Tài liệu GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015) Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2 y 3  12 y 2  25 y  18   2 x  9 x  4  Bài 1: Giải hệ phương trình   3 x  1  3x 2 14 x  8  6  4 y  y 2  (1) (2) (Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải  1  x  ♥ Điều kiện:  (*) 3  2 6  4 y  y  0 ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ 2 y 3  12 y 2  25 y  18   2 x  9 x  4  2  y  2   y  2  2 3   3 x4  x4 (3) [Tại sao ?] ♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t 3  t trên  ta có: f ' t   6t 2  1  0, t    f  t  đồng biến trên  Nên: 3  f  y  2  f   y  2  y  2 x  4  y  2  x  4     2  y  2  x  4  x  4 y  y 2   (4) ♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn 3x  1  6  x  3 x 2 14 x  8  0 (5) ♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp. 5   3x  1  4   6  x 1  3x 2 14 x  5  0  3 x  5 3x 1  4  x5   x  53 x  1  0 6  x 1 (Tách thành các biểu thức liên hợp) (Nhân liên hợp)     3 1   x  5    3 x  1  0  x  5 3x 1  4 6  x 1       0  ♦ Với x  5  y  1 (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   5;1  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số + Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).  x3  y 3  17 x  32 y  6 x 2  9 y 2  24 Bài 2: Giải hệ phương trình    y  2 x  4   x  9 2 y  x  9  x 2  9 y  1  (1) (2) (Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x  4 ♥ Điều kiện:  (*) 2 y  x  9  0 ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ x 3  y 3  17 x  32 y  6 x 2  9 y 2  24  x 3  6 x 2  17 x 18  y 3  9 y 2  32 y  42   x  2  5  x  2   y  2  5  y  2 3 3 [Tại sao ?] (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t 3  5t trên  ta có: f ' t   3t 2  5  0, t    f  t  đồng biến trên  Nên: 3  f  x  2  f  y  3  x  2  y  3  y  x 1 (4) ♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn  x  3 x  4   x  9 x 11  x 2  9 x 10 (5) ♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp. 5   x  3 x  4  3   x  9 x 11  4  x 2  2 x  35 (Tách thành các biểu thức liên hợp)   x  3. x 5 x5   x  9.   x  5 x  7 (Nhân liên hợp) x  4 3 x  11  4  x3  x9   x  5     x  7   0  x4 3  x  11  4   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp x5  0    x3 x9     x  7  0  x  4  3 x  11  4 (6) ♦ Chứng minh (6) vô nghiệm  6  x 3 x 4 3  x5 x9 x 9   0 2 2 x 11  4 [Tại sao ?]   1 1 1 1 2   x  5     x  9    0 : phương trình VN  x  4  3 2   x  11  4 2  x  4  3    0 0 0 ♦ Với x  5  y  6 (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   5;6  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các hệ phương trình  x3  y 3  3 x 2  6 x  3 y  4 1)  2  x  y 2  6 x  y 10  y  5  4 x  y  53  5 x  10  x  5 y  48 9  y  0 2)   2 x  y  6  x 2  2 x  66  2 x  y  11   2012  3 x 4  x  6 y  2009 3  2 y  0  3)  2 7 x  8 y  3 14 x 18 y  x 2  6 x 13   x  3 x  y y 1  0  4)   4  x  x 3  x 2 1  x  y 13 1  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  x  3  4 x  2  y 4  5  y Bài 3: Giải hệ phương trình   2  x  2 x  y  2  y 2  8 y  4  0  (1) (2) (Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2) Bài giải ♥ Điều kiện: x  2 (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y ♦ x  3  4 x  2  y4  5  y  4 x  2   x  2  5  y  y 4  5 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  t 4  5 trên nữa khoảng 0; . f liên tục trên 0; và f ' t   1  Do 4 2t 3 t4  5  0, t  0;    f  t  đồng biến trên 0; x  2  0 và 4 y   x  y  2  y  0 nên 2 3  f  4 