Tài liệu điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình elliptic nửa tuyến tính tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Hải Sơn ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHÔNG CÁCH BIỆT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐƯỢC CHO BỞI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH Ngành: TOÁN HỌC Mã số: 9460101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Nguyễn Thị Toàn 2. TS. Bùi Trọng Kiên Phản biện 1: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát Phản biện 2: PGS. TS. Cung Thế Anh Phản biện 3: TS. Nguyễn Huy Chiêu Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi …….. giờ, ngày ….. tháng ….. năm ……… Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam Mð ¦u Lþ thuy¸t i·u khiºn tèi ÷u ( KT×) câ nhi·u ùng döng trong kinh t¸, cì håc v c¡c l¾nh vüc khoa håc kh¡c. Nâ ÷ñc ph¡t triºn m¤nh m³ v câ h» thèng tø nhúng n«m cuèi cõa thªp ni¶n 50, khi hai nguy¶n lþ cì b£n ÷ñc thi¸t lªp: nguy¶n lþ cüc ¤i Pontryagin v nguy¶n lþ quy ho¤ch ëng Bellman. Cho ¸n nay, lþ thuy¸t KT× ¢ ph¡t triºn theo nhi·u h÷îng kh¡c nhau nh÷ KT× khæng trìn, KT× ríi r¤c, KT× ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng (ODEs), KT× ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng (PDEs),... Trong nhúng thªp k¿ g¦n ¥y, r§t nhi·u t¡c gi£ nghi¶n cùu ành t½nh cho b i to¡n KT× ÷ñc cho bði ODEs, PDEs v ¢ ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ quan trång. Mët trong nhúng k¸t qu£ â l vi»c ÷a ra c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n KT×. i·u ki»n tèi ÷u bªc hai cõa b i to¡n KT× ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh elliptic l mët chõ · h§p d¨n èi vîi c¡c nh nghi¶n cùu. Chõ · n y câ gi¡ trà v· c£ lþ thuy¸t v ùng döng. C¡c i·u ki»n c¦n bªc hai khæng nhúng cung c§p c¡c ti¶u chu©n º lo¤i i c¡c iºm døng nh÷ng khæng l iºm cüc trà, m nâ cán gióp chóng ta trong vi»c x¥y düng c¡c i·u ki»n õ cho mët iºm døng l iºm cüc trà cõa b i to¡n. C¡c i·u ki»n õ bªc hai âng vai trá quan trång trong gi£i sè cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n, ph¥n t½ch c¡c thuªt to¡n bªc hai tu¦n tü v nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa KT×. Chóng ta s³ iºm l¤i mët sè k¸t qu£ v· chõ · n y. èi vîi b i to¡n i·u khiºn ph¥n t¡n, tùc l bi¸n i·u khiºn ch¿ t¡c ëng trong mi·n cõa n khæng gian R , E. Casas, T. Bayen v c¡c cëng sü ¢ ÷a ra c¡c i·u ki»n c¦n v õ bªc hai cho b i to¡n vîi r ng buëc thu¦n nh§t i·u khiºn, tùc l a(x) u(x) b(x) h.k. x 2 ; (1) vîi u l bi¸n i·u khiºn v c¡c r ng buëc thu¦n nh§t tr¤ng th¡i. °c bi»t, E. Casas ¢ thi¸t lªp i·u ki»n õ bªc hai cho b i to¡n i·u khiºn Dirichlet v b i to¡n i·u khiºn Neumann vîi r ng buëc (1) khi h m möc ti¶u khæng chùa bi¸n i·u khiºn u. Hìn núa, C. Meyer v F. Troltzsch ¢ ¤t ÷ñc c¡c i·u ki»n õ bªc hai cho b i to¡n Robin vîi r ng buëc hén hñp ð d¤ng tuy¸n t½nh a(x) y(x)+u(x) b(x) h.k. x 2 vîi y l bi¸n tr¤ng th¡i v húu h¤n c¡c r ng buëc ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc. èi vîi b i to¡n i·u khiºn bi¶n, tùc l bi¸n i·u khiºn u ch¿ t¡c ëng tr¶n bi¶n cõa mi·n , E. Casas, F. Troltzsch v c¡c cëng sü ¢ ÷a ra i·u ki»n c¦n v õ bªc hai vîi r ng buëc thu¦n nh§t i·u khiºn t¤i tøng iºm, tùc l a(x) u(x) b(x) h.k. x 2 : N«m 2006, A. Rosch v F. Troltzsch ¢ ÷a ra i·u ki»n õ bªc hai cho b i to¡n vîi r ng buëc hén hñp tuy¸n t½nh mët ph½a c(x) u(x) + (x)y(x) h.k. x 2 . 