Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Chuyªn ®Ò kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n
Baøi 1:
x 1
x 1
1) Khaûo saùt haøm soá: y
y'
2
0
( x 1)2
(C)
TXÑ: D = R \ (1)
Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
TCÑ: x = 1 vì lim y
x 1
TCN: y = 1 vì lim y 1
x
BBT:
Ñoà thò:
y
2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1):
Ñöôøng thaúng (d) qua P coù heä soá goùc k:y = k( x-3) + 1
x+1
x-1 = k(x-3) + 1
(d) tieáp xuùc (C)
-2
= k
(x-1)2
A
M
(1)
B
coù nghieäm
O
x
(2)
Thay (2) vaøo (1) :
x 1 -2(x-3)
1 x 2 1 2( x 3) ( x 1)2 4 x 8 x 2
x 1 (x-1)2
Thay vaøo (2) k 2 Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 7
3) M0 ( x0 , y0 ) (C ) . Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét 2 ñöôøng tieäm caän taïo thaønh moät tam giaùc
coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M.
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y f '( x0 )( x x0 ) y0
x0 1
x0 2 3 x 0 1
3
-3
y
(
x
x
)
x
0
(x0 -1)2
( x0 1)2
x 0 1 ( x0 1)2
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ñöùng x =1.
x 1 y
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ngang y = 1. y 1 x
x 4
x0 4
A 1, 0
x0 1
x0 1
5 x0 2
5x 2
B 0
,1
3
3
Giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän: I(1, 1)
1
2
Ta coù : SIAB IA.IB
1
1 x0 4
5x 2
y A yI . x B x I
1 . 0
1
2
2 x0 1
3
1 5
25
5x 2
1
haèng soá
. 0
2 x0 1
3
6
http://book.key.to
Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.
11
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
C©u 2: (2 ñieåm)
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá: y
y,
3
x 12
x2
x 1
TXÑ: D=R\{1}
0 Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh
TCD: x=1 vì lim y
x 1
TCN: y=1 vì lim y 1
x
BBT:
Ñoà thò:
2) Xaùc ñònh a ñeå töø A(0,a) keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán
(C)
sao cho 2 tieáp ñieåm ñeán naèm veà 2 phía cuûa 0x.
x 2
Goïi M ( x ; y ) (C ) y 0
0 0
0
x 1
0
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M:
y f ' ( x )( x x ) y
0
0
0
x 2
x 2 4x 2
3
0
0
x 0
y
(x x )
y
0
2
2
1
x
( x 1)
( x 1)
( x 1)2
0
0
0
0
x 2 4x 2
0
Tieáp tuyeán qua A(0,a) a 0
(a 1) x 2 2(a 2) x a 2 0 (1)
0
0
2
( x 1)
0
(vì x =1 khoâng laø nghieäm)
0
a 1 0
a 1
Khi ñoù (1) coù 2 nghieäm laø
Ñieàu kieän ñeå coù 2 tieáp tuyeán keû töø A laø: ,
a 2
0
3
x , x
0 1
x 2
vaø y
Tung ñoä tieáp ñieåm y 0
0 x 1
1
0
x 2
1
Ñieàu kieän 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía
x 1
1
Ox.
http://book.key.to
12
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x 2 x 2
x x 2( x x ) 4
0 1
y y 0 0
0 0 1
0
. 1
0 1
x 1 x 1
x
x
x
x
1
0
1
0 1
0 1
a 2 4(a 2)
4
9a 6
2
a 1
a 1
0
0 3a 2 0 a
a 2 2(a 2)
3
3
1
a 1
a 1
a 2, a 1
2
2
a
Toùm laïi: 2
ÑS: a , a 1
vaø a 1
3
3
a 3
C©u 3: (2 ñieåm)
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá:
2 x2 x 1
y
x 1
TXÑ: D = R\{-1}
y'
2 x2 4 x
( x 1)2
x 0
y' 0
x 2
Tieäm caän ñöùng: x= -1 vì lim y
x 1
2
2
Tieäm caän xieân: y = 2x - 1 vì lim
Ta coù: y 2 x 1
0
x 1
x x 1
BBT
Ñoà thò:
Cho x = 1 suy ra y = 2.
2) Goïi M (C) coù XM = m. Chöùng toû raèng tích caùc khoaûng caùch
töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän cuûa (C) khoâng phuï thuoäc m.
