Tài liệu Một số hàm tử trên phạm trù môđun

Header Page 1 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Hậu MỘT SỐ HÀM TỬ TRÊN PHẠM TRÙ MÔĐUN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Hậu MỘT SỐ HÀM TỬ TRÊN PHẠM TRÙ MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.S Đỗ Văn Kiên Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, tôi đã học hỏi và tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làm quen với công việc nghiên cứu khoa học. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt chúng tôi trưởng thành như ngày hôm nay. Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Đỗ Văn Kiên, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong thời gian thực hiện khóa luận. Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hậu Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóa luận này là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy Đỗ Văn Kiên. Những nội dung này không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hậu Footer Page 4 of 161. Header Page 5 of 161. Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức cơ sở 4 1.1 Một số kiến thức cơ bản về môđun . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Môđun tự do, môđun nội xạ và môđun xạ ảnh . . . . . . 18 1.4 Tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Phạm trù và hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Hàm tử Hom 32 2.1 Khái niệm hàm tử Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Hàm tử địa phương hóa 49 3.1 Môđun các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Khái niệm hàm tử địa phương hoá . . . . . . . . . . . . 59 3.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4 Hàm tử tenxơ 4.1 67 Khái niệm hàm tử tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Footer Page 5 of 161. 67 Header Page 6 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 4.2 Nguyễn Thị Hậu Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Hàm tử I- xoắn 70 77 5.1 Vành Noetherian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Môđun xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Khái niệm hàm tử I-xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.4 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 ii Footer Page 6 of 161. Header Page 7 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong toán học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Với nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa toán và nhiều người khác quan tâm đến toán học nói chung và đại số nói riêng thì việc nghiên cứu môn đại số cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc lý thuyết phạm trù và hàm tử và cấu trúc đại số. Lý thuyết và phạm trù được phát triển không chỉ đơn thuần như một lý thuyết toán học nhờ vào định hướng và phương pháp mới, mà quan trọng nó thâu tóm được khái niệm của nhiều nghành toán học khác vào trong ngôn ngữ chung, tổng quát hơn. Đặc biệt tạo khả năng phát biểu những tính chất chung của những cấu trúc toán học khác nhau. Bên cạnh đó các cấu trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trường, môđun thì môđun là một trong những khái niệm quan trọng của đại số hiện đại. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi thấy hàm tử Hom, hàm tử địa phương hóa, hàm tử tenxơ và hàm tử I-xoắn là những hàm tử quan trọng trong phạm trù các môđun. Vì vậy tôi đã chọn đề tài "Một số hàm tử trên phạm trù môđun". Footer Page 7 of 161. 1 Header Page 8 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học đồng thời muốn đi sâu, tìm tòi nghiên cứu về các hàm tử trong phạm trù môđun: hàm tử Hom, hàm tử địa phương hóa, tử tenxơ và hàm tử I-xoắn cùng với một số tính chất của các hàm tử. 3. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu hàm tử trong phạm trù môđun: hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, hàm tử địa phương hóa và hàm tử I-xoắn. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu. 6. Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm 5 chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung của chương này trang bị kiến thức cơ bản về môđun, về dãy khớp, môđun tự do, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, tích tenxơ, khái niệm phạm trù và hàm tử. • Chương 2: Hàm tử Hom Trong chương này trình bày các kiến thức và tính chất cơ bản của Footer Page 8 of 161. 2 Header Page 9 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu hàm tử Hom. Mối quan hệ của hàm tử Hom với các môđun nội xạ, xạ ảnh,... • Chương 3: Hàm tử địa phương hóa Trong chương này trình bày kiến thức và tính chất cơ bản của hàm tử địa phương hóa. Mối liên hệ giữa hàm tử địa phương hóa với hàm tử Hom. • Chương 4: Hàm tử Tenxơ Trong chương này trình bày kiến thức và tính chất cơ bản của hàm tử tenxơ. Mối liên hệ giữa hàm tử tenxơ với hàm tử Hom, mối liên hệ giữa hàm tử tenxơ với hàm tử địa phương hóa. • Chương 5: Hàm tử I-xoắn Trong chương này trình bày khái niệm và một số tính chất như tính khớp, tính chất nội xạ của hàm tử I-xoắn. Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hậu Footer Page 9 of 161. 3 Header Page 10 of 161. Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này trình bày lại một số kiến thức cơ bản về môđun, định nghĩa và tính chất cơ bản của dãy khớp, môđun tự do, môđun nội xạ ,môđun xạ ảnh và khái niệm phạm trù và hàm tử. 1.1 Một số kiến thức cơ bản về môđun 1.1.1. Môđun Định nghĩa 1.1. Cho R là một vành có đơn vị 1 6= 0 và M là một nhóm cộng Abel. Ta gọi M là R-môđun trái nếu có ánh xạ R×M →M (a, x) 7→ ax thõa mãn các điều kiện sau i) a(x + y) = ax + by . ii) (a + b)x = ax + by . Footer Page 10 of 161. 4 Header Page 11 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu iii) (ab)x = a(bx) . iv) 1.x = x. với mọi a, b ∈ R và mọi x, y ∈ M . Chú ý: Nếu tiên đề iii) được thay bởi (ab)x = b(ax) thì M được gọi là môđun phải . Nếu vành R giao hoán thì khái niệm môđun trái và môđun phải là như nhau. Trong toàn bộ khóa luận này các R-môđun đều là các R-môđun trái. Ví dụ 1.1. Mỗi ideal trái của vành R là một R-môđun. Đặc biệt mỗi ideal của R là một R-môđun và R cũng là một R-môđun. Ví dụ 1.2. K là một trường thì các K-môđun chính là các không gian vectơ trên K. Ví dụ 1.3. Mỗi nhóm Abel cộng M đều được coi là Z-môđun với phép nhân ngoài xác định như sau, với mỗi x ∈ M và n ∈ Z thì nx = x + x + · · · + x với n nguyên dương, 0x = 0M . Nhận xét 1.1. Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ khái niệm môđun là một khái niệm tổng quát của các khái niệm: vành, ideal, không gian vectơ, nhóm Abel. Ngoài ra mỗi môđun tự nó là một Z-môđun. 1.1.2. Môđun con Định nghĩa 1.2. Một tập con không rỗng N của một R-môđun M được gọi là một R-môđun con của M nếu N cùng với hai phép toán trong M thu hẹp vào N là một R-môđun. Khi N là một môđun con của M , thì ta nói rằng M là một môđun mở rộng của N . Footer Page 11 of 161. 5 Header Page 12 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Định lý 1.1. Một tập con N của R-môđun M là một R-môđun con của M nếu và chỉ nếu 0M ∈ N và ax + by ∈ N với mọi x, y ∈ N và a, b ∈ R. Ví dụ 1.4. Mỗi R-môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường là môđun con không 0 và M . Ví dụ 1.5. Mọi nhóm con của một nhóm Abel M đều là một Z-môđun. Ví dụ 1.6. Mọi ideal của một vành R có đơn vị 1 6= 0 đều là một môđun con của R. Định nghĩa 1.3. Cho I 6= ∅ và {Ni }i∈I là một họ các môđun con của P R-môđun M . Khi đó kí hiệu { Ni } là tập gồm tất cả các tổng hữu i∈I P hạn các phần tử ∪ Ni , tức là Ni ={xδ + ... + xγ |xδ ∈ Nδ , ..., xγ ∈ Nγ ; i∈I i∈I δ, ..., γ ∈ I} P Tập Ni được gọi là tổng của họ {Ni }i∈I các môđun con của M . i∈I Định lý 1.2. Giả sử {Ni }i∈I là một họ tùy ý các môđun con của R-môđun M . Khi đó ta có i) ∩Ni và { i∈I P Ni là các R-môđun con của M . i∈I ii) Nếu họ {Ni }i∈I lồng nhau (tức là với i, j ∈ I bất kì thì Ni ⊆ Nj hoặc Nj ⊆ Ni ) thì ∪ Ni cũng là R-môđun con của M . i∈I 1.1.3. Môđun con sinh bởi một tập Định nghĩa 1.4. Cho M là một R-môđun, S ⊂ M . Theo định lý 1.2 giao tất cả các môđun con của M chứa S là một môđun con của M chứa S (đó là môđun con nhỏ nhất của M chứa tập hợp con S đã cho). Footer Page 12 of 161. 