SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN BỈNH KHIÊM
KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC:
Câu 1) (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - 2 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - x
9
Câu 2) (1,0 điểm)
2 x
a) Giải phương trình: cos x + 2 cos - 3 = 0
3
b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z + z = 6 và z 2 + 2 z - 8i là một số thực.
2
Câu 3) (0,5 điểm) Giải phương trình: log 4 ( x - 7 x + 10) - log 4 ( x - 2) = log 1 ( x + 5)
4
Câu 4) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
ìï x ( x + 6 y - 4) + 3 y (3 y - 4) + 8 + 2( x + y ) = ( x + y ) 2 + 4(1 - xy ) + 2
í
2
ïî 3 x - xy + 22 - 1 - y = x - 2 y + 3
Câu 5) (1,0 điểm) Tính tích phân I =
p
4
ò ( x + 2 + tan
2
x) sin xdx
0
Câu 6) (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a 3 , BC = 3a , ·
ACB = 300 . Cạnh
bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên
cạnh BC sao cho BC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A’B’C ' và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC).
Câu 7) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(– 3; – 4), tâm đường tròn nội tiếp
1
I(2; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp J( - ;1 ). Viết phương trình đường thẳng BC.
2
Câu 8) (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; – 2; 11), B( – 2; – 10; 3) và mặt phẳng
(P): x + y – z – 4 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB và tìm điểm M trên mặt phẳng (P)
sao cho MA = MB = 13.
Câu 9) (0,5 điểm) Một hộp đựng 3 xanh , 4 bi đỏ và 5 bi vàng . Lấy ngẫu nhiên 5 bi từ hộp. Tính xác suất để
trong 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau.
Câu 10) (1,0 điểm) Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0, 1) thỏa mãn (a 3 + b3 )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
12
a 4 + b4
+
3
ab
P=
ab
36 + (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 )
------------------------------------------------------1
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Câu
Đáp án
Điểm
Câu1)
a) y = x3 + 3 x 2 - 2
y = -¥ , lim y = +¥
+ TXĐ D = R , xlim
®-¥
x ®+¥
é x = 0 Þ y = -2
+ y ' = 3x 2 + 6 x , y ' = 0 Û ê
ë x = -2 Þ y = 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------+ BBT
-¥
x
0
+¥
-2
y’
+
0
0
+
2
+¥
y
Câu 1
-¥
-2
(2,0đ)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Hàm ĐB trên các khoảng ( -¥ ; -2 ), (0; + ¥ ) và NB trên khoảng ( -2 ; 0). Điểm cực đại đồ
thị ( -2 ; 2); điểm cực tiểu đồ thị (0; -2 )
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Đồ thị
0,25
0,25
0,25
4
2
-10
-5
0,25
5
10
-2
-4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
b)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - x nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------é x0 = 1 Þ y0 = 2
2
Ta có y '( x0 ) = 9 Û 3x0 + 6 x0 = 9 Û ê
ë x0 = -3 Þ y0 = -2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1, 2) là y = 9( x - 1) + 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+Phương trình tiếp tuyến tại điểm (– 3, – 2 ) là y = 9( x + 3) - 2
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Câu 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------(1,0đ) Câu 2)
x
2 x
3 x
2 x
a) cos x + 2cos - 3 = 0 Û 4cos - 3cos + 2 cos - 3 = 0
3
3
3
3
x
x
x
Û (cos - 1)(4 cos 2 + 6cos + 3) = 0
3
3
3
Câu
Đáp án
x
x
Û cos = 1 Û = k 2p Û x = 6kp , k Î Z
3
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Gọi z = x + yi . Ta có z + z = 6 Û ( x + yi ) + ( x - yi) = 6 Û x = 3 (1)
2
2
2
z 2 + 2 z - 8i = ( x + yi) + 2( x - yi ) - 8i = ( x - y + 2 x) + (2 xy - 2 y - 8)i là số thực nên