Ta coù: XM = m y
M
2m 1
2
m 1
Tieäm caän ñöùng : x + 1 = 0
Suy ra d1(M, D1)
m 1
1
(D1)
m 1
2m 2m 1
Tieäm caän xieân: 2x – y – 1 = 0 (D2)
Suy ra d1.d2 = m 1
http://book.key.to
d2(M,D2) =
5
2
1
m 1
2
5 m 1
2
2
(khoâng phuï thuoäc m)
5 m 1
5
13
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
C©u 4: (2 ñieåm)
Cho haøm soá: y
2 x 2 mx 2
x 1
1) Tìm m ñeå dieän tích tam giaùc taïo bôûi TCX vaø 2 truïc toïa ñoä baèng 4.
Ta coù: y 2 x m 2
m
x 1
m
0
x x 1
Vôùi m 0 thì TCX: y = 2x + m + 2 vì lim
m2
m2
A
,0
2
2
x 0 y m 2 B (0, m 2)
Giao ñieåm TXC vaø oy:
m 2
1
1 m2
SOAB OA.OB
m2 4
( thoûa ñieàu kieän
(m 2)2 16
2
2
2
m 6
m0)
2 x 2 3x 2
2) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò khi m = -3:
(C)
y
x 1
Giao ñieåm TCX vaø Ox:
y=0 x
TXÑ: D = R\ {1}
y'
2 x2 4x 5
( x 1) 2
x 1
0
Suy ra haøm soá taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
TCÑ: x = 1 vì
lim y
x 1
TCX: y = 2x - 1
(theo caâu 1)
BBT:
Ñoà thò: x 0 y 2, x 2 y 0
C©u 5: (2 ñieåm)
Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9
(Cm).
4
2
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m = 0. y = x – 10x + 9
TXD: D = R
y ' 4 x3 20 x 4 x( x 2 5)
y '' 12 x 2 20 y '' 0 x
x 0
y' 0
x 5
5
44
y
3
9
5 44 5 44
ñieåm uoán ; ;
9 3
9
3
BBT:
http://book.key.to
14
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Ñoà thò:
x2 1
x 1
x2 9
x 3
Cho y 0
2) Chöùng minh raèng vôùi m 0 , (Cm) luoân luoân caét Ox
taïi 4 ñieåm phaân bieät trong ñoù coù hai ñieåm naèm (-3,3)
vaø 2 ñieåm naèm ngoaøi (-3,3).
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø Ox.
x 4 (m 2 10) x 2 9 0 (1)
Ñaët t x 2 (t 0)
Phöông trình trôû thaønh: t 2 (m 2 10)t 9 0 (2)
(m 2 10) 2 36 0, m
Ta coù: P 9 0
S m 2 10 0, m
0 < t1 < t2
(1) coù 4 nghieäm phaân bieät
Ñaët f(t) = t 2 (m2 10)t 9
x x x x
1 1 2
2
Ta coù: af(9)= 81 9m 2 90 9 9m 2 0, m 0
0t 9t
2
1
x 2 9
x1 (3;3)
1
x 3 x x 3 x
2
1 1
2
2
x
(
3;3)
x 9
2
2
Vaäy (Cm) caét Ox taïi 4 ñieåm phaân bieät trong ñoù 2 ñieåm (3,3) vaø 2 ñieåm (3,3) .
Cho haøm soá y f ( x) x3 (m 3) x 2 3x 4 (m laø tham soá)
C©u 6: (2 ñieåm)
1) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu. Khi ñoù vieát phöông trình ñöôøng
thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò naøy.
y ' 3 x 2 2( m 3) x 3; y ' 0 3 x 2 2( m 3) x 3 0 (1)
Ta coù:
Haøm soá coù CÑ, CT (1) coù 2 nghieäm phaân bieät.
' 0 ( m 3)2 9 0 m 2 6m 0 m 6 m 0
1
1
1
2
Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc : y f '( x) x (m 3) (m 2 6m) x m 5
9
3
3
9
1
2
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø: y (m 2 6m) x m 5 .
