MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BUNYAKOVSKI
MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
A.
CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI
Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể
sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh
hơn.
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta
kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải
ne
t
các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình
thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này.
u.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra
lie
đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp
dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn
ai
với cùng một điều kiện của biến.
bo
được tại vị trí biên.
xt
Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các
bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu
bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó
bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.
B. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
I. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Cho n số thực không âm a1 , a2 ,..., an , n Z , n 2 , ta luôn có:
a1 a2 ... an n . n a1 .a2 ...an
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 ... an
http://boxtailieu.net
1
II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1. Kỹ thuật tách ghép bộ số
1.1 Kỹ thuật tách ghép cơ bản
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a bb c c a 8abc
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a bb cc a 2
ab .2 bc .2 ac 8abc (đpcm)
Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
ac bd
a bc d
Giải:
ac bd
ne
b
d
.
a b c d
u.
a
c
.
a b c d
1 a
c 1 b
d 1ab cd
1
2ab cd 2ab cd 2ab cd
lie
a b c d
a bc d (đpcm)
ai
ac bd
t
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a c
. Chứng minh rằng:
b c
bo
xt
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
Giải:
ca c cb c ab
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
ca c cb c
ab
c a c
c b c
.
.
b
a
a
b
1c ac 1c bc
2b
a 2a
b
1c
c 1c
c
1 1 1
2b
a 2a
b
ca c cb c ab (đpcm)
http://boxtailieu.net
2
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
1 3 abc 3 1 a 1 b1 c
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1 3 abc
3
1 a 1 b 1 c
1
1
1
a
b
c
.
.
3
.
.
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c
3
1 1
1
1 1 a
b
c
3 1 a 1 b 1 c 3 1 a 1 b 1 c
1 1 a 1 b 1 c
1
3 1 a 1 b 1 c
1 3 abc 3 1 a 1 b1 c (đpcm)
a 1
. Chứng minh rằng:
b
1
ne
t
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa
a b 1 b a 1 ab
u.
Giải:
ab
(2)
2
xt
Tương tự: b a 1
1
a ab a ab (1)
2
2
ai
a b 1 a ab a
lie
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
bo
Cộng theo vế (1) và (2), ta được:
a b 1 b a 1 ab (đpcm)
Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 16aba b2 a b4
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
16aba b 4.4ab a b
2
2
4ab a b 2
a b 2
4
4.
4.
a b (đpcm)
2
2
2
2
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a1 b b1 c c1 a 33 abc 1 3 abc
Giải:
Ta có:
a1 b b1 c c1 a a b c ab bc ca
http://boxtailieu.net
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a b c 33 abc
ab bc ca 33 abc
2
a b c ab bc ca 33 abc 33 abc 33 abc 1 33 abc
2
a1 b b1 c c1 a 33 abc 1 3 abc
(đpcm)
Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: ab
a b
a b 1
b a
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a b ab a ab b a
b
b a 2 2b 2 2a 2b 2a
ab a
ab b
a b
. 2
.
2
.
a b 1 (đpcm)
2 2b
2 2a
2b 2a
ne
2
t
ab
u.
Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c 10 . Tìm GTLN của: A a 2b3c5
Giải:
lie
Ta có:
2
3
5
2
3
5
xt
ai
a a b b b c c c c c
a b c
10 a b c 1010 . .
2 2 3 3 3 5 5 5 5 5
2 3 5
2
3
5
a b c
a b c
. . 1 . . 1 a 2b3c 5 22 3355 337500
2 3 5
2 3 5
bo
10
a 2
a b c
a b c abc
1 b 3
Dấu “=” xảy ra 2 3 5
2 3 5
10
c 5
a b c 10
Vậy GTLN của A là 337500.
1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo
Bài 1: Chứng minh rằng:
a b
2 , a,b 0
b a
Giải:
Vì a,b 0 nên
a
b
0,
0
b
a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a b
a b
2 . 2 (đpcm)
b a
b a
http://boxtailieu.net
4
Bài 2: Chứng minh rằng: a
1
3 , a 1
a 1
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a
1
1
1
a 1
1 2 a 1
1 2 1 3 (đpcm)
a 1
a 1
a 1
a2 2
Bài 3: Chứng minh rằng:
a2 1
2 , a R
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a2 1
a2 11
a2 1
a2 1
1
2
a2 1
a2 1
3a 2
1
, a 0
4
1 9a
2
a2 1
2 (đpcm)
ne
Bài 4: Chứng minh rằng:
1
t
a2 2
u.
