Tài liệu điều kiện cực trị và ổn định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN TUYÊN ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ TỰ SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN TUYÊN ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ TỰ SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN QUANG HUY HÀ NỘI - 2016 Lời cam đoan Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy. Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Tác giả luận án Nguyễn Văn Tuyên Tóm tắt Luận án trình bày một số kết quả mới về điều kiện cực trị và ổn định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng. Luận án gồm 3 chương. Chương 1 nghiên cứu một số đặc trưng của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng như: mối quan hệ của khái niệm nghiệm này với các khái niệm nghiệm cổ điển, sự tồn tại nghiệm và một số tính chất tôpô của tập nghiệm. Chương 2 nghiên cứu về các điều kiện cực trị cho tối ưu theo thứ tự suy rộng. Chương 3 nghiên cứu tính chất ổn định của tập nghiệm hữu hiệu Pareto tương đối. Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1) Đưa ra các phân tích chi tiết về khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. 2) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng. 3) Thiết lập các điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; các điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng đối với lớp bài toán tối ưu véctơ lồi. 4) Một số tính chất tôpô như tính đóng, tính trù mật của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. 5) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự hội tụ trên và sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Abstract This thesis presents some new results on the optimality conditions and the stability analysis in vector optimization with generalized order. The thesis consists of three chapters. Chapter 1 investigates some characterizations of the optimal solution with generalized order optimality such as: compares this notion with the traditional notions, the existence solution and some topological properties of solution set. Chapter 2 establishes some optimality conditions for vector optimization problems with generalized order. The goal of Chapter 3 is to deal with the stability analysis of a vector optimization problem using the notion of relative Pareto efficiency. The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of the notion of generalized order optimality. 2) Existence theorems in vector optimization with generalized order. 3) Some criteria for the closedness and connectedness of the set of generalized order solutions and some sufficient optimality conditions in convex vector optimization problems. 4) Some topological properties of the relative Pareto efficient set. 5) Some sufficient conditions for the upper convergence and the lower convergence in the sense of Kuratowski-Painlevé of the relative Pareto efficient sets; some criteria for the lower semicontinuity in the sense of Berge of the relative Pareto efficient point multifunction. Mục lục Mở đầu 5 1 Tính chất tôpô của tập nghiệm trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng 13 1.1. Khái niệm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.1. Sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng . . . . . . . . 24 1.2.2. Áp dụng cho bài toán tối ưu véctơ . . . . . . . . 28 1.3. Tính chất tôpô của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.1. Tính đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.2. Tính liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng 40 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2. Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy rộng . . . . . 47 2.3. Các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1. Điều kiện cần cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1 2.3.2. Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm toàn cục . . . . . 58 2.3.3. Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm địa phương . . . 60 3 Tính ổn định nghiệm của bài toán tối ưu véctơ 64 3.1. Khái niệm điểm hữu hiệu Pareto tương đối . . . . . . . . 