Tài liệu Luận án một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng chuyên ngành toán giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu NGHỆ AN - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa được công bố trong bất kì công trình nghiên cứu nào từ trước đến nay. Tác giả Hà Anh Tuấn LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu. Tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy hướng dẫn - Người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu. Thầy đã dành nhiều công sức, kiên nhẫn, tận tình chỉ bảo, dẫn dắt, giảng dạy cho tôi về những kiến thức, kinh nghiệm và tư duy của người làm Toán. Tôi xin cảm ơn Trường đại học Vinh, Khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học, các phòng chức năng của Nhà trường, quý thầy cô trong Bộ môn Toán Giải tích, Hội đồng khoa học Khoa Toán đã cho tôi một môi trường học tập và nghiên cứu lý tưởng và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tôi xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Cơ bản, anh chị em và bạn bè đồng nghiệp tại Trường Đại học Giao thông Vận tải TP Hồ Chí Minh. Xin chân thành cảm ơn TS. Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland, Mỹ) và TS. Lê Văn Hiển (Đại học Hà Tĩnh) đã có những trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu và đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bố Mẹ, cảm ơn anh, chị, em và những người thân trong gia đình, những người đã luôn động viên, kiên nhẫn và mong đợi kết quả học tập của tôi. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn tới vợ tôi Hoàng Yến và các con Huy Hoàng, Bá Dương, những người đã luôn hy sinh rất nhiều, luôn lo lắng và mong mỏi tôi tiến bộ từng ngày. Tôi xin được dành tặng luận án này cho những người mà tôi yêu thương. Nghệ An, ngày 10 tháng 03 năm 2022 Tác giả Hà Anh Tuấn 1 MỤC LỤC Mở đầu 7 Chương 1. Một số kết quả về phép tính vi phân suy rộng trong giải tích biến phân 1.1. Các khái niệm và tính chất bổ trợ 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2. Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng . . . . . . . . . . . 26 1.3. Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Chương 2. Điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân 60 2.1. Điều kiện tối ưu cho hàm chính thường nửa liên tục dưới dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2. Quan hệ tương đương giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân . . . . . . . . 76 2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Chương 3. Điều kiện tối ưu bậc hai cho một lớp bài toán quy hoạch nón 93 3.1. Điều kiện cần tối ưu bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2. Đặc trưng cực tiểu địa phương mạnh . . . . . . . . . . . . . 105 2 3.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Kết luận chung và kiến nghị 114 Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 116 Tài liệu tham khảo 117 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN ∃x tồn tại phần tử x ∀x với mọi phần tử x f :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y gphF đồ thị của ánh xạ F : X ⇒ Y domF miền hữu hiệu của ánh xạ F : X ⇒ Y rgeF ảnh của ánh xạ F : X ⇒ Y Br (x) hình cầu đóng tâm x bán kính r > 0 B hình cầu đơn vị đóng ∇f (x) đạo hàm của ánh xạ f tại x R tập hợp số thực R− tập hợp số thực không dương R+ tập hợp số thực không âm R tập số thực mở rộng R ∪ {±∞} Rn không gian Ơclit thực n chiều Rn+ tập hợp các phần tử trong Rn có mọi tọa độ không âm Rn− tập hợp các phần tử trong Rn có mọi tọa độ không dương ∅ tập hợp rỗng x∈X x là phần tử trong không gian X Ω⊂X Ω là tập hợp con của X 4 h., .i tích vô hướng trong không gian Rn k.k chuẩn sinh bởi tích vô hướng h., .i trong Rn p tức là kxk = hx, xi với mọi x ∈ Rn AT ma trận chuyển vị của