Tài liệu Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ cho học sinh .

A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Về mặt lí luận Trí thông minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tu duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Chính vì vậy, nghị quyết của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí thông minh cho học sinh phổ thông đã chỉ rất rõ yêu cầu “phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”. Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động sáng tạo. Chính vì vậy, việc phát triển trí thông minh cho các em thông qua môn toán là hết sức cần thiết. 1.2. Về mặt thực tiễn Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán là khoa học suy diễn trừu tượng nhưng toán học THPT lại mang tính trực quan cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác toán học còn là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học toán ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kỹ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán. Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ -1- 1.3. Về mặt cá nhân Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường, tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kỹ năng mới trong “Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ”, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Đó là lí do tại sao tôi chọn đề tài này. 2. Mục đích nghiên cứu Một vấn đề thường gặp trong hình học và làm cho học sinh lúng túng, ngại khó, ngại khổ, rất đau đầu ngay từ khi mới nhắc đến và trong quá trình học tập và trong các kỳ thi đó là các bài toán về hình học không gian. Thông thường những bài toán về loại này là những vấn đề không dễ giải quyết và cần huy động nhiều các hệ thống các kiến thức liên quan, phải vận dụng và tư duy chúng linh hoạt và sáng tạo. Với mục đích đơn giản hóa một số các bài toán hình học không gian, tạo cho học sinh sự hứng thú với môn toán đặc biệt là phần hình học không gian, không ngại khó, ngại khổ đối với các bài toán này. Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã đơn giản hóa được phần lớn các bài toán hình học không gian. Thông qua phương pháp tọa độ, phương pháp véctơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán mới cho phép đại số hóa hình học và hình học hóa đại số. Tác giả viết sáng kiến kinh nghiệm này nhắm cung cấp một cách tiếp cận và giải quyết khác của một số bài toán hình học không gian cho các bạn yêu thích toán học, các thầy cô giáo, các em học sinh lớp 12 làm tài liệu tham khảo và tiếp tục phát triển hơn nữa. 3. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Hình học không gian và phương pháp tọa độ trong không gian là nội dung quan trọng của hình học 12 trong chương trình toán THPT. Các em đã được bắt đầu học hình học không gian từ năm lớp 11 và tiếp tục ở nửa đầu năm học lớp 12. Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ -2- Sau đó, các em tiếp tục làm quen với phương pháp tọa độ vì thế có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện. 4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Đối tượng khảo sát và thực nghiệm là một số các bài toán hình học không gian trong chương trình phổ thông đối với học sinh lớp 12, học sinh ôn thi tốt nghiệp, học sinh ôn thi đại học. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: “phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng thông minh những điều đã học”. Nhìn nhận kết quả của học sinh trong năm học vừa qua đối với môn toán đặc biệt là hình học từ đó đưa ra phương pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh, và nhằm thiết lập mối quan hệ giữa hình học không gian và hình học giải tích. 6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu là một số các bài toán hình học không gian trong chương trình phổ thông và một số các bài toán liên quan trong chương trình ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học. Kế hoạch nghiên cứu: Nghiên cứu trong năm học 2010 – 2011 đối với các em học sinh lớp 12A12, tại trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội. Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ -3- B. NỘI DUNG VÀ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI SKKN 1. Thực trạng trước khi thực hiện đề tài Từ trước đến nay, các bài toán hình học không gian trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học vốn không phải là phần khó. Tuy nhiên với việc giảng dạy, và đặc biệt việc học tập của học sinh phổ thông có thể có chỗ chưa phù hợp, chưa đủ kích thích học sinh, chưa tạo cho các em sự hứng thú và say mê với môn hình học. Từ đó, học sinh thấy hình học “khó và khổ”, và tạo cho học sinh một tâm lý không tốt khi học hình học và đối mặt với các bài toán hình học và Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ -4- đặc biệt hơn đó là các bài tập hình học không gian. Nhiều em thường không biết bắt đầu từ đâu khi trước mặt các em là một hình vẽ rối tung rối mù … Trước khi thực hiện đề tài tôi đã thực hiện một cuộc điều tra nhanh về tình hình học môn toán của các em và khảo sát chất lượng môn hình học của học sinh thông qua việc cho các em học sinh làm hai bài bài kiểm tra viết với các nội dung sau: a) Cuộc điều tra nhanh về sự yêu thích môn toán: Ÿ Đối tượng điều tra: 45 học sinh lớp 12A12 – Trường THPT Mỹ Đức A. Ÿ Hình thức điều tra: Phát 45 phiếu điều tra với nội dung sau: Các em hãy khoanh tròn câu trả lời em cho là đúng với mình nhất. Câu 1. Điểm kiểm tra Toán cao nhất năm học này cho tới nay là ở môn học nào? A. Đại số B. Hình học C. Không nhớ. Câu 2. Học Đại số và học Hình học, em thích học gì hơn? A. Đại Số B. Hình học C. Không thích cả hai. Câu 3. Khó khăn trong việc học Hình học của em là gì ? A. Lý thuyết hình học khó hiểu C. Cả hai khó khăn trên B. Việc tự vận dụng làm các bài tập hình học D. không gặp khó khăn trên. Câu 4. Các dạng bài tập nào sau đây em làm tốt hơn và đạt kết quả cao hơn? A. Bài tập hình học tọa độ trong không gian B. Bài tập hình học không gian C. Cả hai dạng trên đều làm không tốt và có kết quả kém. Câu 5. Theo em thì en đã ứng dụng được nhiều các kiến thức toán học vào cuộc sống và đối với các môn học khác chưa? A. Nhiều B. Bình thường C. Ít. Câu 6. Tổng thời gian em dành cho việc tự học toán ở nhà trung bình trong một tuần là bao nhiêu giờ? A. Dưới 2 giờ B. Từ 2 đến 4 giờ C. Trên 4 giờ. Câu 7. Môn Toán là môn học như thế nào đối với em? A. Yêu thích, sở trường B. Môn học yêu thích Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ C. Bình thường. -5- Ÿ Thống kê kết quả điều tra: Có 45 phiếu điều tra đã hoàn thành các câu trả lời được thu về. Câu 1. Điểm kiểm tra Toán cao nhất năm học này cho tới nay là ở môn học nào? Đáp án HS Chọn A. Đại số 32 B. Hình học 12 C. Không nhớ 1 Câu 2. Học Đại số và học Hình học, em thích học gì hơn? Đáp án A. Đại số B. Hình học C. Không thích cả hai Câu 3. Khó khăn trong việc học Hình học của em là gi ? HS Chọn 37 5 3 Phần trăm 71 % 27 % 2% Phần trăm 82 % 11 % 7% Đáp án HS Chọn Phần trăm A. Lý thuyết hình học khó hiểu 9 20 % B. Việc tự vận dụng làm các bài tập hình học 13 29 % C. Cả hai khó khăn trên 23 51 % D. không gặp các khó khăn trên. 0 0% Câu 4. Các bài tập nào sau đây em làm tốt hơn và đạt kết quả cao hơn? Đáp án HS Chọn Phần trăm A. Bài tập hình học tọa độ trong không gian 33 73 % B. Bài tập hình học không gian 3 7% C. Cả 2 dạng trên đều làm không tốt và kết quả kém 9 20 % Câu 5. Theo em thì em đã ứng dụng được nhiều các kiến thức toán học vào cuộc sống và đối với các môn học khác chưa? Đáp án HS Chọn Phần trăm A. Nhiều 8 18 % B. Bình thường 20 44 % C. Ít 17 38 % Câu 6. Tổng thời gian em dành cho việc tự học toán ở nhà trung bình trong một tuần là bao nhiêu giờ? Đáp án A. Dưới 2 giờ B. Từ 2 đến 4 giờ C. C. Trên 4 giờ HS Chọn 19 21 5 Phần trăm 42 % 47 % 11 % Câu 7. Môn Toán là môn học như thế nào đối với em? Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ -6- Đáp án A. Yêu thích, sở trường B. Môn học yêu thích C. Bình thường Ÿ Phân tích, nhận xét: HS Chọn 13 9 23 Phần trăm 29 % 20 % 51 % Nhiều em chưa xác định được vai trò của môn học, chưa có được niềm say   mê hứng thú với môn học đặc biệt là môn hình học, một phần là do trong thâm tâm các em luôn nghĩ rằng hình học khó hiểu và khó học.   Nhiều em chưa tìm được phương pháp học hợp lý và hiệu quả.   Thời gian để các em tự học và tự tìm tòi sáng tạo quá ít, mà đây mới chính là động lực chính giúp các em phát triển trí tuệ, các năng lực học tập. Lí do ở đây là vì hầu như các em cả ngày và cả tuần ở trường, ở các lớp học phụ đạo nên thời gian các em ở nhà tự học và tự rèn luyện là không nhiều.   Phiếu điều tra trên chỉ phản ánh một phần nào đó tình hình học tập và giảng dạy trong nhà trường THPT, nhưng nó cũng cho ta một số kết quả đáng báo động với nhà trường, các thầy cô giáo, các em học sinh và nghành giáo dục của chúng ta. b) Khảo sát chất lượng học môn hình học của học sinh Ÿ Đối tượng khảo sát: 45 học sinh lớp 12A12 – Trường THPT Mỹ Đức A. Ÿ Hình thức khảo sát: Kiểm tra viết tự luận. Bài kiểm tra số 1: (Thời gian làm bài 25 phút) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). Giải: Ta có: BD  AC    BD  (ACC'A ') BD  AA '  BD  AC'. (1) A 'B  AB'   A 'B  (AB'C'D) A 'B  AD   A 'B  AC'. (2) Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ -7- Từ (1) và (2)  AC'  (A 'BD). Chứng minh tương tự ta có: AC'  (B'CD').  (A 'BD) // (B'CD') . Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD, A’B’C’D’. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O, CO’.  IK là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). Ta có: A’O // CO’, do O là trung điểm của AC  I là trung điểm của AK. Tương tự, do O’ là trung điểm của A’C’  K là trung điểm của IC’. 1 3  IK  AC'  IK  . 3 3 Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) bằng 3 . 3 Bài kiểm tra số 2: (Thời gian 15 phút) Trong không gian Oxyz cho các điểm M(0; 0; 1), N(1; 0; 0), P(0; 1; 0), Q(1; 0; 1), R(1; 1; 0), S(0; 1; 1). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (QRS). Giải x y z    1 hay x  y  z  1  0 . 1 1 1 uuu r uur uuu r uur QR, QS� = (1;1;1) . Ta có: QR = (0;1; - 1), QS = (- 1;1; 0) � � � � � � r uuu r uur QR, QS� = (1;1;1) , có phương Mặt phẳng (QRS) có vectơ pháp tuyến là n = � � � � � Mặt phẳng (MNP) có phương trình dạng: trình dạng: 1 x  1  1 y  1  1 z  0   0  x  y  z  2  0 . Ta có: 1 1 1 1    , vậy (MNP) // (QRS). 1 1 1 2  d  (MNP),(QRS)   d  M,(QRS)   0  0 1 2 1 1 1 2 2 2  1 3  . 3 3 Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (QRS) bằng 3 . 