Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
03. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO
Thầy Đặng Việt Hùng
Xét các hàm số y = f ( x) có đồ thị là (C), tập xác định D1 và hàm số y = g ( x) có đồ thị là (C’), tập xác định
là D2. Khi đó số nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) với x ∈ ( D1 ∩ D2 ) chính là số giao điểm của hai đồ
thị đã cho.
Phương trình f ( x) = g ( x) hay f ( x) − g ( x) = 0 ⇔ h( x) = 0 được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây :
y = x3 − 3x − 2
a)
y = m ( x − 2)
2x + 1
y =
b)
x+2
y = 2 x + m
Hướng dẫn giải:
y = x3 − 3x − 2
a)
y = m ( x − 2)
(
y = x 4 + x 2 + 1
c)
2
y = (1 − m ) x + 2m
)
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3x − 2 = m ( x − 2 ) ⇔ ( x − 2 ) x 2 + 2 x + 1 = m ( x − 2 ) , (1)
x = 2
⇔
2
2
( x + 1) = m ⇔ h ( x ) = x + 2 x + 1 − m = 0, ( 2 )
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3.
Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm.
Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2.
∆′ < 0
1 − (1 − m ) < 0 ⇔ m < 0
′
∆
=
0
⇔ m = 0
⇔ m < 0.
Từ đó ta có điều kiện tương ứng
→
vn
b
o
=2
x = −
−1 = 2
2a
Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt.
Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2.
∆′ = 0
→m = 0
x = − b ≠ 2
2a
Ta có điều kiện
∆′ > 0 ⇔ m > 0
→m = 9
h ( 2 ) = 0 m = 9
Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm khi (1) có ba nghiệm phân biệt.
∆′ > 0
m > 0
Điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt và đều khác 2 ⇔
⇔
h ( 2 ) ≠ 0 m ≠ 9
Kết luận:
+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m < 0.
+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi m = 0 hoặc m = 9.
+ Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi m > 0 và m ≠ 9.
2x + 1
y =
b)
x + 2 . Điều kiện: x ≠ −2.
y = 2 x + m
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
2x + 1
= 2 x + m ⇔ 2 x 2 + ( m + 2 ) x + 2m − 1 = 0 ⇔ h ( x ) = 0, (1) .
x+2
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2.
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = −2.
m 2 + 4m + 4 − 8 ( 2m − 1) < 0
∆ < 0
6 − 2 6 < m < 6 + 2 6
2
∆
=
0
Ta có
⇔ m − 12m + 12 = 0
⇔ m = 6 ± 2 6
⇔ 6 − 2 6 < m < 6 + 2 6.
→ vno
b
m
+
2
−
= −2
x = −
= −2
m = 6
2a
4
Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có nghiệm kép khác −2 hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm
là x = −2.
m 2 − 12m + 12 = 0
m = 6 ± 2 6
∆ = 0
⇔
→m = 6 ± 2 6
− m + 2 ≠ −2
m≠6
b
x=−
4
≠ −2
2a
⇔
Ta có điều kiện:
m > 6 + 2 6
2
∆
>
0
m
m
−
12
+
12
>
0
→ vno
8 − 2 m + 2 + 2m − 1 = 0 ⇔ m < 6 − 2 6
h ( 2 ) = 0
(
)
3 = 0
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và đều khác −2
m > 6 + 2 6
m > 6 + 2 6
m 2 − 12m + 12 > 0
∆ > 0
Ta có điều kiện:
⇔
⇔ m < 6 − 2 6
→
h ( 2 ) ≠ 0 8 − 2 ( m + 2 ) + 2m − 1 ≠ 0
m < 6 − 2 6
3 ≠ 0
Kết luận:
+ Hai đồ thị không cắt nhau khi 6 − 2 6 < m < 6 + 2 6.
Phương trình hoành độ giao điểm:
+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m = 6 ± 2 6.
m > 6 + 2 6
+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi
m < 6 − 2 6
y = x 4 + x 2 + 1
c)
2
y = (1 − m ) x + 2m
Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 + x 2 + 1 = (1 − m ) x 2 + 2m ⇔ x 4 + mx 2 + 1 − 2m = 0 ⇔ h ( x ) = 0, (1) .
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 4.
Đặt t = x 2 , ( t ≥ 0 )
→ h ( t ) = t 2 + mt + 1 − 2m = 0, ( 2 )
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép âm, hoặc có hai
nghiệm âm phân biệt.
