Tài liệu Giúp học sinh khắc phục một số khiếm khuyết khi giải phương trình vô tỉ

I. ĐĂĂT VẤN ĐỀ: Môn Toán có vị trí quan trọng đặc biệt trong các môn học ở nhà trường phổ thông, nó là cơ sở của nhiều môn học khác. Phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học vì toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng cơ bản. Các nhà toán học cổ điển như: Viet, Điôphăng…đã phát triển lý thuyết phương trình thành lý thuyết đại số và số học cổ điển. Phương trình trở thành cơ sở của nội bộ môn toán. Các ngành khoa học khác như: Vật lý, Hóa học, Kỹ thuật tính toán…không thể thiếu kiến thức về phương trình( ví dụ như: cân bằng phương trình hóa học, các bài toán vật lý về chuyển hóa năng lượng…) Khi giải quyết mọi vấn đề trong đời sống thực tế thường dẫn đến giải một bài toán phương trình. Thông qua giải phương trình sẽ củng cố và đào sâu kiến thức về tập hợp, logic toán, các phép biến đổi đồng nhất, hàm số…Từ đó rèn luyện tư duy và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong thực tế dạy học, phương trình được đưa vào phổ thông ngay từ lớp đầu tiên một cách ẩn tàng, lúc đó các em chưa học, chưa biết khái niệm phương trình. Lên lớp 8 phương trình được đưa vào một cách tường minh. Phương trình vô tỷ được đưa vào chương trình bắt đầu từ lớp 9. Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp câ ân với phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cũng như cách giải mô ât vài dạng toán cơ bản của phần này. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng. Đă âc biê ât, trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - THCN các em sẽ gă âp mô ât lớp các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ mà chỉ có mô ât số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, 1 chưa được gọn gàng sáng sủa, thâ âm chí còn mắc mô tâ số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần phương trình vô tỷ chỉ là mô ât mục nhỏ trong bài: Mô ôt số phương trình và bất phương trình quy về bâ ôc hai của chương IV. Trong SGK Đại số lớp 10 thậm chí phần phương trình vô tỷ chỉ điểm qua rất sơ sài trong bài: Phương trình quy về bậc nhất,bâ ôc hai của chương III. Tóm lại ở các SGK thời lượng dành cho phần này rất ít, các ví dụ và bài tâ âp trong phần này cũng rất hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ năng biến đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục. Muốn vâ ây, trong các tiết luyê ân tâ âp giáo viên cần tổng kết lại cách giải các dạng phương trình thường gă âp, nhắc nhở va khắc phục ngay những sai lầm thường mắc phải của học sinh, cũng như bổ sung thêm các dạng bài tâ pâ nâng cao, đă âc biê ât là rèn luyê nâ cho học sinh kĩ năng giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đă ât ẩn phụ. Vì tất cả những lý do trên tôi đã nghiên cứu và xin trao đổi với đồng nghiệp sáng kiến kinh nghiệm: GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHIẾM KHUYẾT KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Giới hạn nghiên cứu của đề tài: - Các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình vô tỷ chủ yếu là do kỹ năng biến đổi tương đương của các em còn chưa tốt và sai lầm khi giải bài toán phương trình vô tỷ có chứa tham số bằng cách đặt ẩn phụ. - Các biện pháp khắc phục những sai lầm đó cho học sinh. II. CƠ SỞ LÍ LUÂĂN: Nhiê âm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt đô nâ g dạy của thầy và hoạt đô nâ g học của trò. Đối với người thầy, viê âc giúp học sinh củng cố những kiến 2 thức phổ thông nói chung, đă âc biê ât là kiến thức thuô âc bô â môn Toán học là viê âc làm rất cần thiết. Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán mô ât cách có hê â thống, biết vâ ân dụng lý thuyết mô ât cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiê ân ở viê âchọc đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vâ ây, ttrong quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán mô tâ cách có hê â thống, biết cách vâ ân dụng lí thuyết vào bài tâ pâ , biết phân dạng bài tâ pâ và giải mô ât bài tâ pâ với nhiều cách khác nhau. III. CƠ SỞ THỰC TIỄN: Bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ học sinh chỉ được học trong chương trình Đại số 10. Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này này rất ít, học sinh không được tiếp câ n â nhiều dạng toán khác nhau. Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao chỉ đưa ra dạng cơ bản: A  B , thậm chí SGK Đại số 10 còn trình bày kiến thức đơn giản hơn rất nhiều. Tuy nhiên, trong thực tế phương trình và bất phương trình vô ti rất đa dạng và phong phú. Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gă âp phải những bài toán đưa về phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thâ âm chí không biết cách giải. Đă âc biê ât, các đề thi Đại học - Cao đẳng các em sẽ gă âp phương trình vô tỉ ở nhiều dạng khác nhau chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ dạng trên, hơn nữa đối tượng học sinh của tôi đa phần có lực học trung bình và yếu về kiến thức .Vì vâ ây, tôi nghĩ viê âc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô ti là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiê ân nay. Mô ât điều rất quan trọng là trong quá trình giải phương trình và bất phương trình vô ti, giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh các sai lầm thường mắc phải và phân tích nguyên nhân sai lầm để các em hiểu sâu hơn nhằm có được mô ât bài giải tốt sau này. 3 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này cố gắng trình bày rõ ràng, không rườm rà, lôgíc phù hợp với trường THPT công lập còn nhiều khó khăn do mới chuyển đổi từ trường THPT bán công với chất lượng đầu vào của học sinh không cao. Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10 hệ THPT và ôn tập cho các em học sinh lớp 12 chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng như tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và Đai học. Mục đích của đề tài không có ý nêu tất cả các phương pháp giải phương trình vô tỷ mà chủ yếu chỉ ra những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình vô tỷ ở hai phương pháp: Biến đổi tương đương và đặt ẩn phụ. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể. Sau mỗi ví dụ, tác giả đều có những nhận xét bình luận khắc phục những sai lầm cơ bản giúp học sinh có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất. IV. NÔĂI DUNG: A.Vị trí của phương trình vô tỷ trong chương trình và mối quan hệ với các loại phuong trình khác. Phương trình vô tỷ là một bộ phận quan trọng trong chương trình dạy học toán ở trường phổ thông với định nghĩa là phương trình có ẩn số nằm dưới dấu căn. Ngay từ lớp 9 học sinh bắt đầu làm quen qua những bài giải phương trình quy về bậc hai. Lên lớp 10 học sinh được học phương trình chứa ẩn căn bậc hai trong thời lượng rất ít. Tuy trong phân phối chương trình ít nhưng cũng đã trang bị cho học sinh các phép biến đổi để giải phương trình vô tỷ và là cơ sở để giải các phương trình vô tỷ phức tạp hơn và đặc biệt là phương trình vô tỷ siêu việt. 4 Khi giải phương trình vô tỷ ta phải thực hiện các phép biến đổi để tách căn thức và khử nó để về đưa phương trình đã biết cách giải, do đó nó có quan hệ mật thiết với rất nhiều loại phương trình mà cụ thể là. - Phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. - Phương trình bậc hai - Phương trình bậc cao - Phương trình lượng giác - Phương trình mũ và logarit Trong khi giải phương trình vô tỷ, nhiều học sinh chưa phân biệt được khi nào là biến đổi tương đương, khi nào là biến đổi hệ quả dẫn tới việc xuất hiện nghiệm ngoại lai. Đối với phương trình chưa ẩn dưới dấu căn bậc chẵn, khi nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế muốn tương đương thì hai vế phải không âm. Do đó khi giải ra nghiệm ta chỉ cần kiểm tra điều kiện đặt ra mà không phải thử lại vào phương trình ban đầu. Còn khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn cả hai vế mà không có điều kiện đi kèm thì đó là biến đổi hệ quả nên khi giải ra nghiệm của phương trình cuối ta phải thử lại đối với phương trình ban đầu. Đối với phương trình chứa căn bậc lẻ khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ ta luôn được phương trình tương đương B. Các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình vô tỷ và biện pháp khắc phục. Trong quá trình giải phương trình sai lầm mà học sinh thường mắc phải là sử dụng các phép biến đổi không tương đương dẫn tới làm mở rộng hoặc thu hẹp miền xác định của phương trình đó và dẫn tới miền nghiệm không chính xác bởi nó có thể làm mất nghiệm hoặc thêm nghiệm. Khi giải phương trình vô tỷ học sinh thường mắc những sai lầm như sau. 1. Sai lầm khi giải phương trình vô tỷ bằng các biến đổi tương đương 1.1. Sai lầm khi giải điều kiện xác định 5 Có những bài toán giải phương trình vô tỷ mà lời giải của nó nằm gần như hoàn toàn ở việc tìm điều kiện xác định. Nghĩa là, tìm đúng điều kiện xác định thì ta dễ nhìn thấy các làm, thậm chí điều kiện xác định chỉ là một vài giá trị. Ta chỉ cần thay các giá trị này vào phương trình đã cho là có ngay kết quả của bài toán. Tuy vậy việc tìm điều kiện xác định thường dẫn tới giải một bất phương trình tích, dễ gây nhầm lẫn cho học sinh Ví dụ 1: Giải phương trình (1) x2 1  x  1  x  1 Có học sinh giải như sau: ĐK:  x2  1  0  ( x  1)( x  1)  0  x 1  0       x 1  0  x 1  0  x 1  0 x  1 ۳  x 1  x  1 Khi đó (1)  ( x  1)( x  1)  x  1  x  1 Do x  1 nên chia hai vế cho x  1 ta có x 1 1  x  1 Với x  1 ta có x 1  x  1  x  1  1  x  1 do đó phương trình đã cho vô nghiệm. Sai lầm ở đây là do: + Thói quen thường gặp của học sinh đầu cấp THPT vẫn còn ảnh hưởng bởi việc phân tích một biểu thức thành nhân tử rồi phân chia các trường hợp để xét dấu các nhân tử theo cách, kiểu làm ở cấp THCS. Sở dĩ ở cấp THCS phải làm vậy vì các em chưa được học định lý về dấu của tam thức bậc hai. + Sau khi phân tích biểu thức ban đầu thành nhân tử, cộng với kiến thức về biến  AB  0 A 0   A 0 B  0 đổi tương đương còn chưa tốt, các em dễ mắc sai lầm sau  Biện pháp khắc phục sai lầm như trên: 6 + Giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ:  A  0   AB  0  AB  0  B có nghiã    , tương tự    A  0 A 0 A 0    B  0  A  0   B có nghiã .  