65 3.2. Sự hội tụ trên của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối . 75 3.3. Sự hội tụ dưới của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối . 84 3.4. Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Kết luận 97 Các công trình liên quan đến luận án 99 Tài liệu tham khảo 99 2 Một số ký hiệu N tập các số tự nhiên R tập các số thực R := R ∪ {±∞} tập các số thực mở rộng Rn không gian Euclide n-chiều Rn+ tập các véctơ không âm của Rn Rn− tập các véctơ không dương của Rn X∗ không gian đối ngẫu tôpô của không gian X hx∗ , xi cặp đối ngẫu giữa X ∗ và X kxk chuẩn của véctơ x 0X véctơ 0 trong không gian X 0 số 0, hoặc véctơ 0 trong không gian cho trước F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền xác định của F gphF đồ thị của F {xn }, (xn ) dãy số thực, hoặc dãy véctơ BX hình cầu đơn vị đóng trong X B hình cầu đơn vị đóng trong không gian định chuẩn cho trước Bρ (x), B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ Bρ (x), B(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ N (x) là tập tất cả các lân cận của điểm x NB (x) là tập tất cả các lân cận cân của điểm x 3 Lim sup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski Lim inf giới hạn dưới theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N (x̄; Ω) b (x̄; Ω) N nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại x̄ ∇f (x) đạo hàm Fréchet của f tại x ∂f (x) dưới vi phân Mordukhovich của f tại x ∂ ∞ f (x) ˆ (x) ∂f dưới vi phân suy biến của f tại x b ∗ F (x̄, ȳ)(·) D đối đạo hàm Fréchet của F tại (x̄, ȳ) ∗ DN F (x̄, ȳ)(·) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x̄, ȳ) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x̄ dưới vi phân Fréchet của f tại x Ω x → x̄ và x ∈ Ω x −→ x̄ f x → x̄ và f (x) → f (x̄) α ↓ ᾱ α → ᾱ và α > ᾱ A⊂B A là tập con của B A∩B giao của hai tập hợp A và B A∪B hợp của hai tập A và B A×B tích Descartes của hai tập A và B A\B hiệu của hai tập A và B A+B tổng véctơ của hai tập A và B int A phần trong của tập hợp A ri A phần trong tương đối của tập hợp A A, cl A bao đóng của tập hợp A bd (A) biên của tập hợp A Ac phần bù của tập hợp A aff (A) bao aphin của tập hợp A conv (A) bao lồi của tập hợp A cone (A) bao nón của tập hợp A 2 kết thúc chứng minh x −→ x̄ 4 Mở đầu Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay còn gọi là Tối ưu đa mục tiêu (Multicriteria optimization) được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của F. Edgeworth (1881) và V. Pareto (1906). Cơ sở toán học của lý thuyết này là những không gian có thứ tự được G. Cantor đưa ra năm 1897, F. Hausdorff năm 1906 và những ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một không gian có thứ tự thỏa mãn những tính chất nào đó. Từ những năm 1950 trở lại đây, sau những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của H. W. Kuhn và A. W. Tucker năm 1951, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto của G. Debreu năm 1954, lý thuyết tối ưu véctơ mới thực sự được công nhận là một ngành toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Lúc đầu người ta mới nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide này sang không gian Euclide khác mà thứ tự trong nó được sinh ra bởi nón orthant dương. Sau đó người ta mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón lồi bất kì. Khái niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian có thứ tự sinh bởi nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựa vào các tính chất tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệu Pareto yếu, hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu thực sự. . . Nhiều nhà toán học có tên tuổi như J. M. Borwein, M. I. Henig, J. Jahn, D. T. Luc. . . đã có những đóng góp quan trọng về sự tồn tại của các điểm hữu hiệu loại này, và điều này dẫn tới việc nghiên cứu các lớp bài toán tối ưu khác nhau. Sau đó lý thuyết này được phát triển cho những bài toán liên quan tới ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được nhiều người đưa ra từ những năm của nửa đầu thế kỷ 20 do nhu cầu phát triển của chính bản thân