+ (2) vô nghiệm khi ∆ < 0 ⇔ m 2 − 4 (1 − 2m ) < 0 ⇔ m 2 + 8m − 4 < 0 ⇔ ( m + 4 ) < 20 ⇔ −4 − 2 5 < m < −4 + 2 5
2
m 2 + 8m − 4 = 0
∆ = 0
m = −4 ± 2 5
⇔ −m
⇔
→ m = −4 + 2 5.
+ (2) có nghiệm kép âm khi −b
<0
m > 0
t = 2a < 0
2
m > −4 + 2 5
m 2 + 8m − 4.0 m < −4 − 2 5
∆ > 0
1
+ (2) có hai nghiệm âm phân biệt khi t1 + t2 < 0 ⇔ − m < 0
⇔ m > 0
→ −4 + 2 5 < m < .
2
1 − 2m > 0
1
t1t2 > 0
m <
2
1
Hợp ba khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị không cắt nhau là −4 − 2 5 < m < .
2
Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có một nghiệm, điều đó chỉ xảy ra khi nghiệm đó là x = 0.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
1
Từ đó ta được kiện 1 − 2m = 0 ⇔ m = .
2
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương,
hoặc có hai nghiệm trái dấu.
m 2 + 8m − 4 = 0
∆ = 0
m = −4 ± 2 5
+ (2) có nghiệm kép dương khi −b
⇔ −m
⇔
→ m = −4 − 2 5.
>0
m < 0
t = 2a > 0
2
1
+ (2) có hai nghiệm trái dấu khi t1t2 < 0 ⇔ 1 − 2m < 0 ⇔ m > .
2
m = −4 − 2 5
Hợp hai khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm là
m > 1
2
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0.
1
h ( 0 ) = 0
1 − 2m = 0 m =
⇔
⇔
→ vno .
Điều đó xẩy ra khi
2
t1 + t2 > 0 −m > 0
m < 0
Vậy không có giá trị nào của m để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm.
Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm khi (1) có bốn nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt, và hai
nghiệm đều dương.
m > −4 + 2 5
m 2 + 8m − 4 > 0 m > −4 − 2 5
∆ > 0
Điều đó xẩy ra khi t1 + t2 > 0 ⇔ −m > 0
⇔ m < 0
→ m < −4 − 2 5.
t t > 0
1 − 2m > 0
1
12
m <
2
Kết luận:
1
+) Hai đồ thị không cắt nhau khi −4 − 2 5 < m < .
2
1
+) Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m = .
2
m = −4 − 2 5
+) Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi
m > 1
2
+) Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi m < −4 − 2 5.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
y = x3 + 3x 2 + x
a)
y = 3x + 4
x+3
y =
b)
x −1
y = 2 x − 3
y = x3 + (m − 1) x 2 + 2mx + 2
Ví dụ 3: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
theo tham số m.
y
=
3
x
−
4
x + 2m
y =
Ví dụ 4: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
x − 1 theo tham số m.
y = mx + 1
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?
x3
x +1
3
y = − + 3x
y = 2 x − x − 1
y =
c)
b)
a)
3
x −1
y
=
m
x
−
1
(
)
y = m ( x − 3)
y = −2 x + m
Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?
x4
1
y
=
−
+ 3x 2 +
a)
2
2
y = mx 2 + 1
y = −2 x 4 + ( m + 3) x 2 − 1
b)
2
y = − x − 2
2x
y =
c)
x+2
y = − mx + 1
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
06. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
Dạng 1. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB = 2a; BC =
3a
; AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BD.
2
Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách
a) từ C đến mặt phẳng (SBD)
b) từ B đến mặt phẳng (SAH)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2a; BD = 2a 2. Gọi H là trọng tâm
tam giác ABD, biêt rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc
giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách
a) từ C đến mặt phẳng (SHD)
b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SAM).
b) từ C đén (SAH)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB = a 3; AC = a. Gọi I là điểm trên BC
sao cho BI =
1
IC và H là trung điểm của AI. Biết rằng SH ⊥ ( ABC ) và góc giữa mặt phẳng (SBC) và
2
(ABC) bằng 600. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SHC).
b) từ C đến (SAI)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của
S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho HB = 2 HA . Biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. Tính
khoảng cách
a) từ D đến (SHC).