A  0   B  0 + Tuy vậy điều vừa nói ở trên là về mặt kiến thức, còn khi thực hành giáo viên dạy cho học sinh giải điều kiện là một bất phương trình bậc hai một cách gọn gàng, dễ làm bằng Định lý về dấu của tam thức bậc hai chứ không phân tích một tam thức bậc hai thành tích hai nhị thức bậc nhất như lời giải sai ở trên. Giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Sau khi giải triệt để điều kiện xác định thì nên dựa vào điều kiện xác định để phân ra các trường hợp nhằm xét dấu các biều thức dưới căn bậc hai( hoặc một căn bậc chẵn ), khi đó có thể giúp ta rút gọn 2 vế phương trình, đánh giá các vế của phương trình… Lời giải đúng. ĐK:  x  1  x2  1  0 x  1     x  1     x  1  x 1  0  x  1  Ta thấy x= -1 nghiệm đúng phương trình đã cho. (1)  ( x  1)( x  1)  x  1  x  1 Nếu x  1 nên chia hai vế cho x  1 ta có x 1 1  x  1 Với x  1 ta có x 1  x  1  x  1  1  x  1 , do đó phương trình đã cho vô nghiệm trong trường hợp này. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=-1 Tuy vậy, khi tìm điều kiện cho một phương trình vô tỷ nếu dẫn tới phải giải một bất phương trình bậc 3(hoặc bậc cao hơn) thì điều không tránh khỏi là phải phân tích biều thức bên vế trái thành các nhân tử. Sẽ không có vấn đề gì nếu các nhân tử đều là các nhị thức bậc nhất với lũy thừa bậc lẻ( thường là bậc 1), tuy vậy 7 nếu trong biều thức xuất hiện nhân tử là nhị thức bậc nhất với số mũ chẵn( thường gặp là bậc 2) thì học sinh lại dễ mắc sai lầm. Ví dụ 2:  x3  3x  2  x  1  2 Học sinh thường làm như sau Điều kiện để căn thức có nghĩa:   x3  3 x  2    x 1  0 x  2  0     x  1  x3  3x  2  0  ( x  1) 2 ( x  2)  0      x  1  x  1  x  2   x  1 0 Vậy không tồn tại giá trị của x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên phương trình vô nghiệm. Có thể chỉ ra với x=1 thì cả hai căn thức đều có nghĩa và x = 1 chính là nghiệm của phương trình. Học sinh đã sai khi giải bất phương trình ( x  1) 2 ( x  2)  0  x  2  0 Biện pháp khắc phục: + Học sinh lực học yếu và trung bình rất hay nhầm rằng: A2  0, A  R , vì lẽ đó nên khi gặp một vế có nhân tử dạng A2 các em này thường rút gọn một cách hết sức ngây thơ mà bỏ qua trường hợp A  0 . Do đó khi có một nhân tử là A2 nằm ở một vế của bất phương trình mà ta đang giải để tìm điều kiện xác định thì giáo viên cần cho học sinh phân làm hai trường hợp: A  0 và A  0  A2  0 , để từ đó tìm ra được điều kiện chính xác đối với nhân tử còn lại. Lời giải đúng: Điều kiện để căn thức có nghĩa:   x3  3 x  2  0  x3  3x  2  0  ( x  1) 2 ( x  2)  0       x 1  0  x  1  x  1  x  1     x  2  x  1  x  1  8 Thử x =1 vào phương trình ta có 2  2 nên x = 1 là nghiệm duy nhất. Ở ví dụ trên ta thấy việc giải điều kiện xác định cũng gần như đồng nghĩa với việc giải bất phương trình. Vì vậy ở những dạng bài kiểu này giải đúng điều kiện xác định nghĩa là làm được bài toán. Tiếp tục xoay quanh vấn đề trên, giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Nếu ở điều kiện trên bỏ đi dấu =, ta được bất phương trình: A2 B  0 thì có gì khác trước? Bây giờ thì học sinh sẽ hiểu rằng: Nếu A  0 thì bất phương trình này vô nghiệm, nếu A  0  A2  0 , bất phương trình trở thành: B  0 1.2. Sai lầm khi đặt điều kiện để biến đổi phương trình a. Sai lầm khi giải phương trình dạng f ( x)  g ( x) Trong khi giải phương trình f ( x)  g ( x) học sinh thường biến đổi như sau: f ( x)  g ( x)  f ( x)  g 2 ( x ) , hoặc đỡ nhầm hơn một chút thì  f ( x)  0 f ( x )  g ( x)   2  f ( x)  g ( x) Sau khi giải được nghiệm học sinh không thử lại vào phương trình ban đầu mà khẳng định ngay đó chính là nghiệm của phương trình đã cho hoặc chỉ kiểm tra điều kiện f ( x)  0 và kết luận đó là nghiệm của phương trình ban đầu. Ví dụ 3: Giải phương trình: x  x2 Học sinh kiến thức yếu thường làm như sau: x  1 x  x  2  x2  x  2  x2  x  2  0   x  2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là : x=-1 và x=2. Một số học sinh khác thì nhớ được rằng: Để căn thức bậc hai có nghĩa thì biều thức nằm dưới dấu căn bậc hai phải không âm, do đó các em này làm như sau: 9 x  2  0  x  2 x  x2   2   2 x  x  2 x  x  2  0  x  2  x  1     x  1   x  2  x  2  Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là : x=-1 và x=2. Biện pháp khắc phục sai lầm trên Để khắc phục sai lầm trên cho học sinh, ta hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp sau 2n  g ( x)  0 f ( x )  g ( x)   2n  f ( x)  g ( x )  f ( x ) g 2 n ( x ) Giáo viên lưu ý cho học sinh là điều kiện f ( x ) 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn. Vì vậy giáo viên nhấn mạnh cho học sinh: Khi gặp dạng toán trên ta không cần tìm điều kiện xác định của phương trình mà chỉ cần quan tâm đến điều kiện có nghiệm của phương trình( g ( x)  0 ) Lời giải đúng: x  0 x  0 x  x2   2   2 x  x  2 x  x  2  0 x  0     x  1  x  2  x  2  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2. b. Sai lầm khi giải phương trình vô tỷ chứa căn bậc lẻ. Các bài toán giải phương trình vô tỷ chứa căn bậc lẻ chủ yếu gặp dưới dạng căn bậc 3. Đối với học sinh yếu, trung bình: Giáo viên lưu ý cho học sinh mọi biểu thức có nghĩa đều tồn tại căn bậc lẻ, nhớ rằng không được nhầm lẫn mà buộc điều kiện biểu thức nằm dưới dấu căn bậc lẻ phải không âm. 10 Có lẽ phương trình chứa căn bậc lẻ thường gặp hoặc thường biến đổi rồi đưa được về phương trình dạng 3 f ( x)  3 g ( x)  3 h( x) (1) , gặp phương trình này học sinh thường biến đổi như sau (1)  f ( x)  g ( x)  3 3 f ( x) g ( x)( 3 f ( x)  3 g ( x ))  3 h( x) (2) Sau khi giải xong phương trình (2) học sinh kết luận luôn nghiệm của (2) là nghiệm của (1). Các sai lầm mắc phải: + Học sinh luôn quan niệm căn bậc lẻ thì không có điều kiện xác định nhiều và phức tạp như căn bậc chẵn, thậm chí điều kiện xác định là mọi giá trị x  R nên cứ thoải mái biến đổi, thay thế ta sẽ được các phương trình tương đương với phương trình ban đầu. + Ở bài dạng toán trên sai lầm của học sinh là coi rằng (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhưng thực ra hai phương trình đó không tương đương vì ta đã thay thế 3 h( x) bởi 3 f ( x)  3 g ( x) . Biện pháp khắc phục Thực tế cho thấy ngay cả học sinh khá cũng có thể mắc phải sai lầm này. Do đó để khắc phục sai lầm cho học sinh, giáo viên nhấn mạnh rằng (1) và (2) không tương đương mà phương trình (2) chỉ là phương trình hệ quả của phương trình (1) nên khi giải xong phải thử lại nghiệm vào phương trình (1). Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 x  1  3 2 x  1  3 3x  1 (1) Lời giải đúng như sau: (1)  x  1  2 x  1  3  3 3 3 ( x  1)(2 x  1)( 3 x  1  3 2 x  1)  3 x  1 ( x  1)(2 x  1)(3x  1)  3 x  0  6 x  7 x  0  x (6 x  7)  0   x  7 6  3 2 2 Thử lại (1) chỉ có x = 7 7 là thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm x = . 6 6 11 Rõ ràng rằng nếu quan niệm sai lầm như đã nói ở trên thì sẽ dẫn tới lấy thêm nghiệm ngoại lai x =0 c. Sai lầm khi giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai Khi giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai băng phương pháp biến đổi tương đương, tôi nhận thấy rằng: Ở phương trình dạng: f ( x )  g ( x )  h( x ) , học sinh thường ít gặp nhầm lẫn, nhưng khi thay dấu + bởi dấu -, tức là gặp phương trình dạng f ( x)  g ( x )  h( x ) (1) , học sinh thường mắc sai lầm. Học sinh thường biến đổi như sau  f ( x)  0  (1) ۳  g ( x ) 0  2  ( f ( x )  g ( x))  h( x) Biến đổi như trên học sinh cũng đã thể hiện một phần hiểu biết của mình( mặc dù còn sai). Học sinh đặt điều kiện đối với f ( x), g ( x) nhưng không đặt điều kiện đối với h( x) vì cho rằng, ta sẽ phải bình phương 2 vế của phương trình  tới( f ( x)  g ( x)) 2 h( x) để khử căn bậc hai, điều đó dẫn h( x) 0 , suy nghĩ này cũng có điểm đáng để khen ngợi, có lẽ các em đã một phần áp dụng lối tư duy khi giải phương trình dạng f ( x)  g ( x) ( bằng phương pháp bình phương hai vế). Ta xét một ví dụ cụ thể: Ví dụ 5: Giải phương trình x  3x  1  2 x  1 Lời giải sai của học sinh: 12 x  0  x  3 x  1  2 x  1(1)   3 x  1  0  2  ( x  3x  1)  2 x  1 x  0   x  0 1  ۳ x  3   x  1  x(3x  1)  4 x  1  2 x(3 x  1)  2 x  1 x  0  ۳x 1 0  x 2  2 x  1  3x 2  x  x  0   x 1     x 1 1  x     2 x  0  1 x  2x2  x 1  0  Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x= 1 Có thể thấy ngay x= 1 không phải là nghiệm của phương trình. Học sinh này phạm những sai lầm sau: Sở dĩ em học sinh này chỉ đặt 2 điều kiện x  0 , 3x+1  0 vì quan niệm rằng 2 x  1  ( x  3 x  1) 2 sẽ dẫn tới 2x-1 không âm, nên không cần đặt điều kiện 2x-1  0 nữa. Thậm chí nếu đặt thêm điều kiện 2x-1  0 thì vẫn sai vì điều kiện này kết hợp với 2 điều kiện trên sẽ cho ta: x  1 , điều kiện này dẫn tới ta không loại 2 được nghiệm x =1. Sai lầm nằm ở chỗ chưa biết 2 vế có cùng dấu hay không mà đã bình phương, cụ thể là nếu được thòa mãn điều kiện x  1 thì vế phải không âm, còn 2 x  3x  1 thì chưa xác định dấu. Biện pháp khắc phục Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh muốn bình phương hai vế để được một phương trình tương đương thì 2 vế phải cùng dấu (mà thực chất thường làm là hai vế không âm). Ta hướng dẫn học sinh biến đổi như sau: 13 f ( x )  g ( x )  h( x )  f ( x )  g ( x )  h( x )  g ( x)  0  ۳  h( x ) 0  2  f ( x )  ( g ( x)  h( x )) Nhiều học sinh kiến thức yếu còn mắc phải sai lầm ngây thơ f ( x )  g ( x )  h( x )  f ( x)  g ( x)  h( x) Như vậy, chỉ bằng hành động chuyển vế đổi dấu, giáo viên đã gần như có thể khắc phục được sai lầm rất nghiêm trọng cho học sinh. Lời giải đúng cho bài toán trên: x  3x  1  2 x  1  x  3x  1  2 x  1 2x 1  0   3x  1  0  2  x  ( 3x  1  2 x  1) 1  x  2  1  ۳  x 3   x  5x  2 6x2  x 1   Nhận thấy với x  