Ngày soạn: 12/9/2017
Ngày dạy: 20/9/2017
Tuần 5 - Chuyên đề 1
TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
I. MỤC TIÊU
+ Kiến thức: HS nắm được các dấu hiệu chia hết và các tính chất chia hết trong N
+ Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào giải bài tập
+ Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN:
+ Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
+ Học sinh:Ôn các dấu hiệu chia hết, các t/c chia hết
III.CÁCH THỨC TIẾN HÀNH:
Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
A.Ổn định tổ chức:
B. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
C. Nội dung:
Phần 1: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N
Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ
I.Một số dấu hiệu chia hết
1. Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125.
an an 1...a1a0 M a0 M a0 0; 2; 4;6;8.
2
2
an an 1...a1a0 M a0 0;5
5
4
an an 1...a1a0 M ( hoÆc 25) a1a0 M ( hoÆc 25)
4
an an 1...a1a0 M ( hoÆc 125) a2 a1a0 M ( hoÆc 125)
8
8
2. Chia hÕt cho 3; 9.
3
an an 1...a1a0 M (hoÆc 9) a0 a1 ... an M ( hoÆc 9)
3
NhËn xÐt: D trong phÐp chia N cho 3 ( hoÆc 9) còng chÝnh lµ d trong phÐp chia tæng
c¸c ch÷ sè cña N cho 3 ( hoÆc 9).
3. DÊu hiÖu chia hÕt cho 11:
11
Cho A ...a5 a4 a3a2a1a0 AM a0 a2 a4 ... a1 a3 a5 ... M
11
4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101
101
A ...a5 a4 a3 a2 a1a0 AM a1a0 a5 a4 ... a3 a2 a7 a6 ... M
101
II.Ví dụ
VÝ dô 1: T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ó:
a) 134 x 4 yM
45
b) 1234 xyM
72
Gi¶i:
a) §Ó 134 x 4 yM ta ph¶i cã 134 x 4 y chia hÕt cho 9 vµ 5 y = 0 hoÆc y = 5
45
Víi y = 0 th× tõ 134 x 40M ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 M x 4M x 5
9
9
9
khi ®ã ta cã sè 13554
1
víi x = 5 th× tõ : 134 x 4 yM ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +5 M
9
9
x M x 0; x 9 lóc ®ã ta cã 2 sè: 135045; 135945.
9
b) Ta cã 1234 xy 123400 xy 72.1713 64 xy M 64 xy M
72
72
V× 64 64 xy 163 nªn 64 xy b»ng 72 hoÆc 144.
+ Víi 64 xy =72 th× xy =08, ta cã sè: 123408.
+ Víi 64 xy =14 th× xy =80, ta cã sè 123480
VÝ dô 2 T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ó N 7 x36 y5M
1375
Gi¶i:
Ta cã: 1375 = 11.125.
N M 6 y 5M y 2
125
125
N 7 x3625M
11
11
5 6 x 2 3 7 12 xM
x 1
VËy sè cÇn t×m lµ 713625
1 42 43
VÝ dô 3
a) Hái sè A1991 1991...1991 cã chia hÕt cho 101 kh«ng?
1991so1991
b)
101
T×m n ®Ó An M
Gi¶i:
a) GhÐp 2 ch÷ sè liªn tiÕp nhau th× A1991 cã 2 cÆp sè lµ 91;19
Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991. 72 M 101 nªn A1991 M
101
101
101
101
b) An M n.91 n.19 72n M nM :
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT
A.Tãm t¾t lý thuyÕt
1. §Þnh lý vÒ phÐp chia hÕt:
a) §Þnh lý
Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn tuú ý, b 0 , khi ®ã cã 2 sè nguyªn q, r duy nhÊt sao
cho : a bq r víi 0 r b , a lµ sã bÞ chia, b lµ sè chia, q lµ th¬ng sè vµ r lµ sè d.
