CHƯƠNG 3 :NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG
§ 49. NGUYÊN HÀM
I. MỤC TIÊU
-Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số. Biết các tính chất cơ bản của nguyên
hàm.Thấy được mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm của hàm số.
-Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào định nghĩa và
bảng đạo hàm. Nắm bảng đạo hàm các hàm số thường gặp.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ ( Không kiểm tra)
2. Bài giảng
Phương pháp
Nội dung
I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
- Yêu cầu học sinh thực hiện HĐ1 1. Nguyên hàm
SGK.
HĐ 1: Tìm hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x)với
(?) Có tìm các h/s nào khác không
a. f(x) = 3x2 với x �(�; �)
Từ HĐ1 GV tổng quát : H/s F(x)
1
b. f ( x)
với x �( ; )
2
được tìm như trên gọi là nguyên hàm
cos x
2 2
3
của h/s f(x)
LG:
a. F(x) = x
b. F(x) = tan x
(?) Từ đó phát biểu định nghĩa khái a) Định nghĩa
niệm nguyên hàm (yêu cầu học sinh
-Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của R.
phát biểu, giáo viên chính xác hoá và - Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x)được
ghi bảng).
gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu:
F'(x) = f(x) x �K.
b) Ví dụ: Tìm một nguyên hàm các hàm số
(?) Gọi h/s tìm nguyên hàm của các
1
a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ f(x) =
trên (0; +∞)
h/s trong ví dụ
x
c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞)
TQ; Như vậy bài toán tìm nguyên Thực hiện:
hàm là bài toán ngược của tính a) F(x) = x2 là nguyên hàm của f(x) = 2x trên (-∞; +∞)
đạo hàm . Hay để tìm nguyên hàm
vì F’(x) = (x2)’=2x x � �; �
của f(x) ta tìm hàm số F(x) mà
b) F(x) = ln x
c)F(x) = sinx
F'(x) = f(x)
c) Định lý:
ĐL1:F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì
(?) Tìm thêm những nguyên hàm G(x) = F( x) + C ( C:hằng số) cũng là một nguyên
khác của các hàm số nêu trong ví dụ hàm của f(x) trên K.
ĐL2: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì
trên?
mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C,
C: hằng số.
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
122
- Từ đó giáo viên giúp học sinh nhận
xét tổng quát rút ra kết luận là nội
dung định lý 1 và định lý 2 SGK.
GV hướng dẫn hs ký hiệu nguyên
hàm Yêu cầu học sinh làm ví dụ
trên băng cách ghi ký hiệu Giáo viên
có thể hướng dẫn học sinh nếu cần,
chính xác hoá lời giải của học sinh và
ghi bảng.
Dựa vào t/ c đạo hàm ta có t/c 1; 2;3
của tích phân như sau :Để tính
nguyên hàm ta tách thành 2 nguyên
hàm
(?) Gọi hs đứng tại chỗ làm ví dụ
(?) Giáo viên cho học sinh phát biểu
và thừa nhận định lý 3.
(?) Nêu công thức tính đạo hàm h/s
lũy thừa; h/s mũ; h/s lượng giác. Từ
đó nêu công thức tính nguyên hàm
các h/ s thường gặp
KH: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K
=> F(x) + C (với C � R) là họ tất cả các nguyên
hàm của f(x) trên K.
f ( x)dx F ( x) C
Kí hiệu: �
Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của
nguyên hàm F(x) của f(x)vì dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
2xdx x 2 C x �R
Ví dụ : �
1
cos xdx sin x C (x �R )
dx ln x C x �(0; �) ; �
�
x
2. Tính chất của nguyên hàm
f '( x)dx f ( x ) C
TC1: �
kf ( x)dx k �
f ( x )dx
TC2: �
[f ( x) g ( x)]dx �
f ( x) dx �
g ( x)dx
TC3: �
∫(3sinx +4x3)dx
= 3∫sinxdx + ∫4x3dx
= -3cosx + x4 +C
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
ĐL3: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm
trên K
4.Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.