x  2   f  y   4 x  2  y  x  y 4  2 (4) ♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn y 0 2 4 y   y 4  y   y  y 7  2 y 4  y  4  0   7  y  2 y4  y  4  0  (5) ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số Xét hàm số g  y   y 7  2 y 4  y  4 trên nữa khoảng 0; . Do g liên tục trên 0; và g' y   7 y 6  8 y 3  1  0, y   0;   g  y  đồng biến trên 0; Nên: 5  g  y   g 1  y  1 ♣ Với y  0  x  2 [thỏa (*)] ♣ Với y  1  x  3 [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  là  2; 0 và 3;1  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  3 x 1 3 2 0  x  3x  y  6 y  9 y  2  ln y 1  y  log  x  3  log y   x  1 3    2 Bài 4: Giải hệ phương trình:  1 . 2 (Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x 1  y 1  0  x  3 ♥ Điều kiện:  x  3  0   y  0 y  0   (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y ♦ 1   x  13  3  x  12  ln  x  1   y  13  3  y  12  ln  x  1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t 3  3t 2  ln t trên khoảng  0;   1 f   t   3t 2  6t   0 t  0  f  t  đồng biến trên khoảng  0;   t Do x 1  0 và y  1  0 nên  3  f  x  1  f  y  1  x  1  y  1  y  x  2 (4) ♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn  x  2  log 2  x  3  log3  x  2   x  1 (5) ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số 5  log 2  x  3  log3  x  2   x 1 x 1  log 2  x  3  log3  x  2    0 6 x2 x2 ♣ Xét hàm số g  x   log 2  x  3  log 3  x  2   g x  1 1 3    0 x  3  x  3 ln 2  x  2  ln 3  x  2 2  g  x  đồng biến trên khoảng Nên x 1 trên khoảng  3;   x2  3;   . 4 y 3  6   g  x   g  5  x  5  ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y    5;3   [thỏa mãn (*)] Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  3 x 2  3y 2  8   y  x  y 2  xy  x 2  6  Bài 5: Giải hệ phương trình:.   x  y  13 3y  14  x  1  5     1 2 (Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải  x  1 x 1  0   14 3 y  14  0   y  3  * ♥ Điều kiện:  ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y 3 3 ♦ 1   x  1  3 x  1   y  1  3 y  1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t 3  3t , t   f   t   3t 2  3  0, t    f  t  đồng biến trên  . Do x  1  0 và y 1  0 nên  3  f  x  1  f  y  1  x  1  y  1  x  2  y (4) ♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn  2 x  11   5  3x  8  x  1  5 ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số Ta nhận thấy x  11 không là nghiệm của phương trình  5  nên 2  5  3x  8  x  1  5  0. 2 x  11  6 Xét hàm số g  x   3x  8  x  1  g  x  3 2 3x  8  5  8 11   11  , x   ;    ;   2 x  11 3 2   2  1 2 x 1  10  2 x  11 2  3 x  1  3x  8 2  10  3x  8 x  1  2 x  11 2  8 11   11   0 x   ;  &  ;   3 2   2   8 11   11   g  x  đồng biến trên các khoảng  ;  &  ;   3 2   2   8 11   8 11  ♣ Trên khoảng  ;  thì g  x  đồng biến, 3   ;  , g  3  0 nên 3 2  3 2  6   11   4 g  x   g  3  x  3  y  5 [thoả mãn (*)]  11  ♣ Trên khoảng  ;   thì g  x  đồng biến, 8   ;   , g 8   0 nên 2  2   4 y  10 [thoả mãn (*)] 6  g  x   g 8   x  8  ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các hệ phương trình  4 x 2  1 x   y  3 5  2 y  0  1)  4 x 2  y 2  2 3  4 x  7   x3  y 3  3 y 2  4 y  x  2 2)    x  y  3 x  3 y 19  105  y 3  xy   4 x  2  2 y  4  6  3)   2 2 x 13  2 x  1   2 y  3 y  2  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 2 y 3  y  2 x 1 x  3 1 x Bài 6: Giải hệ phương trình    9  4 y 2  2 x 2  6 y 2  7  (1) (2) (Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải  x  1  ♥ Điều kiện:  3 (*)   y  3  2 2 ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v  ) ♦ 2 y 3  y  2 x 1 x  3 1 x  2 y 3  y  2 1 x  2 x 1 x  1 x  2 y 3  y  21 x 1 x  1 x (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t 3  t trên  ta có: f ' t   6t 2  1  0, t    f đồng biến trên   y  0  y 2  1  x 3  f  y   f  1 x   y  1 x   Nên: (4) ♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn 4 x  5  2 x 2  6 x 1 (5) ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II  Phương trình (5) viết lại thành:  2 x  3  2 4 x  5 11 2 Điều kiện Đặt  3 4 x  5  2t  3 t   , ta được hệ phương trình:  2  2 x  32  4t  5    2t  32  4 x  5  (6) (7)  Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được: 4  x  t  3 x  t   4t  4 x   x  t  x  t  2  0 + Khi x  t , thay vào (7) ta được: 4 x 2 12 x  9  4 x  5  x 2  4 x 1  0  x  2  3 So với điều kiện của x và t ta chọn x  2  3 . [không thỏa mãn (*)] + Khi x  t  2  0  t  2  x , thay vào (7) ta được: [Tại sao ?] Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 1 2 x   4 x  5  x 2  2 x 1  0  x  1  2 (loại) 2 So với điều kiện của x và t ta chọn x  1  2 . ♦ Với x  1 2  y   4 2 . [thỏa mãn (*)]     ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  là 1 2;  4 2 và 1 2; 4 2  2 x 3  4 x 2  3x 1  2 x 3 2  y  3  2 y  Bài 7: Giải hệ phương trình   x  2  3 14  x 3  2 y +1  (1) (2) (Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải   y  3 ♥ Điều kiện:  2   x  2 (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) ♦ Do x  0 không thỏa hệ nên ta có: 4 x 1  2   3 1  3  22  y  3  2 y 2 x x  1   1  1   1   3  2 y  3  2 y  3  2 y  x   x  3  (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t 3  t trên  ta có: f ' t   3t 2  1  0, t    f đồng biến trên  Nên:  1 3  f 1   f  3  2 y   1  3  2 y  x x 1 (4) ♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn x  2  3 15  x  1 (5) ♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x  7 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp. 5  x  2  3  2  3 15  x  0       1 1  0   x  7  2  x  2  3  3 3 4  2 x  15  x  15       0   x7  Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp ♦ Với x  7  y  111 98 [thỏa mãn (*)]  111 ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  là 7;   98  1 3x  4  2  x  3 y  1  y  y + x 1 Bài 8: Giải hệ phương trình    9 y  2  3 7 x  2 y  2  2 y  3 (1) (2) (Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải  x  1  ♥ Điều kiện:   y  2  9 (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) ♦ Ta có 1 y 1  y 2   3 y  x 1 1 x 1  3 x 1 (3) 1 ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t 2   3t trên 0; ta có: t  2t 1t 1 2 f ' t   t2  0, t  0;   f đồng biến trên 0; 3  f  y   f  x 1  y  x  1  x  y 2 1 Nên: (4) ♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn 9 y 1  3 7 y 2  2 y  5  2 y  3 (5) ♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là y  2 y  3 và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp. Định hướng biến đổi về dạng  y  2 y  3.h  x  0 hay  y 2  5 y  6.h  x  0 5   9 y  2   y  2  3 7 y 2  2 y  5   y  1  0 y2 5 y  6 9y2  y 2   y 1 y 2  5 y  6  y 1   y 1 7 y  2 y  5   7 y  2 y  5  2 3 2 3 2 2 0       1 y 1    0 2   y  5 y  6  2   9 y  2  y  2 2  y 1   y 1 3 7 y 2  2 y  5  3 7 y 2  2 y  5      0   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp y  2  y2  5 y  6  0    y  3 ♦ Với y  2  x  3 [thỏa mãn (*)] ♦ Với y  3  x  8 [thỏa mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  là 3; 2 ; 8;3   x 2  y 2  y   2 x  1 y  2   Bài 9: Giải hệ phương trình:.  