§Æc biÖt víi r = 0 th× a = b.q Khi ®ã ta nãi a chia hÕt cho b hay b lµ íc cña a,
ký hiÖu a M .
b
VËy
a M cã sè nguyªn q sao cho a = b.q
b
b) TÝnh chÊt
a) NÕu a M vµ bM th× a M
b
c
c
b) NÕu a M vµ bM th× a = b
b
a
c) NÕu a M , a M vµ (b,c) = 1 th× a M
b
c
bc
d) NÕu abM vµ (c,b) = 1 th× a M
c
c
2. TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, mét hiÖu, mét tÝch.
- NÕu
a
m
m
a b
b
m
- NÕu
a
m
m
a b
b
m
2
- NÕu
a
m
m
a .b
b
m
- NÕu a a n (n lµ sè tù nhiªn)
m
m
3.Một số tính chất khác:
Trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n
Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n!
a
b
a.b
A M A M và (a;b) = 1 AM
B.Ví dụ:
2
1.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: n 2 n 1 1
24
Giải:
2
A n 2 n 1 1 n n 1 n 1 n 2 M 24
4!
Bài tập tự luyện:
2.
Chứng minh rằng
3
48
a. n 6n 2 8n với n chẳn
4
2
384
b. n 10n 9 với n lẻ
3. CMR với mọi số tự nhiên n thì biểu thức:
a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho 6
b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho 8.
D. Củng cố
GV khái quát lại kiến thức
E. Hướng dẫn về nhà
- Học bài và làm bài tập
72
4. Chứng minh rằng : n 6 n 4 2n 2 với n nguyên
5. CMR với mọi số nguyên a biểu thức sau:
a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho 6.
b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7.
c) (a2 + a + 1)2 – 1 chia hết cho 24
d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn)
3
Ngày soạn: 26/8/2017
Ngày dạy: 27/9/2017
Tuần 6 - Chuyên đề 1
TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
I. MỤC TIÊU
+ Kiến thức: HS nắm được cách chứng minh quan hệ chia hết và tìm số dư
+ Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào giải bài tập
+ Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN:
+ Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
+ Học sinh:Ôn các dấu hiệu chia hết, các t/c chia hết
III.CÁCH THỨC TIẾN HÀNH:
Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
3. Nội dung:
4. Chøng minh quan hÖ chia hÕt
Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n N hoÆc n Z)
a.1- §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho m ta ph©n tÝch A(n) thµnh tÝch trong ®ã cã mét
thõa sè lµ m
+ NÕu m lµ hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa sè ®«I mét nguyªn tè cïng
nhau råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã
+ Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cña k
b.2- Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d khi chia
m cho n
* VÝ dô1:
C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n
Gi¶i:
Ta cã 5040 = 24. 32.5.7
A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6]
= n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6)
Ta l¹i cã n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)
=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)
T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thÊy : A lµ tÝch cña 7 sè nguyªn liªn tiÕp mµ trong 7 sè nguyªn liªn tiÕp:
Tån t¹i mét béi sè cña 5 (nªn A M5 )
Tån t¹i mét béi cña 7 (nªn A M7 )
Tån t¹i hai béi cña 3 (nªn A M9 )
Tån t¹i 3 béi cña 2 trong ®ã cã béi cña 4 (nªn A M
16)
VËy A chia hÕt cho 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau A M
5.7.9.16= 5040
VÝ dô 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× :
a/ a3 –a chia hÕt cho 3
b/ a5-a chia hÕt cho 5
4
Gi¶i:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho 3
b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)
C¸ch 1:
Ta xÕt mäi trêng hîp vÒ sè d khi chia a cho 5
NÕu a= 5 k (k Z) th× A M (1)
5
NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k2 1) 2 -1 = 25k2 10k M A M (2)
5
5
NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k 2)2 + 1 = 25 k2 20k +5 A M (3)
5
Tõ (1),(2),(3) A M n Z
5,
C¸ch 2:
Ph©n tÝch A thµnh mét tæng cña hai sè h¹ng chia hÕt cho 5 :
+ Mét sè h¹ng lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp
+ Mét sè h¹ng chøa thõa sè 5
Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1)
= a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)
Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M (tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp )
5
5a (a2-1) M
5
Do ®ã a5-a M
5
* C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiÖu a 5-a vµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp
chia hÕt cho 5.