Ví dụ :
0dx C ; �
dx x C
�
1
1
x dx
x
�
1
C
( Với �1 )
1
sin xdx cosx C
�
1
dx ln x C
�
x
dx tan x C
�
cos x
ax
C
ln a
( a 0, a #1)
�
sin
a x dx
�
e dx e
�
x
(?) Gọi hs lên bảng tính . GV cho hs
nx và chính xác hóa
cos xdx sin x C
�
x
2
1
2
x
dx cot x C
C
Ví dụ : Tính nguyên hàm của hàm số
(2 x
�
2
1
2
1
2
) dx = 2∫x2dx + ∫ 3 dx = x3 + 3 3 + C
x
x
x
3
3
3. Củng cố
+ Nhắc lại định nghĩa, một số tính chất của nguyên hàm, bang nguyên hàm các hs
thường gặp
+ Học bài và làm bài tập 1 ,2 SGK ( trang 100.)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
123
BS : ÔN TẬP VỀ ĐẠO HÀM VÀ XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM(T1)
I. MỤC TIÊU
- Ôn tập quy tắc tính đạo hàm , công thức tính đạo hàm các h/s thường gặp
-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm
bằng đn các h/s đơn giản
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ
(?) Nêu quy tắc tính đ/h của tổng hiệu tích thương. Bảng đạo hàm các h/s thường gặp
(?) Nêu định nghĩa và tính chất của ng/h. Nêu bảng ng/h các hs thường gặp
2.Bài mới
Phương pháp
Nội dung
(?) GV gọi 3 h/s làm Bài 1; 2(a;b)
Dưới lớp GV kiểm tra vở BT và
yêu cầu h/s làm BT sau
BT1: CMR hai h/s sau cùng là
nguyên hàm của một h/s
x2 6x 1
x 2 10
; G ( x)
2x 3
2x 3
1
b) F ( x )
; G ( x) 10 cot 2 x
2
sin x
a) F ( x)
BT2:Kiểm tra xem h/s nào là
nguyên hàm của h/s nào
a ) f ( x) ln( x 1 x 2 ); g ( x)
1
1 x2
b) f ( x ) esinx cos x; g ( x) esinx
x 1
c ) f ( x)
; g ( x) x 2 2 x 2
2
x 2x 2
GV : Gọi hs nhận xét và chính xác
hóa
GV:Gọi hs lên bảng làm BT1(a),
BT2(a) ; BT3 (Và HD hs nếu cần)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
124
GV:gọi hs nêu phương pháp làm Bài
2(d,e) SGK. Sau đó cho hs lên bảng
trình bày
(?) Gọi hs nhận xét và chính xác
hóa . Từ đó tổng kết công thức tính
nguyên hàm và phương pháp tính
nguyên hàm
Quy tắc tính đạo hàm
(u �v ) ' u '�v ' ;(uv) ' u '.v u.v '
u
u '.v u.v '
( )'
(v # 0)
v
v2
Vi phân: du=u’.dx
I.Dạng toán 1 :Tìm họ nguyên hàm
bằng đn;bảng đạo hàm các h/s
thường gặp (CMR: F(x) là
ng/hcủa f(x))
Bài 1(SGK):
a)
e-x là nguyên
hàm của - e-x
b) sin2 x là
nguyên hàm của sin2x
4
x
x
c) (1 )e là
2
x
2 x
nguyên hàm của (1 ) e
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
125
Bài 2(SGK):
1
2
2
1
1
x x 1
x x 1
3
6
a) � 3
dx � 1 dx �
x dx �
x dx �
x 3 dx
x
x3
3 5 6 7 3 2
x3 x6 x3 C
5
7
2
b)
2x 1
2 x
2x
x
x
dx
(
)
dx
e
dx
�e x
�e
� e x (ln 2 1) e C
BT1: CMR hai h/s sau cùng là
nguyên hàm của một h/s
a ) F '( x)
2 x 2 6 x 20
;
(2 x 3) 2
G '( x)
2 x 2 6 x 20
(2 x 3) 2
Vậy 2 h/s trên là ng/ h của h/s
f ( x)
2 x 2 6 x 20
(2 x 3) 2
BT2:Kiểm tra xem h/s nào là
nguyên hàm của h/s nào
a ) f '( x) (ln( x 1 x 2 )) '
Bài 2(SGK)
1
1 x2
g ( x)
1
d ) sin5x.cos 3 x (s in8 x sin2x)
2
1
1
1
sin5x.cos3 xdx ( �
s in8 xdx �
sin2xdx)= cos8 x cos2x+C
�
2
16
4
e) tan 2 x
1
1
1; �
tan 2 x dx � 2 dx �
dx t anx x C
2
cos x
cos x
Một cách TQ ta có công thức
tìm nguyên hàm sau:
1
cos kxdx sin x C
�
k
1
1
dx tan kx C
�
cos kx
k
2
1
sin kxdx cosx C
�
k
1
�
sin
2
1
dx cot kx C
kx
k
Để tính nguyên hàm dạng:
sinkx.sinmxdx; �
coskx.sinmx dx; �
coskx.cosmxdx
�
ta sử dụng công thức biến
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
126
đổi lượng giác từ tích về
tổng rồi sử dụng công thức
trên
3. Củng cố
- Phương pháp tính nguyên hàm bằng đn và sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số
thường gặp
-Công thức tính nguyên hàm các hàm số lượng giác
§ 50 NGUYÊN HÀM
I. MỤC TIÊU
-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm.
- Biết phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.Vận dụng phương pháp đổi biến
số để tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ
(?) Nêu công thức tính đạo hàm của hàm hợp, công thức tính vi phân
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
127
2. Bài mới
Phương pháp
Nội dung
2
(?) Gọi hs đứng tại chỗ tìm ∫(x-1) dx II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
HS: =∫(x2-2x+1)dx
Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm I= ∫(x-1)2013dx
Gv đặt vấn đề cho học sinh là:
Đặt u= u(x)= x-1 � du=(x-1)’dx=dx
2013
∫(x-1) dx có tìm theo phương pháp Ta có
1
2013
trên ?