1 1 L÷u þ r¬ng trong c¡c k¸t qu£ tr¶n, c¡c h m a; b thuëc khæng gian L . Bði vªy, 1 bi¸n i·u khiºn u công thuëc L . i·u n y d¨n ¸n c¡c nh¥n tû Lagrange ph£i thuëc 1 khæng gian èi ng¨u (L ) . Tuy nhi¶n, chóng ta bi¸t r¬ng vi»c mi¶u t£ khæng gian 1 p èi ng¨u (L ) khæng hiºn nh÷ khæng gian èi ng¨u (L ) , 1 p < 1. G¦n ¥y, B. T. Kien v c¡c cëng sü ¢ thi¸t lªp i·u ki»n c¦n bªc hai cõa b i to¡n i·u khiºn ph¥n t¡n Dirichlet vîi r ng buëc hén hñp i·u khiºn-tr¤ng th¡i ð d¤ng a(x) g(x; y(x)) + u(x) b(x) a.e x 2 ; p a; b 2 L ( ), 1 < p < 1 v c¡c r ng buëc thu¦n nh§t tr¤ng th¡i. i·u n y thóc ©y chóng ta nghi¶n cùu v ph¡t triºn c¡c b i to¡n sau: (OP 1) : Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n bªc hai cõa b i to¡n i·u khiºn bi¶n Robin vîi r ng buëc hén hñp i·u khiºn tr¤ng th¡i ð d¤ng a(x) g(x; y(x)) + u(x) b(x) h.k. x 2 , ð p ¥y a; b 2 L ( ), 1 < p < 1; (OP 2) : ÷a ra c¡c i·u ki»n õ bªc hai cõa b i to¡n KT× vîi r ng buëc hén hñp i·u khiºn-tr¤ng th¡i khi h m möc ti¶u khæng phö thuëc v o bi¸n i·u khiºn. Gi£i c¡c b i to¡n (OP 1) v (OP 2) l möc ti¶u ¦u ti¶n cõa luªn ¡n. Sau khi c¡c i·u ki»n c¦n v õ bªc hai ÷ñc thi¸t lªp, chóng s³ ÷ñc so s¡nh vîi nhau. Theo J. F. Bonnans, n¸u sü kh¡c nhau giúa c¡c i·u ki»n c¦n v i·u ki»n õ bªc hai ch¿ l t½nh ch°t v khæng ch°t cõa c¡c b§t ¯ng thùc th¼ ta nâi r¬ng i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t l ¤t ÷ñc. Vi»c ÷a ra c¡c i·u ki»n tèi ÷u bªc hai m khæng câ kho£ng c¡ch giúa c¡c i·u ki»n c¦n v i·u ki»n õ l mët b i to¡n khâ. N«m 1998, J. F. Bonnans ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u bªc hai khæng c¡ch bi»t cho mët b i to¡n KT× vîi r ng buëc thu¦n nh§t i·u khiºn v h m möc ti¶u l to n ph÷ìng theo c£ bi¸n tr¤ng th¡i y v bi¸n i·u khiºn u. K¸t qu£ n y ÷ñc ÷a ra düa tr¶n t½nh ch§t a di»n (polyhedric) cõa tªp r ng buëc v lþ thuy¸t v· c¡c d¤ng Legendre. Tuy nhi¶n, b i to¡n sau ch÷a câ líi gi£i: (OP 3) : T¼m c¡c i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t cõa b i to¡n KT× ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh elliptic nûa tuy¸n t½nh vîi r ng buëc hén hñp tøng iºm. Gi£i b i to¡n (OP 3) l möc ti¶u thù hai cõa luªn ¡n. T½nh ên ành nghi»m cõa c¡c b i to¡n KT× công l mët chõ · quan trång trong tèi ÷u v ph÷ìng ph¡p sè. Nghi¶n cùu t½nh ên ành nghi»m l ¡nh gi¡ c¡c t½nh ch§t li¶n töc cõa ¡nh x¤ nghi»m theo tham sè, nh÷ l t½nh nûa li¶n töc d÷îi, nûa li¶n töc tr¶n, li¶n töc Holder, li¶n töc Lipschitz... Theo h÷îng n y, chóng ta x²t b i to¡n sau: P(; ) (2) 8 F (y; u; ) ! inf; < 2 (y; u) : 2 ( ); ð â y 2 Y; u 2 U l¦n l÷ñt l c¡c bi¸n tr¤ng th¡i v i·u khiºn; 2 ; 2 l c¡c tham sè, F : Y U ! R l h m möc ti¶u tr¶n khæng gian Banach Y U v ( ) l tªp r ng buëc (tªp ch§p nhªn ÷ñc) cõa b i to¡n. Chóng ta bi¸t r¬ng n¸u h m möc ti¶u F ( ; ; ) l lçi m¤nh, v tªp r ng buëc ( ) l lçi, th¼ ¡nh x¤ nghi»m cõa b i to¡n (2) l ìn trà. Hìn núa, A. Dontchev ¢ ch¿ ra r¬ng d÷îi mët sè i·u ki»n, th¼ ¡nh x¤ nghi»m l li¶n töc Lipschitz theo tham sè. B¬ng vi»c sû döng k¾ thuªt cõa ành lþ h m ©n, K. Malanowski ¢ chùng minh r¬ng ¡nh x¤ nghi»m cõa b i to¡n (2) công l mët h m li¶n töc Lipschitz theo tham sè n¸u c¡c i·u ki»n tèi ÷u bªc hai y¸u v c¡c r ng buëc chu©n t-c ÷ñc thäa m¢n t¤i iºm tham chi¸u. Khi c¡c i·u ki»n tr¶n khæng ÷ñc thäa m¢n, ¡nh x¤ nghi»m nâi chung khæng ìn trà. Trong tr÷íng hñp n y, chóng ta ph£i sû döng c¡c cæng cö cõa gi£i t½ch a trà v gi£i t½ch bi¸n ph¥n º gi£i b i to¡n. N«m 2012, B. T. Kien v c¡c cëng sü ¢ ¤t ÷ñc t½nh nûa li¶n töc d÷îi cõa ¡nh x¤ nghi»m cho b i to¡n KT× chùa tham sè trong tr÷íng hñp h m möc ti¶u l lçi theo c£ hai bi¸n v tªp r ng buëc l lçi. G¦n ¥y, t½nh nûa li¶n töc tr¶n cõa ¡nh x¤ nghi»m ¢ ÷ñc ÷a ra bði B. T. Kien v V. H. Nhu cho c¡c b i to¡n, m ð â h m möc ti¶u câ thº khæng lçi theo c£ hai bi¸n v tªp r ng buëc khæng lçi. Chó þ r¬ng c¡c t¡c gi£ mîi ch¿ x²t c¡c b i to¡n ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng v ph÷ìng tr¼nh elliptic nûa tuy¸n t½nh vîi i·u khiºn ph¥n t¡n. Tø â, chóng ta nhªn th§y c¦n nghi¶n cùu b i