Ta cã:
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1)
= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a M
5
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M
5
a5-a M
Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M
5
5(TÝnh chÊt chia hÕt cña mét hiÖu)
c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cña c¸c luü thõa ta cßn sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc:
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1)
(H§T 8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1)
(H§T 9)
Sö dông tam gi¸c Paxcan:
1
1
1
1 2
1
1 3
3
1
1 4
6
4 1
…..
Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1
Mçi sè trªn mét dßng (kÓ tõ dßng thø 2) ®Òu b»ng sè liÒn trªn céng víi sè bªn tr¸i
cña sè liÒn trªn.
Do ®ã: Víi a, b Z, n N:
5
an – bn chia hÕt cho a – b( a b)
a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a -b)
(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a)
(a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi
n lµ sè ch½n.
Gi¶i:
+ C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, k N th×:
A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n)
Mµ 162 – 1 = 255 M VËy AM
17.
17
- NÕu n lÎ th× : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mµ n lÎ th× 16n + 1 M
16+1=17 (H§T 9)
A kh«ng chia hÕt cho 17
+C¸ch 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo c«ng thøc Niu
T¬n)
NÕu n ch½n th× A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hÕt cho 17
NÕu n lÎ th× A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Kh«ng chia hÕt cho 17
VËy biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n, n N
d/ Ngoµi ra cßn dïng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng, nguyªn lý Dirichlª ®Ó chøng minh
quan hÖ chia hÕt.
VD 4: CMR tån t¹i mét béi cña 2003 cã d¹ng: 2004 2004….2004
Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004
a2 = 2004 2004
a3 = 2004 2004 2004
……………………….
a2004 = 2004 2004…2004
2004 nhãm 2004
Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d khi chia cho 2003.
Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( 1 n 0. NÕu 2 sè nguyªn a, b cho cïng sè d khi
chia cho m th× ta nãi a ®ång d víi b theo m«®un m .
KÝ hiÖu : a b(mod m)
b) TÝnh chÊt
b
a) a (mod m) a c b c (mod m)
b) a M (mod m) naM (mod m)
b
nb
n
c) a b(mod m) a b n (mod m)
d) a b(mod m) ac bc(mod m)
c) Một số hằng đẳng thức:
a m bm M b
a
n
n
a b M b (n lẻ)
a
n
a b B (a ) b
II.Ví dụ:
1.
Chứng minh: 29 299 M
200
Giải:
2 + 2 = 2 = 512 112(mod 200)
(1)
2 = 2 112 (mod 200) .
112 = 12544 12 (mod 200) 112 12 (mod 200)
12 = 61917364224 24(mod 200) .
112 24.112(mod 200) 2688(mod 200) 88(mod 200)
2 88(mod 200)
(2)
Từ (1) và (2) 2 + 2 = 200(mod 200) hay 29 299 M
200
III,Bài tập tự luyện:
10
Sử dụng hằng đẳng thức và đồng dư
1961 1963 19651966 2
7
1.
1917
1917
24 14
19
2.
9
99
2 2
200
3.
123456789
13
1
183
4.
1979
1979 19811981 1982
1980
5.
2
3
100
3 3 3 ... 3
120
6.
5555
2222
2222 5555
7
7.
D. Củng cố
GV khái quát lại kiến thức
E. Hướng dẫn về nhà
- Học bài và làm bài tập
Bµi 6: T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn tè:
a/ 12n2 – 5n – 25
b/ 8n2 + 10n +3
1962
1964
3
c/ n 3n
4
Gi¶i:
a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > 0 nªn 3n – 5 > 0.
Ta l¹i cã: 3n – 5 < 4n +5(v× n 0) nªn ®Ó 12n2 – 5n – 25 lµ sè ngyªn tè th× thõa
sè nhá ph¶i b»ng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2
Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyªn tè.