1  x  2   6 x 2  x  1  2 x (*)  1 thì vế phải của (*) không âm, còn vế trái của (*) âm, do đó 2 (*) vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm d. Sai lầm khi rút gọn hoặc phân tích nhân tử có chứa căn bậc hai Học sinh rất hay nhầm lẫn khi gặp một phương trình vô tỷ có chứa các biểu thức dưới dạng: A A ;B ; AB B B Ví dụ 6: Giải phương trình: ( x  5) x2  x2 x5 Học sinh thường mắc sai lầm như sau: 14 x  2  0 ( x  5)( x  2)  x  2   2  ( x  5)( x  2)  ( x  2)  x  2  x  2   2   2  x  14  x  3x  10  x  4 x  4 ( x  5) x2  x2 x5 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Ta thấy rằng khi thay x = -14 vào phương trình đã cho ta thấy nó thỏa mãn phương trình. Do đó x=-14 phải là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy nguyên nhân nào dẫn tới lời giải trên sai? Học sinh sai lầm khi cho rằng B A  AB , sai lầm này do không để ý gì đến dấu B của các biểu thức A, B Biện pháp khắc phục + Giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng: B A  AB khi A  0, B  0  B   AB khi A  0, B  0 Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy rằng lời giải trên thiếu một trường hợp A<0; B<0 nên dẫn tới mất nghiệm x= -14 + Khi gặp dạng này phải giải điều kiện xác định A  0 , rồi dựa vào điều B kiện đó xét dấu của hai biều thức A, B để phân chia trường hợp chính xác, dẫn tới rút gọn biểu thức đúng. Lời giải đúng: ĐK: x  2 x2  0  x5  x  5 Nếu x  2 , ta có: x  2  0 ( x  5)( x  2)  x  2   2  ( x  5)( x  2)  ( x  2)  x  2  x  2   2   2  x  14  x  3x  10  x  4 x  4 ( x  5) x2  x2 x5 Phương trình vô nghiệm trong trường hợp này. 15 Nếu x  5 , ta có: x  2  0 x2  x  2   ( x  5)( x  2)  x  2   2 x5  ( x  5)( x  2)  ( x  2)  x  2  x  2   2    x  14( thoa mãn x<-5) 2  x  14  x  3 x  10  x  4 x  4 ( x  5) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= -14. Ví dụ 7: Giải phương trình: x ( x  1)  x ( x  2)  2 x2 . Học sinh thường làm như sau: Pt  x x 1  x x  2  2 x x  x  1  x  2  2 x (*) Căn thức có nghĩa khi x  1 , khi đó (*)  2 x 2  x  2  2 x  1  4 x 2  4 x  8  4 x 2  4 x  1( Do x  1)  x  9 (nhâ ôn) 8 9 8 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  . Nhận thấy ngay x =0 cũng là một nghiệm của phương trình Khi biến đổi như trên, học sinh thường mắc sai lầm khi cho rằng Đẳng thức này chỉ đúng khi A, B  0 . Nếu A, B  0 thì AB  A. B AB   A.  B . Biện pháp khắc phục + Giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng:  A B khi A  0, B  0 AB     A  B khi A  0, B  0 + Khi gặp dạng này phải giải điều kiện xác định AB  0 , rồi dựa vào điều kiện đó xét dấu của hai biều thức A, B để phân chia trường hợp chính xác, dẫn tới rút gọn biểu thức đúng. Lời giải đúng: 16 ĐK:  x  2  x  1 (*) .   x  0  * x = 0 là mô ât nghiê âm của phương trình. * x 1 pt  x 1  x  2  2 x  2 x2  x  2  2x 1  4x2  4x  8  4x2  4x  1  x  * x  2  pt  9 (nhâ nâ ) 8  x (1  x)   x (  x  2)  2 (  x )(  x )  1  x   x  2  2  x  2 x 2  x  2  2 x  1  x  9 (loại) 8 9 Vâ ây nghiê âm của phương trình đã cho là: x = 0 và x = 8 Bài toán trên còn có cách giải như sau: ĐK: Pt  2x2  x  2  x  2  x  1 (*) .    x  0 x 2 ( x  1)( x  2)  4 x 2  2  4 x 2 ( x 2  x  2)  x 2 ( 2 x  1) 2 (do x 2 ( x 2  x  2)  x( 2 x  1) x  0 2  9 (thỏa (*)).  