Tài liệu Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường thpt quan sơn tiếp cận và giải nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện

A-ĐẶT VẤN ĐỀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong giai đoạn đổi mới hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp CNH- HĐH đất nước, để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Cùng với việc thay đổi về nội dung cần có sự thay đổi về phương pháp dạy học. Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của Học sinh; phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từng môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm,rèn luyện kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú trong học tập cho học sinh. Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn Toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh và giáo viên, thậm trí ta có thể dùng từ “SỢ” học. Từ việc học sinh sợ học dẫn tới giáo viên cũng ngại dạy và ngày càng học sinh học yếu hơn. Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây là phần có trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao, khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là “TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN” nhưng qua thực tiễn giảng dạy tại Trường THPT Quan Sơn những năm qua trong các kỳ thi các em học sinh thường bỏ qua bài tập dạng này. Như chúng ta đã biết trong giảng dạy đã chia ra 4 mức độ của nhận thức là 1, Nhận biết 2, Thông hiểu 3, Vận dụng 4, Sáng tạo Như vậy việc đưa ra các bài tập tuỳ theo mức độ của nhận thức của học sinh là việc cơ bản khi giảng dạy. Để làm tốt việc dạy học phân hóa đối tượng và đưa ra các bài tập phù hợp thì việc phân dạng, loại bài tập với giáo viên và giúp học 1 sinh phân dạng toán cũng rất quan trọng và cần thiết cho học sinh dễ hiểu, tạo sự thích thú đam mê trong học tập và khám phá Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại, ngày càng yêu thích và học toán hơn, cũng như giúp các em có kiến thức vững chắc để ôn thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ.Tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quan Sơn Tiếp cận và giải nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện” B-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI: Để làm tốt các bài tập về tính thể tích của khối đa diện việc đầu tiên chúng ta cần phải giúp học sinh nắm vững các công thức và khái niệm sau: Nếu khối đa diện (H) được chia thành các khối H1; H2;...;Hn thì: V( H )  V( H1 )  V( H 2 )  ...  V( H n ) Thể tích của khối chóp được tính theo công thức: V= 1 Bh 3 ( trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài chiều cao của khối chóp) Thể tích của khối lăng trụ được tính theo công thức: V = Bh (B là diện tích đáy , h là độ dài đường cao) Qua hai công thức trên ta thấy để tính được thể tích của khối đa diện yêu cầu chúng ta phải xác định được 2 yếu tố đó là tính được diện tích đáy và độ dài của đường cao. Để xác định chân đường cao học sinh cần lưu ý: -Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy. 2 -Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy. - Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy. -Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy. -Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mp đó. Để tính độ dài đường cao và diện tích đáy học sinh cần ghi nhớ và vận dụng tốt: - Các hệ thức lượng trong tam giác, đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông. - Các khái niệm liên quan đến góc, khoảng cách và cách xác