Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học: Hình học trên mặt cầu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH NGUYÊN HÌNH HỌC TRÊN MẶT CẦU Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Các kiến thức cơ bản 2 6 1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kinh độ và vĩ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tam giác cầu 6 13 16 2.1 Khái quát về tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Tính chất của tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 18 2.1.3 Tam giác cầu cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Các định lí trong tam giác cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 22 2.2.1 2.2.2 Định lí hàm sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Định lí cosin thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 23 2.2.3 2.2.4 Hướng tàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Định lí hàm số cosin thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 27 2.2.5 Định lý hàm số cotang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Công thức góc chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 31 31 2.3.2 Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi . . . . . . 2.4 Giải tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 33 2.4.1 2.4.2 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 34 2.4.3 2.4.4 Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy . . Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và một góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.5 Giải tam giác cầu biết 2 góc và một cạnh đối diện với một trong 2 góc ấy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tam giác cầu vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 42 43 2 2.5.1 2.5.2 Tam giác cầu vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hai quy tắc dễ nhớ của Nêpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 44 2.5.3 Các ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Thiên cầu 3.1 Độ cao và góc cực; Độ thiên và góc giờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 50 3.1.1 Độ cao và góc cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Độ thiên và góc giờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Biểu đồ cho nam bán cầu và những ngôi sao thấy ở đường chân trời. . . 50 53 57 3.2.1 3.2.2 Biểu đồ cho nam bán cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Những ngôi sao thấy ở đường chân trời . . . . . . . . . . . . . . 57 58 3.3 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm và cách tính góc tam giác cầu P ZX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm . . . . . . . . . . . . 60 60 3.3.2 Cách tính góc tam giác cầu P ZX . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sự tiến thẳng và độ nghiêng; Quỹ đạo của trái đất. . . . . . . . . . . . 62 64 3.4.1 3.4.2 Sự tiến thẳng và độ nghiêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quỹ đạo của trái đất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 66 3.5 Kinh độ và vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn. . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Kinh độ và vĩ độ thiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Thời gian thiên văn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 69 70 Tài liệu tham khảo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Lời mở đầu Việc ứng dụng hình học trong mặt phẳng đã được rất nhiều chuyên gia với nhiều công trình nghiên cứu khác nhau. Tuy nhiên, từ khi con người phát hiện ra trái đất không phải là mặt phẳng mà là hình cầu thì việc nghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng được yêu cầu nghiên cứu về thiên văn và hàng hải. Vì vậy nó thôi thúc một lĩnh vực nghiên cứu mới đó là ”Hình học cầu”. Hình học cầu ra đời đã phần nào đáp ứng được nhu cầu nghiên cứu về việc đi lại trên biển, về việc đi lại giữa các vì sao, về vũ trụ,....Vì vậy, hình học cầu không thể thiếu được trong các môn học nghiên cứu về thiên văn và hàng hải. Việc nghiên cứu hình học cầu là niềm say mê của không ít người đặc biệt là những người đang trực trực tiếp dạy toán. Chính vì thế để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập tác giả đã chọn đề tài ”Hình học trên mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của luận văn. Đề tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc học tập của các em học sinh, sinh viên nghiên cứu lĩnh vực thiên văn, hàng hải. Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 tài liệu tham khảo. Chương 1. Các kiến thức cơ bản Chương 1 đưa ra các kiến thức về các định nghĩa, định lý và tính chất cơ bản của hình học cầu. Chương 2. Tam giác cầu Chương 2 đưa ra định nghĩa, tính chất của tam giác cầu, tam giác cầu cực; các định lý và các công thức cơ bản của tam giác cầu. Đặc biệt, chương 2 đưa ra các phương pháp giải tam giác cầu kèm theo ví dụ minh họa cho từng trường hợp cụ thể. Đồng thời ở chương 2 chúng tôi muốn giới thiệu việc ứng dụng của hình học cầu trong lĩnh vực hàng hải. Chương 3. Thiên cầu Chương 3 đưa ra định nghĩa, tính chất của các yếu tố liên quan tới thiên cầu. Đồng thời chương 3 cũng giới thiệu các cách xác định vị trí trên thiên cầu như: tính góc cầu của tam giác cầu, tính góc phương vị, góc giờ, độ lệch của vị trí 1 ngôi sao xác định trên thiên cầu.... Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến TS Nguyễn Văn Minh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn chỉ bảo và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu-các thầy cô giáo tổ Toán-trường THPT Nhã Nam-tỉnh Bắc Giang, bạn bè, đồng nghiệp cùng gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ khích lệ tôi hoàn thành luận văn này. Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên cứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên,do hạn chế về thời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên 2011 Nguyễn Thị Bích Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Các kiến thức cơ bản 1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ Trước hết ta có một vài định nghĩa sau. 1. Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có khoảng cách không đổi tới một điểm cố định gọi là tâm của hình cầu. Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính. Đoạn thẳng đi qua tâm nối hai điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường kính. 2. Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn. B C A O D Giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng nào đó, O là tâm hình cầu. Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 giao tuyến và nối OD, CD. Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc √ \ là góc vuông; do đó CD = OD2 − OC 2 . Do O và C cố định OCD nên OC là hằng số; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hình cầu vậy nên CD là hằng số. Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách C một khoảng không đổi, tức C là tâm của đường tròn giao tuyến. 3. Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu mặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu, gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt phẳng đó không đi qua tâm hình cầu. Như vậy bán kính đường tròn lớn bằng với bán kính hình cầu. 4. Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn; hai điểm đầu của đường kính gọi là các cực của đường tròn. Khoảng cách từ các cực của đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đướng tròn là bằng nhau. Các cực của đường tròn nhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt phẳng chứa đường tròn; chúng được gọi là tương ứng cực gần và xa. P S FC E T R D O A X B B’ Y Q Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Trên hình vẽ, EAB là một đường tròn lớn, vì mặt phẳng chứa nó đi qua tâm của hình cầu. Giả sử QOP là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng (EAB). Lấy điểm R tùy ý trên OP , vẽ mặt phẳng qua R và song song với (EAB) giao với hình cầu theo đường tròn nhỏ F CD. Các điểm P, Q là các cực của đường tròn lớn EAB và đường tròn nhỏ F CD. Giả sử P CAQ là đường tròn lớn đi qua các cực P, Q và cắt F CD, EAB lần lượt tại C và A; P DB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua P, Q. Khi đó ta nói tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau: Vẽ tiếp tuyến P S, P T tương ứng với các cung P A, P B ; hiển nhiên [ P T song song với OB, P S song song với OA. Góc SP T gọi là góc cầu [. tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn P A, P B và nó bằng AOB 5. Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến các cực của đường tròn luôn bằng nhau. P B C A D O P’ Giả sử O là tâm của hình cầu, AB là đường tròn bất kì, C là tâm, P và P 0 là các cực của đường tròn. Lấy D thuộc đường tròn; nối √ CD, OD, P D. Khi đó P D = P C 2 + CD2 ; P C và CD không đổi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 do đó P D cũng không đổi. Giả sử có đường tròn lớn qua P và D thì dây cung P D không đổi, tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P và D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB . 6. Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đường tròn bằng 900 . P B C O A Giả sử P là cực của đường tròn lớn ABC thì cung P A có số đo bằng 900 . Thậy vậy ta thấy P O vuông góc với (ABC) vì P là cực của (ABC), _ do đó P[ OA bằng 900 nghĩa là sđ P A bằng 900. 7. Góc trương ở tâm hình cầu của một cung đường tròn lớn nối các cực của 2 đường tròn lớn luôn bằng góc giữa 2 mặt phẳng chứa các đường tròn đó. A B M O C N D E Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Giả sử O là tâm của hình cầu, CD, CE là các đường tròn lớn giao nhau tại C, A và B lần lượt là các cực của CD, CE . Vẽ đường tròn lớn qua A và B , cắt CD, CE tại M và N . Khi đó AO vuông góc với OC , BO vuông góc với OC nên OC vuông góc với mặt phẳng(AOB), do đó OC vuông góc với OM, ON . Như vậy \ là góc giữa 2 mặt phẳng (OCD) và (OCE). MON Hơn nữa: [ = AOM \ − BOM \ = BON \ − BOM \ = MON \ AOB 8. Hai đường tròn lớn chia đôi nhau: Vì mặt phẳng chứa các đường tròn lớn đi qua tâm của hình cầu, tức là đường nối các giao điểm chính là đường kính của hình cầu và mỗi đường tròn lớn chỉ có duy nhất một đường kính, do đó các đường tròn đó được chia thành 2 phần bằng nhau bởi các giao điểm. 9. Các đường tròn lớn đi qua các cực của một đường tròn lớn cho trước được gọi là các đường tròn phái sinh (secondaries circle). Trong hình vẽ C là cực của ABMN , do đó CM và CN là các phần của các đường tròn phái sinh; góc giữa CM và CN bằng số đo cung MN : Như vậy, góc giữa 2 đường tròn lớn bằng số đo cung chúng chắn trên đường tròn lớn mà chúng là các đường tròn phái sinh. 10. Cung tròn trên mặt cầu. Hai điểm A, B bất kì trên đường tròn sẽ chia đường tròn thành 2 cung. Cung có số đo nhỏ hơn gọi là cung tròn nhỏ, cung có số đo lớn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 hơn gọi là cung tròn lớn. Sau đây ta chỉ xét cung tròn nhỏ. O α B A Cung tròn nhỏ của đường tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cung đường tròn nhỏ (đôi khi gọi là cung cầu nhỏ ). Độ dài của cung cầu _ nhỏ AB kí hiệu là l _ . Cung tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cung AB đường tròn lớn (đôi khi gọi là cung cầu lớn). Độ dài của cung cầu lớn _ AB kí hiệu là L _ . AB 11. Qua tâm và 2 điểm A, B tùy ý trên mặt cầu chỉ vẽ được duy nhất một mặt phẳng (trừ trường hợp 2 điểm đó là các điểm đầu và điểm cuối của đường kính), do vậy chỉ có duy nhất một cung cầu lớn qua 2 điểm A, B . Ngược lại, có vô số cung cầu nhỏ qua 2 điểm trên mặt cầu. Định lí 1.1. Đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm trên mặt cầu là theo