Tài liệu Lý thuyết dao động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI BỘ MÔN CƠ HỌC KỸ THUẬT --- [\ [\ --GS.TS NGUYỄN THÚC AN PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU PGS.TS KHỔNG DOÃN ĐIỀN LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG HÀ NỘI 2003 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................... 5 CHƯƠNG MỞ ĐẦU ........................................................................................... 6 1. MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA ................................................ 6 1.1. Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lượng vô hướng được chia thành hai dạng: .................................................................................... 6 1.2. Chuyển động dao động được đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ. ...................................................................................................... 6 2. ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ ............................................................................... 6 3. THẾ NĂNG CỦA CƠ HỆ ............................................................................ 7 4. HÀM HAO TÁN ........................................................................................... 8 5. PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG.................................................................................................................... 9 5.1. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II..................................................................................................... 9 5.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương pháp Đalămbe....................................................................................................... 11 5.3 Áp dụng phương pháp lực để lập phương trình vi phân dao động nhỏ (trường hợp riêng của phương pháp Đalămbe) ....................................... 11 6. XÁC ĐỊNH ĐỘ CỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG ........................................ 13 6.1. Thanh đàn hồi..................................................................................... 13 6.2. Hệ các lò xo......................................................................................... 14 Câu hỏi ôn tập...................................................................................................... 16 CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO... 17 1.1. Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do ........................................ 17 1.1.1. Dao động tự do không cản.............................................................. 17 1.1.2. Dao động tự do có cản .................................................................. 19 1.2. Dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do................................ 24 1.2.1. Tính toán dao động cưỡng bức không cản (n = 0) ......................... 26 1.2.2. Tính toán dao động cưỡng bức có cản (n ≠ 0)................................. 28 1.2.3. Đệm đàn hồi của máy ..................................................................... 32 1.2.4. Áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động cưỡng bức..... 34 Câu hỏi ôn tập...................................................................................................... 39 CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO ............................................................................................................................. 40 2.1. Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động .............. 40 2.1.1. Hệ nhiều bậc tự do.......................................................................... 40 2.1.2. Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động.. 40 2.1.3. Những nguyên tắc giải phương trình dao động của hệ................... 41 2.2. Dao động tuyến tính của hệ có hai bậc tự do .............................................. 