to¡n sau: (OP 4) : Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n õ cho ¡nh x¤ nghi»m cõa b i to¡n i·u khiºn bi¶n chùa tham sè l nûa li¶n töc tr¶n v li¶n töc. ÷a ra líi gi£i cho b i to¡n (OP 4) l möc ti¶u thù ba cõa luªn ¡n. Tâm l¤i, möc ti¶u cõa luªn ¡n l nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t v t½nh ên ành nghi»m cõa b i to¡n KT× ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh elliptic nûa tuy¸n t½nh vîi r ng buëc hén hñp t¤i tøng iºm. Cö thº, nëi dung ch½nh cõa luªn ¡n tªp trung v o: (i) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n bªc hai cho b i to¡n i·u khiºn bi¶n vîi bi¸n i·u khiºn p thuëc L ( ), 1 p < 1; (ii) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n õ bªc hai cõa b i to¡n i·u khiºn ph¥n t¡n v b i to¡n i·u khiºn bi¶n khi h m möc ti¶u câ d¤ng to n ph÷ìng theo bi¸n i·u khiºn, v ch¿ ra i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t l ¤t ÷ñc trong tr÷íng hñp n y; (iii) ÷a ra c¡c i·u ki»n õ bªc hai cho b i to¡n i·u khiºn ph¥n t¡n v b i to¡n i·u khiºn bi¶n khi h m möc ti¶u ëc lªp vîi bi¸n i·u khiºn u, v ch¿ ra r¬ng i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t l ch÷a ¤t ÷ñc trong tr÷íng hñp n y; 3 (iv) ÷a ra c¡c i·u ki»n õ cho mët b i to¡n i·u khiºn bi¶n chùa tham sè sao cho ¡nh x¤ nghi»m l nûa li¶n töc tr¶n v li¶n töc theo tham sè. Ngo i líi nâi ¦u v danh möc c¡c t i li»u tham kh£o, luªn ¡n gçm bèn ch÷ìng: Ch÷ìng 0 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n v k¸t qu£ v· gi£i t½ch bi¸n ph¥n, khæng gian Sobolev v ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng; Ch÷ìng 1 tr¼nh b y k¸t qu£ v· c¡c i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t cõa b i to¡n i·u khiºn ph¥n t¡n; Ch÷ìng 2 tr¼nh b y k¸t qu£ v· c¡c i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t cõa b i to¡n i·u khiºn bi¶n. C¡c k¸t qu£ trong Ch÷ìng 1 v Ch÷ìng 2 l c¥u tr£ líi cho c¡c b i to¡n (OP 1); (OP 2) v (OP 3); Ch÷ìng 3 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· t½nh nûa li¶n töc tr¶n v t½nh li¶n töc cõa ¡nh x¤ nghi»m cho b i to¡n i·u khiºn bi¶n chùa tham sè. ¥y l líi gi£i cho b i to¡n (OP 4). C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn ¡n l nëi dung cõa ba b i b¡o ÷ñc cæng bè trong c¡c t¤p ch½ SIAM Journal on Optimization, Set-Valued and Variational Analysis v Optimization. C¡c k¸t qu£ â ÷ñc tr¼nh b y t¤i: Hëi nghà To¡n ùng döng v Tin håc, t¤i Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H Nëi, 112016. Hëi nghà Tèi ÷u v T½nh to¡n khoa håc l¦n thù XV, Ba V¼, 04-2017. Hëi nghà T½nh to¡n Hi»u n«ng cao l¦n thù 7, t¤i Vi»n Nghi¶n cùu cao c§p v· To¡n (VIASM), 03-2018. ¤i hëi To¡n håc to n quèc, Nha Trang, 08-2018. X¶-mi-na "Tèi ÷u v i·u khiºn" t¤i Vi»n To¡n håc, Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cæng ngh» Vi»t Nam. 4 Ch÷ìng 1 i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t cõa b i to¡n i·u khiºn ph¥n t¡n Cho l mët mi·n bà ch°n trong RN vîi N 2 v bi¶n thuëc lîp C2. Chóng ta p mët h m x²t b i to¡n i·u khiºn ph¥n t¡n: T¼m mët h m i·u khiºn u 2 L ( ) v 2;p 1;p tr¤ng th¡i y 2 W ( ) \ W0 ( ) l m cüc tiºu hâa h m möc ti¶u (1.1) Z F (y; u) = L(x; y(x); u(x))dx; (DP ) sao cho y + h(x; y) = u trong ; y = 0 tr¶n ; (1.2) a(x) g(x; y(x)) + u(x) b(x) h:k: x 2 ; (1.3) ð ¥y L : R R ! R v g : R ! R l c¡c h m Carath²odory; h : R ! R l mët h m li¶n töc 2 thuëc lîp C èi vîi bi¸n thù hai sao cho h(x; 0) = 0 v hy(x; y) 0 h.k. x 2 v måi y 2 R; p N a; b 2 L ( ) v 6= 0 l mët h¬ng sè. Chóng ta gi£ sû r¬ng p > 2 . 