Tài liệu De thi hsg toan 8 de so 10 de thi hsg toan 8 2013de 10

Gia sư thành được www.daythem.com.vn ĐỀ BÀI: Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức: 2x  3 2x  8 3  21  2 x  8 x 2    1 P=  2 : 2 2  4 x  12 x  5 13x  2 x  20 2 x  1  4 x  4 x  3 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x  1 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 2(3 điểm):Giải phương trình: 15 x 1   1  1  12    a) 2 x  3x  4  x  4 3x  3  b) 148  x 169  x 186  x 199  x     10 25 23 21 19 c) x  2  3  5 Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó. Bài 4 (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. PD 9  d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ PB 16 nhật ABCD. Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2   1  x2 1  y 2 1  xy Gia sư thành được www.daythem.com.vn Đáp án và biểu điểm Bài 1: Phân tích: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ 1 5 3 7 x  ;x  ;x  ;x  ;x  4 Điều kiện: 2 2 2 4 a) Rút gọn P = x  b) 0,5đ 2x  3 2x  5 2đ 1 1 1  x  hoặc x  2 2 2 1 1 … P = 2 2 1 2  …P = +) x  2 3 2 2x  3 c) P = = 1 x 5 2x  5 +) x  Ta có: 1đ 1 Z Vậy P  Z khi   2 Z x 5 x–5 Ư(2) Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2  x = 3 (TMĐK) x – 5 = -1  x = 4 (KTMĐK) x – 5 = 1  x = 6 (TMĐK) x – 5 = 2  x = 7 (TMĐK) KL: x {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên.  d) P= 1đ 2 2x  3 = 1 x 5 2x  5 0,25đ Ta có: 1 > 0 Để P > 0 thì 2 x5 Với x > 5 thì P > 0. Bài 2: >0  x–5>0  x>5 0,5đ 0,25 Gia sư thành được a) www.daythem.com.vn 15 x 1   1  1  12    x 2  3x  4  x  4 3x  3   1 15 x 1    1  12   x  4  3  x  1    x  4  x  1   ĐK: x  4; x  1  3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) …  3x.(x + 4) = 0  3x = 0 hoặc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} 148  x 169  x 186  x 199  x     10 b) 25 23 21 19 1đ  148  x   169  x   186  x   199  x   1    2    3    4  0  25   23   21   19    1 1 1  1    = 0  (123 – x)   25 23 21 19  1 1 1  1    > 0 Do   25 23 21 19  Nên 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} c) x2 3  5 Ta có: nên 1đ x  2  0x => x2 3 >0 x2 3  x2 3 PT được viết dưới dạng: x2 3 5  x2 =5–3  x2 =2 +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} 1đ Gia sư thành được www.daythem.com.vn Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là: x 3x  (km / h) 1 10 3 3 ’ (3 20 = 3 h 0,25đ 1 h ) 3 0,25đ Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là: 3x  5  km / h  10 0,25đ Theo đề bài ta có phơng trình:  3x   5  .3  x   10  0,5đ  x =150 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 3.150  45  km / h  Vận tốc dự định là: 10 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL đúng D 0,5đ 0,25đ 0,5đ C P M F I E A O B a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD.  PO là đường trung bình của tsm giác CAM.  AM//PO  tứ giác AMDB là hình thang. 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA. Gia sư thành được www.daythem.com.vn Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ MF AD c) MAF DBA  g  g  nên không đổi. (1đ)  FA d) Nếu AB PD PB PD 9   k  PD  9k , PB  16k thì  9 16 PB 16 Nếu CP  BD thì CBD DCP  g  g   CP PB  PD CP 1đ do đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 do đó BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5d 0,5đ 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) Vì 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 2010 2011 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm. 1 1 2   b) 1  x2 1  y 2 1  xy (1)  1 1   1 1       0 1  x 2 1  xy   1  y 2 1  xy    x  y  x  y x  y 1  x  1  xy  1  y  1  xy  2 2  y  x   xy  1  0 2    1  x 2 1  y 2  1  xy   2 Vì x  1; y  1 => xy  1 => xy  1  0 0 1đ Gia sư thành được www.daythem.com.vn => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