43 2.2.1. Dao động tự do không có cản ......................................................... 43 2.2.2. Dao động cưỡng bức không cản ..................................................... 47 2.2.3. Một vài bài toán ứng dụng.............................................................. 50 2.3. Dao động xoắn của trục mang các đĩa......................................................... 55 2.3.1. Phương trình cơ bản - Phương trình tần số .................................... 55 2.3.2. Phương trình dao động xoắn cưỡng bức trục mang các đĩa ........... 57 2.4. Dao động uốn của dầm có các khối lượng tập trung................................... 59 2.4.1. Phương trình cơ bản - Phương trình tần số .................................... 59 2.4.2. Phương trình dao động uốn cưỡng bức của dầm có các khối lượng tập trung....................................................................................................... 60 Câu hỏi ôn tập...................................................................................................... 63 CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO ....................................................................................................................... 65 3.1. Dao động dọc của thanh tiết diện không đổi ............................................... 65 3.1.1. Phương trình vi phân dao động dọc của thanh ............................... 65 3.1.2. Giải phương trình (3-4) bằng phương pháp Furiê .......................... 66 3.1.3. Các điều kiện biên của thanh, phương trình tần số ........................ 67 3.2. Dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi ........................................ 69 3.2.1. Phương trình cơ bản và nghiệm của nó .......................................... 69 3.2.2. Các điều kiện biên - phương trình tần số........................................ 70 3.3. Dao động uốn của dầm tiết diện không đổi................................................. 71 3.3.1. Phương trình cơ bản........................................................................ 71 3.3.2. Giải phương trình (3-39) ................................................................ 73 3.3.3. Phương trình tần số......................................................................... 73 3.4. Sự truyền sóng đàn hồi dọc trong thanh tiết diện không đổi....................... 76 Câu hỏi ôn tập...................................................................................................... 77 CHƯƠNG IV: VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI VÀ ÁP DỤNG LÝ THUYẾT VA CHẠM VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC . 79 4.1. Một vài bài toán về va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi ................ 79 4.1.1. Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do.......................... 79 4.1.2. Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt ......... 82 4.2. Một vài bài toán va chạm của búa vào cọc.................................................. 89 4.2.1. Va chạm của búa vào cọc tự do...................................................... 89 4.2.2. Va chạm của búa vào cọc tựa trên nền cứng .................................. 94 4.2.3. Va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi ........................................................................................ 99 Câu hỏi ôn tập.................................................................................................... 117 CHƯƠNG V: CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG PHI TUYẾN ..... 118 MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 118 5.1. Dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do với đặc trưng phi tuyến của lực phục hồi ....................................................................................................... 120 5.1.1. Phương trình vi phân cơ bản và nghiệm chính xác của nó........... 120 5.1.2. Nghiệm gần đúng của phương trình (5-1) .................................... 