I �
u 2013 du
u 2014 C
x 1 dx �
- HD học sinh giải quyết vấn đề bằng
2014
1
định lý 1(SGKT98)
�I
( x 1) 2014 C
(?) Tính vi phân du và nguyên hàm I
2014
theo u
1. Phương pháp đổi biến số
f (u )du F (u ) C và u = u(x) là hàm số
Định lý1 :Nếu �
f (u ( x )).u '( x )dx F (u ( x )) C
có đạo hàm liên tục thì �
Phương pháp tìm nguyên hàm bằng phương pháp
GV nêu Định lý 1 và các bước tìm
đổi đổi biến số :Chỉ áp dụng các h/s có thể phân tích
nguyên hàm bằng phương pháp đổi
về dang g(x)dx=f(u(x).u’(x)dx . Khi đo ta thực hiện
biến
+B1: Đặt u= u(x) � du=u’(x).dx . Khi đó ta tính
(Lưu ý học sinh trở lại biến ban đầu
g(x)dx theo biến u và du .Giả sử g(x)dx=f(u)du
nếu tính nguyên hàm theo biến mới).
g ( x) dx �
f (u )du
hay �
f (u )du F (u ) C
+B2: Tìm nguyên hàm �
+B3: Đổi lại biến x bằng cách thay u=u(x)và KL
g ( x) dx F(u(x))+C
�
Ví dụ: Tìm họ các nguyên hàm sau
(s inx 2)6 cos xdx
e 2x 1dx
a. A= �
b. B= �
- Nêu vd và y/c học sinh thực hiện.
HD học sinh làm a.
x
ln x 2
dx
c. I= �
d. D= � 5 dx
x
(?) Đặt u =?
(?) Viết biểu thức theo biền u vàdu
(?) Tìm
u du
�
6
Lời giải :
(s inx 2)6 cos xdx Đặt u= sinx +2
a. A= �
� du=cosxdx . Khi đó (sinx+2)6cosxdx=u6du
(s inx 2)
�
rồi chuyển về biến x
1
6
GV cho hs nhận xét và chính xác hóa
6
cos xdx =
1
C (s inx 2)7 C
7
1
7
Vậy A= (s inx 2) C
7
e 2x 1dx
b. B= �
Đặt u=2x+1
u du u
�
7
GV gọi 3 hs làm các ý còn lại.
( x 1)
7
1
1
1
�B�
e2 x 1dx �eu du eu C e 2 x 1 C
2
2
2
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
128
ln x 2
dx
Đặt u=lnx+2
x
ln x 2
1
1
� I �
dx �
udu u 2 C (ln x 2) 2 C
x
2
2
x
d. D= � 5 dx
Đặt u=(x+1)5
( x 1)
GV cho hs nhận dạng một vài phép
x
u 1
�D�
dx � 2 du
đổi biến Thông thường:
2
( x 1)
u
1. Nếu h/s có chứa lũy thừa ta đặt
1
1
biểu thức trong lũy thừa là u(x)
�du �
u 2 du ln u C
u
u
2. Nếu h/s có chứa ln ta đặt u(x)là ln
bài làm của hs
c. I= �
3. Nếu h/s có chứacăn ta đặt u(x) là Chú ý:
Nếu u=ax+b( với a#0) thìdu=a.dx hayadx =d(ax+b)
biểu thức căn
4. Nếu h/s có chứa h/s lượng giác ta Nếu u=sinx thì du=cosxdx hay cosxdx = d(sinx)
đặt u(x) là biểu thức lượng giác
Nếu u=cosx thì du=-sinxdx hay -sinx dx =d(cosx)
Nếu u=tanx thì du=
1
dx hay
cos 2 x
1
dx
cos 2 x
=d(tanx)
1
1
dx hay
dx =d(tanx)
2
sin x
sin 2 x
1
1
dx =d(lnx)
Nều u=lnx thì du= dx hay
x
x
1
1
� � dx ln ax b C (vói a # 0)
ax b
a
Nếu u=cotx thì du=
3. Củng cố
+ Nhắc lại bảng nguyên hàm và phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.
+Một vài cách đổi biến
+ BTVN: 2 ,3 :SGK ( trang 100 ); Bài 3.4(SBT)
TCBS
NGUYÊN HÀM(T2)
TÍNH NGUYÊN HÀM THEO PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
I. MỤC TIÊU
-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm.
-Vận dụng thành thạo phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm của một số hàm
số . Nhớ lại phương pháp đồng nhất thức hàm số hưu tỉ
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
129
1. Kiểm tra bài cũ (cùng bài giảng)
2. Bài mới
Phương pháp
Nội dung
II. Dạng toán 2: Tính nguyên hàm theo phương pháp
đổi biến
g x dx với g(x)dx=f(u(x).u’(x)dx. Khi đó
1. Dạng �
+B1: Đặt u= u(x) � du=u’(x).dx . Khi đó ta tính
g(x)dx theo biến u và du .Giả sử g(x)dx=f(u)du
g ( x) dx �
f (u )du
hay �
GV: Gọi 4 hs lên bảng làm
HS1; Nêu phương pháp tính nguyên
hàm theo phương pháp đổi biến. Các
bước làm
HS2: 3.4(a)
HS3:3.4(b)
f (u )du F (u ) C
+B2: Tìm nguyên hàm �
HS4:3.4(c)
+B3: Đổi lại biến x bằng cách thay u=u(x)và KL
Dưới lớp yêu cầu hs quan sát bài
làm của bạn và làm các bài tập sau
g ( x) dx F(u(x))+C
�
BT3: Xác định nguyên hàm sau:
Bài 3.4(SBT)
1
1
J �2 dx ; I �2
dx
a). Đặt 3 1 x3 t
x 1
x 4
GV cho hs nhận xét và chính xác
hóa bài làm của hs
GV: Gọi 3 hs làm bài 3.4(g,h,l)
Dưới lớp HD hs xác định nguyên
hàm J : Phân tích
1
1
A
B
x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1
2
(?) Gọi hs tìm A,B
� 1 x 3 t 3 � 3 x 2 dx 3t 2 dt � x 2 dx t 2 dt
1
x 2 3 1 x 3 dx �
t.t 2 dt �
t 3dt t 4 C (Vói t 3 1 x 3 )
�
4
4
1
1
Vây �
x 2 3 1 x 3 dx ( 3 1 x3 ) C (1 x 3 ) 3 1 x 3 C
4
4
dt
b). Đặt t=-x2 � dt 2 xdx � xdx
2
2
1
1
1 2
Vây �
xe x dx � et dt et C e x C
2
2
2
dt
c. Đặt t= 1+x2 � dt 2 xdx � xdx
2
x
1 dt 1 2
1
1
t dt
C
C
Vậy � 2 2 dx �2 �
(1 x )
2 t
2
2t
2(1 x 2 )
dx
g. Đặt=lnx � dt .