5  3x  8  y  x  y2  1 2 Bài giải 8  x  3  ♥ Điều kiện:  y  0  x  y  12  0   * ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y 2 ♦ 1   y  x  1  0  y  x  1 (3) ♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn 3x  8  x  1  5 2 x  11 5 ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số  5  3x  8  x  1  5  0. 2 x  11 6 Xét hàm số f  x   3x  8  x  1  f ' x   5  8 11   11  , x   ;    ;   2 x  11 3 2   2  3 1 10 3 x  1  3x  8 10  8 11   11       0 x   ;  &  ;   2 2 3 2 2 2 3 x  8 2 x  1  2 x  11     2  3 x  8  x  1  2 x  11  8 11   11   f  x  đồng biến trên các khoảng  ;  &  ;   3 2 2      8 11   8 11  ♣ Trên khoảng  ;  thì f  x  đồng biến, 3   ;  , f  3   0 nên 3 2  3 2  6   11   4 f  x   f  3  x  3  y  4 [thoả mãn (*)]  11  ♣ Trên khoảng  ;   thì f  x  đồng biến, 8   ;   , f  8   0 nên 2  2  6   4 f  x   f  8  x  8  y  9 [thoả mãn (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10   Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG n  ax  b  p n a ' x  b '  qx  r ( x là ẩn số; p, q, r , a, b, a ', b ' là các hằng số; paa '  0 ; n  2;3 Dạng thường gặp:  ax  b  p a ' x  b '  qx  r 2 1. Phương pháp giải Đặt ẩn phụ: + Đặt n a ' x  b '  ay  b nếu pa '  0 + Đặt n a ' x  b '   ay  b nếu pa '  0 Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y : h( x)  Ay  Bx  C (*)  h( y)   A ' B x  C '  (*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y . Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x 15  32 x 2  32 x  20 (1) Lời giải  Điều kiện: 2 x 15  0  x  15 2  Phương trình (1) viết lại thành: 2 4 x  2  2 x  15  28 2 Đặt  1 2 x  15  4 y  2  y    , ta được hệ phương trình:  2  4 y  22  2 x  15    4 x  22  2 y  15   Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được: (2) (3) Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp  4 y  4 x  44 y  4 x   2  x  y    x  y  1  8 x  y 1  0 + Khi x  y , thay vào (3) ta được:  1 x  2  2  4 x  2  2 x 15  16 x 2 14 x 11  0   11  x    8 So với điều kiện của x và y ta chọn x  1 . 2 9 + Khi 1  8  x  y  1  0  y  x  , thay vào (3) ta được: 8 9 4 2  4 x  2  2 x  15  64 x 2  72 x  35  0  x  So với điều kiện của x và y ta chọn x  9  221 16 9  221 . 16  1 9  221     Tập nghiệm của (1) là S    ;  2  16   Ví dụ 2: Giải phương trình 4 x 2  3 x  1  5  13 x (1) Lời giải  Điều kiện: 3 x  1  0  x   1 3  Phương trình (1) viết lại thành: Đặt 2  2 x  3   3x 1  x  4  3 3 x  1   2 y  3  y   , ta được hệ phương trình:  2  2 x  32  2 y  x  1    2 y  32  3 x  1  (2) (3)  Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được: 2 2 x  2 y  6 x  y   2 y  2 x   x  y  2 x  2 y  5  0 + Khi x  y , thay vào (3) ta được: 4 x 2 12 x  9  3 x  1  4 x 2 15 x  8  0  x  So với điều kiện của x và y ta chọn x  15  97 . 8 15  97 8 Tài liệu ôn thi môn Toán TNTHPTQG - Chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp + Khi 2 x  2 y  5  0  2 y  5  2 x , thay vào (3) ta được:  2  2 x  3x 1  4 x 2 11x  3  0  x  2 So với điều kiện của x và y ta chọn x  11  73 8 11  73 . 8 11  73 15  97   Tập nghiệm của (1) là S   ;      8 8   3. Một số bài toán tự luyện Giải các phương trình 1) x  6  x2  4 x 4) 4 x 2  14 x  11  4 6 x  10 2) x 2  4 x  3  x  5 3) 2 x 1  x 2  3x 1  0 5) 9 x 2  12 x  2  3 x  8 7) 6) 9 x 2  6 x  5  3 x  5 ---------------------------------Hết----------------------------------