định. II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: Trường THPT Quan Sơn đặt trên vùng kinh tế đặc biệt khó khăn, trình độ dân trí còn thấp, phụ huynh học sinh chưa nhận thức được tầm quan trọng của việc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng hướng. Năng lực học tập của học sinh còn hạn chế do đầu vào lớp 10 quá thấp, khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo của học sinh gần như chưa có. Đa số học sinh không có đầy đủ đồ dùng học tập, sách giáo khoa, sách tham khảo. Ngoài thời gian tới trường các em lại phải giúp bố mẹ công việc gia đình, có những em còn là lao động chính để nuôi sống gia đình không có nhiều thời gian dành cho học tập. Nên các khái niệm các em thường nắm không vững, hay quên và khó vận dụng lý thuyết vào việc giải bài tập. Đa số học sinh yếu môn hình trong khi đó những năm gần đây trong các kỳ thi TN- ĐH CĐ lại thường có bài tính thể tích của khối đa diện, thông thường các em thường bỏ qua câu này. 3 Với thực trạng như vậy để giúp học sinh phát huy năng lực tư duy logic, trừu tượng, tạo hứng thú trong học tập. Bổ xung kiến thức cho các em có đủ kiến thức để bước vào hai kỳ thi lớn là kì thi TN- ĐH CĐ. Tôi xin giới thiệu đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quan Sơn tiếp cận và giải nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện” III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: Để tạo hứng thú học hình không gian cho học sinh cũng như giúp các em có thể vận dụng lý thuyết vào việc giải nhanh bài tập trong quá trình giảng dạy và đặc biệt là trong các tiết ôn tập tôi thường giúp học sinh hệ thống lại các kiến thức liên quan, sau đó thực hiện các ví dụ từ mức độ đơn giản nhất sau đó nâng dần mức độ khó hơn. Giúp học sinh một mặt cũng cố kiến thức cũng từ đó hình thành phương pháp giải cho mỗi dạng toán mà không cảm thấy bị ngợp hoặc thấy khó quá mà bỏ cuộc. Thể tích của khối đa diện có thể phân ra làm hai dạng cơ bản nhưng trong mỗi dạng lại có thể chia nhỏ ra để dễ nhớ ,dễ học cụ thể: DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP Yêu cầu các em phải đọc kĩ đề bài xác định chính xác đường cao. Vẽ hình sao cho dễ nhìn, dễ quan sát. Vận dụng các kiến thức đã học để tính diện tích đáy và độ dài của đường cao sau đó vận dụng công thức tính thể tích của các khối đa diện để tính thể tích. Ví dụ 1: ( Hình chóp đều) S Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó. B A E D C 4 Hướng dẫn học sinh giải: Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. SE là đường cao của khối chóp. 2 AE= 3 AD= SABC= a2 3 4 a 3 3 Ta có  SAD=600 nên SE=AE.tan600=a 1 Do đó VSABC= 3 SE.SABC= a3 3 12 . Ví dụ 2: ( Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau) Cho hình chóp S.ABC có AB=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) cùng tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Hướng dẫn học sinh: Gọi D là hình chiếu của S lên (ABC) 5 S B A D k C Suy ra D là tâm tròn tròn nội tiếp tam giác ABC. Suy ra SD là đường cao của khối chóp Ta có SABC= p ( p  a )( p  b)( p  c ) mặt khác SABC=pr  r= Trong  SDK ta có S p 2 =3a =6a2. 6 (p AB  AC  BC ) 2 6 SD=KDtan600 = r.tan600= 2a. 1 Do đó VSABC= 3 SD.SABC=8a3. 