM 1 l1 , M 1M 2 l2 ,…, M n  2 M n  1 ln  1 (khi đó đương nhiên M n  1B ln ). Số nghiệm nguyên dương của PT(1) cũng là số cách chọn n–1 điểm vạch cm trên thước (có n+k–1 vạch như thế) nên sẽ có Cnn k1  1 cách chọn Cách 2: Ta lập một tương ứng mỗi tổ hợp lặp chập k của n phần tử với một dãy nhị phân được sắp xếp như sau: k1 chữ số 1, số 0, k2 chữ số 1, số 0,…, k n chữ số 1. Tương ứng này là 1–1 12 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] Trong dãy nhị phân đó có k chữ số 1 và n –1 chữ số 0, tức là một hoán vị lặp cấp n+k–1, kiểu k, n–1 nên có Cnn k1  1 dãy nhị phân như thế. 4) Bài tập: 1/ Có bao nhiêu cách chọn 4 ly nước uống trong 5 loại nước uống? 2/ Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số lấy từ các số 1, 2, 3 và các chữ số trong mỗi số được xếp theo thứ tự không giảm? 3/ Có bao nhiêu cách chọn 2 tờ giấy bạc trong các loại giấy 20.000, 50.000, 100.000, 500.000 ? 4/ Tìm số nghiệm tự nhiên của phương trình x1  x2  ...xm n . 5/ Có bao nhiêu đơn thức bậc 7 theo 3 biến a, b, c ? VIII) Áp dụng vào khai triển đa thức: 1) Nhị thức Newton  n      Xem a  b a  b . a  b ... ab n lân Mỗi số hạng là tích của các phần tử của chỉnh hợp chập n của 2 phần tử a và b. Các số hạng đồng dạng dạng a k bi là số các hoán vị cấp n , kiểu (k, i) với k + i = n. Số hạng tổng quát của khai triển là Cn (k , i)a k bi và ta có công thức n  a  b  n   Cn  k , i  a k bi  Cnk a k bn  k 0 k , i n k  i n k 0 Nhận xét : trong khai triển mỗi số hạng là một đơn thức có dạng a k bi , nên số các số hạng là số tổ hợp lặp chập n của 2 phần tử a và b, tức là Cn2 12  1 n  1 số hạng 2) Đa thức: Bằng cách lý luận tương tự, ta chứng minh được công thức khai triển đa thức bậc n của đa thức gồm m hạng tử như sau:  a1  a2  ...  am  n   C  k , k ,..., k  a n 1 2 m 0 k i n k1  k 2 ... k m n 13 1 k1 k a2 2 ...am km Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT: 0946.734.736 hoặc Email: [email protected] Số số hạng là số tổ hợp lặp chập n của m phần tử, suy ra có Cnmm1  1 số hạng. 3) Ví dụ: 3!  3 a ib j c k Khai triển a  b  c 0i , có C33 31 1 10 số hạng lần lượt là , j , k 3 i! j!k! i  j  k 3  a  b  c3  3! 3 0 0 3! 0 3 0 3! 0 0 3 abc  abc  abc  3!0!0! 0!3!0! 0!0!3!  3! 2 1 0 3! 2 0 1 3! 0 2 1 3! 1 2 0 a bc  abc  abc  ab c  2!1!0! 2!0!1! 0!2!1! 1!2!0!  3! 1 0 2 3! 0 1 2 3! 1 1 1 ab c  a bc  abc 1!0!2! 0!1!2! 1!1!1! a 3  b3  c3  3a 2b  3a 2c  3ab2  3b 2c  3ac2  3bc 2  6abc C. LỜI KẾT Đại số tổ hợp có nhiều ứng dụng, cả những lĩnh vực liên quan đến khoa học tự nhiên lẫn khoa học xã hội. Giúp học sinh lớp chuyên toán tìm hiểu sâu hơn khái niệm này theo tôi là rất có lợi, một mặt nó giúp phát triển tư duy, một mặt thêm công cụ để các em có thể tự phát triển và nghiên cứu. Mặc dù bài viết của tôi còn có nhiều bất cập vì tình hình học tập nặng nề như hiện nay, các em không có đủ thời gian và công sức để theo đuổi các vấn đề chuyên môn mà mình yêu thích, nhưng tôi tin chắc rằng trong tương lai chương trình giáo dục phải tiến tới vì người học hơn, khi đó việc thả sức theo đuổi đam mê một đề tài mà học sinh yêu thích là có thể, và chắc chắn rằng đại số tổ hợp sẽ là một bộ môn mà không ít các học sinh yêu toán hướng đến. Nhiệm vụ của người Thầy không gì khác hơn là ươm mầm và vun đắp cho những học sinh đã có đầy đủ nền tảng và năng lực trong đội ngũ học sinh yêu toán của trường. 14