x
2
(ln x)
1
1
Vây �
dx �
t 2 dt t 3dt C (ln x)3 C
x
3
3
h. Đặt t= t cos x � dt sin xdx
2
1
s inx
dt
3
Vây �
dx � �
t dt 3t 3 C 3 3 cos x C
3
2
3 2
cos x
t
GV cho hs nhận xét và chính xác
hóa bài làm của hs và củng cố một
số cách đổi biến thường gặp: Biểu
thức chứa căn; Biểu thức chứa ln;
Biểu thức eu; biểu thức chứa l.
Đặt
GTLG
t s inx cos x � t 2 s inx cos x � 2tdt (s inx cos x)dx
cos x sin x
2tdt
�s inx cos x dx �t
2�
dt 2t C 2 s inx cos x C
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
130
1
I �2
dx . Đặt
(?) Để tìm A,B ta có những cách nào BT3: b)
x 4
(HS: C1: Đồng nhất thức
4
2
2
�
�x 4 4(1 tan t ) cos2t
C2; Cho x các giá trị lập hệ
x 2.tan t � � 2
phương trình tìm A,B
�dx cos2t dt
1
cos 2t 2.dt
1
1
(?) Xác dịnh J bằng cách phân làm 2 I �2 dx � . 2 �dt t C
x 4
4 cos t
2
2
nguyên hàm
1
x
acr tan C
2
2
1
a) J �2 dx . Ta có
x 1
GV: HD hs làm b)
1
1
A
B
� 1 A( x 1) B( x 1)
2
x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1
1
1
1
1
dx ln ax b C (vói a # 0)
Cho x 1 � A ; Cho x 1 � B
�
ax b
a
2
2
1
1
1
1 1
1
Ta có 2
2 2 (
)
2
(?) Biến đổi biểu thức dx và x +4
x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1
theo biến t
1
1
1
1
dx ( � dx � dx)
2
(?) Chuyển nguyên hàm I theo biến t Vây �
x 1
2 x 1
x 1
và tính nguyên hàm I
1
1 x 1
(ln x 1 ln x 1) C ln
C
2
2 x 1
3. Củng cố
+ phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.
+BTAD tương tự (về nhà) :Tìm
1
dx
�
x 1
2
Tìm các ng/h sau (HD:phân tích mẫu thành nhân tử rồi dùng phương pháp đồng nhất
1
x 1
A �2
dx; B � 2
dx;
x 3x 4
2 x 3x 1
thức)
TC
1
C �3
dx;
x x
3x 2 3x 3
D �3
dx
x 3x 2
NGUYÊN HÀM(T3)
( NGUYÊN HÀM HÀM HỮU TỶ. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT THỨC)
I. MỤC TIÊU
-Vận dụng thành thạo phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm của một số
hàm số .
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
131
- Nắm được phương pháp tính nguyên hàm hàm số hữu tỉ bằng phương pháp
đồng nhất thức
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ (cùng bài giảng)
2. Bài mới
Phương pháp
GV:Gọi 3 hs làm nguyên hàm A;B;C
Nội dung
III. Dạng toán 3: Tính nguyên hàm theo phương
pháp đông nhất thức
1
A �2
dx; Ta có
x 3x 4
1
1
A
B
1
1
� A ;B
2
x 3 x 4 ( x 1)( x 4) x 1 x 4
5
5
Dười lớp yêu cầu hs quan sát bài làm
của bạn và làm BT sau:
s inx 3cos x
2sin x cox
2 cos x s inx
A B
2sin x cox
1
1
1
1
1
x 1
A �2
dx ( � dx � dx) ln
C
x 3x 4
5 x 1
x4
5 x4
x 1
dx . Ta có
B �2
2 x 3x 1
Tim A; B và �
f ( x )dx
x 1
x 1
A
B
� A 2; B 3
2
3
2
2 x 3 x 1 ( x 1)(2 x 1) x 1 2 x 1
2 x 10 x 16 x 1
dx
BT2: Xđ: I � 2
x 5x 6
x 1
1
1
B �2
dx 2 � dx 3� dx
2 x 3x 1
x 1
2x 1
3
2 ln x 1 ln 2 x 1 C
2
(?) Gọi hs nhận xét và chính xác hóa
1
C �3 dx
nguyên hàm A;B;C
x x
1
1
A
B
D
3
x x x( x 1)( x 1) x x 1 x 1
1
1
� A 1; B ; D
2
2
1
1
1 1
1 1
dx �dx � dx � dx
3
�
x x
x
2 x 1
2 x 1
1
1
ln x ln x 1 ln x 1 C
2
2
2
3x 3x 3
dx
D �3
x 3x 2
3x 2 3x 3
3x2 3x 3
A
B
C
Ta có : 3
GV: Gọi chữa nguyên hàm D
2
2
x 3x 2 ( x 1) ( x 2) x 1 ( x 1)
x2
BT 1: Cho f ( x )
(?) B1; Phân tích mẫu thành nhân tử
sau đó đồng nhất thức thành tổng
các phân thức
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
132
(?)B2: Nêu cách tìm và tìmA;B; C.