122 5.2. Dao động cững bức không cản của hệ một bậc tự do với đặc trưng phi tuyến của lực phục hồi....................................................................................... 128 5.2.1. Phương pháp Butnôp-Galepkin .................................................... 129 5.2.2. Phương pháp tuyến tính hoá trực tiếp........................................... 129 5.2.3. Phương pháp Đufing..................................................................... 129 Câu hỏi ôn tập.................................................................................................... 135 BÀI TẬP ........................................................................................................... 136 Bài tập chương I: Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do........................... 136 Bài tập chương II: Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do ...................... 146 Bài tập chương III: Dao động của hệ có vô số bậc tự do.................................. 151 Bài tập chương IV: Cơ sở của lý thuyết dao động phi tuyến............................ 153 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 157 THÔNG TIN TÁC GIẢ.................................................................................. 158 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình “Cơ học Lý thuyết II – Lý thuyết Dao động” – Tác giả PGS. PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Trường Đại học Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành Thuỷ điện và ngành Máy Xây Dựng những năm qua, trong đó đề cập đến các bài toán dao động của hệ một bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự do và giải quyết nguyên lý của bộ tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động của một vài trường hợp cụ thể và cách giải quyết khi hệ có nguy cơ xuất hiện hiện tượng cộng hưởng. Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL và các học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến bài toán động lực, chúng tôi biên soạn và đưa vào thêm: Chương IV (Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi và áp dụng Lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc); Chương V (Cơ sở của Lý thuyết dao động phi tuyến) và có đưa vào những ví dụ gần với thực tế tính toán công trình cho ngành Thuỷ lợi. Tài liệu dùng để giảng dạy “Lý thuyết dao động” cho sinh viên các ngành Công trình, Thuỷ điện, Cấp thoát nước, Trạm bơm và giảng dạy môn “ Dao động kỹ thuật” cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi. Tài liệu này cũng có thể dùng làm tài liệu ôn tập thi tuyển Cao học và Nghiên cứu sinh cho các ngành Công trình, Động lực và làm tài liệu học tập và tham khảo cho Nghiên cứu sinh các ngành có liên quan. Chúng tôi mong nhận được những đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và bạn đọc để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày một hoàn chỉnh hơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2003. Các tác giả CHƯƠNG MỞ ĐẦU 1. MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1.1. Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lượng vô hướng được chia thành hai dạng: Các quá trình dao động và các quá trình không dao động. Quá trình dao động được đặc trưng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của các đại lượng biến đổi. Nó được mô tả bằng các phương trình toán học. Dao động trong đó các phương trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính, gọi là dao động tuyến tính. Ngược lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến). 1.2. Chuyển động dao động được đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ. Hàm f* (t ) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu như tồn tại giá trị T > 0, thoả mãn điều kiện sau: f* (t ) = f* (t ± T ) = f* (t ± 2T ) = ... = f* (t ± nT ) (1) Trong đó: T gọi là chu kỳ; n là số nguyên dương. Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hoà. Về mặt động học dao động điều hoà được miêu tả bởi hệ thức: q = A sin(kt + α ) (2) Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được gọi là biên độ dao động; (kt + α) là Argument của sin gọi là pha dao động; α là pha ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bởi hệ thức: 2π (3) k (t + T ) + α = kt + α + 2π , từ đó: k = (rad / s ) T Số lần dao động trong một đơn vị thời gian được tính theo công thức: 1 k (4) f = = T 2π f được gọi là tần số; đơn vị thường dùng là Hecz (Hz). 2. ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ Xét hệ N chất điểm có n bậc tự do. Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ: q1, q2 ..., qn (qi, i = 1, n ). Với hệ chịu liên kết dừng, vị trí của một điểm Mk bất kỳ được biểu diễn: uur uur rk = rk (q1 , q2 , ..., qn ) uur uur n uur d r ∂ r • Từ đó: vk = k = ∑ k q i dt i =1 ∂qi 1 n mk vk2 ∑ 2 k =1 uu r uu r Thay (5) vào biểu thức trên với chú ý: vk2 = vk . vk Động năng của hệ xác định bằng biểu thức: T = (5) • • 1 n (6) Aij q i q j ∑ 2 i , j =1 Ở đây: Aij = Aji là các hệ số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng. Khai triển chúng theo chuỗi lũy thừa tại lân cận vị trí cân bằng (qi = 0; i = 1, n) và chỉ giữ lại số T= Ta có: hạng đầu, ta nhận được biểu thức động năng của hệ đã tuyến tính hoá: • • 1 n T = ∑ aij q i q j (7) 2 i , j =1 Trong đó: aij = a ji = ( Aij )0 gọi là các hệ số quán tính (thực tế là khối lượng hoặc mômen quán tính). Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có: T = 1 •2 a q , trong đó a = A(0) 2 Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta được: • • •2⎞ 1⎛ •2 T = ⎜ a11 q1 + 2a12 q1 q 2 + a22 q 2 ⎟ 2⎝ ⎠ (8) (9) Ở đây: a11 = ( A11 )0 ; a12 = ( A12 )0 ; a22 = ( A22 )0 . Các hệ số của dạng toàn phương (7) thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định dương), nghĩa là: a11 a12 ... a1n a11 a12 a11 > 0; > 0; ...; a21 a22 ... a2 n > 0 a21 a22 an1 an 2 ... ann 3. THẾ NĂNG CỦA CƠ HỆ Với liên kết dừng, thế năng của hệ cũng là hàm của các toạ độ suy rộng: π = π (q1 , q2 , ..., qn ) Trong hệ bảo toàn, tại vị trí cân bằng (qi = 0; i = 1, n) , thế năng của hệ có giá trị cực trị nên: ⎛ ∂π ⎞ ⎜ ⎟ = 0 Với i = 1, n ⎝ ∂qi ⎠ qi =0 (10) Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân bằng ổn định của hệ bảo toàn, thế năng của hệ cực tiểu. Khai triển π theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng ổn định (qi = 0; i = 1, n) , ta có: ⎛ ∂π ⎞ 1 n q (11) + ⎟ i ∑ cij qi q j + .... 2 i , j =1 i =1 ⎝ ∂qi ⎠ 0 Nếu chọn vị trí cân bằng ổn định của hệ làm gốc tính π thì (π )0 = 0 và do (10) n π = (π )0 + ∑ ⎜ nên số hạng thứ hai trong (11) bằng không. Mặt khác với hệ tuyến tính sẽ không chứa trong khai triển của thế năng các thành phần bậc cao hơn hai đối với toạ độ suy rộng. Do đó thế năng π của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn phương sau: π= 1 n ∑ cij qi q j 2 i , j =1 (12) ⎛ ∂ 2π ⎞ gọi là các hệ số cứng. Ở đây: cij = c ji = ⎜ ⎜ ∂q ∂q ⎟⎟ i j ⎝ ⎠0 Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có: 1 π = cq 2 , c = π ′′(0) 2 Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta được: 1 π = (c11q12 + 2c12 q1q2 + c22 q22 ) (14) 2 ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ ∂ 2π ⎞ = ; c Trong đó: c11 = ⎜ 2 ⎟ ; c12 = ⎜ ⎟ ⎜ 22 2 ⎟ ⎝ ∂q1 ⎠0 ⎝ ∂q1∂q2 ⎠0 ⎝ ∂q2 ⎠0 (13) Tương tự như phần 2., các hệ số cij của dạng toàn phương (12) thoả mãn điều kiện xác định dương. 4. HÀM HAO TÁN Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc: uur uur Rk = − β k . vk uur Trong đó: β k > 0 là hệ số cản (nhớt); vk là vận tốc của chất điểm thứ k thuộc hệ. Gọi toạ độ suy rộng của của hệ: qi (i = 1, n) . Các lực suy rộng tương ứng với lực cản bằng: uur ur n uu r u r ∂ r ∂ r QiΦ = ∑ Rk k = −∑ β k v k k ∂qi ∂qi k =1 k =1 • uur uur ∂ rk ∂ rr Khi sử dụng đồng nhất thức Lagrăng: = • , ta có: ∂qi ∂ qi uur n uur ∂ r vk2 ⎞ ∂ ⎛ n ∂φ Φ φ k Qi = −∑ β k rk = ⎜ ∑ β k ⎟ Hay: Qi = − • 2⎠ ∂qi ∂qi ⎝ k =1 k =1 ∂q n (15) i n 2 vk (16) 2 k =1 φ được biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán. Ta