Tài liệu Môđun phân số suy rộng và một số vấn đề liên quan

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN INH HÚU DUY MÆUN PH…N SÈ SUY RËNG V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC B¼nh ành - N«m 2022 BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN INH HÚU DUY MÆUN PH…N SÈ SUY RËNG V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN Ng nh: „I SÈ V€ L THUY˜T SÈ M¢ sè: 8460104 Ng÷íi h÷îng d¨n: TS. NGUY™N THI HÁA i Möc löc Möc löc Danh möc c¡c k½ hi»u Mð ¦u Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1 1.2 1.3 1.4 ë d i mæun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sü ph¥n t½ch nguy¶n sì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chi·u Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ph¤m trò v  h m tû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Ph¤m trò v  h m tû . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 H m tû a-xo­n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Mæun èi çng i·u v  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng 1.5.1 Mæun èi çng i·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . 1.6 Giîi h¤n thuªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ch÷ìng 2. Mæun ph¥n sè suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ii 1 3 3 4 6 10 10 12 14 14 17 22 26 2.1 Mæun ph¥n sè suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Mët sè t½nh ch§t v  v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Ch÷ìng 3. Mæun ph¥n sè suy rëng v  èi çng i·u àa ph÷ìng, v  gi£ thuy¸t ìn thùc 48 3.1 Mæun ph¥n sè suy rëng v  èi çng i·u àa ph÷ìng . . . . . . . 48 3.2 Ùng döng èi vîi gi£ thuy¸t ìn thùc . . . . . . . . . . . . . . . . 58 K¸t luªn T i li»u tham kh£o 60 62 ii Danh möc c¡c k½ hi»u Z N0 Z+ R (R, m) Mod (R) AssR (M ) dimR dimM Γa (•) F (•) H n (•) Rn F Han (•) lim (•) −→ i U U −n M U −n (•) Tªp c¡c sè nguy¶n Tªp c¡c sè nguy¶n khæng ¥m Tªp c¡c sè nguy¶n d÷ìng V nh giao ho¡n câ ìn và V nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i m Ph¤m trò c¡c R−mæun Tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa R−mæun M Chi·u Krull cõa v nh R Chi·u Krull cõa R−mæun M H m tû a−xo­n t÷ìng ùng vîi i¶an a H m tû tø ph¤m trò Mod (R) ¸n ch½nh nâ H m tû èi çng i·u thù n tø ph¤m trò Mod (R) ¸n ch½nh nâ H m tû d¨n xu§t thù n cõa h m tû F H m tû èi çng i·u àa ph÷ìng thù n t÷ìng ùng vîi i¶an a H m tû giîi h¤n thuªn Tªp con tam gi¡c cõa Rn vîi n l  sè nguy¶n d÷ìng Mæun ph¥n sè suy rëng cõa R−mæun M ùng vîi tªp con tam gi¡c U cõa Rn H m tû tø ph¤m trò Mod (R) ¸n ch½nh nâ t÷ìng ùng vîi tªp con tam gi¡c U cõa Rn 1 Mð ¦u Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và v  S l  mæt tªp nh¥n âng cõa v nh R, M l  mët R−mæun. X¥y düng mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M × S : ∀ (a, s) , (b, t) ∈ M × S, (a, s) ∼ (b, t) ⇔ u (ta − sb) = 0 vîi mët u ∈ S. Tªp th÷ìng M × S/ ∼ ÷ñc k½ hi»u l  S −1 M = na  o  a ∈ M, s ∈ S . s Khi â S −1M l  mët R−mæun, vîi hai ph²p to¡n ÷ñc x¡c ành bði ∀ a b , ∈ S −1 M, s t v  ∀ r ∈ R, ∀ a b ta + sb + = s t st a ∈ S −1 M, s a ra r. = . s s Mæun S −1M ÷ñc gåi l  mæun ph¥n sè v  nâ l  mët trong c¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa ¤i sè giao ho¡n. N«m 1982, R.Y.Sharp v  H.Zakeri [18] ÷a ra kh¡i ni»m tªp con tam gi¡c U cõa Rn = R × . . . × R vîi n l  mët sè nguy¶n d÷ìng v  x¥y düng mæun ph¥n sè suy rëng U −nM , méi ph¦n tû cõa nâ câ d¤ng m , (u1 , . . . , un ) trong â m ∈ M v  (u1, . . . , un) ∈ U . Khi n = 1, U l  mët tªp nh¥n âng v  U −1 M l  mæun ph¥n sè. Lþ thuy¸t c¡c mæun ph¥n sè suy rëng l  mët sü mð rëng kh¡i ni»m mæun ph¥n sè