3
9
2) Tìm m ñeå f ( x ) 3x vôùi moïi x 1 Ta coù:
4
, x 1
f ( x ) 3 x, x 1 x3 (m 3) x 2 4 0 , x 1 m x 3
x2
http://book.key.to
15
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
4
m min g ( x) vôùi g ( x ) x 3
x 1
x2
8 x3 8
, x 1 ; g '( x) 0 x 2
Ta coù: g '( x) 1
3
3
x
x
+) BBT:
min g ( x ) 0 Vaäy: m 0
x 1
C©u 7: (2 ñieåm)
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò y
x2 6 x 9
x 2
(C )
TXÑ: D = R\ {2}
x2 4x 3
y'
( x 2) 2
x 1
y' 0
x 3
TCÑ: x = 2 vì lim ;
Ta coù: y x 4
x2
TCX: y = - x + 4 vì lim
x
1
x 2
1
0
x 2
BBT:
Ñoà thò:
Cho x = 0 y
9
2
b) Tìm M Oy sao cho tieáp tuyeán keû töø M ñeán (C)
3
song song vôùi ñöôøng thaúng y= x coù daïng.
4
Goïi M(0, b) Oy , tieáp tieáp qua M song song
3
4
3
4
ñöôøng thaúng y x coù daïng: (D): y x b
(D) tieáp xuùc (C)
x2 6 x 9
3
xb
4
x 2
2
x 4x 3 3
( x 2) 2
4
(2) x 2 4 x 0 x 0 x 4
9
2
(1)
co ù nghieäm
(2)
9
2
Thay vaøo (1): x 0 b ; x 4 b
5
2
5
2
Vaäy : M (0; ), M (0; )
1
2
C©u 8: (2 ñieåm)
a) Khaûo saùt (1)
y 2 x3 3(2m 1) x 2 6m(m 1) x 1
m 1: y 2 x3 9 x 2 12 x 1
http://book.key.to
(1) khi m= 1:
TXÑ: D= R
16
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
y6
x 1
y ' 6 x 2 18 x 12 ; y ' 0
y5
x 2
3
11
y
y '' 12 x 18 ; y '' 0 x
2
2
3 11
ñieåm uoán I ,
2 2
BBT:
Ñoà thò:
b) Chöùng minh raèng m haøm soá (1) luoân ñaït cöïc trò
taïi x1, x2 vôùi x1 - x2 khoâng phuï thuoäc m.
Ta coù:
y 2 x3 3(2m 1) x 2 6m(m 1) x 1
y ' 6 x 2 6(2m 1) x 6m(m 1); y ' 0
(2m 1)2 4m(m 1) 1 0
(*) luoân coù 2 nghieäm phaân bieät x1 , x2 .
x 2 (2m 1) x m(m 1) 0
(*)
Haøm soá luoân ñaït cöïc trò taïi x1 , x2 .
Ta coù:
x 2m 1 1 2m ; x 2m 1 1 2m 2 x x 2m 2 2m 2
1
2
2 1
Vaäy: x x khoâng phuï thuoäc m.
2 1
(haèng soá)
Bµi 9: (2 ñieåm)
a) Khaûo saùt haøm soá: y x2 5x 4 .
Taäp xaùc ñònh: D = R
y’= 2x – 5
BBT:
Ñoà thò:
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai parapol:
( P ) : y x 2 5 x 6 vaø ( P ) : y x 2 5 x 11
1
2
http://book.key.to
17
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
- Goïi : y= ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (P1) vaø (P2).
- tieáp xuùc vôùi (P1) vaø (P2).
x 2 5 x 6 ax b
coùnghieäm keù p
x 2 5 x 11 ax b coù nghieäm keùp
x 2 (5 a) x 6 b 0
coù nghieäm keùp
x 2 (5 a ) x 11 b 0 coùnghieäm keùp
2
a 3
0
a 10a 4b 1 0
1
b 10
2 0
a 2 10a 4b 19 0
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán chung laø:
a 3
b 5
y = 3x – 10
hay y = - 3x + 5
C©u 10: (2 ñieåm)
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: y x3 3 x 2
TXÑ: D = R
y ' 3 x 2 6 x 3x ( x 2)
x 0
x 2
x 1 y 2
y' 0
y '' 0
y '' 6 x 6
(C )
Ñieåm uoán I(-1, 2)
+) BBT:
Ñoà thò:
Cho x = -3, y = 0
x = 1, y = 4
b) Tìm ñieåm M treân Ox sao cho töø M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau.