3 2 . Ví dụ 3:(Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy 1 góc bằng nhau) Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 60 0, đáy là tam giác cân AB=AC=a và góc BAC=1200 . Tính thể tích khối chóp đó Hướng dẫn học sinh: Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra SO là đường cao của khối chóp 6 S O C D B Ta có SABC=1/2.AB.AC.sin1200= OA=R= a.b.c 4s a2 3 4 A và BC=2BD=2.ABsin600=a. =a  SO=OA.tan600=a. 1 Do vậy VSABC= 3 SO.SABC= 3 3 a3 4 Ví dụ 4: (Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a 3 và (SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp S.BMDN. S D A H M B N C 7 Hướng dẫn học sinh giải: Trong tam giác SAB kẻ SH vuông góc với AB, suy ra SH cũng là đường cao của chóp SABCD và SBMDN. SABCD=4a2 Ta có: SADM=1/2AD.AM= a2 và SCDN=1/2.CD.CN= a2 Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2. mặt khác do đó 1 1 1 SA 2 .SB 2    SH= SH 2 SA 2 SB 2 SA 2  SB 2 1 VSBMDN= 3 .SH.SBMDN= a3 3 3 = a 3 2 . Ví dụ 5: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy) Tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC=a. Trên đường thẳng vuông góc 0 với (ABC) tại A lấy S sao cho (ABC) và (SBC) tạo với S nhau 1 góc 60 . Tính thể tích của S.ABC. Hướng dẫn học sinh: Gọi I là trung điểm của BC; SA vuông góc với đáy Trong tam giác ABC ta có AI = SA= AI. Tan600 = BC a = 2 2 3 a a 3 . = 2 2 4 C A 1 1 1 a3 3 Do đó VSABC= SA.S ABC  .SA. AI .BC  3 3 2 12 B I Ví dụ 6: (ĐH- KA 2009) ( Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a, CD=a. Góc giữa (SBC) và đáy bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của AD, Biết (SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Hướng dẫn học sinh: Nhận xét: Vì (SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy  SI  (ABCD) 8 Gọi H là hình chiếu của I lên BC, J là trung điểm AB. Ta có SI  (ABCD)  IB= IA 2  AB 2 =a IC= 5 và ID 2  DC 2 BC= S =a CJ 2  JB 2 2 =a 5 S B J A H I C D 1 2 Ta có SABCD= AD(AB+CD)=3a2 1 2 1 2 3a SIBA= .IA.AB=a2 và SCDI= .DC.DI=1/2.a2  SIBC=SABCD-SIAB-SDIC= 1 mặt khác SIBC= 2 .IH.BC nên IH = 1 Do đó VABCD= 3 SI.SABCD= 2 2 2 S IBC 3 3  a BC 5 3 15 5 mà SI=IH.tan600= 9. 3 a. 5 a3 Ví dụ 7: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, góc ACB=600. Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ. Hướng dẫn học sinh: Trong tam giác ABC ta có AB=AC.tan600=a 3 Ta có AB  AC và AB  A1A Nên AB  mp(ACC1A) do đó  AC1B=300 9 A B C A1 B1 C1  AC1=AB.cot300=3a. Trong tam giác ACC1 ta có CC1= AC1 2  AC 2 =2a 2 Do vậy V=CC1.SABC= 2a 2 1 . 2 .a.a 3 =a3. 6 Ví dụ 8: Cho khối trụ tam giác ABCA 1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A1 cách đều ba điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ đó. Hướng dẫn học sinh: 10 B1 A1 C1 A B G I H C Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC= a2 3 4 mặt khác A1A= A1B= A1C  A1ABC là tứ diện đều. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao của tứ diện cũng như lăng trụ Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH= A1G=AG.tan600=a. a 3 3 và  A1AG=600 vậy VLT=A1G.SABC= a3. 3 4 Ví dụ 9: Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB= 2 .Cho biết (ABB1) vuông góc với đáy,A1A= 3 ,Góc A1AB nhọn, góc giữa (A1AC) và đáy bằng 600. Hãy tính thể tích khối lăng trụ. Hướng dẫn học sinh: ABC vuông cân tại C và AB= 2  SABC= 1 1 .CA.CA= . 2 2 (ABB1) vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G  AB tại G  A1G chính là đường cao .Từ G hạ GH  AC tại H  góc A1HG=600 . Đặt AH=x(x>0) Do  AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x  HGA1 ta có A1G=HG.tan600=x. 2 3 11 trong  A1AG có A1A2=AG2+A1G2  3=2x2+3x2 hay x= A1 15 5 B1 C1 A B G H C Do đó A1G= 3 5 5 vậy VLT=A1G.SABC= 3 5 10 Chú ý: Trong quá trình giảng dạy tùy từng đối tượng học sinh, tình huống trực tiếp trên lớp ta có thể bổng sung các câu hỏi phụ để dẫn dắt học sinh trung bình yếu cũng có thể tiếp cận và lĩnh hội được nội dung của phương pháp. Đối với học sinh khá giỏi có thể lấy các ví dụ yêu cầu cao hơn hoặc các câu hỏi cần mức độ tư duy cao hơn. Với ví dụ 8,9 là các ví dụ yêu cầu cao hơn trong việc xác định và tính độ dài của đường cao nên ví dụ này ta giành cho học sinh khá giỏi. TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP : Nhận xét: Trong nhiều bài toán nếu tính trực tiếp như trên có thể gặp khó khăn với 2 lí do: Hoặc khó xác định và tính chiều cao, hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng. Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể hướng học sinh đi theo con đường khác: - Phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản mà các khối này dễ tính hơn - So sánh thể tích khối đa diện cần tính với các khối khác đã biết thể tích. Tinh thần của phương pháp là ta sử dụng phân chia lắp ghép các khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc sử dụng bài toán tỉ lệ của hai khối tứ diện sau: 12 Bài toán: Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm A1,B1,C1 khác với S chứng minh: VS A1B1C1 VSABC  SA1 SB1 SC1 . SA SB SC Hướng dẫn học sinh: A A1 B B1 S H E C1 C Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A, A1 trên (SBC)  AH / / A1E nên  SAH và  SA1E đồng dạng  1 VSABC= 3 Khi đó 1 AH.SSBC= 3 VSA 1 B 1 C 1 = Do vậy Nên 1 3 AH SA  A1 E SA1 AH.SB.SC.sinBSC. A1E.SSB 1 C 1 = 1 3 A1E.SB1.SC1.sinBSC. 1 . AH .SB.SC. sin BSC V SABC AH SB SC  3  . . 1 VSA1B1C1 A1 E SB1 SC1 . A1 E.SB1 .SC1 . sin BSC 3 VS A1B1C1 VS ABC  SA1 SB1 SC1 SA SB SC Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a và A1A tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA. Hướng dẫn học sinh: 13 A1 C1 B1 C A H K B Gọi H là hình chiếu của A1 trên (ABC) KhiđóA1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a. a. 3.  3 VLT=A1H.SABC= a2. 3 3a 3  4 4 Mặt khác ta nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp: CA1B1C1 1 1 B1ABC ; A1B1CA mà VCA B C = V B ABC = . AH .S ABC = 3 VLT 1 do đó V A1 B1 AC 1 =3 1 1 1 3 a3 VLT = 4 Ví dụ 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạch AB bằng a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. Tính thể tích của S.DBC Hướng dẫn học sinh: Gọi H,H’ là hình chiếu của S,D lên (ABC). Vì tam giác ABC đều nên H là trọng tâm tam giác và góc SAI bằng 600  SH=AH.tan600=a ; SA= SH 0  2a 3 sin 60 3 14 S DI= IA.sin600= AD=SD= Ta có Mà D A C H’ H I B Ví dụ 3: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Hướng dẫn học sinh: Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv) Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB 1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1 Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c” HB IB 1 1 1 Theo TA-LET AA  IA  3 Và 1 1 Ta có: VHIEB 1  KD1 JD1 1   AA1 JA1 3 1 1 1 a b c abc .HB1 .B1 E.B1 I  . . . .   V KFJD1 3 3 2 2 2 3 72 V AAJ JI  V1= V AA J 1 1 1 1 3a 3b 3abc . AA1 . . AI .JA  . . . .c  3 2 3 2 2 2 8 JI -2. V HIEB = V2= Vhh-V1= 1 47abc 72 3abc abc 25abc  2.  8 72 72 V 25 1 do vậy V  47 2 15 A D B C K D1 A1 J H F E B1 C1 I DẠNG 2: DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÁC: DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ CHÚNG MINH CÁC HỆ THỨC: Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD ,điểm M ở miền trong của tứ diện. AM cắt (BCD) tại A’, BM cắt (ACD) tại B’; CM cắt (ABD) tại C’; DM cắt (ABC) tại D’. VMBCD MA ' MA ' MB ' MC ' MD '     1 Chứng minh: V từ đó suy ra AA ' AA ' BB ' CC ' DD ' ABCD Hướng dẫn học sinh: Gọi H,H’ là hình chiếu của A và M lên (BCD).  