cõa mët mæun theo tªp nh¥n âng v  nâ ÷ñc sû döng º ti¸p cªn gi£ thuy¸t ìn thùc cõa Hochster [5]. Vîi möc ½ch t¼m hiºu s¥u hìn v· ¤i sè giao ho¡n chóng tæi chån · t i: Mæun ph¥n sè suy rëng v  mët sè v§n · li¶n quan. Trong luªn v«n n y, chóng tæi tr¼nh b y v  chùng minh chi ti¸t mët sè k¸t qu£ trong [18], [19]. Luªn v«n ngo i ph¦n Möc löc, Mð ¦u, K¸t luªn v  Danh möc t i li»u tham kh£o câ 3 ch÷ìng. 2 Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n nh÷: ë d i mæun, Sü ph¥n t½ch nguy¶n sì, Chi·u Krull, Ph¤m trò v  h m tû, Mæun èi çng i·u v  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng, Giîi h¤n thuªn. Ch÷ìng 2. Mæun ph¥n sè suy rëng Trong ch÷ìng n y, tr÷îc h¸t chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m tªp con tam gi¡c v  x¥y düng mæun ph¥n sè suy rëng cõa mët mæun theo mët tªp con tam gi¡c. Ti¸p theo chóng tæi tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa mæun ph¥n sè suy rëng v  mët sè v½ dö v· tªp con tam gi¡c. Ch÷ìng 3. Mæun ph¥n sè suy rëng v  èi çng i·u àa ph÷ìng, v  gi£ thuy¸t ìn thùc Trong ch÷ìng n y chóng tæi s³ tr¼nh b y méi mæun M tr¶n v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng (R, m) vîi dimR = n ⩾ 1, mæun èi çng i·u Hmn (M ) câ thº xem l  mët mæun ph¥n sè suy rëng. Ti¸p theo â chóng tæi tr¼nh b y ùng döng cho gi£ thuy¸t ìn thùc. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh nhí sü h÷îng d¨n v  gióp ï tªn t¼nh cõa th¦y h÷îng d¨n TS. Nguy¹n Th¡i Háa, Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn. Tæi xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n Th¦y ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n. Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n quþ Ban l¢nh ¤o Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn, Pháng  o t¤o Sau ¤i håc, Khoa To¡n v  Thèng k¶ còng quþ th¦y cæ gi¡o gi£ng d¤y lîp Cao håc ¤i sè v  L½ thuy¸t sè khâa 23 ¢ gi£ng d¤y v  t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n · t i. Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ¸n ng÷íi th¥n, b¤n b± ¢ luæn gióp ï ëng vi¶n º tæi ho n th nh khâa håc v  luªn v«n n y. M°c dò luªn v«n ÷ñc thüc hi»n vîi sü né lüc cè g­ng h¸t sùc cõa b£n th¥n, nh÷ng do i·u ki»n thíi gian câ h¤n, tr¼nh ë ki¸n thùc v  kinh nghi»m nghi¶n cùu cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng gâp þ cõa quþ th¦y cæ gi¡o º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. 3 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc º chu©n bà cho nëi dung c¡c ch÷ìng ti¸p theo. 1.1 ë d i mæun Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m ë d i mæun v  mët sè k¸t qu£ v· ë d i mæun theo [1], [3], [13]. K½ hi»u R l  mët v nh câ ìn và, Z+ l  tªp c¡c sè nguy¶n d÷ìng. ành ngh¾a 1.1.1. Mët R−mæun M kh¡c khæng ÷ñc gåi l  mæun ìn n¸u nâ câ óng hai mæun con l  mæun khæng v  ch½nh nâ. Bê · 1.1.2. Cho M l  mët R−mæun. Khi â M l  R−mæun ìn khi v  ch¿ khi M ∼= R/m (nh÷ R-mæun) vîi m ∈ Max (R). ành ngh¾a 1.1.3. Mët d¥y chuy·n ch°t câ ë d i n cõa R−mæun M l  mët d¢y t«ng thüc sü c¡c mæun con cõa M câ d¤ng M0 ⊊ M1 ⊊ . . . ⊊ Mn. ành ngh¾a 1.1.4. Mët d¥y chuy·n ch°t c¡c mæun con cõa mæun M câ d¤ng 0 = M0 ⊊ M1 ⊊ . . . ⊊ Mn = M , trong â Mi /Mi−1 l  mæun ìn ∀i = 1, . . . , n (tùc l  d¢y khæng thº bê sung th¶m), ÷ñc gåi l  mët chuéi hñp th nh câ ë d i n cõa mæun M . Mæun khæng ÷ñc coi l  câ chuéi hñp th nh câ ë d i b¬ng 0. ành lþ 1.1.5. [ành lþ Jordan-Holder]. Cho M l  mët R−mæun. Gi£ sû r¬ng M câ mët chuéi hñp th nh câ ë d i n. Khi â, (i) Måi d¥y chuy·n ch°t cõa M ·u câ ë d i khæng lîn hìn n. (ii) Måi chuéi hñp th nh cõa M ·u câ ë d i óng b¬ng n. (iii) Måi d¥y chuy·n ch°t c¡c mæun con cõa M câ ë d i k < n ·u câ thº bê sung n − k th nh ph¦n º trð th nh mët chuéi hñp th nh cõa M . (iv) Måi d¥y chuy·n ch°t cõa M câ ë d i óng b¬ng n ·u l  chuéi hñp th nh. ành ngh¾a 1.1.6. Khi R−mæun M câ mët chuéi hñp th nh câ ë d i n < ∞ th¼ ta nâi M câ ë d i b¬ng n v  k½ hi»u lR (M ) = n. 4 V½ dö 1.1.7. 