Tài liệu Một số cấu trúc hữu hạn sinh

Header Page 1 of 161. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN **************** ĐINH THI TUYẾT MAI MỘT SỐ CẤU TRÚC HỮU HẠN SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ĐINH THỊ TUYẾT MAI MỘT SỐ CẤU TRÚC HỮU HẠN SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Thị Kiều Nga HÀ NỘI - 2016 Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo-Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Kiều Nga, người đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ Đại số cũng như các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành tốt khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đinh Thị Tuyết Mai Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp này em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo-Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn. Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lập với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đinh Thị Tuyết Mai Footer Page 4 of 161. Header Page 5 of 161. Mục lục Lời mở đầu 1 1 3 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập sinh của nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm . . . . 7 1.3.2 Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Vành và vành con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Vành con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Môđun, môđun con, môđun thương . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.2 Môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.3 Môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7.4 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh . . . . . . . . . . 18 1.7.5 Linh tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Footer Page 5 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 6 of 161. 1.8 Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Nhóm hữu hạn sinh 23 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Nhóm Abel hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Một số nhóm Abel hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Nhóm xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 Nhóm xyclic nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Iđêan hữu hạn sinh 33 3.1 Tập sinh của iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Iđêan sinh bởi n phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Môđun hữu hạn sinh 36 4.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Định nghĩa môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Một số tính chất của môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . 37 4.4 Môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Môđun hữu hạn sinh trên vành chính . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương . . . . . . . . . 48 5 Bài tập 50 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 iii Footer Page 6 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 7 of 161. Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Có thể nói rằng, mọi nghành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc các cấu trúc này. Sở dĩ vì hai đặc trưng cơ bản nhất của toán học là tính trừu tượng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số. Một vấn đề quan trọng của đại số là tính hữu hạn sinh. Từ các kiến thức nền tảng của các đối tượng trong cấu trúc đại số về nhóm, vành, iđêan, môđun, chúng ta tìm hiểu về các khái niệm, tính chất và ứng dụng của một số cấu trúc hữu hạn sinh. Từ đó có khả năng tìm hiểu sâu hơn một số đặc trưng của nhóm, iđêan, môđun. Là sinh viên nghành sư phạm toán, với mong muốn học hỏi trau dồi thêm vốn kiến thức về toán học nói chung và một số cấu trúc đại số nói riêng. Chính vì vậy em đã lựa chọn đề tài "Một số cấu trúc hữu hạn sinh" cho khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa một cách khoa học các kiến thức cơ bản của một số cấu trúc hữu hạn sinh (nhóm hữu hạn sinh, iđêan hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh). Ngoài ra khóa luận còn đưa ra hệ thống các bài tập nhằm vận dụng và củng cố lý thuyết. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng chính mà khóa luận nghiên cứu là một số cấu trúc hữu hạn sinh, cụ thể là nhóm hữu hạn sinh, iđêan hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh, trong đó tập trung vào các khái niệm và tính chất của nó. Bên cạnh đó, khóa luận còn trình bày hệ thống các khái niệm bổ trợ có thể coi như là kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc nghiên cứu các đối tượng chính và Footer Page 7 of 161. 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 8 of 161. hệ thống bài tập áp dụng nhằm củng cố lý thuyết. 4. Phương pháp nghiên cứu khoa học + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Trước hết đọc các tài liệu liên quan đến đại số hiện đại, nhóm, iđêan, môđun để tìm hiểu cơ sở lý luận làm tiền đề nghiên cứu đối tượng chính. Sau đọc nghiên cứu và hiểu về định nghĩa, tính chất của nhóm hữu hạn sinh, iđêan hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh qua các tài liệu liên quan. + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học. Đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên nghành toán mong muốn tìm hiểu sâu sắc hơn về một số cấu trúc hữu hạn sinh mà cụ thể là nhóm, iđêan, môđun hữu hạn sinh. 6. Bố cục của khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận gồm 5 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nhóm hữu hạn sinh Chương 3: Iđêan hữu hạn sinh Chương 4: Môđun hữu hạn sinh Chương 5: Bài tập Footer Page 8 of 161. 2 Header Page 9 of 161. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm và nhóm con 1.1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng, (.) là phép toán hai ngôi trên X , X được gọi là nhóm nếu các điều kiện sau thỏa mãn: i) Phép (.) có tính chất kết hợp, tức (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ X ii) Tồn tại phần tử e ∈ X có tính chất xe = ex = x với mọi x ∈ X iii) Với mọi x ∈ X , tồn tại phần tử x ∈ X sao cho xx = x x = e 0 0 0 Chú ý: Phần tử e ∈ X thỏa mãn điều kiện ii) gọi là phần tử đơn vị của nhóm, phần tử x ∈ X thỏa mãn điều kiện iii) gọi là phần tử nghịch 0 đảo của x, kí hiệu là x−1 , nếu phép toán trong X là (+) thì x gọi là phần 0 tử đối xứng của x, kí hiệu là −x Định nghĩa 1.1.2. Nhóm X gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu xy = yx với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.3. Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn (vô hạn) nếu tập X hữu hạn (vô hạn) phần tử Footer Page 9 of 161. 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 10 of 161. Ví dụ 1.1.1. Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép cộng thông thường là một nhóm giao hoán. Tương tự, ta có nhóm cộng các số hữu tỷ, nhóm cộng các số thực, nhóm cộng các số phức. Ví dụ 1.1.2. Tập hợp các số hữu tỷ khác 0 cùng với phép nhân thông thường là một nhóm giao hoán. Tương tự, ta có nhóm nhân các số thực khác 0, nhóm nhân các số phức khác 0. Ví dụ 1.1.3. Tập hợp Sn các phép thế của n phần tử cùng với tích các phép thế là một nhóm hữu hạn, không giao hoán với n > 3 Tính chất 1.1.1. Cho X là một nhóm, với e là phần tử đơn vị. Khi đó: i) Phần tử e của X tồn tại duy nhất Mỗi phần tử x của X tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo x−1. Đặc biệt e−1 = e, (x−1)−1 = x ii) Trong nhóm có luật giản ước, tức là với mọi x, y, z ∈ X mà xy = xz (yx = zx) thì y = z iii) Với mọi a, b ∈ X , phương trình ax = b (xa = b) có nghiệm duy nhất x = a−1 b (x = ba−1) iv) Với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ X ta có −1 −1 −1 (x1x2 . . . xn)−1 = x−1 n xn−1 . . . x2 x1 Đặc biệt (xy)−1 = y −1 x−1 , với mọi x, y ∈ X Chú ý: Qui ước x0 = e, với e là phần tử đơn vị của X Nếu X là nhóm Abel thì (xy)n = xny n với mọi x, y ∈ X Điều kiện tương đương 1.1.1. Mỗi nửa nhóm X là một nhóm nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: Footer Page 10 of 161. 