Goïi M(a, 0) Ox , ñöôøng thaúng (d) qua M vaø coù heä soá goùc K laø:
y = k( x - a)
x3 3x 2 k ( x a)
3 x 2 6 x k
(d) tieáp xuùc (C)
(1)
coùnghieäm
(2)
Thay (2) vaøo (1):
x3 3 x 2 3 x 2 6 x( x a) 2 x3 3(a 1) x2 6ax 0
x 0
x 2 x2 3(a 1) x 6a 0
2
2 x 3(a 1) x 6a 0
(3)
Vôùi x = 0 k = 0 1 tieáp tuyeán laø y = 0.
http://book.key.to
18
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
+) Töø M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau
(3) coù 2 nghieäm phaân bieät x , x 0 vaø k k 1 .
1 2
a 0
0
2
2
(3 x1 6 x1 )(3 x2 6 x2 ) 1
1
a 3 a 3 vaø a 0
81a 2 81a ( a 1) 108 a 1 0
Vaäy chæ coù 1 ñieåm M (
C©u 11: (2 ñieåm)
1 2
a 0
2
9( a 1) 48 a 0
2
9( x1 x 2 ) 18 x1 x 2 ( x1 x 2 ) 36 x1 x 2 1
vì x1x 2 = - 3a
3(a-1)
x1 + x 2 =
2
1
a 3 a vaø a 0
3
-27a + 1 = 0
1
, 0) Ox thoaû ñieàu kieän baøi toaùn.
27
Cho haøm soá: y 3 x 4 4 1 m x3 6mx2 1 m
a
1
27
(C )
m
y 3x 4 6 x 2 2
TXÑ: D = R
x 0
y ' 12 x3 12 x 12 x x 2 1
y' 0
x 1
1
1
1 1 1 1
y '' 36 x 2 12 y '' 0 x
y
ñieåm uoán ,
,
3
3
3 3 3 3
1) Khaûo saùt haøm soá khi m= -1:
BBT:
x
+
y’
y
-
-1
-
0
+
0
+
1
0
-
2
CÑ
0
+
+
-1
-1
Ñoà thò:
x 0
Cho y=2 3x 4 6 x 2 0
x 2
2) Tìm giaù trò m < 0 ñeå (Cm) vaø () : y 1 coù ba giao ñieåm phaân bieät.
Ta coù: y 3 x 4 4 1 m x3 6mx 2 1 m ;
y ' 12x3 12 1 m x3 12mx 12x x2 1 m x m y ' 0
http://book.key.to
x 0 y 1 m
x 1
ym
y m4 2m3 m 1
x m
19
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
(C ) Vaø caét nhau taïi 3 ñieåm phaân bieät neáu ñöôøng thaúng :y=1 ñi qua ñieåm cöïc trò
m
cuûa (C ) .
m
1 m 1
m 1
4
m 2m3 m 1 1
m 0 ( loaïi )
m 0(loaïi)
m 1 ( loaïi )
m 1(loaïi)
m 1 5 ( loaïi )
2
2
m m 1 m m 1 0
m
ÑS: m
1
5
2
( nhaän v ì m < 0 )
1 5
2
C©u 12: (2 ñieåm)
Cho y x3 3x 2 m 2 x 2m (C )
m
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C ) khi m = 1.
1
y x3 3 x 2 3 x 2
(C )
1
TXÑ: D = R
y ' 3 x 2 6 x 3 3 x 1 2 0 suy ra haøm soá luoân taêng treân R
y' 0
x 1 ; y '' 6 x 6
; y '' 0 x 1 y 1
ñieåm uoán I(-1, 1).
BBT:
Ñoà thò:
Cho x = 0, y = 2
x = -2, y = 0
y ' 0 tieáp tuyeán taïi I song song Ox.
I
2) Tìm m ñeå (Cm ) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät
coù hoaønh ñoä aâm.Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm ) vaø Ox.
x3 3x 2 m 2 x 2m 0
x 2
(1)
x 2 x m 0
x 2
x2 x m 0
(2)
(Cm ) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä aâm (2) coù 2 nghieäm aâm phaân bieät khaùc -2.
m 2
m 2
m 2
0
1 4m 0
1
1
1
ÑS: 0 m
m
0m
4
4
4
P 0
m 0
m 0
S 0
1 0
C©u 13: (2 ®iÓm)
Cho y x3 mx2 7 x 3 (1)
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 5. y x3 5 x2 7 x 3
y’= 3x2 +10x + 7
TXÑ :
http://book.key.to
20
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x 1 y 0
y' 0
7
32 ;
x y
27
3
5 16
, .
3 27
5
16
y '' 6 x 10 y '' 0 x y
27
3
ñieåm uoán
BBT :
Ñoà thò:
2. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu.