1. Cho V l  khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K. Khi â, V câ chi·u húu h¤n ⇔ V l  K−mæun Noether ⇔ V l  K−mæun Artin. Hìn núa, V l  R−mæun câ ë d i húu h¤n v  lK (V ) = dimK (V ). 2. lZ (Z30) = 3. Ghi chó 1.1.8. 1. Mët R−mæun M ÷ñc gåi l  mæun Noether n¸u måi d¢y t«ng M0 ⊆ M1 ⊆ . . . Mn+1 ⊆ . . . c¡c mæun con cõa M ·u døng, tùc l  tçn t¤i k ∈ Z+ : Mk = Mk+i vîi måi i ∈ Z+ . Mët v nh R ÷ñc gåi l  mët v nh Noether n¸u R l  R−mæun Noether. 2. Mët R−mæun M ÷ñc gåi l  mæun Artin n¸u måi d¢y gi£m M0 ⊇ M1 ⊇ . . . Mn+1 ⊇ . . . c¡c mæun con cõa M ·u døng, tùc l  tçn t¤i k ∈ Z+ : Mk = Mk+i vîi måi i ∈ Z+ . Mët v nh R ÷ñc gåi l  mët v nh Artin n¸u R l  R−mæun Artin. ành lþ 1.1.9. Cho M l  mët R−mæun. Khi â lR (M ) < ∞ khi v  ch¿ khi M vøa l  mæun Noether vøa l  mæun Artin. ành lþ 1.1.10. Cho 0 −→ N −→ M −→ P −→ 0 l  mët d¢y khîp ng­n c¡c R−mæun. Khi â, (i) lR (M ) < ∞ ⇔ lR (N ) < ∞ v  lR (P ) < ∞. (ii) Khi lR (M ) , lR (N ) , lR (P ) ·u húu h¤n th¼ lR (M ) = lR (N ) + lR (P ). 1.2 Sü ph¥n t½ch nguy¶n sì Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü ph¥n t½ch nguy¶n sì theo [3], [13], [14]. K½ hi»u R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và. ành ngh¾a 1.2.1. Mët i¶an I cõa v nh R ÷ñc gåi l  mët i¶an nguy¶n sì n¸u I ⊊ R v  vîi måi a, b ∈ R, ab ∈ I th¼ a ∈ I ho°c bk ∈ I vîi mët k ∈ Z+. Ghi chó 1.2.2. 1. Méi i¶an nguy¶n tè P cõa R l  mët i¶an nguy¶n sì.  2. I l  mët i¶an nguy¶n tè  I⊊R ⇔  ∀ a, b ∈ R, ab ∈ I ⇒ a ∈ I √ ho°c b ∈ I. √ 3. Cho I
R. Khi â n¸u I √l  i¶an√cüc ¤i th¼ √I l  nguy¶n sì. 4. Gi£ sû m ∈ Max (R), v¼ mk = m ∩ . . . ∩ m = m n¶n mk l  i¶an nguy¶n sì. 5 ành ngh¾a 1.2.3. Mæun con thüc sü N cõa R−mæun M ÷ñc gåi l  nguy¶n sì n¸u ∀α ∈ R, ∀x ∈ M, αx ∈ N ⇒ x ∈ N ho°c ∃k ∈ Z+ sao cho αk M ⊆ N . Ghi chó 1.2.4. 1. I¶an I cõa R l  i¶an nguy¶n sì khi v  ch¿ khi I l  mæun con nguy¶n sì cõa R−mæun R. 2. N l  mæun con nguy¶n sì cõa M khi v  ch¿ khi vîi måi α ∈ R, tü çng α c§u M/N −→ M/N ho°c l  ìn c§u ho°c l  lôy linh. Bê · 1.2.5. (i) Cho N l  mët mæun con cõa R−mæun M . Khi â n o RadM (N ) = α ∈ R | ∃k ∈ Z+ sao cho αk M ⊆ N l  mët i¶an cõa R. °c bi»t, n¸u a l  mët i¶an cõa R th¼ RadR (a) = √a. (ii) Cho N, P l  hai mæun con cõa M . N¸u N ⊆ P th¼ RadM (N ) ⊆ RadM (P ). Hìn núa RadM (N ∩ P ) = RadM (N ) ∩ RadM (P ) . M»nh · 1.2.6. Cho N l  mæun con nguy¶n sì cõa R−mæun M . Khi â RadM (N ) = P l  mët i¶an nguy¶n tè. Ta gåi N l  mæun con P −nguy¶n sì cõa M . ành ngh¾a 1.2.7. I¶an nguy¶n tè P cõa v nh R ÷ñc gåi l  li¶n k¸t vîi R−mæun M n¸u tçn t¤i x ∈ M sao cho Ann (x) = P . Tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M ÷ñc k½ hi»u l  AssR (M ) hay ìn gi£n hìn Ass (M ) n¸u R ÷ñc x¡c ành.   P ∈ Spec (R) Ghi chó 1.2.8. 1. P ∈ AssR (M ) ⇔   P = Ann (x) = 0 :M x = m ∈ R | mx = 0 . 2. Cho P ∈ Spec (R). Khi â n¸u P ∈ Ass (M ) th¼ tçn t¤i mët mæun con N cõa M sao cho N ∼= R/P . 3. Cho R l  v nh Noether v  M l  R−mæun.  (i) Gi£ sû M ̸= 0. K½ hi»u F = Ann (x) | x ∈ M \ {0} . Khi â måi ph¦n tû tèi ¤i cõa hå F l  mët i¶an nguy¶n tè tùc l  P ∈ Ass (M ). (ii) Ass (M ) = ∅ ⇔ M = 0. [ (iii) ZDR (M ) = P. P ∈Ass(M ) M»nh · 1.2.9. Cho N l  mët mæun con cõa R−mæun M . Khi â Ass (N ) ⊆ Ass (M ) ⊆ Ass (N ) ∪ Ass