(?) B3: Tìm nguyên hàm D
Từ các ví dụ trên Gv TQ cho hs cách
tìm nguyên hàm loại này
GV: Cho hs nêu P2 làm 2 BT trên
lớp:
BT2: Thực hiên chia đa thức đua
về nguyên hàm hàm hữu tỉ
BT1:Tìm A;B sau đó chia thành 2
ng/h .Rồi dùng p2 đổi biến tính ng/ h
còn lại
� A 2; B 3; C 1
2
3
1
� D � dx �
dx � dx
2
x 1
( x 1)
x2
3
2 ln x 1
ln x 2 C
x 1
Tổng quát : Để xác định nguyên hàm hàm hữu tỉ(có
bậc mẫu nhỏ hơn bậc của tử) ta phân tích mẫu thành
tích sau đó dùng p2 đồng nhât thức chia thành các
ng/h
Vd :
A
f ( x)
A
�
dx � 1 dx ... � n dx
( x x1 )( x x2 )...( x xn )
x x1
x xn
A
f ( x)
A
�
dx � 1 dx .... � n n dx
n
m
( x a ) ( x b)
xa
( x a)
B
B
� 1 dx .... � m m dx
x b
( x b)
1
1
Chú ý : � dx ln ax b C (vói a # 0)
ax b
a
( Nếu bậc tử lớn hơn bậc của mẫu ta thực hiện chia
đa thức sau đó áp dụng cách tính trên
3. Củng cố
+ phương pháp tìm nguyên hàm hàm hữu tỉ
+BT(về nhà): Hoàn thiện Bt1;BT2
BT3: Tìm nguyên hàm sau:
1
dx;
3
�
x 2x2 x
x2
x3
dx
;
dx
�
�
x2 x 2
2x2 x 3
§51
NGUYÊN HÀM
I. MỤC TIÊU
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
133
-Biết phương pháp tính nguyên hàm từng phần
-Vận dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của một số
hàm số đơn giản.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ
(1 x)9 dx
(?) Nêu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? Áp dụng: Tìm �
(?) Tìm nguyên hàm
x2
dx
�
x x2
2
2.Bài mới
Phương pháp
Nội dung
Hoạt động 1: Hình thành phương 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
pháp nguyên hàm từng phần.
Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và v=v(x) có đạo
( ?) Nêu CT tính đạo hàm của tích
hàm liên tục trên K thì
HS : (uv)’= u’v+uv’
u ( x )v '( x)dx u ( x )v ( x ) �
u '( x)v ( x) dx
(2)
�
� uv’=(uv)’-u’v
Chúy: u’(x)dx=du; v’(x) dx=dv nên CT (2) viết tắt dạng
u.v ' dx �
(u.v) ' dx �
v.u ' dx
GV : �
u ' vdx
=uv- �
( ?) Theo công thức tính vi phân thì
u’(x)dx= ?;
v’(x) dx= ?
Hoạt động 2: Rèn luyện tính
nguyên hàm hàm số bằng phương
pháp nguyên hàm từng phần.
GV : Hd hs làm a/
(?) Tính du; v
(?) ADCT (2) Tính I=?
GV: HD hs đặt b; c Gọi hs lên bảng
trình bày
vdu uv �
udv
�
g ( x) dx theo p2 ng/h từng phần ta
Để tính ng/h �
phải
viết g(x) dx dưới dạng : g(x)dx= u(x).v’(x) dx =u(x)dv
VD1 : Tính các nguyên hàm sau :
a/ I=∫x ex dx ; b/ J=∫ x cos x dx; c/ K= ∫ lnx dx
Lời giải:
du dx
�u x
�
��
�
x
x
�dv e dx
�v e
a/ Đặt
I= ∫x ex dx = x . ex - ∫ ex dx = x ex - ex + C
b/ Đặt
�u x
�du dx
�
�
�dv cosxdx
�v sin x
J= ∫ x cos x dx = x sin x - ∫sin dx = x sin x + cosx + C
c/ Đặt
(?) Nhận xét , đánh giá kết quả và
chính xác hoá lời giải , ghi bảng ngắn
gọn và chính xác lời giải.