Laäp phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu.
Ta coù :
y x3 mx 2 7 x 3; y ' 3x2 2mx 7
y ' 0 3x 2 2mx 7 0(*)
Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (*) coù hai nghieäm phaân bieät
m 21 v m 21
' 0 m 2 21 0
Chia y cho y’ ta ñöôïc :
m 2(21 m2 ) 27 7m
1
y f '( x ) x
9
9
9
3
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu laø:
y
2(21 m 2 ) 27 7 m
9
9
C©u 14: (2 ñieåm)
1a) Khaûo saùt vaø veõ:
TXÑ:
y x4 2x2
y ' 4 x3 4 x y ' 0 x 0 x 1 ; y '' 12 x 2 4; y " 0 x
5
1
y
9
3
5
5
1
1
; , I2
;
3 9
3 9
=> Ñieåm uoán I1
BBT:
Ñoà thò:
+) 1b. Bieän luaän soá nghieäm:
Ta coù : x 4 2 x 2 m 0 x 4 2 x 2 m
Döïa vaøo ñoà thò (C) ta keát luaän :
m< -1: voâ nghieäm. ;
m= -1: 2 nghieäm.
-1< m < 0: 4 nghieäm. ;
m= 0: 3 nghieäm. ; m> 0: 2 nghieäm.
http://book.key.to
21
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
C©u 15: (2 ñieåm)
x2 4x 8
(C)
x2
x2 4 x
x 0
y'
y' 0
2
( x 2)
x 4
4
Tieäm caän ñöùng: x = -2 vì lim
x 2 x 2
4
Chia töû cho maãu: y x 2
x2
4
0
Tieäm caän xieân: y= x + 2 vì lim
x x 2
a.Khaûo saùt haøm soá : y
TXÑ: D R \ {2}
(I)
BBT:
Ñoà thò:
Y
(C1)
(C1)
4
x2 4 x 8
b.Töø ñoà thò (C) suy ra ñoà thò haøm soá : y1
x2
2
-4
(C1 )
Ta coù :
y
y1
-y
(III)
neáu x > -2
-2
O
X
-4
(C)
neáu x < -2
Do ñoù ñoà thò (C1 ) suy töø (C) nhö sau:
- Neáu x > -2 thì (C1 ) (C)
- Neáu x< -2 thì laáy phaàn ñoái xöùng cuûa (C) qua Ox ta ñöôïc (C1 )
c. Xaùc ñònh taäp hôïp nhöõng ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo trong hoï (Cm ) ï ñi qua:
y
x2 4 x m2 8
x2
(Cm )
Goïi M ( x0 , y0 ) (Cm ), m y0
x0 2 4 x0 m 2 8
voâ nghieäm vôùi moïi m
x0 2
x0 2
hoaëc m2 y0 ( x0 2) x02 4 x0 8 voâ nghieäm theo m.
y0 ( x 0 2) x02 4 x 0 8 0 y0 ( x 0 2) x 02 4 x 0 8
x 20 +4x0 +8
y
<
(neáu x 0 >-2)
0
x
+2
0
x 2 +4x0 +8
(neáu x 0 <-2)
y0 > 0
x 0 +2
M mieàn (I) giôùi haïn bôûi (C) vôùi x > -2
M mieàn (III) giôùi haïn bôûi (C) vôùi x< -2
Vaäy nhöõng ñieåm M thoaû ñieàu kieän baøi toaùn laø nhöõng ñieåm thuoäc maët phaúng toaï ñoä
Oxy, khoâng naèm treân mieàn (I), mieàn (III) vaø khoâng naèm treân (C).
http://book.key.to
22
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
C©u 16:
1. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: y ( x 1)2 ( x 4) x3 6 x 2 9 x 4
TXÑ: D = R
x 1
y ' 3 x 2 12 x 9 y ' 0
x 3
y '' 6 x 12 y " 0 x 2 y 2
Ñieåm uoán :( -2, -2)
BBT:
Ñoà thò :
2) Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa
phöông trình : ( x 1)2 ( x 4) (m 1)2 (m 4)
( x 1)2 ( x 4) (m 1)2 (m 4)
Ñaây laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C)
vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : y (m 1)2 (m 4)
- Soá giao ñieåm laø soá nghieäm cuûa phöông trình .