b) từ trung điểm M của SA đến (SHD)
Hướng dẫn: (Các em tự vẽ hình nhé)
+) Ta dễ dàng tính được HC =
a 97
a 97
; ( SC ; ABCD ) = SCH = 450 ⇒ SH = HC =
3
3
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
+) Kẻ DD1 ⊥ HC ⇒ DD1 ⊥ ( SHC ) ⇒ DD1 = d ( D; SHC )
Sử dụng tính toán qua công cụ diện tích ta dễ dàng có
2 S HDC = DD1.HC = DC.d ( H ; DC ) ⇒ D.D1 =
2a.3a 18a
18a
=
⇒ d ( D; SHC ) =
a 93
97
97
3
b) Do M là trung điểm của SA nên d ( M ; SHD ) =
1
d ( A; SHD )
2
2a
.3a
AH . AD
6a
3
+) Kẻ AK ⊥ HD ⇒ AK ⊥ ( SHD ) ⇒ AK = d ( A; SHD ) , mà AK =
=
=
HD
85
a 85
3
Tư đó suy ra d ( M ; SHD ) =
3a
.
85
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Loại 1: Các bài toán về hoành độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3(m − 1) x 2 − 3mx + 2 và đường thẳng d : y = 5 x − 1.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 21
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 − 3 x + 3m + 2 và đường thẳng d : y = 5 x − 1.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ lớn hơn –1
b) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 > 15
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + (m − 1) x + m + 1 và đường thẳng d : y = 2 x − m − 1.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Ví dụ 4*: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − (m2 − 1)
Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối A – 2010)
Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < 4.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x 2 + 4mx − m 2 .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho x A2 + xB2 + xC2 = 8 .
Đ/s. m = 1 . Gợi ý. Đoán nghiệm x = m
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 , x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 ≤ 4
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 6x2 + mx.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
Tìm m để đường thẳng y = 2x cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ
dương.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x – 2, có đồ thị là (C).
Gọi A là điểm thuộc đồ thị và có hoành độ xA = 0, (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k.
a) Xác định k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
b) Xác định k để d và (C) cắt nhau tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số
cộng.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị là (C).
Gọi (dk) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại
a) 3 điểm phân biệt.
b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 – 9x
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Loại 2: Các bài toán về tọa độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = −2 x3 + 6 x 2 + 1 và đường thẳng d : y = mx + 1.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm của đoạn
thẳng AC.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x + 2 .
Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho x A = 2 và BC = 2 2 .
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 2mx 2 + 3(m − 1) x + 2 có đồ thị là (Cm) (với m là tham số).
Cho đường thẳng d : y = − x + 2 và điểm K(3; 1). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt
A(0; 2), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 2 2 .
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = (2 − m) x3 − 6mx 2 + 9(2 − m) x − 2 có đồ thị là (Cm)
Tìm m để đường thẳng d : y = −2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; −2) , B và C sao cho diện tích tam giác
OBC bằng 2 7.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 5x 2 + 3 x + 9
(1).
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A(−1; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để ∆ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B,
C sao cho tam giác OBC có trọng tâm G(2; 2) (với O là gốc toạ độ).
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 4 x3 − 6mx 2 + 1 có đồ thị là (C)
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = − x + 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A(0; 1), B, C phân biệt sao cho
B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4 có đồ thị là (C).
Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0) với hệ số góc k. Tìm k để dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân
biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
1 3
8
x − x 2 − 3x + .
3
3
Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị là (C).
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 0) và cắt (C) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho diện tích tam
giác OBC bằng 2 5.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x . Tìm m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân
biệt O(0; 0), A, B. Chứng tỏ khi m thay đổi, trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn nằm trên cùng một đường
thẳng song song với Oy.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 2mx 2 + 3(m − 1) x + 2 có đồ thị là Cm.
Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt đồ thị tại 3
điểm A(0; 2); B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 2 6.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số : y =
1 3
1
x − 2 x 2 + 3x −
3
3
Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx −
1
cắt (C) tại ba điểm phân biệt A , B , C sao cho A cố định và diện tích
3
tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 + m .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại đúng hai điểm phân biệt.
Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + 2 x 2 − x + 3m và đường thẳng d : y = 1 .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại đúng 1 điểm.
Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 + mx 2 − 2m .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + mx 2 + m .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (2 − m) x 2 + mx − 3 .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ; x3 thỏa mãn
a) x12 + x22 + x32 ≤ 5
b) A, B, C là các giao điểm (A cố định) và BC = 10.
Bài 14: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (m + 2) x 2 + 2mx − 3m + 9 .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A, B, C (với A cố định) sao cho BC = 5.