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 11 of 161. i) X có đơn vị trái e, tức ex = e với ∀x ∈ X ii) Với mỗi x ∈ X , tồn tại x sao cho x x = e (phần tử x gọi là nghịch 0 0 0 đảo trái của x) Chú ý: Ta cũng có phát biểu tương tự nếu thay đơn vị trái e bằng đơn vị phải, nghịch đảo trái bằng nghịch đảo phải Điều kiện tương đương 1.1.2. Một nửa nhóm X khác ∅ là nhóm khi và chỉ khi phương trình ax = b (ya = b) có nghiệm trong X với mọi a, b ∈ X 1.1.2 Nhóm con Định nghĩa 1.1.4. Cho X cùng với phép toán hai ngôi (.) là một nhóm, A là một bộ phận ổn định của X (tức là với mọi a, b ∈ A thì ab ∈ A). Khi đó A được gọi là nhóm con của nhóm X nếu A cùng với phép toán cảm sinh lập thành một nhóm. Ví dụ 1.1.4. Mỗi nhóm cộng sau đây đều là nhóm con của nhóm đứng sau Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C Ví dụ 1.1.5. Mỗi nhóm nhân sau là nhóm con các nhóm đứng sau Q+ ⊂ R+ , Q+ ⊂ Q{0} ⊂ R{0} ⊂ C{0} Ví dụ 1.1.6. Tập hợp {1, −1} là nhóm con của Q∗ = Q{0} đối với phép nhân nhưng không là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z Ví dụ 1.1.7. Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z Ví dụ 1.1.8. Trong một nhóm X , bộ phận A gồm các lũy thừa an của phần tử a ∈ X là một nhóm con của X Ví dụ 1.1.9. Tập hợp {e}, X là các nhóm con của nhóm X . Và gọi là các nhóm con tầm thường của X Footer Page 11 of 161. 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 12 of 161. Điều kiện tương đương 1.1.3. Một tập con A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn: i) Với x, y ∈ A thì xy ∈ A ii) e ∈ A, e là phần tử đơn vị của X iii) Với x ∈ A thì x−1 ∈ A Hệ quả: Cho X là một nhóm, A 6= ∅, A ⊂ X . Các điều kiện sau đây là tương đương: i) A là một nhóm con của X ii) Với x, y ∈ A thì xy ∈ A và x−1 ∈ A iii) Với x, y ∈ A thì xy −1 ∈ A Tính chất 1.1.2. Giao của một họ bất kì các nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của X 1.2 Tập sinh của nhóm Định nghĩa 1.2.1. Giả sử G là một bộ phận của nhóm X . Giao của tất cả các nhóm con của X chứa G là một nhóm con của X chứa G gọi là nhóm con sinh bởi G. Kí hiệu hGi. Trong trường hợp hGi = X , ta nói rằng G là một tập sinh của X hay X được sinh bởi G. Đặc biệt nếu G = {a} thì ta viết X = hai. Giả sử G là tập sinh của X và nếu X không sinh bởi tập con thực sự nào của G thì ta nói G là tập sinh cực tiểu của X . Ví dụ 1.2.1. Cho X là nhóm, U = {a}, a ∈ X . Nhóm con A sinh bởi U có các phần tử là lũy thừa aλ , λ ∈ Z Footer Page 12 of 161. 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 13 of 161. 1.3 Định lý Lagrange 1.3.1 Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm Định nghĩa 1.3.1. i) Cấp của một nhóm X , kí hiệu |X|, là số phần tử của X nếu X có hữu hạn phần tử, là ∞ nếu X có vô hạn phần tử. ii) Cấp của phần tử a ∈ X là cấp của nhóm xyclic sinh bởi a, kí hiệu là ord (a). Chú ý: i) Cấp của a bằng 1 khi và chỉ khi a = e ii) Cấp của a bằng m hữu hạn nếu m là số nguyên dương bé nhất thỏa mãn am = e Cấp của a bằng ∞ khi và chỉ khi với mọi m ∈ Z∗ , am 6= e (hay mọi m, n ∈ Z, m 6= n thì am 6= an ) 1.3.2 Định lý Lagrange Định lý 1.3.1. (Định lý Lagrange) Cho X là một nhóm hữu hạn, A là nhóm con của X . Khi đó cấp của nhóm A là ước của cấp nhóm X . Hệ quả 1.3.1. Cho X là một nhóm hữu hạn cấp n thì với mọi phần tử a ∈ X ta có an = e Hệ quả 1.3.2. Mọi nhóm hữu hạn X có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic và được sinh bởi một phần tử bất kì a ∈ X , a 6= e Hệ quả 1.3.3. Cho p là số nguyên tố, a ∈ Z là số nguyên bất kì thì ap − a chia hết cho p Footer Page 13 of 161. 