2 xy - 2 y - 8 = 0 (2).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Từ (1) và (2) ta giải được x = 3 và y = 2. Vậy z = 3 + 2i
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------ì x 2 - 7 x + 10 > 0
ìx < 2 Ú x > 5
ï
ï
Câu 3
x-2>0
Û íx > 2
Û x>5
(0,5đ) Câu 3) b)ĐK í
ïx + 5 > 0
ï x > -5
î
î
0,25
Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Với ĐK trên phương trình tương đương : log 4 ( x - 7 x + 10) - log 4 ( x - 2) = - log 4 ( x + 5)
Û log 4 ( x 2 - 7 x + 10)( x + 5) = log 4 ( x - 2)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Û ( x 2 - 7 x + 10)( x + 5) = x - 2
Û ( x - 5)( x + 5) = 1 Û x = 26 (vì x > 5)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìï x( x + 6 y - 4) + 3 y (3 y - 4) + 8 + 2( x + y ) = ( x + y ) 2 + 4(1 - xy ) + 2 (1)
Câu 4) í
2
ïî 3 x - xy + 22 - 1 - y = x - 2 y + 3(2)
Câu 4
(1,0đ) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------+Ta có (1) Û ( x + 3 y - 2) 2 + 4 + ( x + 3 y - 2) = ( y - x) 2 + 4 + ( y - x)
+ Xét hàm f (t ) = t + 4 + t , t Î R . Ta có f '(t ) =
2
t
t +4
2
+1 =
t2 + 4 + t
t +4
2
> 0, "t Î R
Suy ra f(t) đồng biến trên R.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Ta có (1) Û f ( x + 3 y - 2) = f ( y - x ) Û x + 3 y - 2 = y - x Û y = 1 - x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Thế y = 1 – x vào (2) ta có : x 2 + 2 x + 22 - x = x 2 + 2 x + 1 (3) . Với ĐK x ³ 0. ta có
0,25
0,25
0,25
(3) Û ( x 2 + 2 x + 22 - 5) - ( x - 1) = x 2 + 2 x - 3
Û
x2 + 2 x - 3
x 2 + 2 x + 22 + 5
-
x -1
= ( x - 1)( x + 3)
x +1
0,25
3
é 1
æ
öù
1
Û ( x - 1) ê
+ ( x + 3) ç1 ÷ú = 0 Û x = 1
x 2 + 2 x + 22 + 5 ø ûú
è
ëê x + 1
æ
ö
1
1
+ ( x + 3) ç1 ÷ > 0 (phải giải thích)
x +1
x 2 + 2 x + 22 + 5 ø
è
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------x = 1 Þ y = 0 .Vậy hệ có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0)
Vì với x ³ 0 thì
Câu
Đáp án
p
4
p
4
Điểm
p
4
sin x
dx
cos 2 x
0
0
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìu = x + 1
ì du = dx
Þí
+ Đặt í
.
î dv = sin xdx îv = - cos x
Câu 5 Câu 5) I =
(1,0đ)
Ta có
ò ( x + 2 + tan
2
x)sin xdx = ò ( x + 1)sin xdx + ò
p
4
p
4
p
p
2
2
= -( + 1)
+ 1 + sin x 04 = p +1
(
x
+
1)
sin
xdx
=
(
x
+
1)
cos
x
+
cos
xdx
ò0
ò0
4
2
8
p
4
0
0,25
0,25
0,25
------------------------------------------------------------------------------------------------------------p
4
p
4
p
4
+ sin x dx = -d (cos x) = 1
ò0 cos2 x ò0 cos2 x cos x 0 = 2 - 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
+ Vậy I = p+ 2
8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 6 Câu 6)
(1,0đ)
ì( A ' BC ) ^ ( ABC )
A'
ï
Þ A ' H ^ ( ABC )
í( A ' AH ) ^ ( ABC )
ï A ' H = ( A ' BC ) Ç ( A ' AH )
î
C'
B'
Suy ra ·
A ' AH = 600
Þ A ' H = AH tan 600 = a 3
2
0,25
0,25
3
9a
4
4
-------------------------------------------------------Vì AH 2 + AC 2 = HC 2 Þ HA ^ AC Þ AA ' ^ AC
1
1
S A ' AC = . AC. AA ' = .a 3.2a = a 2 3
2
2
H
0,25
---------------------------------------------------------AH 2 = AC 2 + HC 2 - 2 AC.HC .cos 300 = a 2
Þ AH = a
A
B
0,25
C
VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' H =
3a
3
.a 3 =
0,25
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 3
a
3 3a
Þ d ( B, ( A ' AC )) = 3.VA ' ABC = 4
=
2
S A ' AC
4
a 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 7 Câu 7)
(1,0đ)
1 2
125
2
+ Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : ( x + ) + ( y - 1) =
(1)
2
4
x+3 y+4
Û x - y -1 = 0
=
+ Phương trình đường thẳng AI :
2 + 3 1+ 4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu
Đáp án
+ Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là D, trung điểm cung BC.