ma trận A intΩ phần trong của tập hợp Ω convΩ bao lồi của tập hợp Ω Ω⊥ phần bù trực giao của tập hợp Ω trong Rn Ωo nón cực của Ω trong Rn clΩ bao đóng của tập Ω {xi } dãy phần tử trong Rn ϕ x → x̄ và ϕ(x) → ϕ(x̄) Ω x → x̄ x → x̄ và x ∈ Ω ε↓0 ε → 0 và ε ≥ 0 d(x, Ω) khoảng cách Ơclit từ phần tử x đến tập hợp Ω δΓ hàm chỉ của tập Γ o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t o(t2 ) vô cùng bé bậc cao hơn t2 P := Q P được định nghĩa bởi Q  kết thúc chứng minh lim inf ψ giới hạn dưới của hàm số ψ lim sup ψ bΩ (x) N giới hạn trên của hàm số ψ NΩ (x) nón pháp tuyến qua giới hạn của tập hợp Ω tại x TΩ (x) nón tiếp tuyến của tập Ω tại x DF đạo hàm đồ thị của ánh xạ F D(∂f ) b ∂f đạo hàm đồ thị dưới gradient của hàm f ∂f dưới vi phân qua giới hạn của hàm số f ∂p f dưới vi phân gần kề của hàm số f
σ ·, Ω hàm tựa của tập hợp Ω x → x̄ nón pháp tuyến chính quy của tập hợp Ω tại x dưới vi phân chính quy của hàm số f 5 Λ(x, x∗ ) tập hợp các nhân tử Lagrange tương ứng với (x, x∗ ) ΛG (x̄) tập hợp các nhân tử Lagrange mở rộng Λ(x, x∗ ; v) tập hợp nhân tử theo hướng v KΓ (x, x∗ ) nón tới hạn của tập hợp Γ tại (x, x∗ ) Kf (x, x∗ ) nón tới hạn của hàm f tại (x, x∗ ) L(x, λ) hàm Lagrange LG (x, α, λ) hàm Lagrange mở rộng Pu bài toán tối ưu phụ thuộc vào tham số u Du bài toán đối ngẫu của bài toán Pu subregF (x̄|ȳ) môđun tính dưới chính quy mêtric của ánh xạ F tại (x̄, ȳ) QG(f, x̄) môđun chính xác của điều kiện tăng trưởng bậc hai tại x̄ 6 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MFCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz MSCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric RCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson 7 MỞ ĐẦU Giải tích biến phân là một lĩnh vực toán học được hình thành và phát triển do nhu cầu nghiên cứu các bài toán tối ưu, cân bằng và điều khiển, trong đó phép tính vi phân suy rộng nằm ở vị trí trung tâm [32, 46]. Tên gọi “Giải tích biến phân” cho lĩnh vực toán học này được đề xuất năm 1998 bởi Rockafellar và Wets [46] và sau đó được chấp nhận rộng rãi. Tuy nhiên, các khái niệm cơ bản, những ý tưởng chính và nhiều kết quả quan trọng của giải tích biến phân đã tồn tại từ lâu [21, 32, 46]. Giải tích biến phân bậc hai là một bộ phận của giải tích biến phân, nghiên cứu các cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai và các vấn đề liên quan. Những cấu trúc này xuất hiện một cách tự nhiên khi khảo sát các hệ biến phân được mô tả thông qua dưới vi phân hoặc nón pháp tuyến [9, 25]. Cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai cũng xuất hiện khi nghiên cứu các bài toán tối ưu không trơn và tối ưu có ràng buộc [9, 33, 45, 46]. Những năm gần đây, giải tích biến phân bậc hai luôn thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học và có nhiều kết quả thú vị theo hướng này đã được thiết lập [4, 9, 23, 32, 33, 46]. Phép tính vi phân suy rộng có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu và tối ưu số [29, 32, 33, 37, 46]. Đặc biệt, nó giúp mở rộng và hợp nhất các điều kiện cực trị cho nhiều lớp bài toán tối ưu [33]. Chẳng hạn, dưới vi phân bậc nhất đã được dùng để thiết lập các quy tắc Fermat suy rộng. Từ đó, nhờ hệ thống quy tắc tính toán, người ta dẫn ra được các quy tắc nhân tử Lagrange suy rộng [32, 33, 46]. Tương tự như các cấu trúc vi 8 phân suy rộng bậc nhất, các cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai cũng có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các điều kiện tối ưu. Điều kiện cần và điều kiện đủ cực trị cho hàm chính thường nửa liên tục dưới biểu diễn được thông qua tính nửa xác định dương và xác định dương của dưới đạo hàm bậc hai [46]. Tập tiếp xúc bậc hai được dùng để thiết lập điều kiện cực trị cho các bài toán tối ưu có ràng buộc [7, 9]. Dưới vi phân bậc hai Fréchet đã được dùng trong các điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu trơn không ràng buộc [14] và có ràng buộc tuyến tính [1]. Từ phương diện tối ưu số, các điều kiện tối ưu đóng vai trò thiết yếu trong việc thiết kế và phân tích sự hội tụ của các thuật toán [38]. Mặt khác, khi giải các bài toán thực tế [49] người ta thường cần sự hỗ trợ của máy tính và kết quả thu được là những lời giải số (với một tiêu chuẩn dừng nào đó, sau hữu hạn bước lặp, máy tính sẽ xuất ra một nghiệm, gọi là lời giải số). Do nhiều nguyên nhân khác nhau, nhiễu và sai số xuất hiện trong quá trình giải là không thể tránh khỏi. Điều này dẫn đến độ tin cậy của một lời giải số phụ thuộc rất lớn vào đặc tính ổn định của bài toán. Chính vì thế, người ta rất quan tâm đến các điều kiện tối ưu đảm bảo một sự ổn định nào đó của nghiệm [36, 40, 43]. Mục đích nghiên cứu của luận án là sử dụng và phát triển một số công cụ của giải tích biến phân bậc hai để thiết lập các điều kiện tối ưu loại này. Nhằm làm rõ các vấn đề nghiên cứu, tiếp theo chúng tôi sẽ nhắc lại một số kết quả về điều kiện tối ưu đảm bảo sự ổn định của nghiệm và một số vấn đề liên quan đến những đóng góp của luận án. Năm 1980, S. M. Robinson [43] đã giới thiệu điều kiện đủ bậc hai mạnh cho quy hoạch phi tuyến và chứng minh rằng đối với lớp bài toán này nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính và điều kiện đủ bậc hai mạnh được thỏa mãn tại điểm dừng thì hệ Karush-Kuhn-Tucker là chính quy mạnh tại điểm tương ứng ([43, Theorem 4.1]). Năm 1995, J. F. Bonnans và A. Sulem chỉ ra rằng nếu điểm dừng được xét là một 9 cực tiểu địa phương thì chiều ngược lại cũng đúng ([10, Theorem 4.10]). Năm 1996, A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar ([22, Theorem 1]) chứng minh được rằng: tính chính quy mạnh của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện là tương đương với tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm của bài toán tuyến tính hóa của nó với nhiễu chuẩn tắc. Nhờ đó, bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính chất Aubin [31], các tác giả này thu được đặc trưng tính chất chính quy mạnh của bài toán qua điều kiện mặt tới hạn ([22, Theorem 2]). Một số mở rộng của các kết quả đề cập ở trên đã được thiết lập cho lớp bài toán quy hoạch nón bậc hai [8, 42] và lớp bài toán quy hoạch nửa xác định [50]. Năm 1998, R. A. Poliquin và R. T. Rockafellar [40] giới thiệu khái niệm cực tiểu địa phương ổn định xiên. Ở đó, hai tác giả này đã thiết lập một đặc trưng của điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên qua tính xác định dương của dưới vi phân bậc hai qua giới hạn cho lớp hàm chính quy gần kề liên tục dưới vi phân ([40, Theorem 1.3]). Đối với quy hoạch phi tuyến thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính, tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương và tính chính quy mạnh của hệ Karush-Kuhn-Tucker là tương đương [36]. Tuy nhiên, khác với tính chính quy mạnh của hệ Karush-Kuhn-Tucker, tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương không kéo theo điều kiện chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính được thỏa mãn [35]. Điều này góp phần thúc đẩy các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương cho các quy hoạch phi tuyến với những điều kiện chuẩn hóa yếu hơn [31, 34, 35]. Vì quy tắc tính dưới vi phân bậc hai qua giới hạn thường yêu cầu điều kiện chuẩn hóa mạnh nên đặc trưng ổn định xiên của Poliquin và Rockafellar [40] khó áp dụng cho bài toán tối ưu chỉ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc yếu. Do đó, một số cấu trúc vi phân suy rộng khác đã được xem xét khi nghiên cứu tính ổn định xiên [12, 34]. Đặc biệt, N. H. Chieu, L. V. Hien