M/N . 6 ành ngh¾a 1.2.10. Cho N l  mët mæun con cõa R−mæun M . Mët ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa N l  mët biºu di¹n N d÷îi d¤ng giao cõa c¡c mæun con nguy¶n sì cõa M N = P 1 ∩ P2 ∩ . . . ∩ Pr , trong â P1, . . . , Pr l  c¡c mæun con nguy¶n sì cõa M . Ghi chó 1.2.11. 1. Sü ph¥n t½ch nguy¶n sì N = P1 ∩ P2
∩ . . . ∩ Pr ÷ñc gåi l  \ rót gån n¸u Pk ⊈ Pi, ∀i = 1, r v  RadM (Pi) ̸= RadM Pj vîi 1 ⩽ i ̸= j ⩽ r. k̸=i 2. Måi sü ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa N ·u câ thº ÷a v· d¤ng rót gån. ành lþ 1.2.12. Måi mæun con thüc sü cõa mët mæun Noether ·u câ sü ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån. M»nh · 1.2.13. Cho R l  v nh Noether v  M l  mët R−mæun húu h¤n sinh. Gi£ sû 0 = N1 ∩ N2 ∩ . . . ∩ Nr l  ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån cõa mæun con 0. °t Pi = RadM (Ni) , ∀i = 1, r. Khi â Ass (M ) = {P1, . . . , Pr }. 1.3 Chi·u Krull Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m chi·u Krull v  mët sè k¸t qu£ v· chi·u theo [1], [3], [13], [14]. Tr÷îc h¸t chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m v nh ph¥n bªc v  mæun ph¥n bªc. K½ hi»u R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và. ành ngh¾a 1.3.1. V nh R ÷ñc gåi l  v nh ph¥n bªc n¸u tçn t¤i mët hå c¡c nhâm con cëng giao ho¡n (Rn)n⩾0 cõa R thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: M (i) R = Rn. n⩾0 (ii) vîi måi m, n ⩾ 0. V½ dö 1.3.2. 1. Gi£ sû R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và b§t ký. Cho R0 = R v  Rn = 0 vîi måi n ⩾ 1. Khi â R l  v nh ph¥n bªc v  gåi l  v nh ph¥n bªc t¦m th÷íng. 2. X²t v nh a thùc n bi¸n R = K [x1, . . . , xn] vîi K l  mët tr÷íng. Gåi Rd l  tªpMt§t c£ a thùc thu¦n nh§t bªc d, t½nh c£ a thùc khæng. Khi â ta câ R= Rd v  Rd Rm ⊆ Rd+m vîi måi m, d ⩾ 0. Vªy R l  mët v nh ph¥n bªc. Rn Rm ⊆ Rm+n d⩾0 7 ành ngh¾a 1.3.3. Gi£ sû R = M Rn l  mët v nh ph¥n bªc, R−mæun M n⩾0 ÷ñc gåi l  R−mæun ph¥n bªc n¸u tçn t¤i mët hå c¡c nhâm con cëng giao ho¡n (Mn)n⩾0 cõa M thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: M (i) M = Mn. n⩾0 (ii) vîi måi m, n ⩾ 0. V½ dö 1.3.4. V nh a thùc n bi¸n R = K [x1, . . . , xn] vîi sü ph¥n bªc ÷ñc ành ngh¾a ð v½ dö 1.3.2(2), khi â R ÷ñc xem l  R−mæun ph¥n bªc. Nhúng ph¦n tû cõa Rn ho°c Mn trong mët v nh ph¥n bªc ho°c mët mæun ph¥n bªc ÷ñc gåi l  th nh ph¦n thu¦n nh§t bªc n. Cho M l  mët R−mæun ph¥n Mbªc. Mët mæun con N cõa M ÷ñc gåi l  mæun con ph¥n bªc n¸u N = Nn, trong â Nn = N ∩ Mn. Do â mæun Rn Mm ⊆ Mn+m n⩾0 th÷ìng M/N công l  mæun ph¥n bªc. ành ngh¾a 1.3.5. Mët v nh låc R l  mët v nh R còng vîi mët hå (Rn)n⩾0 c¡c nhâm con cõa R thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) R0 = R. (ii) Rn+1 ⊆ Rn vîi måi n ⩾ 0. (iii) RnRm ⊆ Rn+m vîi måi m, n ⩾ 0. V½ dö 1.3.6. 1. Gi£ sû R l  mët v nh b§t ký. Cho R0 = R v  Rn = 0 vîi måi n ⩾ 1. Khi â (Rn )n⩾0 l  mët v nh låc cõa v nh R l  gåi l  mët låc t¦m th÷íng. 2. Cho I l  mët i¶an cõa R. Khi â (I n)n⩾0 l  mët låc cõa R, nâ ÷ñc gåi l  mët låc I−adic. 3. Cho (Rn)n⩾0 l  mët v nh låc cõa v nh R v  S l  mët v nh con cõa R. Khi â (Rn ∩ Sn)n⩾0 l  mët låc cõa S , nâ ÷ñc gåi l  låc c£m sinh tr¶n S . ành ngh¾a 1.3.7. Cho R l  mët v nh låc vîi låc (Rn)n⩾0. Mët R−mæun M låc l  mët R−mæun M còng vîi mët låc (Mn)n⩾0 c¡c R−mæun con cõa M thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) M0 = M . (ii) Mn+1 ⊆ Mn vîi måi n ⩾ 0. (iii) RmMn ⊆ Mm+n vîi måi m, n ⩾ 0. 8 V½ dö 1.3.8. 1. Cho M l  mët R−mæun v  R câ låc t¦m th÷íng. Khi â M công câ mët låc t¦m th÷íng ÷ñc ành ngh¾a bði M0 = M v  Mn = 0 vîi måi n ⩾ 1. 