Bieän luaän:
(m 1)2 (m 4) 4 m(m 3)2 0 m 0 : 1 nghieäm
(m 1)2 (m 4) 4 m 0 m 3 : 2 nghieäm
4 (m 1)2 (m 4) 0 4 m 0 : 3 nghieäm
(m 1)2 (m 4) 0 m 1 m 4 : 2 nghieäm
(m 1)2 (m 4) 0 m 4 :1 nghieäm
C©u 17: ( 3 ñieåm)
(1)
Cho: y ( x 1)( x 2 mx m)
1) Khaûo saùt haøm soá (1) töông öùng vôùi m= -2:
y ( x 1)( x 2 2 x 2) y x3 3x2 2
Taäp xaùc ñònh : D = R
x 0
y' 0
x 2
y" 0 x 1 y 0
y ' 3x 2 6 x 3x( x 2)
y '' 6 x 6
Ñieåm uoán : I(1, 0)
BBT:
Ñoà thò:
Ñieåm ñaëc bieät :
2) Tìm m ñeå ñoà thò (1) tieáp xuùc truïc hoaønh.
Xaùc ñònh toaï ñoä tieáp ñieåm.
(1)
Ta coù : y x3 (m 1) x 2 m
x 3 +(m-1)x 2 -m=0
Ñoà thò (1) tieáp xuùc truïc hoaønh 2
3x +2(m-1)x=0
http://book.key.to
(2)
(3)
coù nghieäm .
23
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x 0
(3) x 3x 2(m 1) 0
2(m 1)
x
3
Thay vaøo (2) :
x0m0
2(m 1)
8
4
(m 1)3 (m 1)3 m 0
x
3
27
9
3
3
4(m 1) 27 m 0 4m 12m2 15m 4 0
m 4
(m 4)(4m 4m 1) 0
m 1
2
2
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø :
m 0 x 0 m 4 x 2 m
Vaäy ñoà thò (C) tieáp xuùc Ox khi:
1
x 1
2
m= 0, m= 4, m
1
2
Toaï ñoä tieáp ñieåm töông öùng laø: (0, 0), (-2, 0), (1, 0)
C©u 18: ( 3 ñieåm)
1) Khaûo saùt haøm soá: y
y'
2
0
( x 1)2
x 1
x 1
(C)
TXÑ: D = R \ (1)
Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
TCÑ: x = 1 vì lim y
x 1
TCN: y = 1 vì lim y 1
x
BBT:
Ñoà thò:
y
A
M
2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1):
Ñöôøng thaúng (d) qua P coù heä soá goùc k: y = k( x-3) + 1
x+1
x-1 = k(x-3) + 1
(d) tieáp xuùc (C)
-2
= k
2
(x-1)
B
O
x
(1)
coù nghieäm
(2)
x 1 -2(x-3)
1
x 1 (x-1)2
x 2 1 2( x 3) ( x 1)2 4x 8 x 2
Thay (2) vaøo (1) :
http://book.key.to
24
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Thay vaøo (2) k 2
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 7
3) M0 ( x0 , y0 ) (C ) . Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét 2 ñöôøng tieäm caän taïo thaønh moät tam giaùc
coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M.
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y f '( x0 )( x x0 ) y0
x 0 2 3 x0 1
x0 1
3
-3
x
)
x
y
(
x
0
x 0 1 ( x0 1)2
( x0 1)2
(x0 -1)2
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ñöùng x =1.
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ngang y = 1.
x 4
x0 4
A 1, 0
x0 1
x0 1
5x 2
5x 2
y 1 x 0
B 0
,1
3
3
x 1 y
Giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän: I(1, 1)
Ta coù :
5x 2
1
1
1 x0 4
1 . 0
1
IA.IB y A yI . xB x I
2
2
2 x0 1
3
SIAB
5x 2
1 5
25
. 0
1
haèng soá
2 x0 1
3
6
Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.
m 3
x 2(m 1) x
3
1
y x3 4x
a) Khaûo saùt haøm soá khi m= 1:
3
Cho y f ( x )
C©u ( 2 ñieåm)
TXÑ: D = R
x 2
y ' x2 4
y' 0
x 2
; y " 2x y" 0 x 0 y 0
x
Ñieåm uoán O(0, 0).
