Tài liệu Lý thuyết tích phân suy rộng đầy đủ

Chương 1 Tích phân suy rộng Trước khi đưa ra khái niệm về tích phân suy rộng, ta xét hai bài toán sau đây: Bài toán 1.0.1. Tính diện tích của "tam giác cong" trong mặt phẳng giới hạn bởi trục Ox, đường thẳng x = 1 và đồ thị hàm số y = 1/x2 (x > 0)? Để ý rằng diện tích S1 của tam giác cong này chính là giới hạn của diện tích S(A) của hình thang cong {1 ≤ x ≤ A; 0 ≤ y ≤ 1/x2 } khi 1 < A dần đến vô cùng. Vì thế, Z A  dx 1 −1 A S1 = lim SA = lim = lim = 1.  = lim 1 − A→+∞ A→+∞ 1 x2 A→+∞ x 1 A→+∞ A Trong trường hợp này S1 là tích phân suy rộng loại I. Bài toán 1.0.2. Tính diện tích của "hình thang cong" trong mặt phẳng giới hạn bởi √ các trục Ox, Oy, đường thẳng x = 1 và đồ thị hàm số y = 1/ x (x > 0)? Tương tự như Bài toán 1.0.1, ta thấy diện tích S2 của hình thang cong này chính √ là giới hạn của diện tích S(η) của hình thang cong {η ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1/ x} khi 0 < η < 1 dần đến 0. Vì thế, Z S2 = lim+ Sη = lim+ η→0 η→0 η 1  √ 1 dx √  √ = 2 lim x = 2 lim 1 − η = 2. η→0+ η→0+ x η Trong trường hợp này S2 là tích phân suy rộng loại II. 1 2 Hình 1.1: Diện tích tam giác cong Hình 1.2: Diện tích hình thang cong 3 1.1 Tích phân suy rộng loại I Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (x) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu RA hạn a ≤ x ≤ A < +∞, tức là tồn tại F (A) := f (x)dx với mọi A > a. Tích phân a hình thức +∞ R RA f (x)dx := lim A→+∞ a a f (x)dx được gọi là tích phân suy rộng loại I của hàm f trên đoạn [a; +∞). (i) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ZA lim A→+∞ Z+∞ f (x)dx := f (x)dx a thì ta nói +∞ R a f (x)dx hội tụ. a (ii) Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng +∞ R f (x)dx là phân kỳ. a Nhận xét 1.1.1. Sự hội tụ hay phân kỳ của hai tích phân suy rông +∞ R f (x)dx và a +∞ R f (x)dx là như nhau vì +∞ R f (x)dx = a b Rb f (x)dx + a +∞ R f (x)dx. b Tương tự định nghĩa tích phân suy rộng +∞ R f (x)dx, ta có thể định nghĩa các tích a phân suy rộng Rb f (x)dx := lim a→−∞ a −∞ Ví dụ 1.1.1. Rb f (x)dx và (a) Tích phân suy rộng dx = lim 1 + x2 A→+∞ ZA 1 f (x)dx := −∞ +∞ R 1 Z+∞ +∞ R lim Rb a→−∞,b→+∞ a f (x)dx. dx hội tụ. Thật vậy, ta có 1 + x2  A   dx π π  = lim arctan x = lim arctan A − =  A→+∞ 1 + x2 A→∞ 4 4 x=1 1 (b) Tích phân suy rộng Z+∞ 1   dx  hội tụ nếu α > 1 xα   phân kỳ nếu α ≤ 1. 4 Thật vậy, khẳng định trên được suy ra từ tính toán sau đây:  A 1−α  ZA x1−α   = A 1−α−1 nếu α 6= 1 dx 1−α  = A1 xα  ln x = ln A nếu α = 1. 1 1 Định lý 1.1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy). Tích phân suy rộng loại I +∞ R f (x)dx hội tụ khi a   AR00   và chỉ khi với mọi  > 0 tồn tại A0 > a (phụ thuộc vào ) sao cho  f (x)dx <  với 0 A0 00 mọi A , A ≥ A0 . Chứng minh. Thật vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của giới hạn, ta có +∞ R f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi  > 0 tồn tại A0 > a (phụ thuộc vào ) a  AR00    sao cho |F (A0 ) − F (A00 )| <  với mọi A0 , A00 ≥ A0 , tức là  f (x)dx <  với mọi A0 A0 , A00 ≥ A0 . Nhận xét 1.1.2. i) Từ Tiêu chuẩn Cauchy ta có tiêu chuẩn sau đây: Nếu ∃0 > 0 và  AR00n    00 0 00 0 ∃{An }, {An } với An , An → +∞ khi n → +∞ sao cho  f (x)dx ≥ 0 với mọi n ∈ N A0n đủ lớn thì +∞ R f (x)dx phân kỳ. a ii) Tiêu chuẩn Cauchy chỉ khẳng định sự hội tụ của tích phân mà không cho ta giá trị của nó. Ví dụ 1.1.3. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ R xα sin xdx (α > 0). Chọn dãy A0n = 0 π/6 + 2nπ và A00n = 5π/6 + 2nπ, n = 1, 2, . . .. Khi đó, xα sin x ≥ 1/2 với mọi A0n ≤ x ≤ A00n , n = 1, 2, . . . và A0n → +∞, A00n → +∞ khi n → +∞. Do đó, 00  ZAn  2π 1 π   α = =: 0 > 0, ∀ n = 1, 2, . . . .  x sin xdx ≥ 3 2 3 A0n Vì vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy, +∞ R xα sin xdx (α > 0) phân kỳ. Chú ý rằng, ta có thể 0 dùng Định lý Abel để xét sự hội tụ của tích phân suy rộng trên. +∞ +∞ R R Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng f (x)dx họi tụ tuyệt đối nếu |f (x)|dx hội tụ. a Nếu +∞ R f (x)dx hội tụ nhưng a kiện hoặc bán hội tụ. +∞ R a a |f (x)|dx phân kỳ thì ta nói tích phân đó hội tụ có điều 5 Nhận xét 1.1.3. Từ tiêu chuẩn Cauchy ta có: Nếu tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối thì tích phân đó hội tụ. 1.1.1 Các dấu hiệu hội tụ Định lý 1.1.4 (Dấu hiệu so sánh). Giả sử f, g : [a, +∞) → R+ là các hàm thỏa mãn 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a. Khi đó, (i) Nếu +∞ R g(x)dx hội tụ thì +∞ R f (x)dx cũng hội tụ. a a (ii) Nếu +∞ R f (x)dx phân kỳ thì +∞ R f (x)dx cũng phân kỳ. a a Chứng minh. Các khẳng định trên được suy ra từ tiêu chuẩn Cauchy. Ví dụ 1.1.5. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ R 1 mọi x ≥ 1 và +∞ R 1 1 dx x2 1 dx. x2 +cos x+1 Ta có hội tụ. Vì vậy, theo dấu hiệu so sánh, +∞ R 1 1 x2 +cos x+1 1 dx x2 +cos x+1 ≤ 1 x2 với hội tụ. Hệ quả 1.1.6. Giả sử f, g : [a, +∞) → R+ là các hàm không âm thỏa mãn +∞ +∞ R R f (x) ∼ Cg(x) khi x → +∞, C > 0. Khi đó g(x)dx và f (x)dx hoặc cùng a a hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Hệ quả 1.1.7. Giả sử f, g : [a, +∞) → R+ là các hàm không âm thỏa mãn ∃ limx→+∞ f (x)/g(x) = k ∈ [0, +∞]. Khi đó, +∞ R (i) 0 < k < +∞. g(x)dx và a (ii) k = 0. Nếu +∞ R +∞ R f (x)dx hoặc cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. a g(x)dx hội tụ thì a +∞ R f (x)dx cũng hội tụ. a (iii) k = +∞. Nếu +∞ R +∞ R g(x)dx phân kỳ thì a Ví dụ 1.1.8. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ R 1 1 x khi x → +∞ và phân kỳ. +∞ R 1 1 dx x f (x)dx cũng phân kỳ. a x+2014 sin x+2015 dx. x2 +cos x+2016 Ta có phân kỳ. Vì vậy, theo dấu hiệu so sánh, +∞ R 1 x+2014 sin x+2015 x2 +cos x+2016 ∼ x+2014 sin x+2015 dx x2 +cos x+2016 6 1.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 1.1.9 (Weierstrass). Giả sử f, g : [a, +∞) → R thỏa mãn |f (x)| ≤ g(x) ∀x ≥ +∞ +∞ R R a. Khi đó, nếu g(x)dx thì f (x)dx hội tụ (tuyệt đối). a a Định lý 1.1.10 (Dirichlet). Giả sử f, g : [0, +∞) → R thỏa mãn   RA   (i)  f (x)dx < B (B > 0) với mọi A > a. a (ii) Hàm g đơn điệu và g(x) → 0 khi x → +∞. Khi đó, +∞ R f (x)g(x)dx hội tụ a Định lý 1.1.11 (Abel). Giả sử f, g : [0, +∞) → R thỏa mãn (i) +∞ R f (x)dx hội tụ. a (ii) Hàm g đơn điệu và bị chặn. Khi đó, +∞ R f (x)g(x)dx hội tụ. a Ví dụ 1.1.12. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ R 1 sin x dx. xα Ta xét hai trường hợp sau đây. TH1. α > 0. Ta có   RA   (i)  sin xdx = | cos 1 − cos A| ≤ 2, ∀A > 1. 1 (ii) g(x) := 1/xα đợn điệu giảm và g(x) → 0 khi x → +∞. Vì vậy, theo Định lý Dirichlet, +∞ R 1 sin x dx xα TH2. α ≤ 0. Ta sẽ chứng minh +∞ R 1 RA hội tụ với α > 0. sin x dx xα hội tụ với α ≤ 0. Với α = 0, ta có sin xdx = cos 1 − cos A. Do 6 ∃ limA→+∞ (cos 1 − cos A) nên tích phân 1 +∞ R sin xdx phân 1 kỳ. Đới với trường hợp α < 0. Ta sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. +∞ R −α Thậy vậy, giả sử x sin xdx hội tụ. Khi đó, vì hàm g(x) := 1/x−α đơn điệu và bị 1 7 chặn trên (0, +∞) nên theo Định lý Abel, tích phân Z+∞ Z+∞ 1 sin xdx = x−α sin x −α dx x 1 1 hội tụ. Theo chứng minh trên, điều này là vô lý. Vậy +∞ R 1 1.2 sin x dx xα phân kỳ với α < 0. Tích phân suy rộng loại II Định nghĩa 1.2.1. Giả sử f (x) xác định trên [a, b), không bị chăn trên trên [a, b) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b − η (0 < η < b − a). Tích phân hình thức b−η Rb R f (x)dx := lim+ f (x)dx được gọi là tích phân suy rộng loại II của hàm f trên đoạn η→0 a a [a; b). (i) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ZA I = lim+ Zb−η f (x)dx := f (x)dx η→0 a thì ta nói Rb a Rb f (x)dx hội tụ và ta viết a f (x)dx = I. a (ii) Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng Rb f (x)dx a là phân kỳ. Nhận xét 1.2.1. Bằng định nghĩa tương tự ta có thể định nghĩa tích phân suy rộng cho hàm không bị chặn trên (a, b] như sau Zb Zb f (x)dx := lim+ f (x)dx. η→0 a a+η Hơn nữa, bằng cách đổi biến t = 1/(b − x) tích phân suy rộng loại II Rb f (x)dx sẽ trở a thành tích phân suy rộng loại I. Vì thế, tất cả các dấu hiệu hội tụ ở trên cũng đúng đối với tích phân suy rộng loại II (tất nhiên ta có thể chứng minh trực tiếp). 8 Ví dụ 1.2.1. Xét sự hội tụ của tích phân Z1 dx (α ∈ R). xα 0 Ta có Z1 η Vì vậy, ta kết luận rằng  1  1−α x1−α    = 1−η 1−α  1−α dx η = 1 xα    ln x = − ln η nếu α 6= 1 nếu α = 1. η R1 0 dx xα hội tụ nếu α < 1 và phân kỳ nếu α ≥ 1. Ví dụ 1.2.2. Xét sự hội tụ của tích phân Z1 ln2015 xdx. 0 √ Ta có limx→0+ √ x ln2015 x = 0. Do đó, tồn tại 0 < η0 < 1 sao cho | x ln2015 x| < 1 với mọi 0 < x ≤ η0 , tức là 1 | ln2015 x| < √ ∀ 0 < x ≤ η0 . x Do Rη0 0 √1 dx x luận rằng R1 0 1.3 hội tụ nên Rη0 | ln2015 x|dx cũng hội tụ theo dấu hiệu so sánh. Vì vậy, ta kết 0 2015 ln xdx = Rη0 ln2015 xdx + 0 R1 ln2015 xdx hội tụ (tuyệt đối). η0 Các bài tích phân suy rộng trong các đề thi những năm gần đây Thông thường hàm dưới dấu tích phân suy rộng có nhiều điểm bất thường (điểm mà hàm không có giới hạn hoặc điểm ∞). Khi đó, ta phải chia tích phân thành tổng các tích phân (suy rộng) mà mỗi tích phân này chỉ có nhiều nhất một điểm bất thường. Bài 1 (Năm 2014). Xét sự hội tụ đều của tích phân suy rộng sau Z+∞ I := 0 x cos x dx, p, q ∈ R. xp + xq 9 a) Xét sự hội tụ của I. Trước hết, ta viết tích phân trên thành tổng của hai tích phân Z1 I= x cos x dx + xp + xq 0 