2. Cho I l  mët i¶an cõa R v  x²t låc I−adic cõa R. ành ngh¾a låc I−adic cõa M b¬ng c¡ch l§y Mn = I nM . Khi â M l  mët R−mæun låc. Cho R l  mët v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i m. Mët i¶an I ÷ñc gåi l  mët i¶an ành ngh¾a cõa R n¸u mk ⊆ I ⊆ m vîi mët k ⩾ 1. i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi I ⊆ m v  R/I l  mæun Artin. Cho I l  mët i¶an ành ngh¾a cõa R v  M l  mët R−mæun húu h¤n sinh. Khi â M/IM l  mæun húu h¤n sinh tr¶n R/I . X²t låc I−adic cõa R v  M . Khi â ta câ v nh ph¥n bªc li¶n k¸t v  mæun ph¥n bªc li¶n k¸t M R∗ = grI (R) = I n /I n+1 n⩾0 v  M∗ = Gi£ sû grI (M ) = M I n M/I n+1 M. n⩾0 , khi â v nh ph¥n bªc R∗ l  £nh çng c§u cõa B = R/I [x1 , . . . , xr ] v  M ∗ l  R∗ −mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. Khi â
FM (n) = l I n M/I n+1 M l  mët a thùc theo n vîi degFM (n) ⩽ r − 1, khi n ⩾ 0. Suy ra r¬ng, h m I = Rx1 + . . . + Rxr
∗ ∗ n
χ (M, I, n) = lR M/I M = n−1 X FM ∗ (i) i=0 l  mët a thùc theo n vîi bªc khæng qu¡ r khi n ≫ 0 (n õ lîn). a thùc χ (M, I, n) khi n ≫ 0 ÷ñc gåi l  a thùc Hilbert cõa M t÷ìng ùng vîi I . a thùc n y khæng phö thuëc v o i¶an ành ngh¾a I . Bªc cõa a thùc n y ÷ñc k½ hi»u d (M ). M»nh · 1.3.9. Cho (R, m) l  mët v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i m v  I l  mët i¶an ành ngh¾a cõa R v  0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 l  d¢y khîp c¡c R−mæun húu h¤n sinh. Khi â n

o ′ ′′ d (M ) = max d M , d M . H» qu£ 1.3.10. N¸u M ′ l  mæun con cõa R−mæun M th¼ d M′ ⩽
d (M ). 9 Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và 1 ̸= 0. Mët d¢y húu h¤n gçm n + 1 i¶an nguy¶n tè P0 ⊇ P1 ⊇ . . . ⊇ Pn ÷ñc gåi l  mët d¥y chuy·n nguy¶n tè ë d i n. N¸u P ∈ Spec (R), ch°n tr¶n nhä nh§t cõa t§t c£ ë d i c¡c d¥y chuy·n nguy¶n tè vîi P = P0 ÷ñc gåi l  ë cao cõa P v  k½ hi»u l  ht (P ). V¼ vªy ht (P ) = 0 tùc l  P l  i¶an nguy¶n tè tèi tiºu cõa R. Cho I l  mët i¶an thüc sü cõa R. Chóng ta ành ngh¾a ë cao cõa I l  ch°n d÷îi lîn nh§t cõa c¡c ë cao cõa c¡c i¶an nguy¶n tè chùa I , ht (I) = inf ht (P ) P ⊇ I n  o . ành ngh¾a 1.3.11. Chi·u cõa v nh R ÷ñc ành ngh¾a l  ch°n tr¶n nhä nh§t cõa t§t c£ ë cao cõa t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R, dimR = sup ht (P ) P ∈ Spec (R) n  o , nâ cán ÷ñc gåi l  chi·u Krull cõa R. V½ dö 1.3.12. 1. Cho K l  1 tr÷íng. Khi â dimK = 0. 2. dimZ = 1. Ghi chó 1.3.13. 1. Vîi méi i¶an I cõa R, dim R/I
+ ht (I) ⩽ dimR. 2. N¸u (R, m) l  mët v nh Noether àa ph÷ìng th¼ dimR < ∞. ành ngh¾a 1.3.14. Cho M l  mët R−mæun. Chi·u Krull cõa M l  dim (M ) = dim R/ Ann (M )
. N¸u M = 0, quy ÷îc dim (M ) = −1. Ghi chó 1.3.15. 1. Cho (R, m) l  mët v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng. Khi â d (R) ⩾ dim (R). 2. Cho (R, m) l  mët v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng v  M ̸= 0 l  mët R−mæun húu h¤n sinh v  °t dim
(M ) = r. Khi â tçn t¤i r ph¦n tû x1 , . . . , xr ∈ m sao cho l M/ (x1 , . . . , xr ) M < ∞. ành ngh¾a 1.3.16. Chi·u Chevalley δ (M ) cõa M
l  sè tü nhi¶n nhä nh§t r sao cho tçn t¤i x1, . . . , xr ∈ m º lR M/ (x1, . . . , xr ) M < ∞. r = δ (M ) = inf n  + t∈Z ∃ a1 , . . . , a t ∈ m N¸u M = 0, quy ÷îc δ (M ) = −1. º lR
o M/ (a1 , . . . , at ) M < ∞ . 10 ành lþ 1.3.17. [ành lþ chi·u]. Cho (R, m) l  mët v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i m v  M ̸= 0 l  mët R−mæun húu h¤n sinh. Khi â d (M ) = dim (M ) = δ (M ) , trong â δ (M ) l  sè
tü nhi¶n nhä nh§t r sao cho tçn t¤i x1, . . . , xr ∈ m º lR M/ (x1 , . . . , xr ) M < ∞. Ghi chó 1.3.18. 1. Gi£ sû d = dim (M ) v  h» ph¦n tû x1, . . . , xd ∈ m sao
cho lR M/ (x1, . . . , xd) M < ∞. Khi â (x1, . . . , xd) ÷ñc gåi l  mët h» tham sè cõa M .