cung cầu lớn. Chứng minh. Giả sử σ : [a, b] −→ S là đường cong cho dưới dạng tham số trên mặt cầu S với σ(a) = A, σ(b) = B . Trong tọa độ Đề các σ viết dưới dạng σ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Khi đó độ dài của σ được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 tính bởi công thức sau: Z bp l(σ) = [ (x0(t)2) + (y 0 (t)2) + (z 0 (t)2)]dt(∗) a Trong hệ tọa độ cầu ta có:  x(t) = Rsin θcos ϕ; y(t) = Rsin θsin ϕ; z(t) = Rcos θ trong đó θ = θ(t), ϕ = ϕ(t). Ta tính rồi thay các đạo hàm x0(t), y 0 (t), z 0 (t) vào công thức (*) ta nhận được: l(σ) = ≥ Z b Za b a q R[ (θ0 )2 + sin2 θ(ϕ0)2 ]dt _ [ =AB Rθ0 dt = R(θ(b) − θ(a)) = R.BOA Dấu ”=” xảy ra khi ϕ0 (t) = 0 hoặc sin2 θ(t) = 0 với mọi t, tức là đi theo cung cầu lớn AB . 12. Số đo cung đường tròn nhỏ và số đo cung đường tròn lớn trương cùng một góc ở tâm. P b C a O B A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Giả sử ab là cung đường tròn nhỏ, C là tâm đường tròn, P là cực, O là tâm hình cầu. Qua P vẽ đường tròn lớn P aA và P bB , gặp đường tròn lớn cực là P tại 2 điểm A, B ; nối Ca, Cb, OA, OB . Khi đó Ca,Cb,OA,OB đều vuông góc với OP , vì mặt phẳng aCb, AOB vuông góc với OP nên Ca song song với OA, Cb song song với OB . _ _ ab AB d =AOB [ , suy ra Như vậy aCb = Ca OA _ ab Ca Ca [ =⇒ _ = = = sin P Oa OA Oa AB 1.2 Kinh độ và vĩ độ *Trong nhiều bài toán thực tế Trái đất được xem như 1 quả cầu tuyệt đối với bán kính khoảng 6400 km, quay xung quanh 1 trục nối 2 cực từ trường trái đất N, S . N gọi là cực bắc, S gọi là cực nam. Đường tròn lớn nằm trong mặt phẳng vuông góc với N S gọi là xích đạo. Mặt phẳng chứa đường xích đạo gọi là mặt phẳng xích đạo. Mặt phẳng xích đạo chia mặt cầu thành 2 bán cầu gọi là bán cầu bắc và bán cầu nam. *Các mặt phẳng song song với mặt phẳng xích đạo cắt mặt cầu theo giao tuyến là các đường tròn nhỏ, gọi là các vĩ tuyến. Các vĩ tuyến ở bán cầu bắc gọi là vĩ tuyến bắc, ở bán cầu nam gọi là vĩ tuyến nam. *Qua hai cực nam, bắc có vô số các đường tròn lớn. Hai cực này chia các đường tròn lớn thành 2 nửa, mỗi nửa đường tròn lớn đó gọi là 1 kinh tuyến. Đặc biệt, kinh tuyến đi qua đài thiên văn Greenwich được quy ước Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 là kinh tuyến gốc; trên hình đó là N GKS . N M G O ϕ K W E X H λ J L Y S \ được *Giả sử kinh tuyến N HLS cắt xích đạo tại L. Số đo góc KOL gọi là kinh độ của kinh tuyến N HS . Nó bằng số đo cung KL nằm trên xích đạo và bằng số đo góc cầu cực KN L. Kinh độ kí hiệu là λ và được đo từ 00 đến 1800 đông hoặc tây so với kinh tuyến gốc (theo hướng mũi tên gần K ). Trên hình vẽ kinh độ của N XS khoảng 1000E (east), kinh độ của N MS khoảng 600W (west). Các điểm nằm trên cùng kinh tuyến thì có cùng kinh độ. Qui ước: Trái đất quay từ tây sang đông (W → E ), tức là khi một người đứng ở tâm trái đất, đầu hướng về phía bắc nhìn về xích đạo thì chiều quay ngược chiều kim đồng hồ. *Để xác định chính xác vị trí của 1 điểm trên mặt cầu, ta cần xác định vị trí của điểm đó trên kinh tuyến qua nó. Điều này được thực hiện nhờ tham chiếu đến xích đạo. Xét điểm J trên kinh tuyến N HS . Kinh tuyến [ hay cung tròn lớn LJ được gọi qua J cắt xích đạo tại L và số đo góc LOJ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 là vĩ độ của J , kí hiệu là ϕ. Nếu J nằm giữa xích đạo và cực bắc N thì ta nói J có vĩ độ bắc (N ), nếu J nằm giữa xích đạo và cực nam S thì ta nói J có vĩ độ nam (S ). *Mỗi điểm A trên mặt cầu Trái đất được xác định duy nhất thông qua kinh độ λM và vĩ độ ϕM của nó. Ví dụ 1: Hãy xác định các điểm sau trên mặt cầu: A(ϕA = 2003004200N ; λA = 1404102600W ). B(ϕB = 1802504900N ; λB = 7204102600E). C(ϕC = 4802103700S; λC = 2801704600W ). D(ϕD = 6002004100S; λD = 5403801100E). H(ϕH = 620300N ; λH = 16802404200E). G(ϕG = 8001902500S; λG = 15705403600W ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chương 