có thể viết φ giống như động năng T trong tọa độ suy rộng: • • 1 n φ = ∑ Bij q i q j (17) 2 i , j =1 Ở đây ta đặt: φ = ∑ β k Trong đó: Bij = B ji là các hàm chỉ của toạ độ suy rộng: qi (i = 1, n) . Khai triển chúng theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng qi = 0; (i = 1, n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận được biểu thức của hàm hao tán đã tuyến tính hoá: 1 n ∑ bij qi q j 2 i , j =1 Ở đây: bij = b ji = ( Bij )0 là các hệ số cản suy rộng. φ= 1 •2 Khi hệ có một bậc tự do (n = 1): φ = b q ; b = B (0) > 0 2 • • •2 1 •2 Khi hệ có hai bậc tự do (n = 2): φ = (b1 q1 + 2b12 q1 q 2 + b22 q 2 ) 2 Trong đó: b11 = ( B11 )0 ; b12 = ( B12 )0 ; b22 = ( B22 )0 . (18) (19) (20) Các hệ số bij của dạng toàn phương (18) cũng thoả mãn tiêu chuẩn xác định dương. 5. PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 5.1. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc tự do là việc áp dụng phương trình Lagrăng loại II. Phương pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách sử dụng phương trình Lagrăng loại II gọi là phương pháp cơ bản. Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập: q1 , q2 , ... qn (qi : i = 1, n) , phương trình Lagrăng loại II có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T − = Qi ; i = 1, n (21) dt ⎜ ∂ q• ⎟ ∂qi ⎝ i⎠ a. Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế ∂π ; i = 1, n Ta có: Qi = Qiπ = − ∂qi Phương trình (21) trở thành: ⎛ ⎞ ∂π d ⎜ ∂T ⎟ ∂T − =− ; i = 1, n (21a) • ∂qi dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi ⎝ i⎠ Đưa vào hàm Lagrăng: L = T − π , ta được: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L (21b) − = 0; i = 1, n dt ⎜ ∂ q• ⎟ ∂qi ⎝ i⎠ b. Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và lực cản nhớt ta có: ∂π ∂φ Qi = Qiπ + Qiφ = − ; i = 1, n − ∂qi ∂ q• i Phương trình (21) trở thành: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ ; i = 1, n (22) − =− − • dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi ∂qi ∂ q• i ⎝ i⎠ Khi chú ý đến hàm Lagrăng L: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L ∂φ (22a) − + = 0; i = 1, n dt ⎜ ∂ q• ⎟ ∂qi ∂ q• i ⎝ i⎠ c. Nếu lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế, và lực cản nhớt còn có các ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy rộng của nó ký hiệu QiP, ta có: Qi = Qiπ + Qiφ + Qi P ; i = 1, n Và phương trình (21) viết ở dạng: ⎛ ⎞ ∂π ∂φ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T (23) − =− − • + Qi P ; i = 1, n • ∂qi ∂ q dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂qi i ⎝ i⎠ Thí dụ 1: Con lắc kép gồm hai thanh đồng chất: AB = BC = 2L, trọng lượng P1 = P2 = P nối với nhau bởi bản lề B. Con lắc thực hiện dao động nhỏ trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh vị trí cân bằng Ay; ngoài ra AB quay xung quanh trục A; BC quay xung quanh bản lề B (Hình 1). Bài giải Giả thiết các thanh rắn tuyệt đối ; hệ có hai bậc tự do. Ta chọn θ1, θ2 là các góc lệch của thanh với phương thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng. Tại vị trí cân bằng thì θ1 = θ2 = 0. Phương trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là: d ⎛ ∂T ⎞ ∂T x ⎜ • ⎟− (a) = Qi ; i = 1, 2 A dt ⎜ ∂ θ i ⎟ ∂θi ⎝ ⎠ θ1 Chọn hệ trục tọa độ Axy như hình vẽ. Động năng của hệ bằng: •2 •2 ⎛ •2 •2 ⎞ 1 P1 1 1 B T = TAB + TBC = J Az θ 1 + mBC ⎜ x D + y D ⎟ + J Dz θ 2 2 2 ⎝ ⎠ 2 Ta có: J Az 1P P 1 P = (2 L) 2 , mBC = , J Dz = (2 L) 2 g 3g 12 g ⎧ xD = L(2sin θ1 + sin θ 2 ) ⎨ ⎩ yD = L(2cos θ1 + cos θ 2 ) ⎤ 2 PL ⎡ ⎢ 4θ 1 + θ 2 + 3θ 1 θ 2 cos(θ1 − θ 2 ) ⎥ 3g ⎣ ⎦ Xét dao động nhỏ: cos(θ1 − θ 2 ) ≈ 1 , ta nhận được: Ta có: T = 2 •2 •2 • • θ2 D P2 y HÌNH 1 C • • 2 PL2 • 2 • 2 T= (4θ 1 + θ 2 + 3θ 1 θ 2 ) (b) 3g Thế năng của hệ bằng công trọng lượng các thanh khi hệ chuyển dịch từ vị trí khảo sát (θ1; θ2) tới vị trí cân bằng thẳng đứng (θ1 = 0 ; θ2 = 0), ta có: π = PL(1 − cos θ1 ) + PL [ 2(1 − cos θ1 ) + (1 − cos θ 2 ) ] Rút gọn: π = PL(4 − 3cos θ1 − cosθ 2 ) Với θ1 , θ 2 nhỏ: cos θ1 ≈ 1 − θ12 2 ; cos θ 2 ≈ 1 − θ 22 2 PL (3θ12 + θ 22 ) (c) 2 Thay (b) và (c) vào (a), ta nhận được phương trình vi phân dao động nhỏ của hệ: 16 L •• 2 L •• 2 L •• 4 L •• 3θ1 = − θ 1 − θ 2 ; θ2 = − θ 1 − θ 2 3g 3g g g Ta có: π= 5.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương pháp Đalămbe Theo nguyên lý Đalămbe: Ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính. Từ đó: uuur uuur uur ⎧∑ F a + ∑ N + ∑ F qt = 0 k k ⎪⎪ k k k k (24) ⎨ uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⎪∑ mO Fk a + ∑ mO N k + ∑ mO Fk qt = 0 ⎪⎩ k k k uuuur uur qt Trong đó: F k = −mk Wk 5.3 Áp dụng phương pháp lực để lập phương trình vi phân dao động nhỏ (trường hợp riêng của phương pháp Đalămbe) Giả sử cho một dầm đàn hồi có gắn một số hữu hạn khối lượng tập trung m1 , m2 , ..., mn . Để lập phương trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả là dùng phương pháp lực. Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị. Các dịch chuyển theo hướng i do lực đơn vị tác dụng theo hướng k gây ra gọi là dịch chuyển đơn vị, ký hiệu δik. Các dịch chuyển đơn vị δik còn gọi là các hệ số ảnh hưởng (Hình 2). ( ) ( ) ( ) Pk = 1 m1 m2 m3 mn i k δik Đối với các hệ đàn hồi, theo hướng k hệ chịu tác dụng của lực Pk thì dịch chuyển do nó gây ra theo hướng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa HÌNH là: 2 yi = Pkδik. Do đó, dưới tác dụng đồng thời của các lực P1, P2, ..., Pn dịch chuyển toàn phần xác định theo công thức: n yi = ∑ Pk δ ik k =1 (25) Công thức (25) là cơ sở để thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ theo phương pháp lực. Theo kết quả trong giáo trình SBVL, ta có các công thức xác định hệ số ảnh hưởng δik sau đây: Xác định δik khi uốn của thanh: Dùng công thức MO: L M . M dx δ ik = ∑ ∫ i k (26) EJ 0 Trong đó: EJ là độ cứng của thanh khi uốn; M i ( x) và M k ( x) là các mômen uốn do lực đơn vị Pi = 1 và Pk = 1 gây ra (Hình 3). Pi = 1 Pk = 1 M i =(x) M k =(x) x x Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin: * 3 Ω M HÌNH k δ ik = ∑ i (27) EJ Ở đây: Ωi là diện tích biểu đồ M i , M k* là tung độ của biểu đồ M k tương ứng hoành độ trọng tâm của Ωi . Khi sử dụng công thức (27) cần chú ý chia chiều dài thanh sao cho trong mỗi đoạn của M k là đường thẳng. Theo định lý Macxoen ta luôn có: δ iK = δ Ki Thí dụ 2: Xác định các hệ số ảnh hưởng trong trường hợp dầm chịu các trọng tải tập trung như hình vẽ (Hình 4). m m L/6 L/3 P1 = 1 m L/3 5L 36 L/6 M1 L/6 5L/6 Bài giải: Để xác định các dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh hưởng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng HÌNH 5a HÌNH 4 các biểu đồ Mômen uốn M 1 , M 2 , M 3 tương ứng với các lực đơn vị P1 = 1, P2 = 1, P3 = 1 và biểu diễn như trên hình vẽ (Hình 5a, b, c). P2 = 1 L 4 L/2 P3 = 1 M2 L/2 HÌNH 5b 5L 36 M3 5L/6 HÌNH 5c L/6 Theo công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có: 1 ⎡⎛ 1 L 5 5 ⎞ ⎛1 5 5 5 ⎞⎤ δ11 = δ 33 = ⎜ . . L. L ⎟ + ⎜ . L. L. L ⎟ ⎥ ⎢ EJ ⎣⎝ 2 6 36 54 ⎠ ⎝ 2 6 36 54 ⎠ ⎦ 1 5 5 ⎛1 5 ⎞ 1 5 5 1 25 L3 . L. L ⎜ L + L ⎟ = = ⋅ ⋅L⋅ ⋅L⋅ ⋅L = = 75k EJ 54 36 ⎝ 12 12 ⎠ EJ 54 36 2 3888 EJ L3 Ở đây ta đặt: k = 9.1296 EJ 1 ⎛1 L L L 1 L L L⎞ L3 L3 L3 δ 22 = = = 243. = 243k ⎜ . . . + . . . ⎟ = 2. EJ ⎝ 2 2 4 6 2 2 4 6 ⎠ 96 EJ 48 EJ 9.1296 EJ Thực hiện tính toán một cách tương tự, ta nhận được: L3 L3 δ13 = δ 31 = 51 = 51k ; δ12 = δ 21 = δ 32 = δ 23 = 117 = 117 k 9.1296 EJ 9.1296 EJ 6. XÁC ĐỊNH ĐỘ CỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG Các tính chất đàn hồi của hệ dao động trong mỗi trường hợp cụ thể được đặc trưng bằng hệ số cứng C. 6.1. Thanh đàn hồi Thanh đàn hồi không trọng lượng, chịu kéo nén (Hình 6). a. PL Ta có: ΔL = EF Ở đây: E là môđun đàn hồi, F là diện tích tiết diện ngang. EF P= .ΔL = C.ΔL Từ đó: L EF Vậy, ta có: C= (28) L L b. Thanh đàn hồi không trọng lượng chịu xoắn (Hình 7) thì: M L Δϕ = x GJ p Trong đó: G là môđun trượt, JP là mômen quán tính độc cực ΔL của mặt cắt ngang. Suy ra: GJ p Mx = Δϕ = C.