2. N¸u x = (x1, . . . , xd) l  mët h» tham sè cõa M th¼ xn1 , . . . , xnd công l  mët h» tham sè cõa M , vîi måi n1, . . . , nd ∈ Z+. 1 d 1.4 Ph¤m trò v  h m tû Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· ph¤m trò v  h m tû theo [2], [4], [16]. 1.4.1 Ph¤m trò v  h m tû ành ngh¾a 1.4.1.1. Mët ph¤m trò K ÷ñc cho bði: Mët lîp c¡c vªt Ob (K) m  méi ph¦n tû cõa Ob (K) ÷ñc gåi l  mët vªt cõa ph¤m trò K. (K2) Vîi hai vªt tòy þ A, B ∈ Ob (K) luæn x¡c ành mët tªp hñp MorK (A, B) v  ÷ñc gåi l  tªp hñp c¡c c§u x¤ tø A ¸n B sao cho vîi hai c°p kh¡c nhau cõa c¡c vªt (A, B) ̸= (C, D) th¼ MorK (A, B) ∩ MorK (C, D) = ∅. (K3) Vîi ba vªt b§t ký A, B, C ∈ Ob (K) câ mët ¡nh x¤ (K1) MorK (A, B) × MorK (B, C) −→ MorK (A, C) (f, g) 7−→ gf gåi l  ph²p nh¥n sao cho c¡c ti¶n · sau ¥y thäa m¢n: (i) Ph²p nh¥n câ t½nh k¸t hñp, ngh¾a l  vîi ba c§u x¤ b§t ký f ∈ MorK (A, B), g ∈ MorK (B, C) v  h ∈ MorK (C, D) (hg) f = h (gf ) . (ii) Vîi méi A ∈ Ob (K) tçn t¤i mët c§u x¤ 1A ∈ MorK (A, A), gåi l  c§u x¤ çng nh§t, sao cho vîi méi B ∈ Ob (K), vîi méi f ∈ MorK (A, B), ta câ f 1A v  1B f = f, vîi 1B ∈ MorK (B, B) . 11 Khi ph¤m trò K ¢ ÷ñc x¡c ành tr÷îc º cho ti»n ta vi¸t Mor (A, B) thay cho MorK (A, B) v  k½ hi»u [ Mor (K) = Mor (A, B) . A,B∈Ob(K) Ngo i ra ta công vi¸t A ∈ K thay cho A ∈ Ob (K) , f ∈ K thay cho f ∈ Mor (K) v  vi¸t f : A −→ B thay cho f ∈ MorK (A, B). V½ dö 1.4.1.2. 1. Ph¤m trò c¡c nhâm G gçm câ (i) Ob (G) l  lîp t§t c£ c¡c nhâm. (ii) Mor (A, B) = Hom (A, B) l  tªp hñp t§t c£ c¡c çng c§u nhâm tø nhâm A ¸n nhâm B . (iii) Ph²p nh¥n l  ph²p hñp th nh hai çng c§u nhâm. 2. Ph¤m trò c¡c R−mæun Mod (R) gçm câ
(i) Ob Mod (R) l  lîp t§t c£ c¡c R−mæun. (ii) Mor (A, B) = HomR (A, B) l  tªp hñp t§t c£ c¡c çng c§u mæun tø R−mæun A ¸n R−mæun B . (iii) Ph²p nh¥n l  ph²p hñp th nh hai çng c§u mæun. ành ngh¾a 1.4.1.3. Cho hai ph¤m trò C v  D. Mët h m tû hi»p bi¸n F tø C ¸n D, k½ hi»u l  F : C −→ D, l  mët quy t­c °t t÷ìng ùng (i) Méi vªt A cõa C vîi mët vªt F (A) cõa D. (ii) Méi c§u x¤ f : A −→ B vîi mët c§u x¤ F (f ) : F (A) −→ F (B), sao cho c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n (a) Vîi måi vªt A cõa C câ F (1A) = 1F (A). (b) Vîi måi c§u x¤ f : A −→ B v  g : B −→ C câ F (gf ) = F (g) F (f ). ành ngh¾a 1.4.1.4. Cho hai ph¤m trò C v  D. Mët h m tû ph£n bi¸n F tø C ¸n D, k½ hi»u l  F : C −→ D, l  mët quy t­c °t t÷ìng ùng (i) Méi vªt A cõa C vîi mët vªt F (A) cõa D. (ii) Méi c§u x¤ f : A −→ B vîi mët c§u x¤ F (f ) : F (B) −→ F (A), sao cho c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n (a) Vîi måi vªt A cõa C câ F (1A) = 1F (A). (b) Vîi måi c§u x¤ f : A −→ B v  g : B −→ C câ F (gf ) = F (f ) F (g). 12 1.4.2 H m tû a-xo­n Cho R l  mët v nh Noether, a ⊆ R l  mët i¶an, M l  mët R−mæun. N ⊆ M l  mët mæun con. K½ hi»u n o  (N :M a) = m ∈ M am ⊆ N , vîi n o   am = am a ∈ a . Khi â (N :M a) l  mët mæun con cõa M v  N ⊆ (N :M a). K½ hi»u Γa (M ), ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: Γa (M ) := [ (0 :M an ) . n⩾1 D¹ th§y Γa (M ) l  mët mæun con cõa M v  nâ ÷ñc gåi l  mët a−xo­n cõa R−mæun M . Cho h : M −→ N l  mët çng c§u c¡c R−mæun. Khi â tçn t¤i mët çng c§u c¡c R−mæun Γa (h) : Γa (M ) −→ Γa (N ) ÷ñc x¡c ành bði Γa (h) (m) = h (m) vîi måi m ∈ Γa (M ). X²t ph²p g¡n ˆ Méi R−mæun M ⇝ Γa (M ). ˆ Méi R−çng c§u h  h M −→ N   Γa (h)  ⇝ Γa (M ) −→ Γa (N ) . Khi â chóng ta câ thº kiºm tra ÷ñc ph²p g¡n tr¶n l  mët h m tû hi»p bi¸n tr¶n ph¤m trò Mod (R) v  ÷ñc gåi l  h m tû a−xo­n, k½ hi»u Γa (•). Ghi chó 1.4.2.1. 