2 Tam giác cầu 2.1 Khái quát về tam giác cầu 2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản 1. Cho 3 điểm A, B, C trên mặt cầu tâm O bán kính R. Ta gọi phần mặt _ _ _ cầu giới hạn bởi 3 cung tròn lớn AB , BC , AC là tam giác cầu ABC , các điểm A, B, C được gọi là các đỉnh của tam giác cầu. A t t’ C O B’ B 2. Nối OA, OB, OC kéo dài ta được tam diện Oxyz đỉnh O. Các góc ở _ _ _ \ = sđ BC= a, AOC [ = sđ AC= b, BOA [ = sđ AB= c là đỉnh BOC _ _ _ các cạnh của tam giác cầu, viết tắt là a =BC , b =AC , c =AB . _ _ 0 3. Giả sử At là tiếp tuyến của cung AC , At là tiếp tuyến của AB tại A (các tiếp tuyến hướng từ A về B, C ); khi đó tAt0 là góc tại đỉnh A của tam giác cầu. Đó chính là góc nhị diện cạnh OA tạo bởi 2 mặt phẳng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 (OAC) và (OBC). Tương tự ta cũng xác định được 2 góc còn lại tại B và C . Vậy tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là; 3 cạnh a, b, c và 3 góc A, B, C đối diện lần lượt với cạnh. 4. Quy ước:Số đo các cạnh trong tam giác cầu luôn nhỏ hơn 1800 hay π . A F B C D E _ Trong hình vẽ cung ADEB lớn hơn nửa vòng tròn, và có thể xem ADEB, AC, BC là các cạnh của tam giác cầu với các góc là A, B, C . Tuy nhiên theo quy ước trên ta không xét tam giác cầu loại này; Ở đây tam giác với các góc A, B, C được hiểu là tam giác với 3 cạnh AF B, BC và CA. 5. Với quy ước trên dẫn đến kết quả sau: trong tam giác cầu số đo của góc bất kì luôn nhỏ hơn 1800. 6. Trung tuyến của tam giác cầu là cung tròn lớn nối đỉnh tam giác cầu với trung điểm cạnh đối diện với đỉnh ấy. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 7. Đường vuông góc (hay đường cao) của tam giác cầu kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện là 1 cung tròn lớn nối đỉnh ấy với 1 điểm H trên cạnh đối diện sao cho góc cầu cực tại H tạo bởi cung tròn lớn ấy và cạnh đối diện là 900 . Trong tam giác cầu có thể có 2 hay 3 góc vuông và có thể có vô số đường cao kẻ từ một đỉnh. Ví dụ 2: π π 1 Ta thấy mặt cầu có 3 góc A = B = C = , 3 cạnh a = b = c = 8 2 2 và có vô số đường cao kẻ từ các đỉnh. 2.1.2 Tính chất của tam giác cầu 1. Với mỗi tam giác cầu ABC có một góc tam diện đỉnh là tâm cầu O cạnh OA, OB, OC . 2. Tổng 2 cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại, tức là a + b > c, a + c > b, b + c > a 3. Tổng của 3 cạnh tam giác cầu luôn nhỏ hơn chu vi của đường tròn lớn. Thật vậy, tổng 3 góc tại đỉnh O của tam diện OABC luôn nhỏ hơn 3600, do đó: AB BC CA + + < 2π ⇒ AB + BC + CA < 2π.OA. OA OA OA 4. Tính chất các góc của tam giác cầu: π < A + B + C < 3π, A + B − C < π, A + C − B < π, B + C − A < π 5. Tổng 3 góc của tam giác cầu lớn hơn 1800 và nhỏ hơn 5400 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 Giả sử A, B, C là các góc của tam giác cầu: a0 , b0, c0 là các cạnh của tam giác cầu cực. Theo trên ta có: a0 + b0 + c0 < 2π ⇔ π − A + π − B + π − C < 2π ⇔ A + B + C > π. Vì mỗi góc A, B, C đều nhỏ hơn π nên A + B + C < 3π . 6. Đại lượng ε = A + B + C − π là thặng dư cầu. Khi đó với tam giác cầu ABC trên mặt cầu bán kính R thì diện tích tam giác cầu SABC cầu = εR2. (ε đo bằng radian). 7. Trong tam giác cầu đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại, tức là: a > b ⇔ A > B . 2.1.3 Tam giác cầu cực _ 1. Tam giác cầu cực. Cho ABC là một tam giác cầu, A0 là cực của BC _ _ cùng phía với A, B 0 là cực của CA, C 0 là cực của AB và nằm cùng phía với C . Khi đó A0B 0 C 0 được gọi là tam giác cầu cực của ABC . Chú ý: Vì mỗi cạnh của tam giác cầu đều có 2 cực, do đó sẽ có 8 tam giác cầu được tạo nên bởi các đỉnh là các cực đó. Tuy nhiên chỉ có tam giác A0B 0 C 0 tạo bởi quy tắc trên được goi là tam giác cầu cực. Tam giác ABC gọi là tam giác gốc tương ứng với tam giác A0 B 0 C 0. A’ A B’ D B Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên E C’ C http://www.lrc-tnu.edu.vn