toán học và nhiều lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất của ánh xạ đơn trị dần dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. C. Berge đã đưa ra các khái niệm khác nhau về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. Tương tự như vậy các khái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên và Lipschitz dưới cũng được đưa ra. Tiếp theo là tính khả dưới vi phân của hàm số, dưới vi phân của hàm lồi, dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương theo nghĩa của F. H. Clarke. . . Từ các khái niệm này người ta tìm được những điều kiện cần và điều kiện đủ cực trị cho các lớp bài toán tối ưu khác nhau. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm là một trong những vấn đề quan trọng nhất khi nghiên cứu các bài toán quy hoạch toán học và các bài toán tối ưu véctơ. Sự tồn nghiệm của bài toán tối ưu véctơ trong các không gian vô hạn chiều đã được nhiều tác giả quan tâm và nghiên cứu (xem [2, 19, 26–28, 37, 41, 42, 61, 64, 71, 73] và các tài liệu trích dẫn được trích dẫn trong đó). Theo hiểu biết của chúng tôi, hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm trong tối ưu véctơ đều được xét trong các không gian véctơ tôpô với thứ tự sinh bởi một nón lồi. Một kết quả cổ điển (xem, P. L. Yu [71]) chỉ ra rằng tập các điểm hữu hiệu Min (A |, C) khác rỗng nếu C là nón lồi đóng và A là tập compact. Tuy nhiên, giả thiết về tính compact là khá chặt khi giải bài toán trong không gian vô hạn chiều. Sau đó, có nhiều kết quả nghiên cứu đạt được về sự tồn tại điểm hữu hiệu đã loại bỏ được hạn chế về tính compact. Chẳng hạn, Định lý 3.3 trong [41] sử dụng tính C-đầy đủ (C-complete) để thay cho tính compact. 6 Một vấn đề quan trọng khác trong lý thuyết tối ưu đó là việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cực trị. Để đưa ra các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu véctơ không trơn, người ta sử dụng các khái niệm đạo hàm suy rộng. Chẳng hạn, M. Pappalardo và W. Stöcklin [54] đã sử dụng đạo hàm suy rộng của Dini – Hadamard để đưa ra một số điều kiện tối ưu cho nghiệm Pareto yếu, trong trường hợp hữu hạn chiều với thứ tự sinh bởi một nón lồi có phần trong khác rỗng. Với các khái niệm cơ bản như nón pháp tuyến không lồi của các tập hợp trong không gian Banach, dưới vi phân không lồi của các hàm số thực, đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ đa trị, sau 35 năm phát triển, lý thuyết vi phân suy rộng do Giáo sư B. S. Mordukhovich khởi xướng đã trở nên hoàn thiện và đưa đến nhiều ứng dụng quan trọng. Bộ sách [49, 50], gồm 2 tập, mỗi tập có 4 chương, được xuất bản năm 2006, đã nhanh chóng trở thành một tài liệu quan trọng, được nhiều người sử dụng. Bộ sách đó chứa đựng nhiều kết quả sâu sắc về Giải tích không trơn, Giải tích đa trị, Lý thuyết tối ưu, và ứng dụng. Bên cạnh việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, các điều kiện cực trị, tính ổn định cũng là một vấn đề rất quan trọng trong lý thuyết Tối ưu véctơ và được nhiều nhà toán học quan tâm. Trong các tài liệu, có hai hướng tiếp cận cơ bản khi nghiên cứu tính ổn định của bài toán tối ưu véctơ. Hướng thứ nhất là khảo sát sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu của các tập hợp có nhiễu đến một tập cho trước. Hướng thứ hai khi nghiên cứu tính ổn định đó là nghiên cứu các tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm. Chẳng hạn, tính nửa liên tục dưới (trên) của ánh xạ nghiệm hữu hiệu Pareto đã được khảo sát bởi Penot và Sterna-Karwat [55]. Luc, Lucchetti và Malivert [44] đã nghiên cứu tính sự hội tụ của tập các điểm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu trong các không gian véctơ tôpô tổng quát. Miglierina và Molho [47, 48] đã nhận được các kết quả về sự hội tụ của tập các điểm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu của các bài 7 toán tối ưu véctơ lồi. Đối với hướng nghiên cứu tính ổn định của các bài toán tối ưu véctơ lồi độc giả có thể tham khảo thêm các kết quả trong [41, 45]. Ngoài ra, các kết quả nghiên cứu về tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu còn được trình