1.1 1.1.1 i·u ki»n c¦n bªc hai B i to¡n tèi ÷u Cho U l khæng gian Banach v E l khæng gian Banach kh£ ly vîi c¡c khæng gian èi ng¨u U v E t÷ìng ùng. Chóng ta x²t b i to¡n sau (P ) min f(u) sao cho G(u) 2 K; u2U ð â, K l mët tªp lçi, âng, kh¡c réng trong E; G : U ! E v f : U ! R l c¡c h m kh£ vi 1 Frech²t bªc hai tr¶n U. K½ hi»u ad := G (K) l tªp r ng buëc cõa b i to¡n (P ). ành ngh¾a 1.1.1. Mët h m u 2 ad ÷ñc gåi l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (P ) n¸u tçn t¤i " > 0 sao cho f(u) f(u) 8u 2 BU (u; ) \ ad: Vîi iºm u 2 ad cho tr÷îc, ta nâi b i to¡n ( P ) thäa m¢n i·u ki»n Robinson t¤i u n¸u tçn t¤i > 0 sao cho (1.4) BE(0; ) rG(u)(BU ) (K G(u)) \ BE : 5 Trong tr÷íng hñp n y, ta nâi r¬ng u l iºm ch½nh quy. X²t h m Lagrange cõa b i to¡n (P ): L(u; e ) = f(u) + he ; G(u)i vîi e 2 E : K½ hi»u (u) l tªp gçm c¡c nh¥n tû e 2 E thäa m¢n ruL(u; e ) = rf(u) + rG(u) e = 0; e 2 N(K; G(u)): Tªp (u) l mët tªp lçi, kh¡c réng v compact y¸u* trong E . º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n bªc hai, chóng ta c¦n nân tîi h¤n t¤i u: [ C(u) := fd 2 Uj hrf(u); di 0; rG(u)d 2 T (K; G(u))g: Tªp K ÷ñc gåi l a di»n t¤i z 2 K n¸u vîi b§t k¼ v 2 N(K; z), ta câ [ ? T (K; z) \ (v ) = cl[cone(K ? z) \ (v ) ]; ? ð â (v ) = fv 2 E j hv ; vi = 0g: Hìn núa, b i to¡n (P ) ÷ñc nâi l thäa m¢n i·u ki»n a di»n mð rëng m¤nh (strongly extended polyhedricity) t¤i u 2 ad n¸u tªp C0(u) l trò mªt trong C(u), ð â C0(u) := fd 2 C(u) j rG(u)d 2 cone(K G(u))g: 1 Bê · 1.1.3. Gi£ sû r¬ng u l iºm ch½nh quy, m t¤i â i·u ki»n polyhedricity mð rëng m¤nh ÷ñc thäa m¢n. N¸u u l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n ( P ), th¼ vîi méi d 2 C(u), tçn t¤i mët nh¥n tû e 2 (u) sao cho 2 2 2 r uuL(u; e )(d; d) = r f(u)(d; d) + he ; r G(u)(d; d)i 1.1.2 i·u ki»n c¦n bªc hai cho b i to¡n 0: i·u khiºn tèi ÷u C°p (y; u) thäa m¢n c¡c r ng buëc (1.2) (1.3), ÷ñc gåi l ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n (DP ). Vîi mët c°p (y; u) cho tr÷îc, c¡c k½ hi»u g[x]; h[x]; L[x]; Ly[x]; L[ ]; ..., l¦n l÷ñt thay th¸ cho g(x; y(x); u(x)); h(x; y(x)); L(x; y(x); u(x)), Ly(x; y(x); u(x)); L( ; y( ); u( )),... Definition 1.1.4. Mët c°p ch§p nhªn ÷ñc ( y; u) ÷ñc gåi l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa (DP ) n¸u tçn t¤i > 0 sao cho vîi måi c°p ch§p nhªn ÷ñc ( y; u) thäa m ¢n ky ykW 2;p( ) + ku ukLp( ) , ta câ F (y; u) 1 F (y; u): J. F. Bonnans and A. Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York. 6 Chóng ta ÷a ra mët sè gi£ thi¸t sau cho b i to¡n (DP ). 2 èi vîi (y; u), (A1:1) L :R R ! R l mët h m Carath²odory thuëc lîp C 1 1 L(x; 0; 0) 2 L ( ) v vîi méi M > 0, tçn t¤i sè d÷ìng kLM v h m rM 2 L ( ) sao cho p 1 jLy(x; y; u)j + jLu(x; y; u)j kLM jyj + juj + rM (x); j y 1 1 L (x; y ; u ) y 2 2 j L (x; y ; u ) j j y2 kLM ( y1 j + u1 ju1 u2j j=0;p 1 j>0 Lyu(x; y1; u1) Lyu(x; y2; u2) k ( Lyy(x; y1; u1) Lyy(x; y2; u2) y1 LM vîi " = 0 n¸u 1 < p 2 v " = 1 n¸u p > 2 v kLM ( j 8 Luu(x; y; u2) =0 j < j=0;j

2 j måi y; ui; yi 2 R thäa m¢n jyj; jyij M, i = 1; 2: li¶n töc v thuëc lîp C2 èi vîi bi¸n thù hai v thäa m¢n c¡c t½nh p vîi måi M > 0, tçn t¤i h¬ng sè Cg;M > 0 sao cho gy(x; y1) gy(x; y2) + gyy(x; y1) g yy(x; y2) Cg;M y2 y1 C ; j gy(x; y) + gyy(x; y) g;M y ;j y1 ;j y2 v ch§t: g( ; 0) 2 L ( ) v j vîi h.k. x M. 2 (A1:3) 6= 0 v j jj j hy[x] + gy[x] 0 h.k. x 2 : p Vîi méi u 2 L ( ), ph÷ìng tr¼nh (1.2) câ nghi»m duy nh§t yu 2 W v tçn t¤i h¬ng sè C > 0 sao cho 2;p ( )\W0 1;p kyukW 2;p( ) CkukLp( ): •nh x¤ H : W 2;p ( ) \ W0 1;p p ( ) H(y; u) = Khi p L ( )!L ( ) ÷ñc x¡c ành bði y + h( ; y) u: â, H thuëc lîp C2 quanh (y; u) v c¡c ¤o h m cõa nâ t¤i (y; u) 2 rH(y; u) = ( + hy[ ]; I); r H(y; u) = h 7 0 yy 0 [] 0 ! : ÷ñc cho bði () V¼ p > N= n¶n y p ( ) ( 2 1 ). Bði vªy, hy[ ] 2 L ( ). Do â, vîi méi u 2 L ( ), yu2C = ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m duy nh§t z 2 W 2;p z + hy( ; y)z = u trong ; i·u n y d¨n tîi to¡n tû A := ryH(y; u) = ( ) \ W0 1;p ( ): z = 0 tr¶n : + hy( ; y) l mët song ¡nh. Bði ành lþ h m ©n, tçn t¤i l¥n cªn Y0 cõa y, l¥n cªn U0 cõa u v ¡nh x¤ : U0 ! Y0 sao cho H( 2 (u); u) = 0 vîi måi u 2 U0. Hìn núa, thuëc lîp C v ¤o h m cõa nâ ÷ñc cho bði cæng thùc sau. Bê · 1.1.9. Gi£ sû : U0 ! Y0 l ¡nh x¤ i·u khiºn-tr¤ng th¡i, x¡c ành bði 2 p 0 (u) = yu. Khi â, thuëc lîp C v vîi méi u 2 U0; v 2 L ( ), zu;v := (u)v l nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh hâa 8zu;v + hy( ; yu)zu;v = v trong ; (1.11) 0 sao cho f(u) p ÷ñc gåi l nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa (1.13) f(u) 8u 2 BU (u; ) \ p: H m Lagrange cõa b i to¡n (1.13) (1.14) l Z Z p L(u; e ) = f(u)+he ; G(u)i = L(x; (u); u)dx+ e (g( ; (u))+ u)dx; e 2 L 0( ); 8 ð ¥y p0 l sè li¶n hñp cõa p. Vîi u 2 p cho tr÷îc, nân tîi h¤n cõa b i to¡n (1.13) (1.14) ÷ñc x¡c ành bði C 8d 2 Lp( ) j Z (Ly[x]zu;d + Lu[x]d)dx 0; r G(u)d(x) 8 0 h.k. x 2 a p(u) = < < : 0 h.k. x 2 : b ð â a := fx 2 j G(u)(x) = a(x)g; b := fx 2 j G(u)(x) = b(x)g: ành lþ 1.1.15. Gi£ sû c¡c gi£ th¸t (A1:1) (A1:3) ÷ñc thäa m¢n v u l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b0 i to¡n (1.13) (1.14). Khi â, tçn t¤i duy nh§t e 2 Lp0( ) 0 1;p 2 W 2;p v óng: ( ) \ W0 ( ) sao cho c¡c kh¯ng ành sau l (i) Ph÷ìng tr¼nh li¶n hñp: 8+ hy[ ] = Ly[ ] + e gy[ ] trong ; (1.17) <= 0 tr¶n ; : (ii) i·u ki»n døng theo u: u; e ) = + L u[ ] + e = 0; e 2 NK; G u ( ruL( i·u ki»n bªc hai khæng ¥m: (iii) 2 ruu L(u; e )(v; v) = Z 2 Lyy[x]zu;v ( )); 2 + 2Lyu[x]zu;vv + Luu[x]v + e gyy[x]zu;v hyy[x]zu;v 2 (1.18) 2 dx 0 8v 2 Cp(u): V½ dö 1.1.16. V½ dö n y minh håa cho vi»c sû döng i·u ki»n c¦n º t¼m iºm døng. Trong v½ dö n y, iºm (0; 0) thäa m¢n i·u ki»n c¦n bªc nh§t nh÷ng khæng thäa m¢n i·u ki»n c¦n bªc hai. Bði vªy, (0; 0) khæng l nghi»m cõa b i to¡n. 1.2 i·u ki»n õ bªc hai º câ ÷ñc i·u ki»n õ bªc hai cho b i to¡n KT× elliptic, chóng ta th÷íng sû döng hai chu©n kh¡c nhau. Trong möc n y, thay cho vi»c sû döng ph÷ìng ph¡p hai chu©n, chóng ta khai th¡c c§u tróc cõa h m möc ti¶u º ÷a ra mët nân tîi h¤n chung cõa b i to¡n trong tr÷íng hñp p = 2, N 2 f2; 3g v h m möc tiu câ d¤ng 2 L(x; y; u) = '(x; y) + (x)u + (x)u ; 1 ð â': R ! R l mët h m cho tr÷îc v ; 2 L ( ). Trong ph¦n ti¸p theo, chóng ta c¦n c¡c gi£ thi¸t sau: 9 (1.23) 9; = ; 0 2 (A1:1) H m ' : R ! R l mët h m Carath²odory thuëc lîp C èi vîi bi¸n 1 thù hai, '(x; 0) 2 L ( ) v vîi méi M > 0, tçn t¤i h¬ng sè K ';M > 0 v mët h m 'M 2 L2( ) sao cho @' @y vîi h.k. x @ ' K (x; y) ';M ; @y 2 2 @' @' @y 2 'M (x); (x; y) +@ (x; y 1) ( @y (x; y 2) @y2 x; y 1 ) m¢n thäa v måi y1; y2; y 2 2 ' 2 R ' @ @y K';M jy1 y2j 2 y; 1 j jj 0 y (x; y2) y M: 2 ; j j j h.k. x 2 . (A1:2) Tçn t¤i mët sè > 0 sao cho (x) ành ngh¾a 1.2.1. Chóng ta nâi r¬ng f thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai 2 L y¸u t¤i u 2 2 n¸u tçn t¤i > 0; > 0 sao cho f(u) vîi måi u 2 2 thäa f(u) + ku m¢n ku uk2 uk 2 2 : 0 0 ành lþ 1.2.2. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (A1:2), (A1:1) v (A1:2) ÷ñc thäa m¢n. Cho 2 v 2 c¡c nh¥n tû 2 ( ), 2 2;2 ( ) \ 1;2 ( ) thäa m¢n c¡c i·u ki»n u 2 e L W W0 (1.17) v (1.18). Hìn núa, gi£ sû r¬ng 2 u; e )(u; u ) > 0 8u u : ruuL( 2 C2( ) n f0g 2 Khi â, f thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai L y¸u t¤i u 2 2. °c bi»t, u l mët 2 nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (1.13) (1.14) trong L ( ). Tø ành lþ 1.1.14 v ành lþ 1.2.2, chóng ta ¤t ÷ñc i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t trong tr÷íng hñp n y. Ti¸p theo, chóng ta s³ ÷a ra c¡c i·u ki»n õ bªc hai cho b i to¡n ( DP ) trong tr÷íng hñp L ÷ñc cho bði (1.23) vîi ( x) v (x) câ thº b¬ng khæng. èi vîi tr÷íng