BBT:
y’
y
Ñoà thò:
Cho x 4 y
x 4 y
+
-2
2
0
0
16
3
+
+
+
16
3
16
3
16
3
b)Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù cöïc ñaïi,
cöïc tieåu sao cho:
2
( yCÑ yCT )2 (4m 4)3
9
m 3
Ta coù: y x 2(m 1) x
3
http://book.key.to
y ' mx 2 2(m 1)
25
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
y ' 0 mx2 2(m 1) 0
(1)
Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
2(m 1)
0 m 1 m 0
m
Khi ñoù (1) coù 2 nghieäm x1, x2 ( x1 x2 )
yCÑ f ( x1) vaø yCT f ( x2 )
Ñeå tìm yCÑ vaø yCT ta chia f(x) cho f’(x) thì ñöôïc:
yCÑ f ( x1) 4 (m 1) x1
3
yCT
f ( x2 ) 4 (m 1) x2
3
1
4
3 3
f ( x ) f '( x ). x (m 1) x
(Vì f'(x1) 0, f '( x2 ) 0)
2
9
Theo giaû thieát: ( yCÑ yCT )2 (4m 4)3
2
16
(m 1)2 ( x1 x2 )2 64(m 1)3 ( x1 x2 ) 8(m 1) ( Vì m+1 0 )
9
9
8(m+1)
-2(m+1)
(vì S = 0 , P =
)
S2 4P 8(m+1)
0
m
m
m = 1 ( Vì m+1 0 )
So vôùi ñieàu kieän m< -1 m > 0 nhaän giaù trò m = 1
ÑS: m = 1.
C©u 20: ( 2 ñieåm)
1) Khaûo saùt haøm soá:
y' 1
y x
1
x2 2 x
( x 1)2 ( x 1)2
1
x 1
(C)
Taäp xaùc ñònh: D R \ 1
x 0
y' 0
x 2
Tieäm caän ñöùng: x = 1 vì lim
x 1
Tieäm caän xieân: y = x vì lim
x
1
0
x 1
BBT:
Ñoà thò:
2) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán cuûa (C) keû töø A(0, 3)
- Ñöôøng thaúng (D) qua A vaø coù heä soá goùc k: y = kx +3
1
x x 1 kx + 3
(D) tieáp xuùc (C)
1 1
k
2
( x 1)
Y
3
(1)
coù nghieäm
(2)
O
-1
1
2
X
- Thay (2) vaøo (1) :
http://book.key.to
26
Cï §øc Hoµ
x
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
x
x
3
x 1
( x 1)2
x 1 x 3( x 1)2 3x 2 8 x 4 0
x 2
k 0
2
x
k 8
3
ÑS: y = 3 ; y = -8x + 3
Caâu 21:
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
3
y x 2 x2 x 2 ;
TXÑ : D = R
x 1
2
y ' 3x 4 x 1
y' 0
x 1
3
2
52
y " 6x 4 ; y " 0 x y
3
27
2 50
Ñieåm uoán I ,
3 27
BBT:
Ñoà Thò:
b) Bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (D1 ) : y = kx + 2 .
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (D1 ) :
x 3 2 x 2 x 2 kx 2 x ( x 2 2 x 1 k ) 0
x 0
' 11 k k
2
x
2
x
1
k
0
Bieän luaän :
k > 0 vaø k 1 : (C) vaø (D1 ) coù 3 ñieåm chung.
k = 0 k = 1: 2 ñieåm chung.
k < 0: 1 ñieåm chung
c) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) truïc hoaønh vaø ñöôøng thaúng (D2 ) :y = -x + 1.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (D2 ) .
http://book.key.to
27
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x3 2x2 x 2 x 1 x3 2x 2 2x 1 0
( x 1)( x 2 x 1) 0 x 1 y 2
Giao ñieåm cuûa (C) vaø truïc hoaønh:
x3 2 x2 x 2 0 (x 2)( x 2 1) 0 x 2
Dieän tích hình phaúng cho bôûi:
1
1
1
1
x2
17
41
x4 2x3 x2
2x x 2 (ñvdt)
S (x 2x x 2)dx (x 1)dx
4 3 2
12
2 2
1 12
1
2
3
2
CAÂU 22:
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
2
x2 3x 2
y
x 3
2
x
x2 2
y'
;
x2
(C)
TXÑ: D = R\ {0}
x 2
x 2
y' 0
TCÑ: x = 0 vì lim y
x 0
2
x
TCX: y = x – 3 vì lim 0
x
BBT:
Ñoà thò:
x 1
Cho y = 0 x2 – 3x +2 = 0
x 2
2)Tìm M treân ñöôøng thaúng x = 1 sao cho töø M keû ñöôïc
ñeán (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau.
