www.thuvienhoclieu.com
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1.(5,0 điểm)
2
Cho phương trình bậc hai x 5 x m 0 (1) với x là ẩn số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn
x1 x 2 x 2 x1 6
.
Câu 2. (3,0 điểm)
x 2 x 3 y xy 2 xy y 1
4
2
Giải hệ phương trình: x y xy (2 x 1) 1
Câu 3.(5,0 điểm)
a) Cho góc thỏa mãn tan 2 . Tính giá trị biểu thức
P
4sin cos
sin 3 2 cos 3
2
1
BD BC; AE AC
3
4
b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các
. Điểm K trên đoạn
AD
thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số AK .
Câu 4. ( 5,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm
16
E ;1
AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD : x 3 y 1 0 , 3 .
a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD
và BE.
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a b c 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
1
1
2
2
a b c
abc .
2
www.thuvienhoclieu.com
Trang 1
www.thuvienhoclieu.com
---- Hết ---Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
1.
Nội dung
Điểm
2
Phương trình x 5 x m 0
5,0
a) Giải phương trình (1) khi m 6
1,5
2
Khi m 6 PT (1) có dạng: x 5 x 6 0
0,5
'
Ta có: 4 1 5 0
0,5
PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 2 và x2 3
0,5
b) Tìm giá trị m thỏa mãn
3,5
Lập ∆ = 25 - 4m
0,5
25
Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 khi ∆ ≥ 0 hay m 4
Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 x2 5; x1 x2 m
0,5
ìïï x1 + x 2 > 0
í
ï
x
,
x
1
2
Hai nghiệm
dương khi ïî x1x 2 > 0 hay m > 0.
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là
Ta có:
Suy ra
Ta có
Hay
(
x1 + x 2
)
2
= x1 + x 2 + 2 x1.x 2 = 5 + 2 m
25
0 < m 4 (*)
0,5
0,5
x1 + x 2 = 5 + 2 m
x1 x 2 x 2 x1 6
x1.x 2
x1 x 2 6
m 5 2 m 6 2m m 5m 36 0 (1)
www.thuvienhoclieu.com
Trang 2
www.thuvienhoclieu.com
Đặt t m 0 , khi đó (1) thành:
0,5
2t3 + 5t2 - 36 = 0
(t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0
t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0
Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).
0,5
Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm.
Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x 1, x2 thoả mãn
0,5
x1 x 2 x 2 x1 6
.
2.
x 2 x 3 y xy 2 xy y 1
4
2
Giải hệ phương trình: x y xy (2 x 1) 1
3,0
( x 2 y ) xy ( x 2 y ) xy 1
2
2
x y xy 1
Hệ
1,0
a x 2 y
Đặt b xy
. Hệ trở thành:
a 3 a 2 2a 0
(*)
2
b
1
a
Hệ
Từ đó tìm ra
a ab b 1
2
a b 1
(*)
0,5
a (a 2 a 2) 0
2
b 1 a
0,5
(a; b) (0; 1); (1; 0); ( 2; 3)
x 2 y 0
x y 1
xy
1
(
a
;
b
)
(0;
1)
Với
ta có hệ
.
0,5
x 2 y 1
( x; y ) (0; 1);(1;0);( 1;0)
xy
0
(
a
;
b
)
(1;
0)
Với
ta có hệ
.
Với
(a; b) ( 2; 3)
x 2 y 2
xy 3
0,5
ta có hệ
3
y
x
3
x 2 x 3 0
3
y
x 1; y 3
x
2
( x 1)( x x 3) 0
www.thuvienhoclieu.com
.
Trang 3
www.thuvienhoclieu.com
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm
( x; y ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)
.
5,0
3.
a)
Cho góc thỏa mãn tan 2 . Tính giá trị biểu thức
P
4 sin cos
sin 3 2 cos 3
2,5
4sin cos sin 2 cos 2
4sin cos
P 3
sin 2 cos3
sin 3 2 cos3
1.0
4sin 3 sin 2 cos 4sin cos 2 cos 3
sin 3 2 cos 3
0,5
4 tan 3 tan 2 4 tan 1
tan 3 2
0,5
4.8 4 4.2 1 7
82
2
0,5
2
1
BD BC; AE AC
3
4
b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các
. Điểm K
b)
AD
trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số AK .
2,5
1
1
3
AE AC BE BC BA (1)
4
4
4
Vì
0,5
Giả sử
AK x AD BK xBD 1 x BA (1)
0,5
2
2x
BD BC
AK x.AD BK BD (1 x)BA
3
3
Mà
nên
0,5
m 2x
3m
0 &1 x
0
4
Do BC; BA không cùng phương nên 4 3
0.5
www.thuvienhoclieu.com
Trang 4
www.thuvienhoclieu.com
1
1
8
AD
x ;m
AK AD
3
3
9 . Vậy
3
AK
Từ đó suy ra
4.