3 Ÿ Thống kê kết quả: Bài kiểm tra số 1: Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ -8-   Số học sinh giải hoàn chỉnh: 9 em   Số học sinh giải sai, chưa xong: 36 em (20 %) (80 %) Bài kiểm tra số 2:   Số học sinh giải hoàn chỉnh: 30 em (76 %)   Số học sinh giải sai, chưa xong: 20 em (24 %). Ÿ Phân tích kết quả: Bài kiểm tra số 1: Trong số 36 em chưa có lài giải hoàn chỉnh có nhiều em đã chứng minh   được hai mặt phẳng song song nhưng loay hoay không biết tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này thế nào. Cũng trong số 80 % số chưa có lời giải hoàn chỉnh học sinh này thì cũng   có một số em mất rất nhiều thời gian vào việc vẽ hình (có em phải vẽ đến lần thứ 3) để có được hình vẽ tương đối thoáng, dễ nhìn do vậy thời gian còn lại để các em suy nghĩ và làm bài cũng bị hạn chế. Trong số 9 học sinh có lời giải hoàn chỉnh thì chất lượng bài làm một số   em vẫn còn hạn chế. Bài kiểm tra số 2: Trong số 30 em giải hoàn chỉnh có nhiều bài làm có chất lượng rất tốt, các   em giải rất nhanh trong khoảng hai phần ba thời gian kiểm tra. Trong số 24 % học sinh chưa có lời giải hoàn chỉnh một số em rất đáng   tiếc chỉ nhầm dấu một chút trong tính toán để có kết quả chính xác, các em còn lại mất khá nhiều thời gian trong việc viết phương trình hai mặt phẳng và xây dựng công thức công thức thính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Ÿ Nhận xét:   Nhiều em khâu vẽ hình còn rất nhiều hạn chế, kiến thức của các em về các quan hệ song song, vuông góc trong không gian và về khoảng cách vẫn còn chưa vững, kỹ năng phân tích một bài toán vẫn còn yếu do vậy đứng Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ -9- trước một hình vẽ rối bời các em không biết bắt đầu từ đâu. Chính vì vậy các em thường có tâm lý “sợ” các bài toán hình học không gian. Bài kiểm tra số 2, thực chất thì vẫn là nội dung của bài kiểm tra số 1 chỉ có   điều tác giả đã gắn vào hình lập phương một hệ trục tọa độ Oxyz và thay đổi tên của một số điểm trong hình lập phương ở bài kiểm tra số 1 để có được một bài toán hình giải tích theo ý đồ của tác giả nhằm khảo sát chất lượng học sinh đối với dạng bài hình giải tích này và so sánh với kết quả bài kiểm tra số 1 ở trước đó.   Kết quả bài kiểm tra số 2 khá tốt, tốt hơn bài kiểm tra số 1 rất nhiều điều đó chứng tỏ rằng kiến thức về hình giải tích của các em khá vững, các em tự tin hơn trong làm bài và tâm lý “sợ” đối với các bài toán hình không gian dường như không còn ở đây nữa. Để phát huy các điểm mạnh trên giúp các em tự tin khi đối mặt với các bài tập hình học không gian và phần nào nâng cao kết quả học tập của các em tác giả đã xây dựng kế hoạch và phối hợp thực hiện cùng các em đề tài này. Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 10 - 2. Các biện pháp thực hiện đề tài   Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức liên quan.   Bước 2: Hướng dẫn học sinh làm một số ví dụ điển hình.   Bước 3: Rèn luyện kỹ năng giải các bài tập tương tự cho học sinh thông qua một số các bài tập bổ sung, nâng cao. Gợi cho học sinh hướng phát triển và mở rộng. 2.1. Hệ thống kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ  Hệ trục tọa độ z Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz rr r vuông góc từng đôi một tại O. Gọi i, j, k lần lượt là O O các vectơ đơn vị trên các trục trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. O Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ x O y - 11 - Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. Ÿ Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ. Ÿ Trục x’Ox gọi là trục hoành. Ÿ Trục y’Oy gọi là trục tung. Ÿ Trục z’Oz gọi là trục