6 Header Page 13 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Môđun này được gọi là môđun con sinh bởi tập S và kí hiệu hSi. Như vậy hSi=∩Mα (với Mα là các môđun con của M chứa S). i)Nếu hSi=M thì S là tập sinh của M hay M được sinh bởi S. ii)Nếu hSi=M và S hữu hạn thì M gọi là môđun hữu hạn sinh. Đặc biệt • Nếu S = {a} và hSi = M thì M được gọi là môđun xyclic. • Nếu S = ∅ thì h∅i = h0i. • Nếu S = M thì hSi = M . P • Nếu S 6= ∅ thì hSi={ αi xi |αi ∈ R, xi ∈ S}. Định lý N ⊂ M , I là ideal của R, khi đó  n1.3. Cho M là R-môđun,  P IN := ai xi |ai ∈ I, bi ∈ I, n ∈ N∗ là R-môđun con của M. i=1 1.1.4. Môđun thương Cho M là một R-môđun và N là một môđun con của nó. Khi đó ta có nhóm thương M/N ={x = x + N |x ∈ M } là một nhóm cộng Abel với phép toán (x + N ) + (y + N ) = x + y + N. Trên M/N xác định phép nhân vô hướng như sau a (x + N ) = ax + N, a ∈ R, x ∈ M. Footer Page 13 of 161. 7 Header Page 14 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Khi đó M/N là một R-môđun . Thật vậy mọi a, b ∈ R, mọi x + N, y + N ∈ M/N a(x + N + y + N ) = a(x + y + N ) = a(x + y + N ) = ax + ay + N = ax + N + ay + N = a(x + N ) + a(y + N ). (a + b)(x + N ) = (a + b)x + N = ax + by + N = ax + N + bx + N = a(x + N ) + b(y + N ). ab(x + N ) = abx + N = a(bx) + N = a(b(x + N )). 1(x + N ) = 1x + N = x + N. Ta gọi M/N là môđun thương của môđun M theo môđun con N . Nhận xét 1.2. ax + by=ax + by, ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M và nếu P là một môđun con của M chứa N thì R-môđun thương P/N là một môđun con của M/N . Ví dụ 1.7. Cho M là R-môđun, tồn tại các môđun con {0} và M . Do đó tồn tại các môđun thương M/ = {x + M |x ∈ M } = {M |x ∈ M } = {M }. M M/ {0} = {{0} + M |x ∈ M } = {x|x ∈ M } = M . Ví dụ 1.8. Q là Z-môđun, Z là môđun con của Q. Khi đó, tồn tại môđun thương Q/Z = {x + Z|x ∈ Q} và chúng chỉ gồm các phần lẻ của các số hữu tỉ. Footer Page 14 of 161. 8 Header Page 15 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Ví dụ 1.9. Cho R là vành có đơn vị thì R là R-môđun. I là ideal của R thì I là R-môđun của R. Khi đó, tồn tại môđun thương R/ = {x + I|x ∈ R}. I 1.1.5. Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.5. Cho M , N là các R-môđun, ánh xạ f :M →N gọi là đồng cấu môđun (hay R-đồng cấu hoặc ánh xạ tuyến tính) nếu thõa mãn các điều kiện sau i) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ M . ii) f (ax) = af (x), ∀a ∈ R, ∀x ∈ M . • Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứng được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. • Cho M , N là các R-môđun, M là môđun con của N , khi đó ánh xạ f :M →N x 7→ x là một đồng cấu thì nó được gọi là đồng cấu bao hàm. Đặc biệt f :M →M x 7→ x Footer Page 15 of 161. 9 Header Page 16 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu là đồng cấu gọi là đồng cấu đồng nhất. •Nếu f (M)={0} thì f được gọi là đồng cấu không, thường được viết là θ. •Kí hiệu Kerf = {x ∈ M |f (x) = 0} = f −1 (0) . Imf = {f (x) |x ∈ M } = f (M ) . Cokerf = N/Imf . Coimf = M/Kerf . Nhận xét 1.3. Cho R-đồng cấu f : M → N . Khi đó i) f là đồng cấu không khi và chỉ khi Kerf = M. ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = N. Do f là một đồng cấu giữa hai nhóm Abel M và N nên f (−x) = −f (x) với x ∈ M và f (0M ) = 0N . Ví dụ 1.10. Ánh xạ 0:M →N x 7→ 0 ∀x ∈ M là đồng cấu. Ta gọi nó là đồng cấu tầm thường. Ví dụ 1.11. Với mỗi môđun con N của một R-môđun M ánh xạ nhúng i:N →M Footer Page 16 of 161. 