(?)yêu cầu học sinh điền vào bảng
cách đặt u ;dv
u lnx
�
�
dv dx
�
1
�
du dx
�
��
x
�
�v x
dx =xlnx - x + C
K= ∫ lnx dx = xlnx - �
Tông quát ta có bảng sau đặt u và dv như sau:
P ( x)e dx �
P ( x) cos xdx �
P ( x) sin xdx �
P ( x) ln xdx
�
x
u
P(x)
P(x)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
P(x)
lnx
134
exdx
dv
cosxdx
sinx dx
P(x)dx
GV: Nêu 1 vài ví dụ yêu cầu học
sinh thực hiện tính khi sử dụng VD2: Tính nguyên hàm
phương pháp nguyên hàm từng phần
x 2 cos xdx
e x sin xdx
a) A= �
b) B �
ở mức độ linh hoạt hơn.
Bài làm
( ?) Đặt u= ?; dv= ?. Thu được A=?
2
du 2xdx
u x
�
(?) Tính ∫x sin x dx . từ đó KL a/ Đặt �
��
�
nguyên hàm A=?
�v sin x
�dv cosx dx
do đó:
A= ∫x2 cosxdx = x2 sin x - ∫2x sin x dx
(?) GV gọi hs lên bảng làm b)(GV
HD nếu cần) .Dưới lớp quan sát,
nhận xét và chính xác hoá kế
t quả.
u x
du dx
�
�
��
dv sin x dx
�
�v cosx
Đặt �
∫x sin x dx = - xcos x + ∫ cos x dx= - x cos x + sin x + C
Vậy A= x2 sin x - 2 (- x cosx + sin x +C)
e x sin xdx
b) B �
Đặt
u s inx
du cos xdx
�
�
��
� B e x s inx �
e x cos xdx
�
x
x
dv e dx � v e
�
u cosx
du s inxdx
�
�
x
e
cos
xdx
.
�
�
�
�
dv e x dx � v e x
�
*Tính
e cos xdx e cosx+ �
e s inxdx e cosx �
e sin xdx C
�
Do vây �
e sin xdx e s inx-(e cosx �
e sin xdx C )
x
x
x
x
x
�B�
e x sin xdx
x
x
x
x
1 x
1
(e s inx-e x cosx) - C
2
2
4. Củng cố
- Nhắc lại phương pháp tính nguyên hàm từng phần. cách đặt thông thường u và
dv đối với các nguyên hàm thường gặp
-
BTVN - 4 SGK trang 100-101; 3.6; 3.7(SBT)
TC
: NGUYÊN HÀM(T4)
(TÍNH NGUYÊN HÀM THEO P2 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
135
I. MỤC TIÊU
- Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần,
củng cố cách đặt u và dv để tìm nguyên hàm .
-Học sinh nhận dạng một số nguyên hàm tìm theo p2 nguyên hàm từng phần
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ (Cùng bài giảng)
2. Bài mới
Phương pháp
Nội dung
IV: Dạng 4. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính
HĐ11:Rèn luyện tính nguyên hàm nguyên hàm từng phần
hàm số bằng phương pháp nguyên
u ( x)v '( x)dx u ( x)v ( x ) �
u '( x)v ( x )dx (2)
Công thức: �
hàm từng phần.
vdu uv �
udv
�
P ( x)e dx �
P ( x) cos xdx �
P ( x) sin xdx �
P ( x) ln xdx
�
x
u
P(x)
P(x)
dv
exdx
cosxdx
Bài 3.5(SBT) :
P(x)
sinx dx
lnx
P(x)dx
GV : Gọi 4 hs lên bảng làm
du -2dx
�u 1-2x
�
��
�
HS1 : Nêu phương pháp tìm nguyên a/ Đặt
x
x
�dv e dx
�v e
hàm từng phần? Bảng đặt u và dv
∫(1-2x) ex dx = (1-2x ). ex - ∫ (-2)ex dx
tương ứng
= (1-2x ) ex +2ex + C= (3-2x) ex +2ex + C
HS2 :3.5(a,b)
u x
�
�du dx
HS3 : 3.5(c)
�
b/ Đặt
�
x
x
HS4 :3.5(d)
�dv e dx
�v -e
∫ xe-x dx = -x e-x +∫ e-x dx = -x e-x - e-x + C
Dưới lớp :BT1: Tính nguyên hàm
1
�
du
dx
�
u ln(1-x)
�
�
x 1
��
c/ Đặt �
dv xdx
�
x s inx
�v 1 x 2
b / � 2 dx
�
2
cos x
1 2
1 x2
xln
1
x
dx
x
ln(1
x
)
dx
�
2
2�
x 1
1
1
1
x 2 ln(1 x) �
(x 1
)dx
2
2
x 1
(?) Nhận xét , đánh giá kết quả và
1
1
1
1
x 2 ln(1 x) x 2 x ln x 1 C
chính xác hoá lời giải bài của bạn.
2
4
2
2
Qua đó củng cố tính nguyên hàm
1
c
os2
x
1
x sin 2 dx �
x.
dx ( �
xdx �
x cos 2 xdx)
d/ �
hàm hữu tỉ
2
2
a/�
e x ln(1 e x )dx;
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
136
(?) Gọi Hs đứng tại chỗ nêu cách làm
BT1(a).
du dx
�
�
u x
�
��
Đặt �
1
v
sin2x
�dv cos2x dx
�
�
2
x sin 2 x
sin 2 x
x sin 2 x cos2 x
x cos 2 xdx
�
dx
C
�
2
2
2
4
p ( x )dx
Chú ý: dv=p(x) dx thì v �
BT1: Tính nguyên hàm
GV : Chữa b/.