cao. ‚ Tọa độ của một vectơ r r r r r u   x; y; z   u  xi  y j  zk r r r Ta có: i   1; 0; 0  ; j   0;1; 0  ; k   0; 0;1 . uu r uur Ÿ Tính chất: Nếu có hai vectơ v1  (x1 ; y1 ; z1 ) và v 2  (x 2 ; y 2 ; z 2 ) thì: uu r uu r v  v   1 2   x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2  ; uu r uu r   v1  v 2   x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2  ; uu r   k.v1   k.x1 ; k.y1 ; k.z1  ; ( " k ��) uu r uu r   v1.v 2  x1.x 2  y1.y 2  z1.z 2 ; uu r uu r uu r uu r   v1  v 2  v1.v 2  0  x1.x 2  y1.y 2  z1.z 2  0 ; uu r 2 2 2 v   1  x1  y1  z1 ; uu r uu r cos v , v 1 2      x1.x 2  y1.y 2  z1.z 2 ; x12  y12  z12 . x 22  y 22  z 22 uu r uu r ur uu r   v1 , v 2 cùng phương � $k ��: v1 = k.v 2 ;  x1  x 2 uu r uu r    v1  v 2   y1  y 2 . z  z  1 2 Ÿ uu r uur Tích có hướng của hai vectơ v1  (x1 ; y1 ; z1 ) và v 2  (x 2 ; y 2 ; z 2 ) là một uu r uu r uu r uu r vectơ ký hiệu v1 , v 2  hoặc v1  v 2 , xác định bởi công thức: uu r uu r y v1 , v2    1    y2 z1 z1 ; z2 z2 x1 x1 ; x2 x2 Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ y1   y2  - 12 - Tính chất:   y1z 2  y 2 z1 ;z1x 2  z 2 x1; x1y 2  x 2 y1  . uu r uu r uu r uu r uu r uu r     v , v  v ; v , v  v    1 2 1  1 2 2. uu r uu r r uu r uu r    v , v v v   1 cùng phương với 2  1 2  0 r r ur r r ur   u, v, w đồng phẳng  u, v .w  0 . ƒ Tọa độ của một điểm uuuu r M   x; y; z   OM   x; y; z  Ta có: Gốc tọa độ O   0; 0; 0  . Ÿ Liên hệ tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm mút: Cho hai điểm A  x A ; y A ; z A  và B  x B ; y B ; z B  , ta có uuur uuur   OA   x A ; y A ; z A  ; OB   x B ; y B ; z B  . uuur   AB   x B  x A ; y B  y A ; z B  z A  .   AB  (x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2  (z B  z A ) 2 . Ÿ Trung điểm I của đoạn thẳng AB:  x  x B yA  yB zA  z B  I A ; ; . 2 2   2 Ÿ Trọng tâm G của ABC :  x  x B  x C yA  yB  y C z A  z B  zC  G  A ; ; . 3 3 3   „ Chia một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số cho trước. uuuuur uuuuur Điểm M  x, y, z  chia đoạn thẳng M 1M 2 theo tỉ số k: MM1  kMM 2 được xác định bởi công thức: Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 13 - x1  kx 2  x   1 k  y1  ky 2  y  1 k  z1  kz 2   z  1  k Đặc biệt nếu k = - 1, thì M là trung điểm của M 1M 2 , khi đó toạ độ của M là: x1  x 2  x   2  y1  y 2  y  2  z1  z 2   z  2 … Phương trình mặt cầu Ÿ Mặt cầu tâm I  a; b; c  , bán kính R  0 có phương trình tổng quát của dạng:  x  a 2   y  b   z  c  R 2 2 2 Ÿ Phương trình: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 là phương trình mặt cầu khi a 2  b 2  c 2  d  0 , khi đó mặt cầu có tâm tọa độ là (a; b; c) và có bán kính bằng a 2  b2  c2  d . † Phương trình mặt phẳng r r r Ÿ Vectơ n  0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng    . Ÿ Trong không gian Oxyz phương trình Ax  By  Cz  D  0 , với A 2 +B2 +C2  0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.   Mặt phẳng    có phương trình tổng quát Ax  By  Cz  D  0 r thì nó có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  . Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 14 - Mặt phẳng    đi qua điểm M  x 0 ; y 0 ; z 0  và có vectơ pháp tuyến r n   A; B; C  phương trình viết dạng:   A  x  x 0   B  y  y0   C  z  z 0   0 Mặt phẳng    cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có tọa   độ (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) có phương trình dạng:   x y z + + = 1. a b c r r Hai vectơ u, v không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên r r mặt phẳng    thì vectơ u, v  là một vectơ pháp tuyến của    . Ÿ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  0 ; và ( b) : A'x + B'y + C'z + D' = 0 ;          A B C D    . A ' B' C' D'      //     A B C D    . A ' B' C' D'    ۹           A : B : C A ': B' : C'. AA ' BB' CC'  0. ‡ Phương trình đường thẳng r r Ÿ Vectơ u  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của r u song song hoặc trùng với d. Ÿ Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M  x 0 ; y 0 ; z 0  và có  x  x 0  at r  vectơ chỉ phương u   a; b; c  dạng:  y  y0  bt , với t là tham số.  z  z  ct 0  Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 15 - Ÿ Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua M  x 0 ; y 0 ; z 0  và có vectơ r x - x 0 y - y0 z - z0 = = chỉ phương u   a; b; c  dạng: ( a �0, b �0, c �0 ). a b c Ÿ  x  x 0  at  Nếu đường thẳng d có phương trình tham số dạng:  y  y0  bt thì nó đi  z  z  ct 0  qua điểm có tọa độ  x 0 ; y0 ; z 0  và có một vectơ chỉ phương có tọa độ là  a; b; c  . Ÿ Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Ÿ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: r Cho đường thẳng  đi qua điểm M và có vec tơ chỉ phương u. Đường ur thẳng  ' đi qua điểm N và có vec tơ chỉ phương u ' . Ta có r ur r uuuu r ur      '  u,u '  u,MN   0. r ur r r uuuu r ur       //'  u,u '  0 và u,MN   0. r ur r r ur uuuu r ur      ۹ '  I u,u ' 0 và u,u ' .MN 0.       r ur uuuu r ur    chéo  ' ۹ u,u '.MN 0. r ur r ur Đặc biệt    '  u  u '  u.u '  0. Cho đường thẳng  đi qua điểm M  x 0 ; y 0 ; z 0  và có vectơ chỉ phương  x  x 0  at r  u   a; b; c  có phương trình tham số dạng:  y  y0  bt , với t là tham số.  z  z  ct 0  Cho mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  0 có vec tơ pháp tuyến r n  (A;B;C) . Khi đó  M             . r r  u.n  0 Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 16 -  M      / /     r r   .  u.n  0         I  A  x 0  at   B  y 0  bt   C  z 0  ct   D  0 có nghiệm t0 duy nhất, và I  x 0  at 0 ; y 0  bt 0 ;z 0  ct 0  . ˆ Công thức về góc uur uur  ,  ' Giả sử các đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là u  , u  ' . Mặt uur uu r phẳng    ,    lần lượt có các vectơ pháp tuyến n  ,n  . rr r r r r u.v Ÿ Góc giữa hai vectơ u, v : cos u, v  r r . u.v   uur uur u  .u  ' Ÿ Góc giữa hai đường thẳng ,  ' : cos  ,  '   uur uur . u . u' uur uur u  .n  Ÿ Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng    : sin  ,      uur uur . u . n uur uu r n  .n  r . Ÿ Góc giữa hai mặt phẳng    và    : cos     ,      uur uu n . n ‰ Công thức về khoảng cách Ÿ uuuuur uur MM 0 , u     uur Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  : d  M,    u uur Với M 0   , u  là vectơ chỉ phương của đường thẳng  . Khoảng Ÿ   : cách từ M  x 0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng Ax  By  Cz  D = 0 bằng: d  M,      Ÿ điểm Ax 0  By0  Cz 0  D A 2  B2  C 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ,  ' : Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 17 - uur uur uuuuu r u  , u  ' .MM '   d  ,  '   uur uur u  , u  '    Với M, M’ lần lượt là các điểm thuộc ,  ' . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song () và () : Ÿ d  (), ()   d  M, ()   d  N, ()  ,  M  (), N  (). Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng    song song với nhau Ÿ bằng: d  ,      d  M,     , M  . Š Công thức về diện tích và thể tích 1 uuur uuur  AB,AC  . 2  uuur uuur Diện tích hình bình hành ABCD bằng: SABCD  AB,AD  . uuur uuur uuuu r   V  AB, AD .AA '. Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:   uuur uuur uuur AB, AC .AD   Thể tích tứ diện ABCD bằng: V . ABCD  6 Diện tích tam giác ABC bằng: SABC  Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ 2.2. Phương pháp giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng ta hải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc, bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, vectơ với phép toán trên nó. Với bài toán đại số này chúng ta có sự định hướng rõ ràng hơn và khả năng tìm được lời giải nhanh hơn. Để thực hiện được điều Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 18 - đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm được quy trình giải toán bằng phương pháp toạ độ thích hợp. Phương pháp giải toán: Ÿ Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp. Ÿ Bước 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ. Ÿ Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán. Ÿ Bước 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. Trong các bước trên, bước 2 và bước 4 học sinh có thể hoàn toàn làm được nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bước 3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các bài toán. Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phương pháp cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một số đặc điểm của bài toán để khai thác theo hướng thuận lợi nhất. Dưới đây là một số nguyên tắc căn bản để lập hệ trục tọa độ: Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm một quan hệ vuông góc ở mặt   đáy điều náy có nghĩa là xác định hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với nhau. Nơi giao nhau và vuông góc đó chính là gốc tọa độ cần chọn và đồng thời hai trục kia chính là trục hoành và trục tung. Từ gốc (đã xác định ở trên) ta dựng trục vuông góc với mặt đáy để hoàn   thành việc thiết lập hệ trục, trục vuông góc với mặt đáy chính là trục cao.   Nhìn vào hình vẽ với tính chất của hình và mối quan hệ giữa các điểm để khai tọa độ các điểm liên can đến yêu cầu bài toán. Để ý rằng với một số điểm không dễ khai tọa độ ta cần chú ý đến các quan hệ cùng hướng, ngược hướng, đồng phẳng, song song, vuông góc, độ dài và sử dụng các công thức định lượng để khai bằng được tọa độ các điểm liên quan tới bài toán. Một số nguyên tắc khai tọa độ cần chú ý:  Nếu điểm A trùng với gốc tọa độ thì A(0; 0; 0). Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 19 -  Nếu điểm B nằm trên trục Ox thì B có tung độ và cao độ bằng 0. uuur Ví dụ: B  Ox , độ dài OB = a và OB cùng hướng với tia Ox  B(a;0;0) . Tượng tự cho các điểm khác nằm trên các trục Oy, Oz.  Nếu hai điểm B, C thỏa mãn BC // Ox thì B và C có cùng hoành độ. Tương tự cho các cặp điểm khác nằm trên các đường thẳng song song với các trục Oy, Oz. uuu r Ví dụ: B(a; 0; 0), D(0; b; 0), BC cùng hướng với tia Oy và uuur DC cùng hướng với tia Ox  C(a; b; 0) .  Nếu điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) thì M có cao độ bằng không. Tương tự cho các điểm nằm trên các mặt phẳng (Oyz), (Ozx).  Nếu điểm N nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục Ox và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ a thì N có hoành độ bằng a. Tương tự cho các điểm khác nằm trên các mặt phẳng vuông góc với các trục Oy, Oz. Trong một bài toán cụ thể, để khai được tọa độ các điểm cần thiết chúng ta cần áp dụng linh hoạt và sáng tạo một số nguyên tắc trên, và đôi khi chúng ta cần sử dụng thêm một số các tính chất về tọa độ, véc tơ, các biểu thức định tính, định lượng. Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ - 20 -