Δϕ L GJ p C= Vậy, nhận được: L Mx L P HÌNH 6 (29) c. Thanh đàn hồi không trọng lượng chịu uốn. Khi này: Hệ số cứng C còn phụ thuộc vào điều kiện biên. Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở một đầu (Hình 8). Độ võng f bằng: 1 PL3 3EJ f = , suy ra: P = 3 f = Cf 3 EJ L 3EJ Ở đây: EJ là độ cứng chống uốn. Vậy độ cứng C bằng: C= 3 (30) L 6.2. Hệ các lò xo a. Đối với hệ lò xo mắc song song (Hình 9). Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có: Fdh = C1 x + C2 x = Cx Vậy, ta được: C = C1 + C2. Nếu hệ có n lò xo mắc song song, tương tự nhận được: n C = ∑ Ci C1 C C2 (31) i =1 b. Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (Hình 10). HÌNH 9 Biểu thức tính lực đàn hồi bằng: Fdh = C1 x1 + C2 x2 Ở hệ thay thế tương đương hệ số cứng C, lò xo dãn một đoạn: x = x1 + x2 ; Fdh = Cx 1 1 1 F1 F2 Fdh + = ⇒ = + C1 C2 C C C1 C2 Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng C của lò xo thay thế xác định bởi hệ thức: n 1 1 =∑ (32) C i =1 Ci Nói chung độ cứng C được tính toán theo lý thuyết với các giả thiết nhất định và có thể tra cứu trong các sổ tay kỹ thuật. Ta có: x= Ta thống kê một số công thức ở một số dạng cơ bản C1 C C2 HÌNH 10 thường dùng trong tính toán (bảng 1). Bảng 1. Công thức xác định các hệ số cứng tương đương STT Sơ đồ Hệ số C Gd 4 Với G: môđun trượt của C= 8iD vật liệu; d: đường kính dây lò xo; i, D: số vòng và đường kính lò xo. 1 C1 2 C1 C2 3 C2 C1 C2 EJ L 4 5 6 a a 8 9 b b L C =3 L 3EJ (a + b) a 2b 2 3EJ (a + b)3 a 3b3 C= 3EJ (b + L)b 2 C= 12 EJ (4b + 3L)b 2 24EJ L3 (EJ là độ cứng khi uốn của một trong hai lò xo phẳng) C= 10 EJ L3 C= b L C1C2 C1 + C2 12 EJ (a + b)3 C= 3 2 a b (3a + 4b) b 7 C= C= b a C = C1+ C2 11 N L 12 N L N α 3 EJshα L ,α = C= EJ α Lchα L − shα L α 2 EJsh(α L) N C= α= L (α Lchα L − shα L ) EJ Câu hỏi ôn tập 1. Định nghĩa các đại lượng: Chu kỳ T (chu kỳ thời gian); tần số f (tần số dài); Biên độ và góc pha; Tần số tự nhiên k (tần số riêng, tần số góc). Mối liên hệ giữa các đại lượng T, f, k. 2. Định nghĩa bậc tự do của cơ hệ. Các xác định bậc tự do và cho ví dụ. 3. Viết biểu thức tính động năng, thế năng, hàm hao tán đã tuyến tính hóa đối với hệ có số bậc tự do n bất kỳ. Suy ra cho hệ có hai bậc tự do và một bậc tự do. 4. Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động dao động của cơ hệ (phương trình Lagrăng loại II; nguyên lý Đalămbe; phương pháp lực). Viết công thức xác định độ cứng của thanh đàn hồi và hệ lò xo đàn hồi. CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 1.1. Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 1.1.1. Dao động tự do không cản Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế. Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ là q. Phương trình Lagrăng II có dạng: ∂π d ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂T − =− • ∂q dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂q ⎝ ⎠ 1 •2 1 Với dao động nhỏ thì: T = a q ; π = cq 2 : Thay vào phương trình trên và rút 2 2 •• q+ k 2q = 0 gọn, ta được: (1-1) c gọi là tần số vòng (riêng) của dao động, đơn vị thường dùng a rad/s, nó phụ thuộc vào tính chất của hệ (khối lượng và độ cứng). Phương trình (1-1) là phương trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do. NTQ của (1-1) tìm được ở dạng: q = C1coskt + C2sinkt (1-2) Đặt: C1 = Asinα; C2 = Acosα Ta viết được nghiệm (1-2) dưới dạng biên độ: (1-3) q = Asin(kt +α) Trong đó: k = Ở đây: A = C12 + C22 là biên độ dao động; (kt +α) là pha dao động; α là pha ban đầu; k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ. 2π a = 2π Chu kỳ dao động T tính theo công thức: T = (1-4) k c Gọi f là số dao động trong một đơn vị thời gian (tần số dao động), khi đó: 1 k 1 c = (1-5) f = = T 2π 2π a Các hằng số A và α được xác định từ các điều kiện ban đầu. Giả sử tại t = 0: • • q(0) = q0 và q (0) = q 0 ta nhận được: A = q02 + •2 q0 kq và α = arctg • 0 . Do đó: 2 k q 0 ⎛ ⎞ q02 ⎜ kt + arctg kq0 ⎟ ⋅ sin (1-6) • ⎜ ⎟ k2 q0 ⎠ ⎝ Như vậy, dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do là dao động điều q = q02 + hoà. Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k là nhiệm vụ quan trọng của bài toán nghiên cứu dao động tự do. Bảng 2 thống kê một số công thức đối với k của một số hệ đơn giản. Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của bài toán trên mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển - vận tốc). Tại mỗi thời điểm trạng thái của hệ được đặc trưng bằng dịch • chuyển q và vận tốc v = q . Ta có trong trường hợp khảo sát: ⎧⎪q = A sin(kt + α ) • ⎨ ⎪⎩v = q = Ak cos(kt + α ) (1-7) Tập hợp các phương trình này có thể khảo sát như quỹ đạo pha cho ở dạng thông số. Để nhận được phương trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta được: q2 v2 + =1 (1-8) A2 A2 k 2 Nghĩa là phương trình Ellíp (Hình 11a). Điểm biểu diễn ban đầu (từ đó chuyển • • động được bắt đầu) tương ứng với điều kiện đầu q(0) = q0 và q (0) = q 0 . Khi thay đổi điều kiện ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn trên Ellíp khác. Tập hợp trạng thái có thể của hệ được mô tả bằng hệ các Ellíp (Hình11). Gốc toạ độ tương ứng với trạng thái cân • bằng của hệ (q0 =0 và q 0 = 0 ). Điểm này là điểm kỳ dị và gọi là tâm. v v q 0, v 0 q O q O HÌNH 11 Bảng 2: Tần số riêng của một số mô hình dao động Stt Mô hình dao động 1 Hệ khối lượng lò xo đơn giản 2 Hệ khối lượng lò xo trọng trường x C m Phương trình •• C x+ x = 0 m (q = x) C y=0 m (q = y) •• C y M y+ k2 C m C m O g L (q = ϕ) •• 3 ϕ Con lắc toán học ϕ+ ϕ = 0 L m O 4 •• a Con lắc vật lý ϕ+ ϕ JO Bàn quay mga ϕ =0 JO (q = ϕ ) Cm 5 c m •• ϕ+ C C ϕ =0 Jo C JO (q = ϕ) r JO O 6 Hệ khối lượng vắt qua ròng dọc 1 C y=0 J O m1 1+ m1r 2 (q = y) •• y+ m1 y C m •• 7 Cơ cấu gõ nhịp ϕ+ ϕ L C O 8 Hệ con lăn lò xo 9 Con lăn trên quỹ đạo tròn C x+ O r JC L ϕ m JC C r rC 10 Nửa đĩa tròn trên mặt phẳng 1 J 1 + C2 mr (q = x) •• 1 ϕ+ J 1 + C2 mr (q = ϕ) •• m C − mgL ϕ =0 J0 (q = ϕ) x mga JO C x=0 m g ϕ =0 L 1 C J 1 + O 2 m1 m1r C − mgL JO 1 C J 1 + C2 m mr 1 g J 1 + C2 L mr mgrC mgrC ϕ= 2 J C + m(r − rC ) J C + (r − rC ) 2 m (q = ϕ) •• ϕ+ C ϕ r m 1.1.2. Dao động tự do có cản Ở trên ta coi sự hao tán năng lượng trong dao động không xảy ra và thiết lập đặc tính không tắt dần của dao động tự do. Tuy nhiên các dao động gặp trong thực tế là tắt dần, do: ma sát trong các bộ phận giảm chấn, phanh hãm, tiếp xúc với môi trường xung quanh v.v... Giả sử lực tác dụng lên hệ ngoài lực có thế còn có lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc. Khi đó phương trình Lagrăng II có dạng: ∂π ∂φ d ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂T − =− − • ∂q ∂ q• dt ⎜ ∂ q ⎟ ∂q ⎝ ⎠ 1 •2 1 1 •2 Với dao động nhỏ: T = a q ; π = cq 2 ; φ = b q . Thay vào phương trình và 2 2 2 rút gọn, ta được: •• • q + 2n q + k 2 q = 0 (1-9) b c Ở đây: 2n = , k 2 = a a Phương trình (1-9) là phương trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do tắt dần của hệ tuyến tính một bậc tự do. NTQ của (1-9) tìm được dưới dạng: q = eλt . Trong đó λ được xác định từ phương trình đặc trưng sau: λ2 + 2nλ + k2 = 0 (1-10) Phương trình (1-10) cho hai nghiệm số: λ1,2 = − n ± n 2 − k 2 (1-11) Ta khảo sát ba trường hợp: 1.1.2a. Trường hợp 1: n < k (lực cản nhỏ). Trong trường hợp này phương trình đặc trưng có nghiệm phức: λ1,2 = −n ± ik1; k1 = k 2 − n 2 ; i 2 = −1 Tích phân tổng quát của phương trình (1-9) có dạng: q = e − nt ( C1 cos k1t + C2 sin k1t ) Hay viết ở dạng biên độ: (1-12) q = Ae − nt sin( k1t + β ) • (1-13) • Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0, q (0) = q 0 Ta có: 2 ⎛• ⎞ ⎛ 2 2 ⎜ q 0 + nq0 ⎟ C1 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎜ q0 k − n = = A = C1 + C2 = q0 + ; β arctg arctg ⎜ q• + nq k 2 − n2 C2 0 ⎝ 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 Vậy: ⎛• ⎞ ⎛ 2 2 ⎜ q 0 + nq0 ⎟ − nt 2 ⎝ ⎠ ⎜ k1t + arctg q0 k − n sin q = q0 + e • ⎜ k 2 − n2 q 0 + nq ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (1-14) Ở đây: k1 = k 2 − n 2 gọi là tần số dao động tắt dần. Chu kỳ dao động tắt dần được xác định bằng: 2π 2π T1 = = (1-15) k1 k 2 − n2