0,5
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là
trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình
16
E ;1
CD : x 3 y 1 0 , 3 .
5,0
Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao
2,5
a) của CD và BE.
BA EA
2 E
Ta có BC EC
là chân đường phân giác trong
0,5
Do BD = BC BE CD BE : 3 x y 17 0
0,5
x 3 y 1 0
I BE CD tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ 3 x y 17 0
0,5
Giải hệ phương trình I 5; 2
1,0
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
Đặt
BC a 0 AB 2a, AC a 5, CE
2,5
a 5
3
0,5
BC
a
CBE
450 IB IC
2
2
Do
2
Tam giác EIC vuông tại I
(1)
2
a
2
IE EC IC IE
3 2
IB
3IE B(4;5)
Từ (1) và (2)
www.thuvienhoclieu.com
0,5
(2)
0,5
Trang 5
www.thuvienhoclieu.com
Gọi C (3c 1; c ) từ
c 1
BC 2 5 c 2 4c 3 0
c 3
0,5
Với c 1 C (2;1), A(12;1) (KTM)
Với c 3 C (8;3), A(0; 3) (TM)
0,5
Vậy A(0; 3), B(4;5), C (8;3)
Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a b c 1 .
5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
2,0
1
1
2
2
2
a b c
abc .
Áp dụng BĐT AM- GM ta có
ab bc ca 33 a 2 b 2 c 2
1= a + b + c 3 3 abc
P
P
0,5
3
abc
1
3
3 ab bc ca 3 abc
3
abc 9abc
1
9
a 2 b 2 c 2 ab bc ca
0,5
1
1
1
7
2
2
a b c
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
2
0,5
9
7
30
a b c 2ab 2bc 2ca a b c 2
3
2
2
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại
`SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN
a b c
1
3.
0,5
ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM
NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi: TOÁN 10 (đê thi đê nghh)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1 (5,0 điểm).
1
3 x +2
=√
a) Giải phương trình √ 2 x+1−√ 3 x 1−x
www.thuvienhoclieu.com
Trang 6
www.thuvienhoclieu.com
b) Giải hệ phương trình
Câu 2 (4,0 điểm).
2xy
x2+ y2+ =1 ¿ ¿¿¿
x+y
{
a) Tìm tâ ̣p xác định của hàm số : y= √ x−2+ √ x−1−√ x+3 .
2
x ;x
b) Gọi 1 2 là hai nghiệm của phương trình x −mx+m−1=0 .
√
A=
4 x 1 x 2 +6
2
2
x 1 + x 2 +2( 1+ x 1 x 2 ) . Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị nhỏ nhất.
Đặt
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
x
y
Q=
+
√ 1−x √ 1− y
Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC =4 √ 2
5
18
,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; 3 ) và N(0; 7 ). Xác định tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độ
dương.
−
Câu 5 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam giác ABC là tam giác
cân.
b) Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là mô
̣t điểm trên cạnh AC sao cho
NC 2 NA và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : BC NM BM NC . Hãy biểu
diễn vecto AI theo hai vecto AB và AC .
---------------Hết--------------
www.thuvienhoclieu.com
Trang 7
www.thuvienhoclieu.com
SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10
Câu
Nội dung
Câu 1
1
√ 3 x +2
5,0 a) Giải phương trình: √2 x+1−√ 3 x = 1−x
ĐK: x 0; x≠1 .
√2 x+1+ √3 x = √3 x+2
1−x
1−x
Khi đó: (1)
Điểm
2,5
(1)
0,25
0.5
0.5
⇔ √ 2 x +1+ √ 3 x=√ 3 x+2
⇔2 √ 6 x 2 +3 x=1−2 x
−4+ √21
⇒ x=
10
Vậy (1) có nghiệm:
x=
b) Giải hệ phương trình
Điều kiện: x>− y .
0.5
0.5
0.25
−4 + √ 21
10
2xy
x2+ y2+ =1 ¿ ¿¿¿
x+y
{
( x+ y )2−1+2 xy
2,5
(
1
−1 =0
x+ y
)
⇔ ( x + y−1 ) ( x 2 + y 2 +x + y ) =0
PT thư nhất tương đương: ⇒ x + y=1
Kết hợp với PT hai ta được
Vậy, hệ đã cho có nghiệm
Câu 2
{ x=1¿ ¿¿¿
{ x=1¿ ¿¿¿
Nội dung
a) Tìm tâ ̣p xác định của hàm số :
y=√ √ x−2+ √ x−1−√ x+3
www.thuvienhoclieu.com
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
Điể
m
1.5
Trang 8
www.thuvienhoclieu.com
4,0
{ x − 2≥ 0 ¿ { x − 1≥ 0 ¿ { x + 3≥ 0 ¿ ¿ ¿
ĐK:
¿
b) Gọi
0.5
0.5
0.5
x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2−mx+m−1=0 .