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 14 of 161. 1.4 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là hai nhóm, cùng với phép toán hai ngôi tương ứng là (∗), (.). Một đồng cấu nhóm từ X đến Y là một ánh xạ f : X −→ Y sao cho f (a ∗ b) = f (a)f (b) với mọi a, b ∈ X . Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là tự đồng cấu của X . Một đồng cấu nhóm và là một đơn ánh thì gọi là một đơn cấu; Một đồng cấu nhóm và là một toàn ánh thì gọi là một toàn cấu; Một đồng cấu và là một song ánh thì gọi là một đẳng cấu. Nếu X = Y thì một đẳng cấu từ X đến Y gọi là tự đẳng cấu nhóm X . Ta nói hai nhóm X và Y đẳng cấu với nhau, kí hiệu X ∼ = Y nếu tồn tại một đẳng cấu nhóm f : X −→ Y Định nghĩa 1.4.2. Giả sử f : X −→ Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y , các phần tử đơn vị của X và Y được kí hiệu theo thứ tự eX , eY . Ta kí hiệu Imf = f (X) = {f (x)|x ∈ X} Kerf = {x ∈ X|f (x) = eY } = f −1(eY ) và gọi Imf là ảnh của đồng cấu f , Kerf là hạt nhân của đồng cấu f . Ví dụ 1.4.1. Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X . Đơn ánh chính tắc f : A −→ X a 7−→ a là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc Ví dụ 1.4.2. Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đẳng cấu gọi là tự đẳng cấu của X . Ví dụ 1.4.3. Ánh xạ từ nhóm nhân các số thực dương R+ đến nhóm cộng Footer Page 14 of 161. 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 15 of 161. các số thực R loga : R+ −→ R x 7−→ loga x trong đó a ∈ R, a > 0, a 6= 1 là một đẳng cấu Ví dụ 1.4.4. Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X . Ánh xạ h : X −→ X/A x 7−→ xA là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thương X/A. Hơn nữa h còn là một toàn cấu và gọi là toàn cấu chính tắc. Ví dụ 1.4.5. Giả sử X và Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ g : X −→ Y x 7−→ eY là một đồng cấu và gọi là đồng cấu tầm thường. Ví dụ 1.4.6. Nếu f : X −→ Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y thì ánh xạ ngược f −1 : Y −→ X cũng là một đẳng cấu. Tính chất 1.4.1. Giả sử X, Y, Z là những nhóm và f : X −→ Y và g : Y −→ Z là những đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích gf : X −→ Z cũng là một đồng cấu. Đặc biệt tích của hai đẳng cấu là một đẳng cấu. Tính chất 1.4.2. Giả sử f : X −→ Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y , A là một nhóm con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y . Thế thì: Footer Page 15 of 161. 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 16 of 161. i) f (A) là một nhóm con của Y ii) f −1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của X Hệ quả: Giả sử f : X −→ Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y . Khi đó Imf là một nhóm con của Y , Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của X . Tính chất 1.4.3. Giả sử f : X −→ Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y . Khi đó i) f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = Y ii) f là đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf = {eX } Tính chất 1.4.4. Giả sử f : X −→ Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y , p : X −→ X/Kerf là toàn cấu chính tắc. Khi đó i) Tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm f : X/Kerf −→ Y sao cho biến đổi sau giao hoán f X Y f p X/Kerf tức là f = f p ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f (X) Hệ quả: Với mọi đồng cấu f : X −→ Y từ một nhóm X đến một nhóm Y , ta có f (X) ∼ = X/Kerf Footer Page 16 of 161. 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 17 of 161. 