GV: Gọi 2 hs nêu cách tính I;J
(?) Nêu p2 sử dụng tính ng.h I . Hãy
tính I
(?)Nêu p2 sử dụng tính ng.h J . Hãy
tính J
�
u ln(e x 1)
a/ HD: Đặt �
x
�dv e dx
x s inx
x
s inx
b/ Ta có � 2 dx � 2 dx � 2 dx
cos x
cos x
cos x
s inx
x
Gọi I= � 2 dx ; J= � 2 dx
cos x
cos x
*Tính I : Đặt t=cosx � dt=-sinxdx
s inx
dt 1
1
C
I= � 2 dx = �2 C
cos x
t
t
cos x
*Tính J :
(?) Cho hs nx và chính xác hóa
nguyên hàm . Qua đó củng cố
phương pháp đổi biến
ux
�
du dx
�
�
��
�
1
v tan x
dv
dx �
�
cos 2 x
�
x
s inx
� � 2 dx x tan x �
tan xdx x tan x � dx
cos x
cos x
d (cosx)
x tan x �
x tan x ln cosx
cos x
4. Củng cố
- Nhắc lại phương pháp tính nguyên hàm từng phần; phương pháp đổi biến và tính
nguyên hàm hàm số hữu tỉ
§ 52:
NGUYÊN HÀM (Bài tập)
I. MỤC TIÊU
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
137
-Rèn luyện kỹ năng vận dụng tính chất nguyên hàm,bảng nguyên hàm các hàm số
thường gặp và sử dụng các phương pháp tính nguyên hàm vào làm bài tập
- Bước đâu học sinh vận dụng các phương pháp tìm nguyên hàm một cách độc lập ,
cách đổi biến và từng phần tìm nguyên hàm
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ:
2.Bài giảng
Phương pháp
Nội dung
Hoạt động 1 :Củng cố bảng nguyên hàmBài 2(SGK)
các hàm số thường gặp và xác định
1
sin 2 x cos 2 x
c. � 2
dx � 2
dx
nguyên hàm bằng đn
sin x.cos 2 x
sin x.cos 2 x
GV: Gọi 4 hs lên bảng làm
Bài 2(c;d;e;h)
Dưới lớp: Làm bài 3.3(SBT)
1
1
� 2 dx � 2 dx t anx-cotx+C
cos x
sin x
1
(sin 8 x sin 2 x) dx
2�
GV: Cho học sinh nhận xét bài làm
1
1
1
của bạn và chính xác hóa lời giải. Qua [ �
sin 8 xdx �
sin 2 xdx cos 8 x cos 2 x C
2
16
4
Đó GV cho hs nhắc lại bảng nguyên
1
hàm các hàm số thường gặp và cách
e. �
tan 2 xdx �
( 2 1)dx t anx x C
cos x
tính nguyên hàm hàm hữu tỉ
1
A
B
1
2
h. f ( x)
� A ;B
(1 x )(1 2 x) 1 x 1 2 x
3
3
Hoạt động 2 : Sử dụng phương pháp
đổi biến số
GV: Gọi 4 hs làm bài 3(SGK)
d. �
sin 5 x cos 3xdx
1
1
1
1
2
1
1 x
*�
dx � dx � dx ln
C
(1 x)(1 2 x )
3 x 1
3 2x 1
3 1 2x
Bài 3(SGK)
a, Đặt u=1-x ; du= - dx
(1 x)9 dx �
u 9 du
�
u10
(1 x)10
C
C
10
10
b,Đặt u= 1+x2 ; du=2xdx
GV: Cho học sinh nhận xét bài làm
3
1 32
1 5
1
của bạn và chính xác hóa lời giải. Qua �
x(1 x 2 ) 2 dx �
u du u 2 C (1 x 2 )5/2 C
2
5
5
Đó GV cho hs nhắc lại phương pháp
đổi biến số, và một vài chú ý khi đổi c, Đặt u=cosx ; du=-sinx dx
1
1
biến
cos3 x sin xdx �
u 3du u 4 C cos 4 x C
�
4
x
4
x
dx
e dx
e dx
2x
x
x
x
e e 2 e 2e 1 (e 1) 2
Đặt u= e x +1 ; du= e x dx
d,
x
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
138
du 1
1
�2
C
C
2
u
u
1 ex
1 3 2 x
1 3 2 x
e
C
e3 2 x dx �
e d (32 x )
g, �
2
2
dx
GV:Gọi hs đứng tại chỗ làm Bài 2(g)
Hoạt động 3 : Rèn luyện kỹ năng
đặt u, dv trong phương pháp tính
nguyên hàm từng phần
GV: Gọi 3 học sinh lên bảng làm
bài 4(a.c.d) sgk
�
e e
x
x
Biểu thức chứa căn; Biểu thức chứa ln; Biểu thức
ta đặt u= biểu thức đó
Biểu thức chứa eu ; Biểu thức chứa lũy thừa u n(x)
ta đặt u=u(x)
Biểu thức chứa GTLG ta đặt u là các h/s LG
Bài 4
u ln(1 x)
�
�
dv x dx
�
a, Đặt
c,
1
1
x
Kq: ( x 2 1) ln(1 x) x 2 C
2
4
2
Đặt
u x,
�
x
1
Kq :
cos(2 x 1) sin(2 x 1) C
�
dv sin(2 x 1) dx
2
4
�
u x,
�
Kq : (1 x ) sin x cos x C
d, Đặt �
dv cos xdx
�
GV: Cho hs nêu cách đặt u dv trong
phương pháp nguyên hàm từng phần
Kq : e x ( x 2 1) C
b, Đặt u x 2 1, dv e x dx
Phương pháp từng phần đối với hàm thường gặp
P ( x)e dx �
P ( x) cos xdx �
P ( x )sin xdx �
P ( x) ln xdx
�
x
u
dv
P(x)
exdx
P(x)
cosxdx
P(x)
