phßng GD-®t bè tr¹ch
§Ò giíi thiÖu
sè b¸o danh
§Ò thi häc sinh giái
M«n to¸n líp 9 - N¨m häc: 2009 - 2010
Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Ngêi ra ®Ò: Mai V¨n Phó.
§Ò ra:
Bµi 1( 1,0 ®iÓm): Cho bèn sè nguyªn d¬ng a, b, c vµ d tháa m¶n a2 + b2 = c2 + d2
Chøng minh r»ng a + b + c + d lµ hîp sè.
Bµi 2(1,0 ®iÓm): Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× sè:
A = n 3 . n 2 7 2 36.n chia hÕt cho 420
Bµi 3(2,0 ®iÓm): T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña a + b + c + d biÕt r»ng :
a, b, c, d tháa m¶n :
13 2ac 2bd 3b 2 3c 2
2
2 ad a 2 d 2
Bµi 4(2,0 ®iÓm): T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ c¸c sè
nguyªn d¬ng vµ hai lÇn sè ®o diÖn tÝch b»ng ba lÇn sè ®o chu vi.
Bµi 5 (4 ®iÓm): Cho M lµ ®iÓm bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AB. VÏ vÒ mét phÝa cña
AB c¸c h×nh vu«ng AMCD, BMEF.
a/ Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC.
b/ Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC. Chøng minh r»ng ba ®iÓm D, H, F
th¼ng hµng.
c/ Chøng minh r»ng ®êng th¼ng DF lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi
M chuyÓn ®éng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh.
*C¸c tµi liÖu tham kh¶o:
TuyÓn tËp to¸n chän läc THCS
TuyÓn tËp ®Ò thi to¸n THCS
Chuyªn ®Ò båi dìng HSG To¸n
C¸c bµi to¸n hay ®¹i sè 8, h×nh häc 8
TuyÓn c¸c bé ®Ò chuyªn, chän, HSG
phßng GD-®t bè tr¹ch
§Ò giíi thiÖu
Bµi/
Tæng
®iÓm
Híng dÉn chÊm thi hsg
- N¨m häc: 2009 - 2010
M«n to¸n líp 9
Tãm t¾t néi dung
§iÓm
Chi tiÕt
Víi mäi sè nguyªn n th× n2 - n = n(n - 1) lµ sè ch½n.
Do ®ã a2 + b2 + c2 + d2 - (a + b + c + d) lµ sè ch½n.
V× a2 + b2 = c2 + d2 suy ra a2 + b2 + c2 + d2 = 2 (a2 + b2) lµ sè ch½n.
Bµi1
(1 ®iÓm): VËy a + b + c + d lµ sè ch½n.
V× a, b, c, d Z+ nªn a + b + c + d lµ hîp sè
0,25
0,25
0,25
0,25
BiÕn ®æi A vÒ d¹ng: A= (n - 3).(n - 2).(n - 1).n.(n + 1).(n + 2).(n + 3)
0,50
Ta biÕt r»ng tÝch cña n sè nguyªn liªn tiÕp lu«n t×m ®îc mét sè chia
Bµi 2
0,25
(1 ®iÓm): hÕt cho n. V× thÕ A lu«n chia hÕt cho 5, cho 6, cho 7.
C¸c sè nµy ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn A chia hÕt cho (5.6.7) =
420.
0,25
13 2ac 2bd 3b 2 3c 2
2
2 ad a 2 d 2
V×
mäi a vµ d.
Bµi 3
(2 ®iÓm): Tõ 13 2ac
2bd 3b 2 3c 2
2 ,
2 ad a 2 d 2
d
3
2 ad a 2 d 2 (a ) 2 d 2 2 >
2
4
0,25
ta cã:
0,75
0,25
0,25
a b c d 2 a b 2 b c 2 c d 2 9
V× a b 2 0; b c 2 0 ; c d 2 0
Do ®ã: a b c d 2 9 nªn a b c d 3
VËy max(a + b + c + d) = 3 khi a = b = c = d =
min(a + b + c + d) = -3 khi a = b = c = d =
3
4
-3
4
0,25
0,25
Gäi x, y, z lÇn lît lµ sè ®o c¸c c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn 0,25
cña tam gi¸c.
Theo bµi ra ta cã hÖ ph¬ng tr×nh
0,75
Rót z tõ (2) ta cã: 3z = xy - 3x - 3y,
Khi ®ã: 9z2 = (xy - 3x - 3y)2
vµ tõ (1) ta cã: 9z2 = 9x2 + 9y2
Suy ra: (xy - 3x - 3y)2 = 9x2 + 9y2
BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh nµy, cuèi cïng ®îc:
(x - 6)(y - 6) = 18
0,5
Do x, y nguyªn d¬ng nªn
(x - 6) -5; (y - 6) -5
XÐt c¸c trêng hîp x¶y ra ta cã c¸c c¹nh cña tam gi¸c
vu«ng tho¶ m·n ®Ò bµi lµ (7; 24; 25), (18; 15; 17) vµ (9; 12;
0,5
15)
x 2 y 2 z 2
xy 3 x y z
Bµi 4
(2®iÓm)
0 víi
1
2
D
C
Bµi 5 (4
®iÓm):
H
I
F
VÎ h×nh,
®óng rá:
0,5
E
O
A
a/( 1®iÓm) XÐt tam gi¸c CAB cã: CM AB,
BE AC (v× BE MF, MF//AC)
suy ra AE BC.
OO
O’
I’
M
b/(1®iÓm) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DM. V× AHC = 90
(C©ua), nªn OH= AC OH DM GãcMHD = 90 0
2
2
(1)
Chøng minh t¬ng tù gãc MHF = 90 0
Tõ (1) vµ (2) suy ra: H, D, F th¼ng hµng.
B
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0
0,25
(2)
0,25
0,5
c/ (1,5 ®iÓm) Gäi I lµ giao ®iÓm cña DF vµ AC. Tam gi¸c DMF cã
DO= MO,
OI// MF nªn I lµ trung ®iÓm cña DF.
0,5
KÎ I I’ AB th× I’ lµ trung ®iÓm cña AB vµ
0,5
I I’ = AD BF AM MB AB
2
2
2
Do ®ã I lµ ®iÓm cè ®Þnh: I n»m trªn ®êng trung trùc cña AB vµ c¸ch
AB mét kho¶ng b»ng AB .
2
Lu ý :
-
-
NÕu häc sinh gi¶i theo c¸ch kh¸c vµ ®óng th× vÉn cho ®iÓm tèi ®a.
NÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh.
Häc sinh lµm sai ®Ò so víi ®Ò th× kh«ng chÊm ®iÓm bµi ®ã.
- Xem thêm -