10 Header Page 17 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu biến mỗi phần tử của N thành chính nó là một đơn cấu gọi là đơn cấu chính tắc hay phép nhúng chính tắc. Ví dụ 1.12. Cho N là một môđun con của một R-môđun M thì ta có môđun thương M/N . Khi đó quy tắc p : M → M/N x 7→ p (x) = x là một đồng cấu R-môđun. Hơn thế nữa p là một toàn cấu được gọi là toàn cấu chính tắc. Toàn cấu có Kerp = N. Định lý 1.4. (Điều kiện tương tương) Cho M , N là R-môđun, ánh xạ f :M →N là R-đồng cấu môđun khi và chỉ khi f (ax + by) = af (x) + bf (y) , ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M. Mệnh đề 1.1. Cho f : M → N và g : N → P là những đồng cấu môđun, thì hợp thành g ◦ f cũng là một đồng cấu môđun. Mệnh đề 1.2. Cho f : M → N và g : N → P là R- đồng cấu, A là môđun con của M, B là môđun con của N. Khi đó 1. f (A) = {f (x) |x ∈ A} là một môđun con của N. 2. f −1 (B) = {x ∈ M |f (x) = B} là môđun con của M. Đặc biệt: Footer Page 17 of 161. 11 Header Page 18 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu i) Kerf = {x ∈ M |f (x) = 0} = f −1 (0). ii) Imf = {f (x) |x ∈ M } = f (M ) . Mệnh đề 1.3. Cho M, N là các R-môđun, f : M → N là R-đồng cấu môđun, khi đó các điều kiện sau đây tương đương i)f = θ. ii) Imf = N. iii) Kerf = M. Mệnh đề 1.4. (Định lý đồng cấu môđun). Cho f : M → N là đồng cấu, Kerf là môđun con của M và p : M → M/Kerf là toàn cấu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất một đơn cấu. f : M /Kerf → N x 7→ f (x) sao cho biểu đồ sau giao hoán p M @@ @@ f @@ @@ N / M /Kerf t tt tt t tt tz t f Hệ quả 1.1. Cho f : M → N là R-đồng cấu môđun. Khi đó ta có M /Kerf ∼ = Imf . Hệ quả 1.2. (Định lý đẳng cấu Noether thứ nhất). Cho P là một môđun Footer Page 18 of 161. 12 Header Page 19 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu con của N và N là một môđun con của M . Khi đó ta có đẳng cấu M /N ∼ = (M /P )/(N /P ). Hệ quả 1.3. (Định lý đẳng cấu Noether thứ hai). Nếu M, N là hai môđun con của cùng một môđun thì ta có (M + N )/N ∼ = M /(M ∩ N ). Mệnh đề 1.5. Cho M, N, P là các R - môđun f : M → N và g : N → P là các R-đồng cấu môđun, khi đó h = g ◦ f là đồng cấu tầm thường nếu và chỉ nếu Imf ⊆ Kerg. 1.1.6.Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun Định nghĩa 1.6. (Tích trực tiếp). Cho Mi là họ các R-môđun, i ∈ I.  Q Trên tập Mi = (xi )i∈I : xi ∈ Mi xác định hai phép toán cộng và i∈I nhân vô hướng như sau (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I a(xi )i∈I = (axi )i∈I Với (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ Q Mi , a ∈ R. Khi đó i∈I Q Mi là R-môđun gọi là tích i∈I trực tiếp của họ môđun {Mi }i∈I . Định nghĩa 1.7. (Tổng trực tiếp). Cho họ không rỗng các môđun Q {Mi }i∈I . Xét tập con của Mi gồm các bộ x = (xi ), mà hầu hết các i∈I Footer Page 19 of 161. 13 Header Page 20 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu thành phần bằng 0, trừ ra một số hữu hạn. Dễ thấy đó là tập con ổn định trong{Mi }i∈I , và do vậy nó là môđun con. Ta gọi là môđun tổng trực tiếp của họ và kí hiệu là ⊕ Mi . i∈I Nhận xét 1.4. i) Tổng trực tiếp của các môđun là môđun con của tích trực tiếp. ii) Nếu I hữu hạn thì khái niệm tổng trực tiếp trùng với khái niệm tích trực tiếp. Định lý 1.5. Cho M, N, P là các R-môđun ,các đồng cấu f : M → N và f : N → P . Nếu h = g ◦ f là một đồng cấu thì ba phát biểu sau đây là đúng i) f là đơn cấu. ii) g là toàn cấu. iii) N ∼ = Imf ⊕ Kerg. Định nghĩa 1.8. (Hạng tử trực tiếp) Cho M là R-môđun, N là môđun con của M . Ta nói N là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại môđun con P sao cho M = N ⊕ P . Khi đó ta cũng nói P cũng là một môđun con phụ thuộc của N trong M . Nhận xét 1.5. i) Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều thì mọi không gian vectơ con của M đều có một không gian con phụ. n ii) M = ⊕ Mi ⇔ M = M1 + M2 + ... + Mn , Mi ∩ i=1 P Mj = 0, j = 1, m Đặc biệt M = N ⊕ P ⇔ M = N + P, N ∩ P = 0. Footer Page 20 of 161. 14