Goïi M(1, b) naèm treân ñöôøng thaúng x = 1.
Ñöôøng thaúng (d) qua M vaø M coù heä soá goùc k: y= k(x - 1) + b
x 2 3x 2
(1)
k(x - 2) + b
x
coù nghieäm.
(d) tieáp xuùc vôùi (C) 2
2
x
k
(2)
x 2
x 2 3 2 ( x 2 2)( x 1)
b (b + 2)x2 – 4x + 2 = 0
Thay (2) vaøo (1):
2
x
x
(3)
Töø M keû 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø vuoâng goùc vôùi nhau.
(2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 0 sao cho k1, k2 = -1.
4 2(b 2 0)
' 0
x12 2 x2 2 2
.
1
k1 k2 1
2
x22
x1
http://book.key.to
28
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
x
x
2
1
b 0
b2
2 2
i
vôù
2
2
x1 x2 ( x1 x2 ) 2 0
x x 4
1
2
b2
b 0
b 0
2
(nhaän)
b 6b 2 0
b 3 7
CAÂU 23:
1)Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
y
2
x2 3x 2
x 3
2
x
(C)
TXÑ: D = R\ {0}
x 2
x 2
TCÑ: x = 0 vì lim y
y'
x2 2
; y' 0
x2
x 0
2
x
TCX: y = x – 3 vì lim 0
x
BBT:
Ñoà thò:
Cho y = 0 x2 – 3x +2 = 0
x 1
x 2
2)Tìm M treân ñöôøng thaúng x = 1 sao cho töø M keû ñöôïc
ñeán (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau.
Goïi M(1, b) naèm treân ñöôøng thaúng x = 1.
Ñöôøng thaúng (d) qua M vaø M coù heä soá goùc k: y= k(x - 1) + b
x 2 3x 2
(1)
k(x - 2) + b
(d) tieáp xuùc vôùi (C) 2 x
coù nghieäm.
2
x
(2)
k
x 2
x 2 3 2 ( x 2 2)( x 1)
Thay (2) vaøo (1):
b (b + 2)x2 – 4x + 2 = 0
2
x
x
(3)
Töø M keû 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø vuoâng goùc vôùi nhau.
(2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 0 sao cho k1, k2 = -1.
4 2(b 2 0)
' 0
x12 2 x2 2 2
.
1
k1 k2 1
2
x22
x1
2
x
x
1
2
b 0
b2
vôùi
2 2
2
2
x1 x2 ( x1 x2 ) 2 0
x x 4
1
2
b2
http://book.key.to
29
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
b 0
b 0
2
b 3 7
b 6b 2 0
Caâu 24:
Cho y x 4 2 x 2 2 m
(nhaän)
(Cm )
TXÑ: D = R
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 0
y x 4 2 x2 2
x0
y ' 4 x 3 4 x 4 x( x 2 1) y ' 0
x 1
1 13 1 13
1
13
y '' 12 x 2 4 ; y '' 0 x
, ,
,
y ñieåm uoán
9
3
3 9
3 9
BBT:
Ñoà thò: Cho y=2 x4- x2=0
x 0
x 2
2) Tìm m ñeå (Cm) chæ coù hai giao ñieåm chung vôùi truïc Ox.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø truïc Ox:
x4- 2x2+ 2-m = 0
(1)
2
Ñaët t = x (t≥0)
Phöông trình trôû thaønh:
t2- 2t + 2 – m = 0
(2)
(1) chæ coù 2 nghieäm (2) coù nghieäm traùi daáu hoaëc (1)
coù nghieäm keùp döông
P0
2 m 0
m 2
' 0
b
1 2 m 0 m 1
0
2a
Vaäy (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm khi: m = 1 hay m > 2.
3) Chöùng minh raèng m tam giaùc coù 3 ñænh laø 3 ñieåm cöïc trò cuûa (Cm) laø moät tam giaùc
vuoâng caân:
Ta coù: y = x4- 2x2+ 2 - my’= 4x3- 4x
x 0
y 2 m
y' 0
x 1 y 1 m
Goïi 3 ñieåm cöïc trò laø:
A(0, 2- m), B(-1, 1- m), C(1, 1- m)
Ta coù:
AC AB 1 1 0, m
AB (1, 1) AB 2 ; AC (1, 1) AC 2
AB AC 2, m
http://book.key.to
30
- Xem thêm -
.PDF 
81 
368 
64 