và T. T. A. Nghia [12] đã chứng minh được rằng 10 tính xác định dương đều của đạo hàm đồ thị dưới gradient đặc trưng được tính ổn định xiên của điểm cực tiểu địa phương nếu hàm được xét là chính quy gần kề liên tục dưới vi phân. Mặt khác, với một số giả thiết, một điểm cực tiểu địa phương là ổn định xiên nếu và chỉ nếu điều kiện tăng trưởng bậc hai đều được thỏa mãn [18, 34]. Do đó, về cơ bản, tính xác định dương đều của đạo hàm đồ thị dưới gradient và điều kiện tăng trưởng bậc hai đều là hai tính chất tương đương. Ngoài điều kiện tăng trưởng bậc hai đều, điều kiện tăng trưởng bậc hai cũng là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu và tối ưu số [2, 3, 5, 9, 13, 17, 19, 20, 28, 29, 30, 46]. Nó có thể được sử dụng để chứng minh tốc độ hội tụ của các thuật toán tối ưu [5, 19, 41] cũng như phân tích nhiễu của các bài toán tối ưu [9]. Đối với hàm khả vi liên tục hai lần, điều kiện tăng trưởng bậc hai tương đương với tính xác định dương của ma trận Hesse của hàm mục tiêu tại điểm dừng. Đối với hàm không trơn, đặc trưng của điều kiện tăng trưởng bậc hai qua tính xác định dương của dưới đạo hàm bậc hai cũng đã được thiết lập [46]. Do sự tương đương giữa tính xác định dương đều của đạo hàm đồ thị dưới gradient và điều kiện tăng trưởng bậc hai đều, câu hỏi được đặt ra tự nhiên là: Điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient có quan hệ với nhau như thế nào? Đây là vấn đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án này. Năm 2014, J. Aragón Artacho và M. H. Geoffroy [3] đã chứng minh rằng đối với các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới, tính xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient tại điểm dừng tương đương với điều kiện tăng trưởng bậc hai. Đối với các hàm không lồi, A. Eberhard và R. Wenczel ([24, Theorem 71(2)]) đưa ra điều kiện đủ để điều kiện tăng trưởng bậc hai được thỏa mãn. Điều kiện này yếu hơn điều kiện xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient. Tuy nhiên, ví dụ của chúng tôi (Ví dụ 2.1.12) chỉ ra rằng kết quả này của Eberhard và Wenczel là 11 không chính xác. Đối với các hàm chính thường nửa liên tục dưới, chúng tôi chứng minh được rằng tính nửa xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient tại một điểm dừng kéo theo điểm dừng này là cực tiểu địa phương và dưới vi phân là dưới chính quy mêtric mạnh. Mặt khác, theo D. Drusvyatskiy, B. S. Mordukhovich và T. T. A. Nghia [20], tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân tại điểm cực tiểu địa phương là đủ để đảm bảo điều kiện tăng trưởng bậc hai đúng. Do đó, đối với các hàm chính thường nửa liên tục dưới, tính xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient tại điểm dừng kéo theo điều kiện tăng trưởng bậc hai (Định lý 2.1.6). Tuy nhiên, chiều ngược lại là không đúng (Ví dụ 2.1.7). Vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án này là: Với những lớp hàm nào, điều kiện tăng trưởng bậc hai kéo theo dưới vi phân là dưới chính quy mêtric mạnh? Mối liên hệ giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm. Năm 1995, R. Zhang và J. Treiman [53] chứng minh được một số kết quả về điều kiện tăng trưởng bậc hai cho các hàm có ánh xạ ngược của dưới vi phân là Lipschitz trên. Năm 2008, J. Aragón Artacho và M. H. Geoffroy [2] đã phát triển ý tưởng của Zhang và Treiman [53] bằng cách thay tính chất Lipschitz trên bởi một số tính chất chính quy mêtric của dưới vi phân, nhưng chỉ tập trung vào trường hợp hàm lồi. Đặc biệt, đối với các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới và xét tại điểm cực tiểu, họ chỉ ra rằng điều kiện tăng trưởng bậc hai thỏa mãn khi và chỉ khi dưới vi phân là dưới chính quy mêtric mạnh ([2, Theorem 3.5]). Đối với các hàm chính thường nửa liên tục