Giải:
lie
Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
xt
ai
3a 2
1
1
1
1
(đpcm)
4
4
1
1
9a
1 9a
3a 2 2 1 .3a 2 2
2
2
2
3a
3a
3a
3a 2
2
a2
2 , a 1
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 1
a 1
bo
2
Giải:
2
a 2 2a 2
A a 1
a
1
2
a 12 1
a 1
a 1
2
2
1
a 1 a 1
a 1
2
2
2a 1
2
1
a 1
2
2
Cauchy
2 2a 1
2
1
a 12
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2a 12
22 22
1
a 12
hay a
24 8
2
Vậy GTNN của A 2 2 2
http://boxtailieu.net
5
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A a
2
, a 0
a2
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Aa
2 a a
a2 2 2
1
a a
1
1 3
3. . .
33 3 4
3 2 2
a a
a a
2 2
2. .
2. .
2 2
2 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTNN của A
a
2
2 hay a 3 4
2 a
33
4
2
Bài 7: Chứng minh rằng: a
1
3 , a b 0
b( a b)
ne
t
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
u.
1
1
1
b a b
33 b.a b .
3
ba b
ba b
ba b
4
a bb 12
3 , a b 0
ai
Bài 8: Chứng minh rằng: a
lie
a
xt
Giải:
a
bo
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
4
a b
b 1 b 1
1
1
b 1 b 1
2
2
a b b 1
a b
2
2
b 1 . b 1 .
1
4. a b .
1 3
4
2
2
a b b 1 b 1
2
2
2
1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
ab bc ca
a b c
Phép cộng:
2
2
2
2a b c a b b c c a
abc ab bc ca ,
Phép nhân:
a, b, c 0
2 2 2
a b c ab bc ca
http://boxtailieu.net
6
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
bc ca ab
abc
a
b
c
Giải:
Ta có:
bc ca ab 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc
a
b
c
2 a
b 2 b
c 2 c
a
bc ca
ca ab
ab bc
.
.
.
abc
a b
b c
c a
a2 b2 c2 b c a
b2 c2 a2 a b c
Bài 2: Cho ba số thực abc 0 . CMR:
Giải:
Ta có:
t
1 c2 a2
2 2
b
2a
a2 b2
b2 c2
c2 a2
b c a b c a
.
. 2
2
2
2
2
2
a b c a b c
b c
c a
a b
u.
1 b2 c2
2 2
a
2c
ne
a2 b2 c2 1 a2 b2
b 2 c 2 a 2 2 b 2 c 2
lie
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1. CMR:
xt
Giải:
ai
bc ca ab
a b c 3
a
b
c
bo
bc
b c c a a b 2 bc 2 ca 2 ab
ca
ab
2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
bc
ca ca
ab ab
bc
b
c
a
b
c
a
2
Vậy
bc ca
2
a b
ca ab
2
b c
ab bc
c a
2 a b c
a b c
a b c
a b c 33
a b c a b c 3
bc ca ab
a b c 3
a
b
c
http://boxtailieu.net
7
Bài 4: Cho ABC , AB c, BC a, CA b, p
abc
. CMR:
2
p a p b p c 1 abc
8
Giải:
Ta có:
p a p b p c p a p b p b p c p c p a
p a p b . p b p c . p c p a
2
2
2
2 p a b 2 p b c 2 p c a 1
.
.
abc
2
2
2
8
Bài 5: Cho ABC , AB c, BC a, CA b, p
abc
. CMR:
2
ne
t
1
1
1
1 1 1
2
p a p b p c
a b c
u.
Giải:
Ta có:
lie
1
1
1
1 1
1 1 1
1 1 1
1
p a p b p c 2 p a p b 2 p b p c 2 p c p a
ai
1
p a p b
xt
1
p b p c
1
p c p a
1
1
1
p a p b p b p c p c p a
2
2
2
1 1 1
2
a b c
bo
1.4 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo
Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau
Với n N và x1 , x2 ,..., xn 0 thì
x1 x2 ... xn 1
x1
1
1
.. n 2
x2
xn
Chứng minh bất đẳng thức trên :
Ta có với x1 , x2 ,..., xn 0 thì
x1 x2 ... xn 1
x1
1
1
1
.. nn x1 x2 ...xn .nn
n2
x2
xn
x1 x2 ...xn
http://boxtailieu.net
8
Với n 3 và x1 , x2 , x3 0 thì
x1 x2 x3 1
x1
1
1
9
x 2 x3
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
bc ca ab
6
a
b
c
Giải:
Ta có:
bc ca ab bc ca ab
1
1
1
3
a
b
c
a
b
c
abc bca cab
3
a
b
c
1 1 1
a b c 3 9 3 6
a b c
t
a
b
c
3
bc ca ab 2
ne
Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
u.