Bài 15: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − (m + 2) x 2 + 2mx + 3m + 3 .
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A, B, C (với A cố định) sao cho
a) AC = 3AB, (với A nằm giữa B, C)
b) BC = 5.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
ax + b
( C ) : y =
cx + d
Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất
( d ) : y = mx + n
ax + b
= mx + n ⇔ Ax 2 + Bx + C = 0 ⇔ g ( x) = 0, (1)
cx + d
Trong đó g(x) = 0 là một phương trình bậc hai.
d
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm x ≠ − của phương trình (1).
c
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Ví dụ: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x+3
và đường thẳng d : y = − x + m.
2x −1
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x + 3
và đường thẳng d : y = − mx + 2.
x −1
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =
−3 x + 2
và đường thẳng d : y = 2 x + m.
x −1
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x+2
và đường thẳng d : y = 3mx + 1.
x −1
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x −3
x +1
Viết phươn trình đường d đi qua I (−1;1) sao cho d cắt (C) tại M, N và I là trung điểm của MN.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2mx + 5
1
và đường thẳng d : y = 2 x − . Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng
x+m
2
tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thoả mãn x12 − 9 x1 = 8 x2
Đ/s : m = 4; m = −5
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
− mx + 1
và đường thẳng d : y = (m + 1) x + 2.
x+3
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hai đồ thị hàm số ( d ) : y = −2 x + m, ( C ) : y =
x+2
. Tìm giá trị của tham số m để
2x −1
a) hai đồ thị không cắt nhau.
b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hai đồ thị hàm số ( C ) : y =
3x + 1
; ( d ) : y = x + 2m. Tìm giá trị của tham số m để
x−4
a) hai đồ thị không cắt nhau.
b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hai đồ thị hàm số ( C ) : y =
4x −1
; ( d ) : y = − x + m. Tìm giá trị của tham số m để hai đồ
2− x
thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x12 + x22 = 37.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x −1
và đường thẳng d : y = − x + m.
2x
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmin.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x − 2
và đường thẳng d : y = 2 x + m.
x +1
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x+2
và đường thẳng d : y = x + m
2x − 2
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB 2 =
37
, với O là gốc tọa
2
độ.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x −1
và đường thẳng d : y = x + m.
x −1
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O
là gốc tọa độ.
Bài 9: [ĐVH]. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2010)
Cho hàm số y =
2x +1
và đường thẳng d : y = −2 x + m.
x +1
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho S∆OAB = 3.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
ax + b
( C ) : y =
cx + d
Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất
( d ) : y = mx + n
ax + b
= mx + n ⇔ Ax 2 + Bx + C = 0 ⇔ g ( x) = 0, (1)
cx + d
Trong đó g(x) = 0 là một phương trình bậc hai.
d
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm x ≠ − của phương trình (1).
c
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm
Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x + 1
. Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng
x +1
d : y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục
hoành là bằng nhau.
2x −1
(C).
x −1
Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ∆OAB vuông tại O.
2x +1
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =
.
x −1
Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho diện tích
tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)).
−x + m
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
x+2
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : 2 x + 2 y − 1 = 0 cắt (Cm) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).
3x + 2
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C). Đường thẳng y = x cắt (C) tại hai điểm A, B. Tìm m để
x+2
đường thẳng d : y = x + m cắt (C) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành.
x +3
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =
. Tìm m để đường thẳng d : y = 2 x + 3m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
x+2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =
A, B sao cho OA.OB = −4 với O là gốc toạ độ.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x
. Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt
x −1
A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
x −1
(1).Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y = x + 2
x+m
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 2.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x −1
(1).Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y = x + m
x+2
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 2.
2x +1
. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): y = x + m cắt (C) tại
x −1
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2 điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (với I là tâm đối xứng của (C)).
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x +1
có đồ thị là (C). Tìm các giá trị m để đường thẳng ∆ : y = −3 x + m cắt
x −1
(C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x − 2 y − 2 = 0 (với O là gốc tọa
độ).
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x +1
có đồ thị là (C) và điểm A( −2;5) . Viết phương trình đường thẳng (d)
x −1
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt B, C sao cho tam giác ABC đều.
Bài 7: [ĐVH]. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt đồ thị y =
x+2
tại
x −1
2 điểm phân biệt B, C thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị và AB = 2AC.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x − m
( C ) . Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0 đồ thị hàm số (C) cắt (d) :
mx + 1
y = 2 x − 2m tại 2 điểm phân biệt A,B . Đường thẳng (d) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M,N . Tìm m để
SOAB = 3SOMN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
2x −1
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và cắt (C) tại hai
x −1
điểm phân biệt A, B sao cho O là trung điểm của AB.