A=
Đặt
nhỏ nhất.
4 x 1 x 2 +6
2
x 1 + x 22 +2( 1+ x 1 x 2 )
. Với giá trị nào của
m
thì A đạt giá trị
2
+ PT có hai ngiệm khi Δ≥0 ⇔m −4 m+4≥0, ∀ m
+ x 1 + x 2=m; x1 x 2 =m−1
A=
0.25
0.25
0.5
4 x 1 x 2 +6
( x 1 + x 2 )2 +2
4 m+2
¿ 2
m +2
2
( m+2)
¿ 2
−1≥−1
m +2
A nhỏ nhất khi m=−2
0.5
0.5
0.5
Câu 3 Cho hai số thực dương x, y
3,0 biểu thức sau:
thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Q=
.
Viết lại
Q=
2.5
x
y
+
√ 1−x √ 1− y
x−1+1 y−1+1
1
1
+
=
+
−( √1−x + √ 1− y )
√1−x √1− y √ 1−x √ 1− y
1
1
2
2
+
≥4
≥
=2 √ 2
√1−x √1− y √(1−x )(1− y ) 1− x+1− y
2
√
Theo Cô si:
( Do x+y=1 )
Theo Bunhiacopski:
√ 1−x+ √1− y≤√ 2 √1−x+1− y=√ 2
(1)
( Do x+y=1 ) (2)
www.thuvienhoclieu.com
Trang 9
www.thuvienhoclieu.com
Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có : Q≥√ 2
{1−x=1−y¿¿¿¿
⇔ x= y =
1
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy minQ = √ 2
Câu 4 Phương trình đường thẳng Δ qua N và vuông góc với AH là
18
4,0
x− y=−
7
Δ
Tọa độ giao điểm I của AH với
{
x − y=−
là nghiệm của hệ PT
18
¿ ¿¿¿
7
Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
Giả sử
0,5
0,5
4
N 1 (− :2)
7
Gọi N1 là giao điểm của Δ và AB, suy ra
B (b ;
0.5
0.25
{7x+3y = 2¿¿¿¿
2−7b
)
3
0,25
0,25
0.25
0,5
1
d (B , AH )= BC=2 √ 2
2
Khi đó
0.5
|4b+4|
=2 √ 2⇒ ¿ [ b=2⇒ B(2;−4 ) [¿
3 √2
[ b=−4 (loai)
PT đường thẳng BC: x-y = 6
0.5
0.25
⇒
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
Câu
{ x-y = 6 ¿ ¿ ¿ ¿
Nội dung
Câu 5 a) . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam
4,0 giác ABC là tam giác cân.
+ Viết được
cos C=
sin A=
2
2
a + b −c
2 ab
2
a
b
;sin B=
2R
2R .
+
+ Thay vào = 2, rút gọn ta được b=c
+ Vậy tam giác ABC cân tại A
www.thuvienhoclieu.com
0.5
Điể
m
2,0
0.5
0.5
0.75
0.25
Trang 10
www.thuvienhoclieu.com
b). Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là mô ̣t điểm trên
cạnh AC sao
cho NC 2 NA và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng
BC NM BM NC . Hãy biểu diễn vecto AI theo hai vecto AB
minh
:
và AC
+ Chứng minh được BC NM BM NC
+ Ta có I là trung điểm của MN
⇒ AM + AN =2 AI
2.0
0.5
0.5
0.5
1
1
⇔ AB+ AC =2 AI
2
3
1 1
⇔ AI = AB + AC
4
6
0.5
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
***
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2016 – 2017
Môn thi: Toán - Khối 10
( Thời gian làm bài: 120 phút)
m 3 x 2 2 m 1 x m 0
Câu 1 (5.0 điểm). Cho phương trình:
1. Tìm m để phương trình có nghiệm
F x1 a x2 a
2. Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , tìm a để biểu thức
không phụ thuộc
vào m.
Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
1.
x 2 2 x 13
4 x 2
4 x
2 x 2 1
2.
3.
x 2
x 2
5
x 2
1
2
1
x2 y 1 x y
x 2 y 2 4 xy 4 x 2 y 5 0
www.thuvienhoclieu.com
Trang 11
www.thuvienhoclieu.com
Câu 3 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC,
chứng minh rằng :
c2
S
2 cot A cot B
Câu 4 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho
1
1
1
AM AB, BN BC , CE CA
AN
BE
CM 0
3
3
3
. Chứng minh rằng:
3
A ;3 ; B 6;0
Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm 2
. Viết phương
trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB
sao cho tứ giác MNEF là hình vuông.
Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng:
a3
b3
c3
3
b c 1 c a 1 a b 1 2
.