hñp n y, chóng ta c¦n c¡c gi£ thi¸t sau: 2 (B1:1) H m h : R ! R thuëc lîp C thäa m¢n h(x; 0) = 0; hy(x; y) 0 h.k. x 2 ; 8y 2 R v vîi måi M > 0, tçn t¤i mët h¬ng sè Ch;M > 0 sao cho @h 2 (x; y) + @h h.k. x 2 ; 8y 2 R; jyj 2 (x; y) Ch;M @y M: @y Hìn núa, vîi måi M > 0 v > 0; tçn t¤i mët sè > 0 sao cho 2 2 (x; y2) < h.k. x 2 ; 8y1; y2 2 R; jy1j; jy2j M; jy1 y2j < : @ h @y 2(x; y1) @ h @y 2 10 (B1:2) H m ' : R ! R l mët h m Carath²odory thuëc lîp C 2 èi vîi bi¸n thù hai, '(x; 0) 2 L1( ) v vîi méi M > 0, tçn t¤i h¬ng sè C';M > 0 v h m 'M 2 L2( ) sao cho 2 @' (x; y) 'M (x); h.k. x 2 ; 8y 2 R; jyj M: @ ' (x; y) C';M @y 2 @y Hìn núa, vîi méi > 0, tçn t¤i h¬ng sè 2 2 @ 2 '2 (x; y1 ) @y @y 1:3) H m g : @ ' (x; y2) < R Rl (B @y @g ( 2 2 @y @g ( ) 2 x; y 2 2 èi vîi bi¸n thù hai, h m gM 2 L ( ) sao h.k. x 2 ; 8y 2 R jyj M: C g;M (x; y2) < @g ) @y 2 x; y 1 thuëc lîp C vîi méi M > 0, tçn t¤i h¬ng sè Cg;M > 0 v (x; y) gM (x); 2 @g h m li¶n töc v 2 Hìn núa, vîi måi M > 0 v > @y h.k. x 2 ; 8y1; y2 2 R; jy1j; jy2j M; jy1 y2j < : ! 2 g( ; 0) 2 L ( ) v cho > 0 sao cho 0; tçn t¤i > 0 sao cho h.k. x 2 ; 8y1; y2 2 R; jy1j; jy2j M; jy1 y2j < : (B 1:4) ; 2 L1( ) v (x) 0 h.k. x 2 : Hìn núa 1 1 a 2 L ( a); (1.26) b 2 L ( b): Chó þ r¬ng (1.26) x£y ra khi mët trong c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: 1 1 (iii) = 0: (i) a; b 2 L ( ); (ii) u 2 L ( ); Düa theo Casas, chóng ta mð rëng C2(u) th nh nân tîi h¤n sau. v 2 L2( ) j hruf(u); v i kz k 80 if x 2 a; 2 (u) = u;v 2; gy[x]zu;v(x)+ v(x) C Rã r ng n C 2(u) ành lþ 1.2.4. = 0 (u) v 2(u) (u) vîi måi > 0: C C2 C2 Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (A1:3) v 2 < : 2;2 0 if x 1;2 k f(u) f(u) + rkzu;u uk 2 2 b: 2 (B1:1) (B1:4) ÷ñc thäa m¢n v tçn t¤i c¡c nh¥n tû e 2 L ( ), 2 W ( ) \ W0 ( ) º c¡c i·u ki»n (1.17) v (1.18) l óng. Khi â, n¸u tçn t¤i c¡c h¬ng sè ; > 0 º 2 u; e )(v; v ) z u;v 2 8v u ; ruuL( th¼ tçn t¤i ; r > 0 sao cho : k2 2 C2 ( ) 8u 2 BL2( )(u; ) \ 2: o 11 Ch÷ìng 2 i·u ki»n tèi ÷u khæng c¡ch bi»t cõa b i to¡n i·u khiºn bi¶n Cho l mët mi·n bà ch°n trong x²t RN vîi bi¶n thuëc lîp C1;1 v N 2. Chóng ta u 2 b i to¡n i·u khiºn bi¶n: T¼m q 1;r L ( ) v y 2 W ( ) l m cüc tiºu hâa h m (2.1) Z Z F (y; u) = L(x; y(x))dx + `(x; y(x); u(x))d ; (BP ) sao cho 8 Ay + h(x; y) = 0 trong < @ y + b0 y = u tr¶n ; (2.2) : a (x) g(x; y(x)) + u(x) b(x) h:k: x 2 ; `: ð â L; h :R ! R v R R!Rl c¡c h m Carath²odory; g : q 1 l li¶n töc; a; b 2 L ( ), a(x) < b(x) h.k. x 2 , b0 2 L ( ), b0 elliptic bªc hai m¤nh ð d¤ng 0; A l (2.3) R!R to¡n tû N X Ay(x) =Dj(aij(x)Diy(x)) + a0(x)y(x); i;j=1 2 0;1 2 1 2 c¡c h» sè aij C ( ) thäa m¢n aij(x) = aji(x), a0 L ( ); a0(x) 0 h.k. x , a0 6 0 v tçn t¤i m > 0 sao cho: mk k 2 @ l ¤o h m èi ph¡p tuy¸n li¶n k¸t vîi N 1 2.1 B i to¡n N i;j =1 P x2 v . Hìn núa, gi£ sû r¬ng A >r >q 1 N aij i j 8 2 R vîi h.k. 1 1 N : 1 (2.4) i·u khiºn tèi ÷u Cho Y; U; V v E l c¡c khæng gian Banach kh£ ly ho°c ph£n x¤ vîi c¡c khæng E . X²t b i to¡n sau: gian èi ng¨u l¦n l÷ñt l Y ; U ; V v Min F (y; u); (2.5) sao cho H(y; u) = 0; (2.6) G(y; u) 2 K; (2.7) ð â F : Y U ! R; H : Y U ! V , G : Y U ! E l l mët tªp lçi, âng, kh¡c réng trong E. 12 c¡c ¡nh x¤ cho tr÷îc v K °t Z := Y U, Q := fz = (y; u) 2 Z j H(y; u) = 0g v ad 1 := Q \ G (K): Mët c°p (y; u) 2 ad ÷ñc gåi l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa (2.5) (2.7) n¸u tçn t¤i > 0 sao cho vîi måi (y; u) 2 ad, ky ykY + ku ukU , ta câ F (y; u) F (y; u): Vîi z = (y; u) 2 ad cho tr÷îc, chóng ta ÷a ra c¡c gi£ thi¸t sau: 2 (H2:1) C¡c ¡nh x¤ F; H; G thuëc lîp C quanh z. song ¡nh. (H2:2) ryH(z) : Y ! V l (H2:3) i·u ki»n ch½nh quy ¤t ÷ñc t¤i z, tùc l tçn t¤i > 0 thäa m¢n \ z2BZ ( \ 0 2 int z; ) Q rG(z)(T (Q; z) \ BZ ) (K G(z)) \ BE : (2.8) [ (H2:4) rG(z)(T (Q; z)) = E: ành ngh¾a 2.1.3. Mët c°p z = (y; u) ÷ñc gåi l mët h÷îng tîi h¤n cõa b i to¡n (2.5) (2.7) t¤i z = (y; u) n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: (i) Fy(z)y + Fu(z)u 0; (ii) Hy(z)y + Hu(z)u = 0; [ (iii) rG(z)z 2 T (K; G(z)). Tªp c¡c h÷îng tîi h¤n ÷ñc k½ hi»u l C(z). H m Lagrange cõa b i to¡n (2.5) (2.7) l L(z; e ; v ) := F (z) + hv ; H(z)i + he ; G(z)i ; (2.9) ð â z = (y; u) 2 Z; e 2 E ; v 2 V . Cho z l mët iºm ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n (2.5) (2.7) v k½ hi»u (z) l tªp c¡c nh¥n tû Lagrange (e ; v ) 2 E V thäa m¢n z; e ; v ; e 2 NK; G z : )=0 ( ( )) rzL( Bê · 2.1.4. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (H2:1) (H2:3) ÷ñc thäa m¢n v z l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (2.5) (2.7). Khi â, (z) l tªp kh¡c réng v bà ch°n. Hìn núa, n¸u (H2:4) ÷ñc thäa m¢n th¼ (z) câ óng mët ph¦n tû. Khi K l polyhedric t¤i G(z), chóng ta câ k¸t qu£ sau. Bê · 2.1.5. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (H2:1) (H2:4) ÷ñc thäa m¢n v z l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (2.5) (2.7). Khi â, tªp c¡c h÷îng tîi h¤n C(z) thäa m¢n [ C(z) = fd 2 Z j rF (z)d = 0; rH(z)d = 0; rG(z)d 2 T (K; G(z))g: Hìn núa, n¸u K l polyhedric t¤i G(z) th¼ C(z) = C0(z), ð â ? 1 C0(z) := (rF (z)) \ KerrH(z) \ rG(z) (cone(K 13 G(z))): ành lþ 2.1.7. Cho z l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (2.5)-(2.7). Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (H2:1) (H2:4) ÷ñc thäa m¢n v K l polyhedric t¤i G(z). Khi â, tçn t¤i (e ; v ) 2 (z) sao cho 2 2 2 2 2 2 2 r zzL(z; e ; v )(d; d) = r F (z)d + he ; r G(z)d i + hv ; r H(z)d i 0 vîi måi d 2 C(z). 2.2 i·u ki»n c¦n bªc hai ành ngh¾a 2.2.1. C°p ch§p nhªn ÷ñc (y; u) ÷ñc gåi l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa (BP ) n¸u tçn t¤i > 0 sao cho vîi måi c°p ch§p nhªn ÷ñc ( y; u) thäa m ¢n ky ykW 1;r( ) + ku ukLq( ) , ta câ F (y; u) F (y; u). Chóng ta ÷a ra mët sè gi£ thi¸t cho b i to¡n (BP ): (A2:1) L : R ! R l mët h m Carath²odory, thuëc lîp C 2 èi vîi bi¸n thù hai, L(x; 0) 2 L1( ) v vîi méi M > 0, tçn t¤i mët sè d÷ìng kLM sao cho jLy(x; y)j + jLyy(x; y)j kLM ; jLy(x; y1) Ly(x; y2)j + Lyy(x; y1) Lyy(x; y2) kLM jy1 y2j M, i = 1; 2: vîi h.k. x 2 v måi y; yi 2R thäa m¢n y ; yi j j jj 2 (A2:2) ` : R R ! R l mët h m Carath²odory, thuëc lîp C èi vîi bi¸n (y; u), 1 1 vîi méi M > 0, tçn t¤i sè d÷ìng k`M v `(x; 0; 0) 2 L ( ) v h m rM 2 L ( ) sao cho q 1 j`y(x; y; u)j + j`u(x; y; u)j k`M j y 1 1 ` (x; y ; u ) y2 2 ` (x; y ; u ) + rM (x); jyj + juj j k `M (y j y2 1 j j + `yy(x; y1; u1) j X u2 ); q 1 j j 0; q 1 j>0 j`u(x; y1; u1) `u(x; y2; u2)j k`M jy1 y2j + `yu(x; y1; u1) j u1 ju1 u2j j `yu(x; y2; u2) k`M ( y1 y2 `yy(x; y2; u2) k`M ( y1 j + j y2 j + u1 " q u1 j ; q 1); u2 u2j); j P v j ju2j q 2 j j j`uu(x; y1; u1) `uu(x; y2; u2)j k`M jy1 y2j + "q j 0; q 2 j>0 ju1 u2j ju2j vîi h.k. x 2 v måi y; ui; yi 2 R thäa m¢n jyj; jyij M, i = 1; 2, v "q = 0 n¸u 1 < q 2, "q = 1 n¸u q > 2. 2 (A2:3) h : R ! R l mët h m Carath²odory, thuëc lîp C èi vîi bi¸n thù hai, v thäa m ¢n c¡c t½nh ch§t sau h( ; 0) 2 L N r=(N+r) ( ); hy(x; y) 0 14 h:k: x 2 v vîi méi M > 0, tçn t¤i h¬ng sè Ch;M > 0 sao cho hy(x; y) + hyy(x; y) Ch;M ; hyy(x; y1) hyy(x; y2) Ch;M jy2 y1j y vîi h.k. x 2 v jy ; 1 ; y2 j M. jj jj 2 (A2:4) g :R ! R l mët h m Carath²odory, thuëc lîp C èi vîi bi¸n thù hai, q vîi méi M > 0, tçn t¤i h¬ng sè Cg;M > 0 sao cho g( ; 0) 2 L ( ) h:k: x 2 v C ; gy(x; y) + gyy(x; y) gyy(x; y1) gyy(x; y2) Cg;M jy2 y1j g;M y ;y1 ;j y2 vîi h.k. x 2 v M. j jj j j (A2.5) b0(x) + gy[x] 0 h:k: x 2 : X²t c¡c ¡nh x¤ H : Z ! V; H(z) = H(y; u) := (Ay + h(x; y); @ y + b0y G : Z ! E; G(z) = G(y; u) := g(:; y) + u; u); q v tªp hñp K := fv 2 L ( ) j a(x) v(x) b(x) h:k: x 2 g. B i to¡n (BP ) ÷ñc ÷a v· b i to¡n sau: sao cho K½ hi»u q Min F (z) H(z) = 0; (2.14) (2.15) G(z) 2 K: (2.16) 1 := Q \ G (K) l tªp r ng buëc cõa b i to¡n (2.14)-(2.16), ð â Q := fz = (y; u) 2 Z j H(z) = 0g: Chóng ta s³ sû döng ành lþ 2.1.6 º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n bªc hai cho b i to¡n (BP ). Chóng ta c¦n ch¿ ra r¬ng vîi ( A2:1) (A2:4) th¼ c¡c gi£ thi¸t ( H2:1)-(H2:4) ·u ÷ñc thäa m¢n. Bê · 2.2.2. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (A2:1) (A2:4) ÷ñc thäa m¢n. Khi â F; H v 2 G thuëc lîp C . Bê · 2.2.3. Vîi gi£ thi¸t (A2:3), ryH(^y; u^) l song ¡nh vîi måi (^y; u^) 2 Z. Bê · 2.2.4. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (A2:3) (A2:5) ÷ñc thäa m¢n. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l óng: (i) ( i·u ki»n ch½nh quy) Vîi mët h¬ng sè > 0 n o â, ta câ \ 0 2 z2BZ ( \ (2.18) [rG(z)(T (Q; z) \ BZ ) (K G(z)) \ BE] ; z; ) Q [ q (ii) rG(z)(T (Q; z)) = L ( ): 15 Tø c¡c Bê · 2.2.2 2.2.4, c¡c gi£ thi¸t (H2:1)-(H2:4) ÷ñc thäa m¢n. H m Lagrange cõa b i to¡n (BP ) l L(z; ; v ) = F (z) + v H(z) + G(z) = Z L( ; y)dx + Z `( ; y; u)d + Z N i ;j =1 ij ij1 0 1 a ()D yD v + a ()yv dx X + v Z h( ; y)v1dx Z @ yv1d + = (v1; v2) 2 V = W 1;r Z (@ y + b0y u)v2d + 0 1 0 ;r ð â ( ) W r ( ), hñp v1 = ; v2 = T , chóng ta k½ hi»u L(z; ; ) := L(z; ; v ) = + Z Z L(x; y)dx + Z 2L q( Z (g( ; y) + u) d ; ) = `( ; y; u)d + Z Z N i j L ( ). Trong tr÷íng h( ; y) dx a ( )D yD + a ( )y dx + Z (b y u ) d + i;j=1 ij 0 q 0 0 T (g( ; y) + u) d : X X²t ¡nh x¤ a trà K : R, x¡c ành bði K(x) = [a(x); b(x)] h.k. x 2 . Khi â, q K = fv 2 L ( ) j v(x) 2 K(x) h.k. x 2 g. °t a = fx 2 j G(z)(x) = g(x; y(x)) + u(x) = a(x)g; b = fx 2 j G(z)(x) = g(x; y(x)) + u(x) = b(x)g: 1;r q ành ng¾a 2.2.6. C°p z = (y; u) 2 W ( ) L ( ) ÷ñc gåi l mët h÷îng tîi h¤n cõa b i to¡n (BP ) t¤i z = (y; u) n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: R R (i) rF (z)z = (Ly[x]y(x)dx + (`y[x]y(x) + `u[x]u(x)) d 0; 8 N (ii) i;j =1 Dj(aij( )Diy) + a0( )y + hy[ ]y = 0trong ; u : y by 0 h.k. x 2 a; <@ P+ 0 = tr¶n ; (iii) gy[x]y(x) + u(x) 8 < 0 h.k. x 2 b: K½ hi»u Cq( ) l : z tªp t§t c£ c¡c h÷îng tîi h¤n nh÷ vªy. ành lþ 2.2.7. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t (A2:1)-(A2.5) ÷ñc thäa m¢n v z l mët nghi»m tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n ( BP ). Khi â, tçn t¤i duy nh§t mët c°p ( ; ) 2 1;r0 q 0 N ( ) L 0( ) vîi r 2 (1; N 1) sao cho c¡c kh¯ng ành sau l óng: (i) Ph÷ìng tr¼nh li¶n hñp: 8A + hy[ ] = Ly[ ] trong ; gy [ ] W <@ A + b 0 = tr¶n `y[ ] : 16 ; (2.21) ð â A l to¡n tû li¶n hñp h¼nh thùc cõa A, v X N @A = aij(x)Dj (x) i(x); i;j=1 (ii) i·u ki»n døng theo u: + ruL(z; ; ) = `u[ ] (iii) i·u ki»n bò vîi =0 tr¶n ; (2.22) : 8 > 0 > > (x) < > 0 > >= 0 h:k: x 2 a; h:k: x 2 b; (2.23) n¸u ng÷ñc l¤i; : (iv) i·u ki»n bªc hai khæng ¥m: 2 r zzL(z; ; )(y; u) 2 0 8z = (y; u) 2 Cq(z); ðâ 2 Z 2 2 2 r zzL(z; ; )(y; u) = Lyy[x]y(x) + hyy[x]y(x) dx Z 2 2 + `yy[x]y(x) + 2`yu[x]y(x)u(x) + `uu[x]u(x) + 2.3 i·u ki»n 2 (x)gyy[x]y(x) d : õ bªc hai X²t b i to¡n (BP ) cho tr÷íng hñp p = 2 v h m möc ti¶u câ d¤ng Z Z 2 F (y; u) := L(x; y(x))dx + ['(x; y(x)) + (x)u(x) + (x)u (x)]d ; (2.30) 1 ð â ' : R ! R l mët h m Carath²odory v ; 2 L ( ). Chó þ r¬ng v¼ p > N 1, ta câ N = 2. Ngo i ra, chóng ta c¦n gi£ thi¸t sau. 0 (A2:2) H m ' thäa m¢n gi£ thi¸t (A2:1) vîi ' thay th¸ cho L v Hìn núa, tçn t¤i > 0 sao cho (x) vîi h.k. x 2 . thay th¸ cho . ành ngh¾a 2.3.1. H m F ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng bªc hai t¤i z 2 n¸u tçn t¤i > 0; > 0 sao cho F (z) vîi måi z 2 2 thäa m¢n kz zkZ F (z) + kz : 17 2 zk Z