(Bất đẳng thức Nesbit)
lie
Giải:
Ta có:
bo
xt
ai
a
b
c
a
b
c
1
1
1
3
bc ca ab bc ca ab
abc bca cab
3
bc
ca
ab
1
1
1
a b c
3
bc ca ab
1
1
1
1
b c c a a b
3
2
bc ca ab
9
3
3
2
2
c2
a2
b2
abc
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
ab bc ca
2
Giải:
c2
a2
b2
c2
a2
b2
a
b
a b c
c
ab bc ca
ab
bc
c a
c
a
b
c1
a1
b1
a b c
ab bc ca
http://boxtailieu.net
9
abc bca cab
c
a
b
a b c
ab bc ca
a
b
c
a b c
a b c
ab bc ca
a
b
c
a b c
1
ab bc ca
Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:
a
b
c
3
bc ca ab 2
Do đó
c2
a2
b2
3 abc
(đpcm)
a b c 1
ab bc ca
2
2
t
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a b c 1 . Chứng minh bất đẳng thức
ne
sau:
1
1
1
2
2
9
a 2bc b 2ca c 2ab
u.
2
lie
Giải:
Do a b c 1 ta có:
ai
1
1
1
1
1
1
2
2
2
a b c 2
2
2
a 2bc b 2ca c 2ab
a 2bc b 2ca c 2ab
1
1
1
a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac 2
2
2
a 2bc b 2ca c 2ab
1
1
1
a 2 2bc b 2 2ac c 2 2ab 2
2
2
9
a 2bc b 2ca c 2ab
xt
2
bo
2. Kỹ thuật đổi biến số
Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết
được phương hướng giải. Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn
giản và dễ nhận biết hơn.
Bài 1: Cho ABC , AB c, BC a, CA b. CMR:
b c ac a ba b c abc (1)
Giải:
http://boxtailieu.net
10
yz
a 2
b c a x
zx
Đặt: c a b y b
2
a b c z
x y
c 2
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
x. y.z
x y yz zx
.
.
2
2
2
Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên :
x, y, z 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
x y yz zx
.
.
xy . yz zx xyz
2
2
2
t
b c ac a ba b c abc (đpcm)
ne
Hay
u.
Bài 2: Cho ABC , AB c, BC a, CA b. CMR:
lie
a
b
c
3 (1)
bca ca b a bc
Giải:
ai
Đặt:
bo
xt
yz
a 2
b c a x 0
zx
c a b y 0 b
2
a b c z 0
x y
c 2
Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:
yz zx x y
2x
2y
2z
Ta có:
y z z x x y 1 y x 1 z
2x
2y
2z
2 x y 2 x
Hay
a
b
c
3
bca ca b a bc
2
2
y x 2
.
x y 2
x 1 z y
z 2 y z
z x 2
.
x z 2
z y
. 3
y z
(đpcm)
http://boxtailieu.net
11
Bài 3: Cho ABC , AB c, BC a, CA b. CMR:
a2
b2
c2
a b c (1)
bc a c a b a bc
Giải:
yz
a 2
b c a x 0
zx
c a b y 0 b
2
a b c z 0
x y
c 2
Đặt:
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
4y
4z
Ta có:
4y
4z
yz zx
.
x y
zx xy
.
y z
H
xy yz
.
zx y
z x
ai
a2
b2
c2
a b c (đpcm)
bc a c a b a bc
xt
ay
yz zx xy 1 yz zx 1 zx xy 1 xy yz
x
y
z
2 x
y 2 y
z 2 z
x
lie
4x
u.
y z 2 z x 2 x y 2
x yz
ne
4x
t
y z 2 z x 2 x y 2
bo
Bài 4: Cho ABC , AB c, BC a, CA b, p
1
p a
2
1
p b
2
1
p c
2
abc
. CMR:
2
p
p a p b p c
(1)
Giải:
Ta có:
pa
bca
0
2
Tương tự:
p b 0
pc 0
Đặt:
p a x 0
p b y 0 p x y z
p c z 0
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
http://boxtailieu.net
12
1
1
1
x yz
2 2
2
xyz
x
y
z
Ta có:
1
1
1 1 1
1
2 2 2 2
2
2 x
x
y
z
y
1 1
.