VËy víi n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13
b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
BiÕn ®æi t¬ng tù ta ®îc n = 0. Khi ®ã, 8n2 + 10n +3 lµ sè nguyªn tè 3
3
c/ A = n 3n . Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) M
4.
4
Hai sè n vµ n + 3 kh«ng thÓ cïng ch½n. VËy hoÆc n , hoÆc n + 3 chia hÕt cho 4
- NÕu n = 0 th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè
- NÕu n = 4 th× A = 7, lµ sè nguyªn tè
-NÕu n = 4k víi k Z, k > 1 th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A
lµ hîp sè
- NÕu n + 3 = 4 th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè
- NÕu n + 3 = 4k víi k Z, k > 1 th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1
nªn A lµ hîp sè.
3
VËy víi n = 4 th× n 3n lµ sè nguyªn tè 7
4
11
Ngày soạn: 04/10/2017
Ngày dạy: 11/10/2017
Tuần 8 - Chuyên đề 2
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. MỤC TIÊU
+ Kiến thức: HS nắm được định nghĩa và các tính chất của số chính phương
+ Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào giải bài tập
+ Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN:
+ Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
+ Học sinh: Đọc trước các nội dung GV yêu cầu
III.CÁCH THỨC TIẾN HÀNH:
Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
3. Nội dung:
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có
chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố
với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số
chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số
chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
12
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) =
=
S =
1
4
1
4
1
4
1
k(k+1)(k+2).4 =
k(k+1)(k+2)(k+3) -
.1.2.3.4 - 4 .0.1.2.3 +
k(k+1)(k+2)(k-1) =
1
4
1
4
1
4
k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
1
4
k(k+1)(k+2)(k-1)
1
1
.2.3.4.5 - 4 .1.2.3.4 +…+ 4 k(k+1)(k+2)(k+3) -
1
4
k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó.
Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11…1 + 1
n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8
= 4.
10 n 1
.
9
10n + 8.
13
n chữ số 4
10 n 1
9
n chữ số 1
+1
=
=
4.10 2 n 4.10 n 8.10 n 8 9
9
2
2.10 n 1
4.10 2 n 4.10 n 1
9
=
3
Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3
n-1 chữ số 0
2.10 n 2
1
3
Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
A = 11…1 + 44…4 + 1
2n chữ số 1
n chữ số 4
B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7
2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
Kết quả: A =
10 n 2
2
3
;
B=
10 n 2 8
3
;
C=
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
a. A = 22499…9100…09
n-2 chữ số 9 n chữ số 0
b. B = 11…155..…56
n chữ số 1 n-1 chữ số 5
2n
A = 224.10 + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9
= 225.102n – 90.10n + 9
= ( 15.10n – 3 ) 2
A là số chính phương
b. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10n + 5.11…1 + 1
a.
n chữ số 1 n chữ số 5
=
10 1
.
9
n
10n + 5.
n chữ số 1
10 1
9
n
+1=
n chữ số 1
10
2n
10 n 5.10 n 5 9
9
2
14
2.10 n 7
2
3
=
10 2 n 4.10 n 4
9
=
10 n 2
3
là số chính phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể
là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5
5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n>1
không phải là số chính phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]
= n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với n N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng
đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương
đó là một số chính phương
Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng
chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là
1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số
tận cùng của a là 4 hoặc 6 a a2
2
4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56,
76, 96 Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số
chính phương.
a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)
a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t N)
Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t N) do đó a2 + b2 không thể là số
chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1
không thể là các số chính phương.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p và p không chia hết cho 4 (1)
2
15
a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 p+1 = 4k2 + 4k + 1
p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) mâu thuẫn với (1) p+1 là số chính phương
4
b.
p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 p-1 có dạng 3k+2.
Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 p-1 không là số chính phương .
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số
chính phương.
a.
2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1
Có 2N 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N)
3
2N-1 không là số chính phương.
b.
2N = 2.1.3.5.7…2007
Vì N lẻ N không chia hết cho 2 và 2N nhưng 2N không chia hết cho 4.