Hoành độ điểm D là nghiệm khác – 3 của phương trình :
é x = -3
1 2
125
9 7
2
( x + ) + ( x - 2) =
Ûê
. Suy ra D( ; )
9
êx =
2
4
2 2
ë
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------A B
· = IBC
· + CBD
· = B + A suy ra ·
· = + và IBD
· Þ DI = DB = DC
+ Ta có BID
BID = IBD
2 2
2 2
Þ B, C nằm trên đường tròn tâm D bán kính DI có phương trình :
9
7
50
( x - )2 + ( y - )2 =
(2)
2
2
4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Tọa độ điểm B và C là nghiệm hệ phương trình (1) và (2)
1 2
125
ì
2
(
x
+
)
+
(
y
1)
=
2
2
ïï
2
4 Û ïì x + y + x - 2 y - 30 = 0 Û ì10 x + 5 y - 50 = 0
í
í 2
í 2
2
2
ïî x + y - 9 x - 7 y + 20 = 0
î x + y - 9 x - 7 y + 10 = 0
ï( x - 9 ) 2 + ( y - 7 ) 2 = 50
ïî
2
2
4
Suy ra phương trình đường thẳng BC : 10 x + 5 y - 50 = 0 hay 2 x + y - 10 = 0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 8)
Câu 8 + Mp trung trực (Q) của đoạn AB qua trung điểm I(1; – 6; 7) của AB nhận AB = (-6; -8; -8)
(1,0đ)
làm VTPT
------------------------------------------------------------------------------------------------------------Suy ra phương trình mp(Q): -6( x - 1) - 8( y + 6) - 8( z - 7) = 0 Û 3 x + 4 y + 4 z - 7 = 0
------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Gọi D = (Q) Ç (P). Đường thẳng D là tập hợp các điểm thỏa hệ phương trình:
ì3 x + 4 y + 4 z - 7 = 0
(1)
í
îx + y - z - 4 = 0
+ (P) có VTPT nP = (1;1; -1) , (Q) có VTPT nQ = (3; 4; 4)
suy ra D có VTCP u = [nP , nQ ] = (8; -7;1) . Trong (1) cho x = 1 giải được y = 2; z = – 1 suy
0,25
0,25
Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
ra D đi qua điểm I(1; 2; – 1). Vậy phương trình tham số đường thẳng D
ì x = 1 + 8t
ï
í y = 2 - 7t
ï z = -1 + t
î
------------------------------------------------------------------------------------------------------------+M Î D thì M Î (P) và MA = MB. Ta có M(1 + 8t ; 2 – 7t ; – 1 + t)
MA = 13 Û (8t - 3) 2 + (4 - 7t )2 + (t - 12) 2 = 169 Û 114t 2 - 128t = 0 Û t = 0 hoặc t = 64 / 27
569 334 7
;; )
Vậy có hai điểm M thỏa bài toán : M 1 (1; 2; -1) , M 2 (
57
57 57
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 9)
Câu 9
5
(0,5đ) + Có C12 = 792 cách chọn 5 bi từ hộp 12 bi Þ W = 792
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Gọi X là biến cố :’’ 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau’’
1 1 3
TH1 : 1X, 1Đ, 3V Þ có C3C4C5 = 120 cách chọn
2 2 1
TH2 : 2X, 2Đ, 1V Þ có C3 C4 C5 = 90 cách chọn
Câu
10
(1,0đ)
Suy ra W X = 120 + 90 = 210
WX
210 35
=
=
Vậy P(X) =
W
792 132
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------12
a 4 + b4
+
3
ab
Câu 10) P =
ab
36 + (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 )
---------------------------------------------------------------------------------------------------------(a 3 + b3 )(a + b)
= (1 - a)(1 - b) (*)
GT : (a 3 + b 3 )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = 0 Û
ab
(a 3 + b3 )(a + b) æ a 2 b 2 ö
= ç + ÷ (a + b) ³ 2 ab .2 ab = 4ab
Vì
ab
aø
è b
0,25
0,25
0,25
0,25
và (1 - a )(1 - b) = 1 - ( a + b) + ab £ 1 - 2 ab + ab , khi đó từ (*) suy ra 4ab £ 1 - 2 ab + ab
,
1
ì
1
ï0 < t £
Û0 0) ta được 2 t £ 1 - 3t Û í
9
ï 4t £ (1 - 3t ) 2
î
------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta có (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 ) ³ 36ab Þ
12
36 + (1 + 9a )(1 + 9b )
2
2
£
2
1 + ab
a 4 + b4
£ 3ab - 2ab = ab .
ab
2
1
+ ab . Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b = .
Suy ra P £
1 + ab
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------và 3ab -
0,25
6
2
1
+ t với 0 < t £ ,
1+ t
9
1
1
1
> 0, "t Î (0, ] Þ f(t) đồng biến trên (0, ]
ta có f '(t ) = 1 9
(1 + t ) 1 + t
9
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìa = b
1
6
1
1
ï
+ , dấu đẳng thức xảy ra Û í
f(t) £ f ( ) =
1 Ûa=b=
9
3
10 9
ïît = ab = 9
6
1
1
+ đạt được tại a = b =
Vậy MaxP =
10 9
3
. Xét hàm f (t ) =
0,25
0,25
7
- Xem thêm -