1. Mët h m tû tuy¸n t½nh hi»p bi¸n tø ph¤m trò c¡c R−mæun ¸n ch½nh nâ l  mët ph²p g¡n  h F (•) = F : M −→ N   F (h)  ⇝ F (M ) −→ F (N ) m  méi R−mæun M g¡n vîi mët R−mæun F (M ) v  méi çng c§u h : M −→ N cõa c¡c R−mæun g¡n cho mët çng c§u cõa c¡c R−mæun F (h) : F (M ) −→ F (N ) thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau: (i) F (idM ) = idF (M ) vîi méi R−mæun M . 13 (ii) (iii) F (h ◦ l) = F (h) ◦ F (l) cõa c¡c R−mæun. , trong â h, l : M −→ N l  c¡c çng c§u cõa c¡c F (h + l) = F (h) + F (l) R− (iv) , trong â l : M −→ N v  h : N −→ P l  c¡c çng c§u mæun. F (ah) = aF (h) vîi måi a ∈ R v  méi çng c§u h : M −→ N cõa c¡c mæun. 2. Gi£ sû F (•) = F l  mët h m tû tuy¸n t½nh hi»p bi¸n tø ph¤m trò c¡c R−mæun ¸n ch½nh nâ v  h : M −→ N l  mët çng c§u cõa c¡c R−mæun. Khi â

(i) N¸u h l  mët ¯ng c§u th¼ F (h) l  mët ¯ng c§u v  F h−1 = F (h) −1. (ii) N¸u h = 0 th¼ F (h) = 0. (iii) N¸u M = 0 th¼ F (M ) = 0. 3. Cho F l  mët h m tû hi»p bi¸n tø ph¤m trò c¡c R−mæun ¸n ch½nh nâ (i) H m tû F ÷ñc gåi l  khîp n¸u méi d¢y khîp ng­n R− h l 0 −→ N −→ M −→ P −→ 0 cõa c¡c R−mæun th¼ F (h) F (l) 0 −→ F (N ) −→ F (M ) −→ F (P ) −→ 0 l  mët d¢y khîp c¡c R−mæun. (ii) H m tû F ÷ñc gåi l  khîp tr¡i n¸u méi d¢y khîp h l 0 −→ N −→ M −→ P cõa c¡c R−mæun th¼ F (h) F (l) 0 −→ F (N ) −→ F (M ) −→ F (P ) l  mët d¢y khîp c¡c R−mæun. (iii) H m tû F ÷ñc gåi l  khîp ph£i n¸u méi d¢y khîp h l N −→ M −→ P −→ 0 cõa c¡c R−mæun th¼ F (h) F (l) F (N ) −→ F (M ) −→ F (P ) −→ 0 l  mët d¢y khîp c¡c R−mæun. (iv) H m tû F l  khîp n¸u F vøa l  khîp tr¡i, vøa l  khîp ph£i. 14 1.5 Mæun èi çng i·u v  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y v· mæun èi çng i·u v  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng theo [2], [4], [17]. K½ hi»u R l  v nh giao ho¡n câ ìn và, Z l  tªp c¡c sè nguy¶n, N0 l  tªp c¡c sè nguy¶n khæng ¥m. 1.5.1 Mæun èi çng i·u ành ngh¾a 1.5.1.1. D¢y c¡c R−mæun di−1 di · · · −→ M i−1 −→ M i −→ M i+1 −→ · · · sao cho im di−1 ⊆ ker di vîi måi i ∈ Z ÷ñc gåi l  mët èi phùc cõa c¡c R−mæun, k½ hi»u (M • , d• ). ành ngh¾a 1.5.1.2. Cho (M •, d•) , (N •, e•) l  hai èi phùc cõa c¡c R−
mæun. Mët çng c§u cõa c¡c èi phùc h• : (M •, d•) −→ (N •, e•) l  mët hå hi i∈Z c¡c çng c§u cõa c¡c R−mæun hi : M i −→ N i sao cho ∀i ∈ Z, hi+1 ◦ di = ei ◦ hi, tùc l  biºu ç sau giao ho¡n

/ ··· M i−1 hi−1 Mi hi  / N i−1 ··· di−1 / ei−1 / di / M i+1 d hi+1  Ni ei / i+1  N i+1 ei+1 / ··· / ··· M»nh · 1.5.1.3. Cho h• : (M •, d•) −→ (N •, e•) v  l• : (N •, e•) −→ (P • , f • ) l 
hai çng c§u cõa c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun. Khi â hå mët çng c§u cõa c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun l• ◦ h• : M • , d• −→ P • , f •
li ◦ hi i∈Z x¡c ành
çng c§u cõa c¡c èi phùc l• ◦ h• = li ◦ hi i∈Z ÷ñc gåi l  hñp th nh cõa hai çng c§u cõa c¡c èi phùc h• vîi l•. Ghi chó 1.5.1.4. 1. Hå (idM )i∈Z x¡c ành mët çng c§u cõa c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun

id(M ,d ) : M •, d• −→ M •, d• . 2. id(N ,e ) ◦ h• = h• ◦ id(M ,d ) = h•, trong â
i • • • • • M • , d•
id(M • ,d• ) −→ • h• M • , d• −→ N • , e•

id(N • ,e• ) −→ N • , e• .