Bài 1: [ĐVH]. Cho hs y =
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x
. Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
x −1
A và B sao cho tam giác OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 .
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x
có đồ thị (C). Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = −x + m cắt
x −1
đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 600 (với O là gốc
tọa độ).
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
2x + 3
có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C)
x−2
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ).
3x + 2
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = − x + m + 1 cắt (C) tại hai
x+2
điểm phân biệt A, B sao cho góc
AOB tù.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x +1
. Gọi (d) là đường thẳng qua M(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt
x−2
(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MA = −2MB.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x +1
, (C ) và đường thẳng d : y = x + m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm
−2( x − 1)
phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A đên Ox bằng khoảng cách từ B đến Oy.
1
2x
và đường thẳng d : y = x + m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân
x −1
2
biệt A, B sao cho trung điểm của AB nằm trên Oy.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =
3x + 2
và đường thẳng d : y = ax + 2b − 4 . Tìm a, b để d cắt (C) tại hai điểm
x+2
phân biệt A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y =
Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x−2
2 4
và đường thẳng d đi qua A ; . Viết d sao cho d cắt (C) tại hai
x −1
3 3
điểm phân biệt M, N và AN = 2AM.
Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x
và đường thẳng d : y = − x + m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân
x −1
biệt A, B sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng
73
3
với I 3; .
8
2
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số y =
Facebook: LyHung95
x
và đường thẳng d : y = − x + m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân
x −1
3
biệt A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB tiếp xúc với đường thẳng ∆ : y = x + 10 , với I 3; .
2
Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x
3
, điểm I 3; và đường thẳng d : y = − x + m . Tìm m để d cắt (C) tại
x −1
2
hai điểm phân biệt A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB tiếp xúc ngoài với
2
11
(T ) : ( x + 1)2 + y − = 4 .
2
3 x + 16
, điểm A ( −6;5) và đường thẳng d : y = x − 1 . Lập phương trình
x+4
đường thẳng ∆ đi qua A, cắt (C) tại B và cắt d tại C sao cho AB.AC = 48.
Bài 14: [ĐVH]. Cho hàm số y =
Bài 15: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x −1
(C ) và 2 điểm P, Q thuộc đường thẳng d: y = x + 2 .Viết phương trình
x+2
đường thẳng ∆ cắt (C) tại điểm phân biệt M, N sao cho MNPQ là hình chữ nhật có đường chéo bằng
Bài 16: [ĐVH]. Cho hàm số y =
5
2
x −3
, (C ) và ∆ : y = x + m . Tìm m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.
x−2
AMB = 1200
Điểm M thuộc nhánh bên trái của (C). Tìm m sao cho tam giác MAB cân tại M và có
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng
Facebook: LyHung95
01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
AB = u
≤ 180o.
, với 0o ≤ BAC
Giả sử ta có
→ u; v = AB; AC = BAC
AC = v
2) Tích vô hướng của hai véc tơ
AB = u
Giả sử ta có
→ u.v = AB. AC = AB . AC .cos AB. AC
AC = v
Nhận xét:
u = 0
+) Khi
→ u.v = 0
v = 0
+) Khi u ↑↑ v
→ u ; v = 00
→ u; v = 1800
+) Khi u ↑↓ v
+) Khi u ⊥ v ←→ u.v = 0
( ) (
)
(
)
( )
( )
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính góc giữa hai véc tơ AB; BC .
(
)
(
)
b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai véc tơ CI ; AC .
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ta được
AB. BC
AB. BC AB. BC
=
cos AB; BC = =
, (1) .
AB.BC
a2
AB . BC
Xét AB. BC = AB. BA + AC = AB.BA + AB. AC
AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2
Mà
a2
AB. AC = AB. AC.cos AB. AC = a.a.cos 600 =
2
2
2
a
a
→ AB. BC = − a 2 +
=− .
2
2
2
a
−
1
→ AB; BC = 1200.
(1) ⇔ cos AB; BC = 22 = −
2
a
o
Vậy AB; BC = 120 .
CI . AC
CI . AC
b) Ta có cos CI ; AC = =
CI . AC CI . AC
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
CI . AC
a 3
Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI =
→ cos CI ; AC = 2
, ( 2).