2
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 2N không là số chính phương.
c.
2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1 Vì 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1 2N+1 không là số chính
phương.
4- Củng cố:
GV khái quát kiến thức
5- Hướng dẫn về nhà
Học bài và làm bài tập
Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05
2008 chữ số 1
Chứng minh
2007 chữ số 0
ab 1
Cách 1: Ta có a = 11…1 =
10
là số tự nhiên.
2008
1
9
; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 102008 + 5
2008 chữ số 1
ab+1 =
(10
2008
2007 chữ số 0
1)(10
9
2008
5)
+1=
(10
2008 chữ số 0
2008
) 2 4.10 2008 5 9
9
2
=
10 2008 2
3
ab 1
=
10 2008 2 2
3
Ta thấy 102008 + 2 = 100…02
3
=
10 2008 2
3
nên
10 2008 2
3
N hay
2007 chữ số 0
Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6
16
ab 1
là số tự nhiên.
2007 chữ số 0
2008 chữ số 0
2008 chữ số 9
ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2
ab 1 = (3a 1) 2 = 3a + 1 N
Ngày soạn: 08/10/2017
Ngày dạy: 18/10/2017
Tuần 09 - Chuyên
đề 2
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. MỤC TIÊU
+ Kiến thức: HS nắm được định nghĩa và các tính chất của số chính phương
+ Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào giải bài tập
+ Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN:
+ Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
+ Học sinh: Đọc trước các nội dung GV yêu cầu
III.CÁCH THỨC TIẾN HÀNH:
Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
1.Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
3. Nội dung:
DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12
b. n ( n+3 )
c. 13n + 3
d. n2 + n + 1589
Giải
a. Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
k+n+1 = 11 k = 6
k–n-1=1
n=4
b. Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
(4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
(2n + 3) 2 - 4a2 = 9
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta
có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1
2n + 3 – 2a = 1
a=2
17
c. Đặt 13n + 3 = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16
13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
(y + 4)(y – 4) mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 hoặc y – 4
13
13
13
y = 13k 4 (Với k N)
13(n – 1) = (13k 4 )2 – 16 = 13k.(13k 8)
n = 13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + 1 (Với k N) thì 13n + 3 là số chính phương.
d.
Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
(2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết
(2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
a.
a2 + a + 43
b.
a2 + 81
c.
a2 + 31a + 1984
Kết quả: a. 2; 42; 13
b. 0; 12; 40
c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính
phương .
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương .
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận
cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là
số chính phương .
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Bài 4: Tìm n
a.
b.
c.
d.
N để các số sau là số chính phương:
n2 + 2004
(23 – n)(n – 3)
n2 + 4n + 97
2n + 15
( Kết quả: 500; 164)
( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
18
Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N)
Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn
(m + n)(m - n) Nhưng 2006 không chia hết cho 4
4
Điều giả sử sai.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
Bài 6: Biết x N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
2
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương .
Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x
chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7.
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính
phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta
được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40
Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số
chính phương thì n là bội số của 24.
Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N)
Ta có m là số lẻ m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 1
2
4a ( a 1)
n = m 1 =
= 2a(a+1)
2
2
n chẵn n+1 lẻ k lẻ Đặt k = 2b+1 (Với b N) k2 = 4b(b+1) +1
n = 4b(b+1) n (1)
8
Ta có k2 + m2 = 3n + 2
2 (mod3)
19
Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
Nên để k2 + m2 2 (mod3) thì k2 1 (mod3)
m2 1 (mod3)
m2 – k2 hay (2n+1) – (n+1) n (2)
3
3
3
Mà (8; 3) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3) n
24.
4- Củng cố:
GV khái quát kiến thức
5- Hướng dẫn về nhà
Học bài và làm bài tập
Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì
2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)
2p.2q = (a + 48)(a-48)
Với p, q N ; p+q = n và p > q
a + 48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3
a - 48 = 2q
q = 5 và p-q = 2 p = 7
n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
20
- Xem thêm -
.DOC 
85 
144 
134 