15 3. k• ◦ (l• ◦ h•) = (k• ◦ l•) ◦ h•, trong â h• : (M •, d•) −→ (N •, e•), l• : (N • , e• ) −→ (P • , f • ) v  k • : (P • , f • ) −→ (Q• , g • ) l  c¡c çng c§u cõa c¡c èi phùc. 4. Cho (M •, d•) v  (N •, e•) l  hai èi phùc cõa c¡c R−mæun. K½ hi»u HomR  • • M ,d
• • , N ,e
 n 
o
• • • • • • : M , d −→ N , e = h h l  tªp hñp t§t c£ c¡c çng c§u cõa c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun tø èi phùc (M • , d• ) ¸n èi phùc (N • , e• ). Tªp n y l  mët R−mæun vîi ph²p to¡n cëng v  ph²p to¡n nh¥n ÷ñc ành ngh¾a bði


(i) h• + l• = hi + li i∈Z, trong â h• = hi i∈Z v  l• = li i∈Z.

(ii) ah• = ahi i∈Z, trong â h• = hi i∈Z. ành ngh¾a 1.5.1.5. Cè ành n ∈ Z. Khi â mæun èi çng i·u thù n cõa èi phùc (M •, d•) cõa c¡c R−mæun ÷ñc ành ngh¾a l  H n M • , d• = H n M • =

ker (dn) /im dn−1 .
M»nh · 1.5.1.6. Cho h• : (M •, d•) −→ (N •, e•) l  mët çng c§u cõa c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun. Khi â, ta câ
(i) hn ker (dn) ⊆ ker (en) vîi måi n ∈ Z. (ii) hn  im dn−1
 ⊆ im en−1
vîi måi n ∈ Z. Tø ành ngh¾a 1.5.1.5 v  M»nh · 1.5.1.6 ta câ thº ành ngh¾a mët R−çng c§u mæun H n (h•) nh÷ sau H n (h• ) : H n (M • , d• ) = ker (dn) /im m + im dn−1
−→ dn−1
7−→ ker (en) /im hn (m) + im en−1 = H n (N • , e• )
en−1
çng c§u n y ÷ñc gåi l  çng c§u èi çng i·u thù n c£m sinh bði çng c§u cõa c¡c èi phùc h•. Ghi chó1.5.1.7. Vîi c¡c k½ hi»u n¶u tr¶n, cè ành n ∈ Z 1. H n id(M ,d ) = idH (M ,d ). 2. H n (l• ◦ h•) = H n (l•) ◦ H n (h•), vîi h• : (M •, d•) −→ (N •, e•), l• : (N • , e• ) −→ (P • , f • ) l  c¡c çng c§u cõa c¡c èi phùc. 3. H n (h• + k•) = H n (h•) + H n (k•) vîi h•, k• : (M •, d•) −→ (N •, e•). 4. H n (ah•) = aH n (h•) ∀ a ∈ R v  h• : (M •, d•) −→ (N •, e•). • • n • • 16 Theo Ghi chó 1.5.1.7, ph²p g¡n n n  H (•) = H : • • M ,d
h• • • −→ N , e
 ⇝ H n M • , d•
H n (h• ) −→ H n N • , e•
x¡c ành mët h m tû tuy¸n t½nh hi»p bi¸n tø ph¤m trò c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun ¸n ph¤m trò c¡c R−mæun. ành ngh¾a 1.5.1.8. H m tû n n H (•) = H :  • • M ,d
h• • • −→ N , e
 ⇝ H n M • , d•
H n (h• ) −→ H n N • , e•
÷ñc gåi l  h m tû èi çng i·u thù n. ành ngh¾a 1.5.1.9. Cho h•, l• : (M •, d•) −→ (N •, e•) l  hai çng c§u cõa c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun. Mët çng lu¥n tø h• ¸n l• l  mët hå (ti)i∈Z c¡c çng c§u cõa c¡c R−mæun ti : M i −→ N i−1 sao cho ∀i ∈ Z, ta câ li − hi = ei−1 ti + ti+1 di tùc l  biºu ç sau giao ho¡n di / Mi ti N i−1 | ei−1 /  li −hi Ni { M i+1 ti+1 k½ hi»u h• ∼ l• (åc l  h• çng lu¥n vîi l•). Ghi chó 1.5.1.10. 1.
Quan h» çng lu¥n l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n HomR (M •, d•) , (N •, e•) , tùc l  (i) h• ∼ h•. (ii) h• ∼ l• ⇔ l• ∼ h•. (iii) N¸u h• ∼ l• v  l• ∼ k• th¼ h• ∼ k•.
2. Cho h•, l• ∈ HomR (M •, d•) , (N •, e•) . Khi â n¸u h• ∼ l• th¼ H n (h•) = H n (l•), ∀n ∈ Z. ành ngh¾a 1.5.1.11. Mët çng c§u h• : (M •, d•) −→ (N •, e•) ÷ñc gåi l  mët t÷ìng ÷ìng n¸u tçn t¤i mët çng c§u l• : (N •, e•) −→ (M •, d•) sao cho l• h• ∼ id(M ,d ) v  h• l• ∼ id(N ,e ) . • • • •