2
a 3
2
Ta có CI . AC = CI . AI + IC = CI . AI + CI . IC
Do ∆ABC đều nên CI ⊥ AI ⇔ CI . AI = 0.
(
(
)
)
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng
(
Facebook: LyHung95
)
a 3 a 3
3a 2
3a 2
3a 2
Đồng thời, CI . IC = CI . IC .cos CI ; IC =
→ CI . AC = 0 −
=−
.
.cos1800 = −
.
2
2
4
4
4
3a 2
−
3
→ CI ; AC = 1500.
Thay vào (2) ta được ( 2 ) ⇔ cos CI ; AC = 2 4 = −
2
a 3
2
0
Vậy CI ; AC = 150 .
(
(
)
(
)
)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC .
b) Tính góc SM ; BC .
(
)
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
1
SA + SB = 2SM
SM = SA + SB
2
được ←
→
BC = SC − SB
BC = BS + SC
SM . BC
SM . BC
b) cos SM ; BC = =
, (1) .
SM . BC SM .BC
SA.SB = 0
Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA.SC = 0
SB.SC = 0
Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta
BC = a 2
được AB = BC = a 2
→
a 2
1
SM = AB =
2
2
1 1
1 2
a2
.
.
.
.
SC
SA
SB
SB
SC
SB
SB
SB
−
+
−
=
−
=
−
Theo câu a, SM .BC = SA + SB . SC − SB = SA
2
2
2
2
0
0
0
a2
−
SM . BC
1
2
=
= −
→ SM ; BC = 1200.
Thay vào (1) ta được cos SM ; BC =
SM .BC a 2
2
.a 2
2
(
(
)
)
(
)(
(
)
)
(
)
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Một véc tơ u ≠ 0 mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
2) Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm:
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b. Kí hiệu (
a;b ).
a// a ′
Từ định nghĩa ta có sơ đồ
→ (
a;b ) = (
a ′;b′ )
′
b//
b
Nhận xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v và u; v = φ.
( )
Khi đó,
a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o
(
a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o
(
+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì (
a; b ) = 0o.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng
Facebook: LyHung95
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
a ′// a
Tạo ra các đường
→ (
a, b ) = (
a ′, b′ )
′
b
//
b
Phương án 2
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
→ (
a, b ) = (
a, ∆ )
Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
→ cos A =
b2 + c 2 − a 2
.
2bc
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a . Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
Hướng dẫn giải:
a) Tính góc giữa SD và BC
Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng
phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai
đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại.
Ta dễ nhận thấy AD // BC.
SDA
Khi đó (
SD; BC ) = (
SD; AD ) =
o
180 − SDA
=
Xét ∆SAD: tan SDA
SA
3
= 30o.
=
→ SDA
AD
3
SD; BC ) = 30o.
Vậy (
b) Tính góc giữa SB và CD
SBA
Tương tự, CD//AB
→ (
SB;CD ) = (
SB;AB ) =
180o − SBA
= SA = 3
= 60o.
Xét ∆SAB: tanSBA
→ SDA
AB
V ậy
SB;CD = 60o.
(
)
c) Tính góc giữa SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
IOB
Trong ∆SAC có OI // SC
→ (
SC; BD ) = (
OI; BD ) =
o
180 − IOB
2
a 3
a 7
2
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB =
+a =
2
2
2
2
ABCD là hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD 2 = a 2 + 9a 2 = a 10
→ OB =
2
a 10
= OA
2
2
a 3 a 10
a 13
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO =
+
=
2
2 2
2
2
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng
Facebook: LyHung95
13a 2 10a 2 7a 2
+
−
4
4 = 8
= OI + OB − IB = 4
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB
2.OI.OB
a 13 a 10
130
2.
.
2
2
= arccos 8 = (
→ IOB
SC;BD ).
130
2
2
2
8
Vậy (
SC;BD ) = arccos
.
130
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết AB = CD = 2a , MN = a 3 . Tính góc giữa
hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau,
để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các
đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt
nhau.
Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD
MPN
MP, NP ) =
→ (
AB,CD ) = (
180o − MPN
Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được
2
2
2
2
2
= MP + NP − MN = 2a − 3a = − 1
cos MPN
2MP.NP
2.a.a
2
= 120o ⇔ (
→ MPN
MP, NP ) = 60o
Vậy (
AB,CD ) = 60o.
Nhận xét:
Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là
trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với
2 3a
AB và AD, SA =
. Tính góc của 2 đường thẳng
3
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
- Xem thêm -
.PDF 
34 
451 
53 