MH’//AH  1 MH '.S BCD VMBCD 3 MH '    Mà 1 VABCD AH AH .S BCD 3 V MD ' V AM MH '  AA ' AH VMBCD MA '  ( đpcm) VABCD AA ' MB ' V MC ' MABC  ; MACD  ; MABD  Tương tự ta có V DD ' V BB ' VABCD CC ' ABCD ABCD 16 A M B’ D B A’ H C Mà VABCD=VMBCD+VMABC+VMABD+VMACD  MA ' MB ' MC ' MD '     1 (đpcm) AA ' BB ' CC ' DD ' Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm trong tứ diện cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r . Gọi ha,hb,hc,hd là khoảng cách từ A,B,C,D đến các mặt đối 1 1 1 1 1 diện chứng minh: r  h  h  h  h a b c d Hướng dẫn học sinh: V r MBCD  Trước hết ta đi chứng minh V thật vậy ha ABCD Gọi H,H’ là hình chiếu của A và M lên (BCD).  MH’//AH  Mà VMBCD VABCD 1 MH '.S BCD MH ' 3    1 AH AH .S BCD 3 AM MH '  AA ' AH VMBCD MA '  ( đpcm) VABCD AA ' 17 A M B B’ D A’ H C V MD ' V MB ' V MC ' MABC  ; MACD  ; MABD  Tương tự ta có V DD ' VABCD BB ' VABCD CC ' ABCD Mặt khác Ta có VABCD=VMBCD+VMABC+VMABD+VMACD  r r r r 1 1 1 1 1    1      ha hb hc hd r ha hb hc hd (đpcm) DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TỚI MẶT PHẲNG HOẶC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC: Có rất nhiều cách để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng hoặc diện tích của đa giác nhưng trong nhiều trường hợp việc xác định và tính taons không dễ dàng thì ta có thể sử dụng công thức thể tích để thực hiện: Ví dụ 1: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông S cách từ A đến (BCD) góc với đáy , AB=a, BC=b, SA=c. Tính khoảng Hướng dẫn học sinh: Ta có BC vuông góc với SA và AB nên BC vuông góc với SB  tam giác SBC vuông tại B. C A 18 B Ta có AC  a 2  b2 ; SB  b 2  c 2 1 3 1 3 Mà VSABC  abc = d ( A, ( SBC )).SSBC  d ( A, ( SBC ))  abc 1 b. a 2  c 2 2  2ac a 2  c2 Ví dụ 2: Cho chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. AB = a, AC = 2a, SA = a.Mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại K cắt SB tại H. Tính SK và diện tích AHK. Hướng dẫn học sinh: Ta có: SK  (AHK) Ta có BC  AB; BC  SA  BC  (SAB)  BC  AH mà AH  SC  AH  (SBC)  AH  SB Ta có AH= a 2 2a 5 ; AK= 2 5 Ta có mà VSABC=VSAHK= SAHK=  SH= a 2 ; SK= a 5 2 5 S K H A C B 19 CÁC BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45 0. Tính thể tích khối chóp. Bài 2: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a. Bài 3: Cho chóp đều S.ABCD có AB=a góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  ( ABCD) , AB  a , SC  3a , SA  BC . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD Bài 5: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA  ( ABC ) , AB  a , AC  2a , SA  3a . Bài 6: Cho tam giác cân ABC, có AB  AC  2b , BC  2a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA  a . a. Tính thể tích khối chóp SABC . b. Tính diện tích SBC , suy ra khoảng cách từ A đến mp(SBC). Bài 7: Cho chóp S.ABC có SB=SC=BC=CA=a hai mặt bên (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích S.ABC. Bài 8: Cho chóp S.ABCD có hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy,còn đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB=a; BC=2a và SA=3a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 9: Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; (SAC) vuông góc với đáy; góc ASC bằng 900 và SA tạo với đáy góc α. Tính thể tích khối chóp. Bài 10: Cho chóp S.ABC có góc BAC bằng 900, góc ABC bằng α; tam giác SBC đều cạnh a, (SBC) vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp. Bài 11: (ĐH-A 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn HA=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích của S.ABC và khoảng cách giữa SA và BC. 20