x2 y2
Hay
1 1
1
2 2
z
2 y
1
p a
2
1 1
1
1
1 x yz
2
2
xy yz zx
xyz
z x
1 1
.
y2 z2
1
p b
2
1 1
1
2 2
x
2 z
1
p c
2
p
(đpcm)
p a p b p c
Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
a
b
c
3
(1)
bc ca ab 2
ne
u.
lie
Đặt:
yzx
a
2
b c x
zx y
c a y b
2
a b z
x yz
c
2
t
Giải:
Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:
bo
Ta có:
xt
ai
yzx zx y x yz 1
2x
2y
2z
2
y z x z x y x yz 1 y x 1 z
2x
2y
2z
2 x y 2 x
Hay
2
2
y x 2
.
x y 2
z x 2
.
x z 2
x 1 z y 3
z 2 y z 2
z y 3 3
.
y z 2 2
a
b
c
3
(đpcm)
bc ca ab 2
Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa a c b c 1 . CMR:
1
1
1
4
2
2
a b a c b c 2
http://boxtailieu.net
(1)
13
Giải:
1
x y
a c x xy 1
1
y
x
b c y a b x y
a b x y
Đặt:
Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:
1
1
1
2 2 4
2
x y x y
Ta có:
1
1
1
1
1
2 2
x2 y 2 2
x2 y2
2
2
2
x 2 xy y
x y x y x y
t
1
1
x2 y 2 2 2 2 2
. x2 y 2 2 2 4
2
x 2 y
x 2 y2
2
ne
1
1
1
4 (đpcm)
2
2
a b a c b c 2
u.
Vậy
Tìm GTNN của biểu thức:
y 2 z x
ai
x2 y z
y y 2z z
z z 2x x
bo
xt
A
lie
Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz 1 .
Giải:
z 2 x y
x x 2y y
Đề thi Đại học khối A năm 2007
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
A
x 2 .2 yz
y y 2z z
2 x x xyz
y y 2z z
2x x
y y 2z z
y 2 .2 zx
z z 2x x
2 y y yzx
z z 2x x
2y y
z z 2x x
z 2 .2 xy
x x 2y y
2 z z zxy
x x 2y y
2z z
x x 2y y
http://boxtailieu.net
14
1
x x 2a 4b c
a y y 2 z z
9
1
Đặt: b z z 2 x x y y a 2b 4c
9
c
x
x
2
y
y
1
z z 9 4a b 2c
Khi đó
A
2 2a 4b c a 2b 4c 4a b 2c
9
a
b
c
2
b a c c a b
6 4
9
a c b a b c
2
b a c
c a b 2
6 4.3.3 . . 3.3 . . 6 12 3 2
9
a c b
a b c 9
Dấu “=” xảy ra a b c 1
ne
t
Vậy GTNN của A là 2
3. Kỹ thuật chọn điểm rơi
u.
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất
lie
đẳng thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
ai
Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
xt
Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
bo
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn
điểm rơi trong các trường hợp trên
3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên
Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A a
1
a
Sai lầm thường gặp là: A a 2 a.
1
a
1
2 . Vậy GTNN của A là 2.
a
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 a
1
a 1 vô lý vì theo giả thuyết thì
a
a 2.
Lời giải đúng: A a
1 a 1 3a
a 1 3a
3.2 5
2 .
1
a 4 a 4
4 a 4
4
2
http://boxtailieu.net
15
Dấu “=” xảy ra
a 1
hay a 2
4 a
Vậy GTNN của A là
5
.
2
Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn
điểm rơi trong bất đẳng thức.
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN
khi a 2 . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a 2 ” . Ta không thể áp dụng
bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và
phải tách a hoặc
1
vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta
a
1
để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=”.
a
a 1
a
1
, ta có sơ đồ sau:
a
u.
a 2 ” thì
ne
t
Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , sao cho tại “Điểm rơi
a
xt
1 a 3a 1
và ta có lời giải như trên.
a 4 4 a
bo
Khi đó: A a
ai
lie
a 2
2 1
a2
4
2
1 1
a 2
a 1
Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số , ta có thể chọn các các
a
1
1
cặp số sau: a, hoặc a, hoặc a, .
a
a
a
Bài toán 2: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A a
1
a2
Sơ đồ điểm rơi:
a 2
2 1
a2
8
4
1 1
a 2 4
http://boxtailieu.net
16
Sai lầm thường gặp là:
A
a 1 7a
a 1 7a
2
2 . 2
8 a
8
8 a
8
1 7a
2a 8
1
7.2 9
. Dấu “=” xảy ra
2.2
8
4
a 2.