x  8 x  9   0  đk (*))  x  8 e. Sai lầm khi bỏ đi biểu thức như nhau ở hai vế của phương trình mà không để ý điều kiện. Khi biến đổi một phương trình vô tỷ đến dạng A  B  A  C , học sinh thường mắc sai lầm đó là: bỏ đi ở hai vế biểu thức kiện của nó. Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 x  4  x  1  2 x  3  4 x  16 Học sinh thường mắc sai lầm như sau: 17 A mà không để ý đến điều 2 x  4  x  1  2 x  3  4 x  16  2 x  4  x  1  2 x  3  4( x  4)   x 1  0 x  1 x 1  2x  3      x2  x 1  2x  3  x  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= 2. Nhận thấy ngay x = 2 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Biện pháp khắc phục Giáo viên lưu ý học sinh rằng: + Khi bỏ biểu thức là các hạng tử giống nhau ở hai vế thì phải đặt điều kiện cho nó + Cụ thể lưu ý: A 0 A B  A C    B C Lời giải đúng: 2 x  4  x  1  2 x  3  4 x  16  2 x  4  x  1  2 x  3  4( x  4) x  4 x  4  0 x  4      x 1  0    x  x  2  x 1  2x  3  x 1  2x  3   Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 2.Sai lầm khi giải bài toán có chứa tham số bằng phương pháp đặt ẩn phụ 2.1. Sai lầm khi không đặt điều kiện cho ẩn phụ Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm m  x  2 x  1 (1) Giải: 18 Đặt t= x  1  x  t 2  1 (1)  m  t 2  1  2t  t 2  2t  m  1  0 (2) Học sinh thường mắc sai lầm: Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm  ۳1 m 1 0  m 2. Học sinh này mắc phải sai lầm này là do ấn tượng quá lớn ở lớp 9: Để một phương trình bậc 2 có nghiệm thì điều kiện là   0 . Vội vàng áp dụng khẳng định này mà không hiểu rằng điều đó chỉ đúng khi nghiệm không có điều kiện ràng buộc. Biện pháp khắc phục + Khi đặt ẩn phụ phải có điều kiện của ẩn phụ + Dạng toán như trên thường giải bằng phương pháp đồ thị( thực chất chỉ cần lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai) + Vì có thể tách tham số sang một vế một cách khá đơn giản nên học sinh lớp 12 có thể làm theo phương pháp hàm số. Lời giải đúng: Cách 1: Cho học sinh lớp 10. Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  0  đường thẳng y= m+1 cắt đồ thị y = t 2  2t tại những điểm có hoành độ không âm ۳m 1 0 m 1 Cách 2: Cho học sinh đã có kiến thức ở lớp 12. m  x  2 x 1  x  2 x 1  m Xét hàm số f ( x)  x  2 x  1, x   1;  ) . Phương trình đã cho có nghiệm khi đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=m có điểm chung trên [1;  ) Ta có: f ( x)  1  1  0, x  (1;  ) x 1 Do đó hàm số f ( x)  x  2 x  1 đồng biến trên  1;  ) , do đó f ( x)  f (1)  1 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi m  1 2.2. Sai lầm khi đặt điều kiện cho ẩn phụ chưa hoàn toàn chính xác 19 Trên thực tế học sinh thường phải một sai lầm nữa đó là: Có đặt điều kiện cho ẩn phụ nhưng nó mới là điều kiện cần chứ chưa phải điều kiện đủ. Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 x  x 2  2 x  x 2  m  1  0 (1) Giải: Đặt: 2 x  x 2  t  0 , (1)  t 2  t  1  m (2) Học sinh thường mắc sai lầm: Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t0 Học sinh mắc phải sai lầm này là do nhầm tưởng rằng chỉ cần t  0 là đủ nhưng thực ra t  0 mới chỉ là điều kiện cần. Ta phải tìm điều kiện đủ của t. Ta có: ĐK: 2 x x2 0 0 x 2 , khi đó t  2 x  x 2  x(2  x)  x2 x  1  t  [0;1] 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  [0;1]  đường thẳng y= 1-m cắt đồ thị y = t 2  t tại những điểm có hoành độ thuộc [0;1] t -  1 2 0 1 t2  t 2 0 20 +