dưới và xét tại điểm cực tiểu địa phương, năm 2014, D. Drusvyatskiy, B. S. Mordukhovich, T. T. A. Nghia [20] cho thấy tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân kéo theo điều kiện tăng trưởng bậc hai. Năm 2015, sử dụng các kết quả từ hình học nửa đại số, D. Drusvyatskiy và A. D. Ioffe [17] chứng minh được rằng chiều ngược lại cũng đúng nếu hàm được xét là nửa đại số. 12 Chúng tôi thu được kết quả tương tự như kết quả của Drusvyatskiy và Ioffe [17] nhưng cho một số lớp hàm khác, bao gồm lớp hàm chính quy gần kề, liên tục dưới vi phân và khả vi trên đồ thị hai lần (Định lý 2.2.6) và lớp hàm lồi biến phân (Định lý 2.2.11). Cách tiếp cận của chúng tôi ở đây là dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient và hệ thống các quy tắc tính toán của giải tích biến phân. Một số phát triển gần đây theo hướng này có thể tìm thấy trong các công trình [28, 29, 30, 41], ở đó các tác giả nghiên cứu mô hình hàm hợp với các hàm thành phần thỏa mãn các giả thiết nhất định, đảm bảo hàm hợp liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần. Vấn đề thứ ba được nghiên cứu trong luận án này là: Khảo sát các điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán quy hoạch nón thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric? Đối với quy hoạch nón thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson, các điều kiện tối ưu bậc hai đã được thiết lập năm 1999 bởi J. F. Bonnans, R. Cominetti và A. Shapiro [7]. Các kết quả theo hướng này đã được tổng hợp và trình bày trong tài liệu [9]. Điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric yếu hơn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson. Chúng tôi thu được các điều kiện cần tối ưu bậc hai cho một lớp bài toán quy hoạch nón thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric. Đặc biệt, tính nửa xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient của tổng hàm mục tiêu và hàm chỉ của tập ràng buộc là điều kiện cần tối ưu cho các bài toán quy hoạch nón được xem xét (Định lý 3.1.13). Nó được chứng minh là tương đương với điều kiện cần bậc hai của Bonnans, Cominetti và Shapiro [7]. Từ kết quả này, kết hợp với điều kiện đủ bậc hai cho cực tiểu địa phương mạnh, chúng tôi thu được một số đặc trưng của điều kiện tăng trưởng bậc hai (Định lý 3.2.1). Điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric không những có vai trò quan trọng trong việc thiết lập điều kiện cần bậc hai mà còn là điều kiện không thể thiếu để đảm bảo dưới vi phân 13 của tổng hàm mục tiêu và hàm chỉ của tập ràng buộc là dưới chính quy mêtric mạnh tại điểm cực tiểu địa phương mạnh (Ví dụ 3.2.7). Điều kiện chuẩn hóa ràng buộc này cũng cho phép chúng tôi thiết lập được mối liên hệ giữa một số điều kiện tối ưu bậc hai đã có và các điều kiện tối ưu mới dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient. Gần đây, bằng một cách tiếp cận khác, Mohammadi, Mordukhovich và Sarabi [28, 29, 30] đã chỉ ra rằng đối với các bài toán quy hoạch nón được xem xét ở đó, tổng của hàm mục tiêu và hàm chỉ của miền ràng buộc là liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần. Do đó, một số kết quả của chúng tôi về quy hoạch nón có thể chứng minh bằng cách áp dụng trực tiếp kết quả của chúng tôi ở phần trước và kết quả đề cập ở trên của Mohammadi, Mordukhovich và Sarabi. Tiếp theo chúng tôi giới thiệu về cấu trúc của luận án. Ngoài các phần: Lời cam đoan; Lời cảm ơn; Mục lục; Một số kí hiệu dùng trong luận án; Danh mục các chữ viết tắt; Mở đầu; Kết luận và kiến nghị; Danh mục các công trình khoa học của nghiên cứu sinh và Danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 chúng tôi trình bày một số kết quả về phép tính vi phân suy rộng trong giải tích biến phân. Mục 1.1 chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản trong giải tích biến phân làm cơ sở cho việc giới thiệu các kết quả chính của luận án. Mục 1.2 chúng tôi trình bày các vấn đề của hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng và thiết lập một số quy tắc tính toán. Chương 2 chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân. Mục 2.1 chúng tôi trình bày điều kiện tối ưu của hàm chính thường, nửa liên tục dưới dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient. 14 Mục 2.2 chúng tôi trình bày quan hệ tương đương giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân của một số lớp hàm không chính quy gần kề. Chương 3 chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu bậc hai cho lớp bài toán quy hoạch nón. Mục 3.1 chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần tối ưu bậc hai. Mục 3.2 chúng tôi trình bày các đặc trưng của sự tăng trưởng bậc hai trong trường hợp bài toán quy hoạch nón. Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại các seminar của Bộ môn Giải tích thuộc Khoa Toán học - Trường Đại học Vinh; Hội thảo Kỉ niệm 60 năm thành lập Đại học Vinh - ngành Toán (19/09/2019) và các Hội nghị NCS của Trường Đại học Vinh. Những kết quả chính của luận án này đã được viết thành ba bài báo, trong đó một bài đăng ở SIAM Journal on Optimization ([13]), một bài đăng ở Journal of Optimization Theory and Applications ([15]) và một bài đăng ở Tạp chí Khoa học Đại học Vinh ([51]). Tác giả Hà Anh Tuấn 15 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN SUY RỘNG TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN Chương này được chúng tôi dành để thiết lập các quy tắc tính toán biến phân bậc hai. Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và kết quả đã biết trong giải tích biến phân. Tiếp theo, chúng tôi thiết lập một số quy tắc tổng dạng đẳng thức của hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng và một hàm chính thường nửa liên tục dưới đối với đạo hàm đồ thị dưới gradient, dưới đạo hàm bậc hai và dưới đạo hàm parabol. Sau đó, chúng tôi thiết lập một số mở rộng của các kết quả trong [30]. 1.1 Các khái niệm và tính chất bổ trợ Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và các kết quả đã biết trong giải tích biến phân để sử dụng trong các phần tiếp theo. Nếu không có giải thích gì thêm thì các không gian được sử dụng trong luận án là các không gian Ơclit Rn , với n là số nguyên dương. 1.1.1 Định nghĩa. [46, Chapter 5] Quy tắc F đặt mỗi x ∈ Rn tương ứng một và chỉ một tập F (x) ⊂ Rm được gọi là ánh xạ đa trị từ không gian Rn vào không gian Rm , được kí hiệu là F : Rn ⇒ Rm . Nếu với mọi x ∈ Rn , tập hợp F (x) chỉ có đúng một phần tử trong Rm thì ta nói F là một ánh xạ đơn trị từ không gian Rn vào không gian Rm và kí hiệu 16 F : Rn → Rm . 1.1.2 Định nghĩa. [46] Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm . (i) Miền hữu hiệu của F được kí hiệu và xác định bởi  domF := x ∈ Rn | F (x) 6= ∅ . (ii) Miền ảnh của F được kí hiệu và xác định bởi  rgeF := y ∈ Rm | ∃x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x) . (iii) Đồ thị của F được kí hiệu và xác định bởi  gphF := (x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x) . (iv) Ánh xạ ngược F −1 : Rm ⇒ Rn được định nghĩa bởi  F −1 (y) = x ∈ Rn | y ∈ F (x) , ∀y ∈ Rm . 1.1.3 Định nghĩa. [32, 46] Cho hàm số f : Rn → R. (i) Miền hữu hiệu của hàm f được kí hiệu và xác định bởi  domf := x ∈ Rn | f (x) < ∞ . (ii) Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn . (iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu lim inf f (u) ≥ f (x). u→x (iv) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới địa phương tại x̄ ∈ domf nếu tồn tại ε > 0, sao cho mọi tập có dạng {x ∈ Bε (x̄)| f (x) ≤ α} là tập đóng, trong đó α ≤ f (x̄) + ε.