Vậy GTNN của A là
9
4
Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là
9
là đáp số đúng nhưng cách giải
4
trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ a 2
Lời giải đúng: A
1
2a
1
là sai”.
2.2
a a 1 6a
a a 1 6a 3 6.2 9
2
3.3 . . 2
8 8 a
8
8 8 a
8 4 8
4
9
4
ne
Vậy GTNN của A là
t
Dấu “=” xảy ra a 2
1
ab
lie
u.
Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1 . Tìm GTNN của A ab
Phân tích:
1
ab
ab
4
2
Ta có:
bo
Sơ đồ điểm rơi:
xt
ai
2
1
ab
1
1
1
4
ab
4
4
4
16
1 4
ab
Giải:
Ta có:
1
ab
ab
4
2
1
ab
4
2
A 16ab
1
1
1 17
15ab 2 16ab
15ab 8 15.
ab
ab
4 4
Dấu “=” xảy ra ab
1
1
ab
4
2
http://boxtailieu.net
17
Vậy GTNN của A là
17
4
Bài 2: Cho số thực a 6 . Tìm GTNN của A a 2
18
a
Phân tích:
Ta có
A a2
18
9 9
a2
a
a a
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 6 . Ta có sơ đồ
điểm rơi:
ne
t
a 2 36
36 3 24
a 6
2
9 9 3
a 6 2
Giải:
a 2 9 9 23a 2
a 2 9 9 23a 2
33
. .
24 a a
24
24 a a
24
9 23.36
39
2
24
xt
a2 9
a6
24 a
bo
Dấu “=” xảy ra
ai
lie
Ta có:
u.
A
Vậy GTNN của A là 39
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 . Tìm GTNN của
A abc
3 9 4
a 2b c
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi a 2b 3c 20 ,tại điểm rơi a 2, b 3, c 4 .
Sơ đồ điểm rơi:
a 2
2 3
4
a2
2
3
3 3
a 2
http://boxtailieu.net
18
b 3
3 3
b 3
2
2
9 3
2b 2
c 4
4
c4
1 4
4 1
c
Giải:
3a 3 b 9 c 4 a b 3c
A
4 a 2 2b 4 c 4 2 4
3a 3
b 9
c 4 a 2b 3c
. 2 .
2 .
4 a
2 2b
4 c
4
3 3 2 5 13
2
ne
t
Dấu “=” xảy ra a 2, b 3, c 4
Vậy GTNN của A là 13
u.
ab 12
. Chứng minh rằng:
bc 8
lie
Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa
1
1
1
8
121
ab bc ca abc 12
xt
Phân tích:
ai
a b c 2
ab 12
,tại điểm rơi a 3, b 4, c 2 .
bc 8
Giải:
bo
Dự đoán GTNN của A đạt được khi
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a
b
2
a b 2
1
33 . .
18 24 ab
18 24 ab 2
a c 2
a c 2
33 . .
1
9 6 ca
9 6 ca
b c 2
b c 2
3
33
. .
16 8 bc
16 8 bc 4
a c b
8
a c b 8
4
44 . . .
9 6 12 abc
9 6 12 abc 3
http://boxtailieu.net
19
13a 13b
13a 13b
13 13
13
2
.
2
. .12
18
24
18 24
18 24
3
13b 13c
13b 13c
13 13
13
2
.
2
. .8
48 24
48 24
48 24
4
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
a b c 2
1
1
1
8
121
ab bc ca abc 12
(đpcm)
3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau:
Bài toán:
Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1 .. Tìm GTNN của
A ab
1 1
1 1
44 a.b. . 4
a b
a b
ne
t
Sai lầm thường gặp là: A a b
1 1
a b
Vậy GTNN của A là 4.
ai
Phân tích:
1 1
a b 1 . Khi đó
a b
lie
a b 2 1 trái giả thuyết .
u.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 a b
xt
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
bo
ab
1
2
Sơ đồ điểm rơi:
1
a b
1
1
1
2
ab
2
2
2
4
1 1 2
a b
Lời giải đúng: A 4a 4b
Dấu “=” xảy ra a b
1 1
1 1
3a 3b 44 4a..4b. . 3a b 8 3 5
a b
a b
1
2
Vậy GTNN của A là 5
http://boxtailieu.net
20
- Xem thêm -
.PDF 
63 
251 
115 