Z+∞ x cos x dx. xp + xq 1 Không mất tổng quát ta có thể giả sử p ≤ q. Khi đó, f (x) := x cos x 1 ∼ C. , khi x → 0+ , p q p−1 x +x x trong đó, C = 1/2 nếu p = q và C = 1 nếu p 6= q. Vì vậy, theo dấu hiệu so sánh, Z1 I1 := x cos x dx xp + xq 0 hội tụ khi p < 2. Đối với tích phân Z+∞ I2 := x cos x dx, xp + xq 1 ta sẽ chứng minh I2 hội tụ khi q > 1 và phân kỳ nếu q ≤ 1. Thật vậy, giả sử q > 1. Khi đó, ta có  ZA     cos xdx ≤ 2 ∀A > 1 1 p q và g(x) := x/(x + x ) đơn điệu với x đủ lớn (tức là với mọi x > A0 , với A0 > 1 nào đó) và dần về 0 khi x → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với q > 1. Bây giờ, ta xét trường hợp p ≤ q ≤ 1. Giả sử phản chứng rằng I2 hội tụ khi p ≤ q ≤ 1. Khi đó, do hàm (xp + xq )/x đơn điệu với x đủ lớn và bị chặn đều trên (1, +∞) nên theo Định lý Abel, tích phân Z+∞ Z+∞ x cos x xp + xq cosxdx = dx xp + xq x 1 1 hội tụ. Điều này vô lý (chứng minh tương tự như ở ví dụ 1.1.12 với α = 0). Kết luận. Tích phân suy rộng I hội tụ nếu max{p, q} > 1 và min{p, q} < 2 và phân kỳ trong các trường hợp ngược lại. 10 b) Xét sự hội tụ đều của I. Trước hết, ta viết tích phân trên thành tổng của hai tích phân Z1 I= x cos x dx + xp + xq 0 Z+∞ x cos x dx. xp + xq 1 Không mất tổng quát ta có thể giả sử p ≤ q. Ta chú ý rằng Z1 I1 := x cos x dx xp + xq 0 hội tụ không đều trên p < 2. Thật vậy, giả sử I1 hội tụ đều trên p < 2. Khi đó, theo định lý về chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân, ta suy ra rằng tồn tại Z1 lim p→2 x cos x dx = xp + xq Z1 x cos x lim p dx = p→2 x + xq 0 0 Z1 x cos x dx. x2 + x q 0 Điều này vô lý vì tích phân cuối cùng phân kỳ. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng I1 hội tụ đều trên p ≤ 2 −  với mỗi  > 0. Thật vậy, ta có f (x, p, q) ∼ C. 1 xp−1 ≤ 1 x1− , khi x → 0+ , trong đó, C = 1/2 nếu p = q và C = 1 nếu p 6= q. Vì vậy, tồn tại 0 < η0 < 1 sao cho |f (x)| ≤ C1 1 x1− , ∀ 0 < x ≤ η0 , trong đó, C1 > 0 là hằng số. Do Z1 1 x1− dx 0 hội tụ nên theo Định lý Weierstrass tích phân I1 hội tụ đều trên p ≤ 2 − . Đối với tích phân Z+∞ I2 := x cos x dx, xp + xq 1 ta sẽ chứng minh I2 hội tụ không đều trên q > 1 và hội tụ đều trên q ≥ 1 +  với mỗi  > 0. 11 Thật vậy, giả sử phản chứng rằng I2 hội tụ đều trên q > 1. Khi đó, theo định lý về chuyển qua giới hạn đưới dấu tích phân, giới hạn sau đây tồn tại Z+∞ lim+ q→1 x cos x dx = xp + xq Z+∞ Z+∞ 1 1 1 x cos x lim+ p dx = q→1 x + xq x cos x dx. xp + x Tuy nhiện, tích phân trên không hội tụ (chú ý p ≤ 1 và áp dụng Định lý Abel). Điều này vô lý. Vậy, I2 không hội tụ đều trên q > 1. Trên q ≥ 1 + , ta có  ZA    cos xdx   ≤ 2 ∀A > 1 1 với mọi q ≥ 1 + . Hơn nũa, hàm g(x) := x/(xp + xq ) đơn điệu với x đủ lớn (tức là với mọi x > A0 , với A0 > 1 nào đó) và dần đều về 0 khi x → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ đều trên q ≥ 1 + . Kết luận. Tích phân suy rộng I hội tụ đều trên nếu max{p, q} ≥ 1 + 1 và min{p, q} ≤ 2 − 1 với mỗi 1 , 2 > 0 và hội tụ không đều trong các trường hợp còn lại. Bài 2 (Năm 2013). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau Z+∞ I := eαx − 1 dx, α, β ∈ R. xβ 0 Trước hết, ta viết Z1 I := eαx − 1 dx + xβ 0 Z+∞ eαx − 1 dx xβ 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất Z1 I1 := eαx − 1 dx. xβ 0 Ta có f (x) := eαx − 1 α 1 ∼ β−1 nếu α 6= 0, f (x) ∼ − β nếu α = 0, khi x → 0+ . β x x x 12 Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi β < 2, α 6= 0 và β < 1, α = 0 . b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai Z+∞ I2 := eαx − 1 dx. xβ 1 Ta xét các trường hợp sau đây: TH1. α = 0. Ta có −1 , x → +∞ xβ f (x) ∼ Vì vậy, theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ nếu α = 0, β > 1 và phân kỳ nếu α = 0, β ≤ 1. √ TH2. α > 0. Ta có xf (x) → +∞ khi x → +∞. Do đó, tồn tại A0 > 1 sao cho √ Tức là f (x) > √1 x xf (x) > 1, ∀ x ≥ A0 . với mọi x ≥ A0 . Do Z+∞ 1 √ dx x 1 phân kỳ nên theo dấu hiệu so sánh, I2 phân kỳ với α > 0, β ∈ R. TH3. α < 0. Ta có x2 f (x) → +∞ khi x → +∞. Do đó, tồn tại A0 > 1 sao cho x2 f (x) < 1, ∀ x ≥ A0 . Tức là f (x) < 1 x2 với mọi x ≥ A0 . Do Z+∞ 1 dx x2 1 hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ với α < 0, β ∈ R. Kết luận: I hội tụ nếu α < 0, β < 2 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại. Bài 3 (Năm 2012). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau Z+∞ I := 0 √ xp dx, p ∈ R. ex − 1 13 Trước hết, ta viết Z1 I := xp √ x dx + e −1 0 Z+∞ √ xp dx ex − 1 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất Z1 I1 := √ xp dx. ex − 1 0 Ta có f (x) := √ xp 1 ∼ 1/2−p , x → 0+ . x x e −1 Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi p > −1/2. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai Z+∞ I2 := xp √ x dx. e −1 1 Ta có x2 f (x) → +∞ khi x → +∞. Do đó, tồn tại A0 > 1 sao cho x2 f (x) < 1, ∀ x ≥ A0 . Tức là f (x) < 1 x2 với mọi x ≥ A0 . Do Z+∞ 1 dx x2 1 hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ với mọi p ∈ R. Kết luận: I hội tụ nếu p > −1/2 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại. Bài 4 (Năm 2011). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau Z+∞ I := sin x dx, α, β > 0. + xβ xα 0 Trước hết, ta viết Z1 I := 0 sin x dx + α x + xβ Z+∞ sin x dx + xβ xα 1 14 Không mất tổng quát ta giả sử α ≤ β. a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất Z1 I1 := sin x dx. + xβ xα 0 Ta có f (x) := sin x 1 ∼ C α−1 , khi x → 0+ , β +x x xα trong đó C = 1 nếu α 6= β và C = 1/2 nếu α = β. Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi α < 2. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai Z+∞ I2 := sin x dx. + xβ xα 1 Khi đó, ta có   ZA    sin xdx ≤ 2 ∀A > 1 1 và g(x) := 1/(xβ + xα ) đơn điệu và hội tụ về 0 khi x → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với mọi α, β > 0. Kết luận: I hội tụ nếu 0 < min{α, β} < 2 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại. Bài 5 (Năm 2011). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau Z+∞ I := dx dx, α, β ∈ R. xα (ln x)β 1 Trước hết, ta viết Z2 I= dx + α x (ln x)β 1 Z+∞ dx xα (ln x)β 2 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất Z2 I1 := 1 dx . xα (ln x)β . 15 Vì ln x = ln(1 + (x − 1)) ∼ x − 1 khi x → 1+ nên ta có f (x) := 1 1 ∼ , khi x → 1+ . α β β x (ln x) (x − 1) Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi và chỉ khi β < 1. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai Z+∞ I2 := dx xα (ln x)β . 2 Ta xét các trường hợp sau TH1. α = 1. Trong trường hợp này ta có Z+∞ I2 = dx = x(ln x)β Z+∞ 2 d ln x . (ln x)β 2 Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ khi và chỉ khi β > 1, α = 1. TH2. α > 1. Gọi γ là một số tùy ý thỏa mãn 1 < γ < α. Khi đó, do xγ f (x) → 0 khi x → +∞ nên tồn tại A > 2 sao cho |f (x)| < 1/xγ với mọi x ≥ A. Mặt khác, vì tích +∞ R dx hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ. phân (x)γ 2 TH3. α < 1. Gọi γ là một số tùy ý thỏa mãn 1 > γ > α. Khi đó, do xγ f (x) → +∞ khi x → +∞ nên tồn tại A > 2 sao cho |f (x)| > 1/xγ với mọi x ≥ A. Mặt khác, vì +∞ R dx tích phân phân kỳ nên theo dâu hiệu so sánh I2 phân kỳ. (x)γ 2 Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α > 1, β < 1. Bài 6 (Năm 2010). 1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau Z+∞ I := sin(x2 ) dx, α ≥ 0. xα (1 + x) 0 2) Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng [a, +∞), đơn điệu và dần về 0 khi x → +∞. +∞ +∞ R R Chứng minh rằng các tích phân f (x)dx và f (x) cos2 xdx hoặc cùng hội tụ hoặc a a cùng phân kỳ. 1) Dùng phép đổi biến t = x2 , ta có 1 I= 2 Z+∞ 0 sin t t α + 12 2 (1 + √ dt t) 16 Trước hết, ta viết Z1 2I = 0 Z+∞ sin t t α + 12 2 √ dt + (1 + t) sin t t 1 α + 12 2 (1 + √ dt. t) a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất Z1 I1 := sin t t 0 α + 12 2 (1 + √ dt. t) Ta có f (t) := sin t t α + 12 2 (1 + √ t) ∼ 1 tα/2−1/2 , khi t → 0+ . Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi α < 3. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai Z+∞ I2 := sin t t 1 α + 12 2 (1 + √ dt. t) Khi đó, ta có  ZA     sin tdt ≤ 2 ∀A > 1 1 và g(t) := 1 √ α 1 t 2 + 2 (1+ t) đơn điệu và hội tụ về 0 khi t → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với mọi α ≥ 0. Kết luận: I hội tụ nếu 0 ≤ α < 3 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại. 2) Ta có Z+∞ Z+∞ Z+∞ 1 1 2 f (x) cos xdx = f (x)dx + f (x) cos(2x)dx. 2 2 a a Mặt khác, tích phân +∞ R a f (x) cos(2x)dx hội tụ theo Định lý Dirichlet (bài tập!) nên a 2 tích phân suy rộng +∞ R f (x)dx và a +∞ R f (x) cos2 xdx hoặc cùng hội tụ hoặc cùng phân a kỳ. Bài 7 (Năm 2009). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau Z+∞ I := xα−1 eβx dx, α, β ∈ R. 0 17 Trước hết, ta viết Z1 I= x Z+∞ e dx + xα−1 eβx dx. α−1 βx 0 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất Z1 xα−1 eβx dx. I1 := 0 Ta có f (x) := xα−1 eβx ∼ 1 x1−α , khi x → 0+ . Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi và chỉ khi α > 0. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai Z+∞ I2 := xα−1 eβx dx. 1 Ta xét các trường hợp sau TH1. β = 0. Trong trường hợp này ta có Z+∞ I2 = dx . x1−α 1 Vì vâỵ, I2 hội tụ khi và chỉ khi β = 0, α < 0. TH2. β < 0. Do x2 f (x) → 0 khi x → +∞ nên tồn tại A > 2 sao cho |f (x)| < 1/x2 +∞ R dx với mọi x ≥ A. Mặt khác, vì tích phân hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội x2 1 tụ. TH3. β > 0. Do x1/2 f (x) → +∞ khi x → +∞ nên tồn tại A > 2 sao cho +∞ R dx |f (x)| > 1/x1/2 với mọi x ≥ A. Mặt khác, vì tích phân phân kỳ nên theo x1/2 1 dâu hiệu so sánh I2 phân kỳ. Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α > 0, β < 0. Bài 8 (Năm 2006-2). 1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau I := Z+∞ 0  1 4 e− x2 − e− x2 dx. 18 2) Chứng minh rằng tích phân Z+∞ sin(f (x))dx 0 hội tụ nếu f 0 (x) đơn điệu tăng và dần ra +∞ khi x → +∞. 1) Trước hết, ta viết I= Z1  − e 1 x2 − −e 4 x2  dx + 0 Z+∞  1 4 e− x2 − e− x2 dx. 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất I1 := Z1   1 4 e− x2 − e− x2 dx. 0 4 1 Đặt f (x) := e− x2 − e− x2 . Khi đó, do limx→0+ f (x) = 0 nên điểm x = 0 là bất thường khử được của I1 . Vì vậy, I1 hội tụ. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai I2 := Z+∞  1 4 e− x2 − e− x2 dx. 1 Ta có f (x) ∼ Hơn nữa, tích phân +∞ R 1 dx x2 3 khi x → +∞. x2 hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ. Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α > 0, β < 0. 2) Ta viết Z+∞ Z+∞ 1 I := sin(f (x))dx = sin(f (x))f 0 (x) 0 dx. f (x) 0 0 RA Kho đó, do | sin(f (x))f 0 (x)dx| = | cos f (0) − cos f (A)| ≤ 2 với mọi A > 0 và hàm 0 g(x) := 1/f 0 (x) đơn điệu và dần về 0 khi x → +∞ nên, theo Định lý Dirichlet, tích phân I hội tụ. 19 Bài 9 (Năm 2006-1). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau Z+∞ I := xα sin x dx, α ∈ R. 1+x 0 Trước hết, ta viết Z1 xα sin x dx + 1+x I := Z+∞ xα sin x dx. 1+x 1 0 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất Z1 I1 := xα sin x dx. 1+x 0 Ta có f (x) := xα sin x 1 ∼ −α−1 khi x → 0+ . 1+x x Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi α > −2. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai Z+∞ I2 := xα sin x dx. 1+x 1 Ta xét các trường hợp sau: TH1. α < 1. Trong trường hợp này ta có  ZA     sin xdx ≤ 2 ∀A > 1 1 và g(x) := xα /(1 + x) đơn điệu và hội tụ về 0 khi x → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với mọi α < 1. TH2. α ≥ 1. Ta sẽ chứng minh I2 phân kỳ. Thật vậy, giả sử I2 hội tụ. Khi đó, do hàm g1 (x) := (1 + x)/xα đơn điệu và bị chặn (|g1 (x)| ≤ 2 ∀x ≥ 1) nên theo Định lý Abel, tích phân Z+∞ Z+∞ α x sin x 1 + x sin xdx = dx 1 + x xα 1 1 20 hội tụ. Điều này vô lý vì tích phân này thực tế phân kỳ (xem chứng minh ở trên). Kết luận: I hội tụ nếu −2 < α < 1 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại. Bài 10 (Năm 2005-2). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau Z+∞ √ x cos(x3 ) dx. I := x + 10 0 Dùng phép đổi biến t = x3 , ta có 1 I= 3 Z+∞ cos t √ √ dt t( 3 t + 10) 0 Trước hết, ta viết Z1 3I = cos t √ √ dt + t( 3 t + 10) 0 Z+∞ cos t √ √ dt. t( 3 t + 10) 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất Z1 I1 := cos t √ √ dt. t( 3 t + 10) 0 Ta có cos t 1 f (t) := √ √ ∼ 1/2 , khi t → 0+ . 3 t t( t + 10) Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai Z+∞ I2 := cos t √ √ dt. t( 3 t + 10) 1 Khi đó, ta có  ZA     cos tdt ≤ 2 ∀A > 1 1 và g(t) := hội tụ. 1 √ √ t( 3 t+10) đơn điệu và hội tụ về 0 khi t → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2