1.5 Vành và vành con 1.5.1 Vành Định nghĩa 1.5.1. Cho X là một tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai ngôi là phép cộng và phép nhân. X được gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ X , ta có x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx Chú ý + Vành X gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân trong X có phần tử đơn vị. + Vành X gọi là vành giao hoán nếu phép nhân trong X có tính chất giao hoán. + Vành X gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu phép nhân trong X có tính chất giao hoán, có phần tử đơn vị. + Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không của vành. + Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có) kí hiệu là 1. Ví dụ 1.5.1. • Z, Q, R, C cùng với phép toán cộng và nhân thông thường là các vành giao hoán có đơn vị • Z/nZ = Zn là một vành giao hoán có đơn vị cùng với phép toán cộng và nhân xác định như sau x + y = x + y , x y = xy Footer Page 17 of 161. 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 18 of 161. Tính chất 1.5.1. Cho X là vành, với mọi x, y, z ∈ X , ta có: + 0x = x0 = 0 + Nếu vành có ít nhất hai phần tử thì 1 6= 0 + (nx)y = nxy = x(ny) với mọi n ∈ Z + x(y − z) = xy − xz , (y − z)x = yx − zx + x(−y) = (−x)y = −xy , (−x)(−y) = xy 1.5.2 Vành con Định nghĩa 1.5.2. Cho X là một vành, A là một bộ phận của X ổn định với hai phép toán cộng và nhân trong X , nghĩa là x + y ∈ A và xy ∈ A với mọi x, y ∈ A . Khi đó A được gọi là vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên X là một vành. Điều kiện tương đương 1.5.1. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một vành X . Các điều kiện sau tương đương: i) A là vành con của X ii) Với mọi x, y ∈ A thì x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A iii) Với mọi x, y ∈ A thì x − y ∈ A, xy ∈ A Ví dụ 1.5.2. + {0} và X là hai vành con của vành X , gọi là các vành con tầm thường của X . + Bộ phận mZ là vành con của vành các số nguyên Z Footer Page 18 of 161. 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 19 of 161. 1.6 Iđêan Định nghĩa 1.6.1. Cho X là một vành, A là vành con của X . Khi đó: + A gọi là iđêan trái của X nếu với mọi x ∈ X , a ∈ A thì xa ∈ A + A gọi là iđêan phải của X nếu với mọi x ∈ X , a ∈ A thì ax ∈ A + A gọi là iđêan của X nếu A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của X Nhận xét + Nếu X là vành giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải trùng nhau + Nếu X là vành không giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải phân biệt. Điều kiện tương đương 1.6.1. Bộ phận A khác rỗng của một vành X là một iđêan của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn: i) Với mọi a, b ∈ A thì a − b ∈ A ii) Với mọi x ∈ X , với mọi a ∈ A thì xa ∈ A, ax ∈ A Ví dụ 1.6.1. + Cho X là vành thì {0} và X là các iđêan của X + A = mZ là iđêan của vành số nguyên Z 1 + Z là vành con của Q nhưng không là iđêan của Q. Vì ∈ Q, 5 ∈ Z, 2 1 /Z 5. ∈ 2 Tương tự Q là vành con của R, nhưng Q không là iđêan của R Tính chất 1.6.1. + Giao của một họ bất kì các iđêan của vành X là một iđêan của X + Nếu X là một vành có đơn vị và A là một iđêan của X chứa đơn vị của X thì A = X Định nghĩa 1.6.2. Cho X là vành giao hoán. Căn Jacobson của X ký hiệu là Jac(X) là giao của tất cả các iđêan cực đại của X Footer Page 19 of 161. 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 20 of 161. 1.7 Môđun, môđun con, môđun thương 1.7.1 Môđun Định nghĩa 1.7.1. Cho R là một vành có đơn vị, M được gọi là R-môđun trái hay môđun trái trên R nếu các điều kiện sau thảo mãn: a) M là nhóm cộng Abel b) Tồn tại ánh xạ R × M −→ M (α, x) 7−→ αx gọi là phép nhân vô hướng sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: i) (αβ)x = α(βx) ii) (α + β)x = αx + βx, α(x + y) = αx + αy iii) 1x = x Với mọi α, β ∈ R, với mọi x, y ∈ M Tương tự M được gọi là R-môđun phải hay môđun phải trên R nếu các điều kiện sau thỏa mãn: a) M là nhóm cộng Abel b) Tồn tại ánh xạ M × R −→ M (x, α) 7−→ xα gọi là phép nhân vô hướng sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: i) x(αβ) = (xα)β Footer Page 20 of 161. 14