bày trong các sách chuyên khảo [41, 57] và các bài báo (xem [11–15, 23, 24, 55]). Bằng cách sử dụng các tính chất như tính chất trội (domination property), tính chất bao hàm (containment property) và tính chất bao hàm liên hợp (dual containment property) Bednarczuk [11–15] đã nghiên cứu các tính chất nửa liên tục trên, C- nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff và tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ điểm hữu hữu hiệu. Gần đây, bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Bednarczuk [11, 13] và đề xuất các khái niệm mới tính chất bao hàm địa phương (local containment property), tính chất K- trội địa phương (Klocal domination property) và tính chất đóng địa phương đều (uniformly local closedness) của một ánh xạ đa trị, Chuong, Yao và Yen [23] đã nhận được các kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu trong các không gian véctơ tôpô Hausdorff với các giả thiết yếu hơn của Bednarczuk. Trong những năm gần đây xuất hiện nhiều bài báo nghiên cứu tối ưu véctơ qua các tập hoàn thiện (improvement set) cho phép xử lý nhiều khái niệm nghiệm tối ưu (nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệm tối ưu xấp xỉ, ...) dưới một quan điểm thống nhất nhờ tập hoàn thiện (xem [22, 30]). Tuy nhiên, để định nghĩa tập hoàn thiện đòi hỏi không gian ảnh phải được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng và chính thường. Hơn nữa, bằng cách nào để có thể mở rộng khái niệm nghiệm tối ưu tương ứng với một tập hoàn thiện cho lớp các bài toán cân bằng vẫn còn là một vấn đề mở (xem [22, Section 5]). Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển của các bài toán quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, A. Y. 8 Kruger và B.S. Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài liệu trích dẫn được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng (hay nghiệm (f ; Θ)-tối ưu địa phương), ở đó f : X → Z là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh thứ tự Θ là một tập bất kì chứa gốc. Một điểm x̄ ∈ X được gọi là một nghiệm (f ; Θ)-tối ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận U của x̄ và một dãy {zk } với kzk k → 0 khi k → ∞ thỏa mãn: f (x) ∈ / f (x̄) − Θ − zk với mọi x ∈ U và k ∈ N. Nếu Θ là một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, thì khái niệm nghiệm tối ưu trên bao phủ các khái niệm nghiệm cổ điển trong tối ưu véctơ như nghiệm Pareto, nghiệm Pareto tương đối (hay nghiệm tối ưu theo nghĩa Slater) (xem [50, 67]). Cần nhấn mạnh rằng, tập sinh thứ tự Θ không nhất thiết là tập lồi hay là nón. Điều này đáp ứng đòi hỏi ngày càng tăng trong thực tế và cả trong lý thuyết áp dụng của tối ưu véctơ; đặc biệt là trong các mô hình kinh tế (xem [62]). Ngoài khía cạnh mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm, nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng còn là một công cụ hữu ích để nghiên cứu các bài toán minimax (minimax problem) trên một tập compact (xem [50, Example 5.54]). Giả sử x̄ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán minimax minimize ϕ(x) := max {hz ∗ , f (x)i | z ∗ ∈ Λ}, x ∈ X, với f : X → Z và Λ ⊂ Z ∗ là một tập compact yếu∗ theo dãy (weak∗ sequentially compact) của Z ∗ sao cho: tồn tại z0 ∈ Z với hz ∗ , z0 i > 0 với mọi z ∗ ∈ Λ. Để cho đơn giản, ta giả sử rằng ϕ(x̄) = 0. Khi đó, x̄ là một nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự suy rộng của hàm f ứng với tập sinh thứ tự Θ := {z ∈ Z | hz ∗ , zi ≤ 0 9 ∀z ∗ ∈ Λ}. Việc xem nghiệm của một bài toán minimax như là nghiệm của một bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng giúp chúng ta thuận lợi hơn khi nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán này (xem [50, Subsections 5.3.1, 5.5.19]). Với những ý nghĩa kể trên, việc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng của các bài toán tối ưu véctơ có một ý nghĩa rất quan trọng. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi mới chỉ có một vài nghiên cứu về các điều kiện cần cực trị (xem [9, 50] và các tài liệu được trích dẫn trong đó) và độ nhạy nghiệm (xem [34]) của lớp bài toán này. Luận án này trình bày các kết quả mới về sự tồn tại nghiệm, các tính chất tôpô của tập nghiệm, các điều kiện cực trị và tính ổn định của các bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng. Luận án bao gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận, và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 khảo sát khái niệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.1 phân tích khái niệm nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng. Mục 1.2 trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.3 khảo sát một số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng. Chương 2 nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng. Mục 2.1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giải tích biến phân. Các kiến thức này là cơ sở để đưa ra các điều kiện tối ưu trong các mục tiếp theo của chương này. Trong Mục 2.2, bằng cách tiếp cận trên không gian ảnh chúng tôi đã đạt được một số điều kiện cần, điều kiện đủ cho một điểm hữu hiệu suy rộng. Các kết quả về điều kiện cần có thể coi là trường hợp đặc biệt của các kết quả trong [9, 50]. Tuy nhiên kết quả về điều kiện đủ là mới. Trong mục cuối của chương này, 10 chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho điểm là nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng dưới các giả thiết về tính lồi. Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của bài toán tối ưu véctơ sử dụng khái niệm nghiệm Pareto tương đối. Bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Luc [44] chúng tôi nhận được các kết quả về sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Các kết quả này mở rộng kết quả của [44, Theorem 2.1] và [45, Proposition 3.1] từ tập điểm hữu hiệu Pareto yếu sang tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Để nhận được kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối của bài toán tối ưu véctơ có tham số với thứ tự được sinh bởi một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, chúng tôi đề xuất một số khái niệm mới được gọi là tính chất bao hàm tương đối (relative containment property), tính chất nửa liên tục dưới tương đối (relative lower semicontinuity) và tính chất nửa liên tục trên tương đối theo nghĩa Hausdorff (relative upper Hausdorff semicontinuity) của một ánh xạ đa trị. Các kết quả nhận được mở rộng và làm mạnh hơn các kết quả tương ứng trong [11, 12]. Trong Mục 3.1, chúng tôi trình bày một số tính chất của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Mục 3.2 trình bày các kết quả về sự hội tụ trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Mục 3.3 trình bày các kết quả về sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Trong mục cuối chúng tôi thiết lập một số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại: - Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2). - Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (Viện Toán học). - Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu 11 cao cấp về toán). - The 8th Vietnam-Korea Workshop “Mathematical optimization theory and applications” (University of Dalat, 8-10/12/2011, Dalat, Vietnam). - Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Viện Toán học - Trường ĐHSP Hà Nội 2 (Trường ĐHSP Hà Nội 2, 25 -26/10/2014). - Các hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12 (Ba Vì, 23-25/04/2014), lần thứ 13 (Ba Vì, 23-25/04/2015). Các kết quả của luận án đã được công bố trong 4 bài báo được đăng ở Nonlinear Analysis [67], Acta Mathematica Vietnamica [68] và gửi đăng ở Vietnam Journal of Mathematics [35], Taiwanese Journal of Mathematics [69]. Luận án này được hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2. Tác giả xin chân thành cám ơn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy đã tận tình hướng dẫn để có được những kết quả trong luận án. Xin chân thành cám ơn GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên, PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, PGS. TS. Khuất Văn Ninh, TS. Trần Văn Bằng và các thành viên của Xêmina Giải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Giáo sư trong hội đồng