sinx dx
lnx
P(x)dx
4. Củng cố + Nhắc lại các kiến thức sử dụng trong bài tập.
+ Hoàn thiện các bài tập còn lại. BT 3.3; 3.7(SBT)
+ Bài tập thêm
cos x
Tính a, 1 2 sin x dx
b,
cos xdx
3
x
sin
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
139
§53. TÍCH PHÂN
I. MỤC TIÊU
-HS nắm được diện tích hình thang cong, khái niệm tích phân, ý nghĩa hình học
của tích phân
- HS hiểu được định nghĩa của tích phân và biểu thức định nghĩa của tích phân.
Hiểu bản chất bài toán tính tích phân
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ (Cùng bài giảng)
2. Bài mới
Phương pháp
(?) Hãy tính diện tích S của hình T
khi t = 5. (H46, SGK, trang 102)
(?) Hãy tính diện tích S(t) của hình
T khi t [1; 5].
(?) Hãy CM: S(t) là một nguyên hàm
của f(t) = 2t + 1, t [1; 5]
+Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
Nội dung
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
1. Diện tích hình thang cong:
a. Hoạt động 1 : (H45, SGK, trang 102)
HD: * S
3 11
.4 28; S (t ) t 2 t 2; S '(t ) 2t 1 f (t )
2
Vậy S(t) là nguyên hàm của f(t)
b) Hình thang cong : “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không
âm trên đoạn [a ; b].Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y = f(x), trục hoành và hai đt : x = a ; x = b được
gọi là hình thang cong (H47a, SGK- 102)”
* Diện tích hình thang cong : Hình thang cong được
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và
hai đt : x = a ; x = b có diện tích là S=F(b)-F(a)( Với
+Gv giới thiệu cho hs công thức tính F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
2
diện tích hình thang cong và củng cố Ví dụ 1 : Cho h/s y=x . Tính diện tích hình thang
cong được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x2, trục
qua ví dụ 1
hoành và hai đt : x = 1 ; x = 4
HD: + H/s y=x2 liên tục, không âm trên đoạn [1 ; 4]
1
( ?) Tìm một nguyên hàm của y=x2
+ H/s y=x2 có một nguyên hàm là F(x)= x3
3
( ?) Dựa vào KL trên tính diện tích
hình thang cong tương ứng
Vậy diện tích hình thang cong là S=F(4)-F(1)=21(đvdt)
2. Định nghĩa tích phân (SGK)
b
ký hiệu:
f ( x) dx
�
a
b
+Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa về tích phân
f ( x)dx F ( x)
b
hay F ( x) a F (b) F (a) .
b
a
F (b) F (a )
a
với F(x) là một nguyên hàm của f(x)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
140
Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước :
a
( ?) Khi a=b thì ta có điều gì
GV : Củng cố cho hs qua ví dụ 2 :
( ?) Để tính tích phân (1) ta cần tìm
một nguyên hàm của h/s nào,Kq là gì
( ?) Gọi 2 hs lên bảng làm .Hs nhận
xét và chính xác hóa bài làm
f ( x) dx 0;
�
a
b
a
a
b
f ( x) dx �
f ( x) dx
�
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
2
2
x 3dx
�
(1) .
1
1 4
16
15
x
1
4 1 4
4
1
1 1 2
sin 5 xdx cos5 x
(2) . �
5
5 5 5
0
0
1
1
1
1
1
e dx e3 x e3
(3). �
3
3
3
0
0
3x
( ?) GV gọi Hs đứng tại chỗ làm (4)
( ?) Qua trên bản chất bài toán tìm
tích phân là bài toán nào
e2
e2
2
e2 1
dx
2
ln
x
1
2
ln
(4). �
e
x 1
e 1
e
Kết luận: Bài toán tính tích phân là bài toán tìm
nguyên hàm và tính giá trị của h/s tại một điểm)
Nhận xét:
+ Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là
b
b
a
a
f ( x) dx hay �
f (t ) dt Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm
�
( ?) Đọc NX SGK
f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]
b
f ( x) dx ( với S là diện tích của hình thang giới
thì S = �
a
hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đt x = a; x = b)
2. Củng cố:
+Định nghĩa tích phân , biểu thức tính tích phân,quan hệ nguyên hàm và tích phân
+VN: Xem lại tính chất và các phương pháp tính nguyên hàm
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
141
- Xem thêm -
.DOC 
55 
371 
146 