chấm luận án cấp cơ sở về các ý kiến đóng góp quí báu cho Luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, và cán bộ công nhân viên của Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã luôn động viên giúp đỡ tác giả. Xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh, gia đình và bạn bè đã luôn khuyến khích giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu. 12 Chương 1 Tính chất tôpô của tập nghiệm trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển của các bài toán quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, Kruger và Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài liệu trích dẫn được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm (f ; Θ)-tối ưu địa phương (hay còn gọi là nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng), ở đó f là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh thứ tự Θ là một tập bất kì chứa gốc. Mục đích của chương này là trình bày một số đặc trưng của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.1 trình bày một số tính chất của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng và mối liên hệ giữa khái niệm nghiệm này với các khái niệm nghiệm cổ điển trong tối ưu véctơ. Mục 1.2 trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.3 khảo sát một số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng. Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [35, 68]. 1.1. Khái niệm nghiệm Cho Z là một không gian Banach. Với mỗi tập Θ ⊂ Z, kí hiệu l(Θ) là tập hợp Θ ∩ (−Θ). Định nghĩa 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong Z và Θ ⊂ Z là một tập chứa 0Z . Một điểm z̄ ∈ A được gọi là một điểm hữu hiệu suy rộng (generalized efficient point) của A tương ứng với Θ, nếu tồn tại một dãy {zk } ⊂ Z với kzk k → 0 khi k → ∞ thỏa mãn A ∩ (z̄ − Θ − zk ) = ∅ ∀k ∈ N. (1.1) Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với Θ được kí hiệu là GMin (A | Θ). Nhận xét 1.1. (i) (1.1) ⇔ z̄ − zk ∈ / A + Θ ∀k ∈ N. (ii) Nếu tồn tại một lân cận U của z̄ và một dãy {zk } ⊂ Z với ||zk || → 0 khi k → ∞ thỏa mãn U ∩ A ∩ (z̄ − Θ − zk ) = ∅ ∀k ∈ N, (1.2) thì z̄ được gọi là một điểm hữu hiệu địa phương suy rộng (local generalized efficient point) của A tương ứng với Θ. Định lý 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong Z và Θ ⊂ Z chứa 0Z . Khi đó GMin (A | Θ) = A ∩ bd (A + Θ). (1.3) Hơn nữa, GMin (A | Θ) là đóng nếu A đóng trong Z. Chứng minh. Giả sử z̄ là một điểm hữu hiệu suy rộng bất kì của A tương ứng với Θ. Khi đó, tồn tại một dãy {zk } ⊂ Z với kzk k → 0 khi k → ∞ sao cho z̄ − zk ∈ / (A + Θ) với mọi k ∈ N. Vì vậy, z̄ − zk ∈ (A + Θ)c với mọi k ∈ N. Lấy U là một lân cận tùy ý của z̄. Vì z̄ ∈ A và 0Z ∈ Θ nên 14 ta suy ra z̄ ∈ (A + Θ). Do đó, U ∩ (A + Θ) 6= ∅. Từ lim (z̄ − zk ) = z̄ k→∞ ta có z̄ − zk ∈ U với k đủ lớn. Vì vậy, z̄ − zk ∈ U ∩ (A + Θ)c với k đủ lớn. Suy ra U ∩ (A + Θ)c 6= ∅. Vì vậy z̄ ∈ bd (A + Θ). Điều này kéo theo GMin (A | Θ) ⊂ A ∩ bd (A + Θ). Để chứng minh bao hàm thức ngược lại lấy z̄ ∈ A ∩ bd (A + Θ) tùy ý. Từ z̄ ∈ bd (A + Θ) ta có   1 B z̄, ∩ (A + Θ)c 6= ∅ ∀k ∈ N. k
Với mỗi k ∈ N, chọn xk ∈ B z̄, k1 ∩ (A + Θ)c . Ta có lim xk = z̄ và k→∞ c {xk } ⊂ (A + Θ) . Đặt zk = z̄ − xk , với k = 1, 2, ... Suy ra lim zk = 0 và z̄ − zk = xk ∈ (A + Θ)c k→∞ ∀k ∈ N, hay là z̄ − zk ∈ / (A + Θ) ∀k ∈ N. Điều này chỉ ra rằng z̄ là một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với Θ. Vì vậy, GMin (A | Θ) = A ∩ bd (A + Θ). Cuối cùng, nếu A là một tập con đóng của Z, từ tính đóng của bd (A+Θ), ta suy ra GMin (A | Θ) đóng. Định lý được chứng minh. Nhận xét 1.2. (i) Từ Định lý 1.1, ta có GMin (A | Θ) ⊂ bd A. Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với Θ không là điểm biên của A. Từ z̄ ∈ A ta suy ra z̄ ∈ int A. Vì vậy, tồn tại một lân cận U của z̄ sao cho U ⊂ A. Từ A ⊂ A + Θ ta có U ⊂ A + Θ. Do đó, z̄ ∈ int (A + Θ), mâu thuẫn với (1.3). (ii) Nếu A mở hoặc A+Θ mở thì GMin (A | Θ) = ∅. Thật vậy, nếu A mở, thì từ A ⊂ A+Θ ta suy ra A ⊂ int (A+Θ). Do đó, A∩bd (A+Θ) = ∅, hay là GMin (A | Θ) = ∅. Nếu A + Θ mở, thì bd (A + Θ) = ∅. Theo Định lý 1.1 ta cũng suy ra GMin (A | Θ) = ∅. 15