…………………Hết…………………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thh xem thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh….......
Câu
1
(5đ)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
Năm học 2016- 2017
Đáp án
Điểm
2
m 3 x 2 m 1 x m 0
Cho phương trình:
1. Tìm m để phương trình có nghiệm
TH1. Nếu m 3 0 m 3 , pt trở thành:
m 3 thỏa mãn.
TH2. Nếu m 3 0 m 3
3.0
4 x 3 0 x
3
4 là nghiệm
2
Ta có
' m 1 m m 3 1 m
'
Pt đã cho có nghiệm 0 1 m 0 m 1
kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là m 1
x ;x
2. Khi phương trình có hai nghiệm 1 2 , tìm a để biểu thức
F x1 a x2 a
không phụ thuộc vào m.
www.thuvienhoclieu.com
1.0
1.0
1.0
2.0
Trang 12
www.thuvienhoclieu.com
m 3
x ;x
Với m 1 phương trình có hai nghiệm 1 2 , khi đó theo định lí
2( m 1)
x1 x2 m 3
x x m
1 2
m 3
vi-et ta có:
, ta có:
m
2a( m 1)
2
F x1 a x2 a x1 x2 a ( x1 x2 ) a 2 m 3 m 3 a
=
m 2am 2a
m
3
2
a
(
m
3)
4
a
3 2
4a 3
a2
a 1 2a a 2
m 3
m 3
m3
3
4a 3 0 a
4
F không phụ thuộc vào m
2
(8đ)
1.
x 2 2 x 13
4 x 2
4 x
1.0
3.0
4 x 0
2 x 4
x
2
0
Đk :
x 2 2 x 13 4.
pt
1.0
0.5
4 x x 2
x 2 2 x 13 4 x 2 2 x 8
2
đặt t x 2 x 8 ( đk t 0 ). Ta có phương trình:
8 t 2 13 4t t 2 4t 21 0
t 7
t 3 kết hợp với điều kiện ta được t = 3
với t =3
1.0
2
x 2 2 x 8 3 x 2 2 x 8 9 x 1 0 x 1
2 x 2 1
x 2
2.
0.5
x 2
5
x 2
bpt
2 x 2 1 x 2 5
1.0
3.0
Đk x > 2
(TM).
2 x 2 1 7 x
7 x 0
7 x 0
x 2
x 2
2
2
2 x 2 1 7 x
x 14 x 51 0
kết hợp với đk ta có bpt
x 7
x 2
2 x 3
17 x 3
www.thuvienhoclieu.com
1.0
1.0
1.0
Trang 13
www.thuvienhoclieu.com
S 2;3
Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là:
3.
1
2
1
x2 y 1 x y
x 2 y 2 4 xy 4 x 2 y 5 0
Đk:
x 2
y 1
x y 0
2.0
x y
x y
x y
2
x y
2
x2
y 1
y 1
x2
2
2
2
x 2 y 1
2
2
2( x y ) ( x 2) y 1
x y x y 2
hpt
x y
a
x2
a b 2
b x y
1 1
a 4 + b 4 =2
y 1
đặt
(ĐK a, b > 0) , ta có hệ:
a b 2
a b 2
4
2
4
4 4
2
2 2
4 4
a b 2a b
(a b) 2ab 2a b 2a b
a b 2
a b 2
2
4 4
2 2
2 2
4 4
a b a b 8ab 8
4 2ab 2a b 2a b
a b 2
2 2 2 2
a b a b 1 8 ab 1 0
a b 2
a 1
ab 1 ( vì a, b > 0)
b 1
a 1
b 1
với
3
(2đ)
x y
1
x2
x y
1
y 1
a b 2
2 2
(ab 1) a b (ab 1) 8 0
x y x 2
x y y 1
x 1
y 2
0.5
0.5
0.5
0.5
(thỏa mãn)
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác
c2
S
4 cot A cot B
ABC, chứng minh rằng :
www.thuvienhoclieu.com
2.0
Trang 14
www.thuvienhoclieu.com
a
b2 c2 a 2
sin A 2 R
cosA
2bc
2
2
2 cot A
a
sin A
cosA b c a
2bc
2R
Ta có :
(b 2 c 2 a 2 ) R b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2
abc
abc
4S
4.
4R
a2 c2 b2
cot B
4S
tương tự ta cũng có:
, do đó
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 c2
cot A cot B
4S
4S
2S
4
(2đ)
c2
S
2 cot A cot B
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho
1
1
1
AM AB, BN BC , CE CA
3
3
3
. Chứng minh rằng: AN BE CM 0
1
1
BN BC AN AB BC
3
3
Từ gt ta có:
1
1
CE CA BE BC CA
3
3
1
1
AM AB CM CA AB
3
3
cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:
1
AN BE CM ( AB BC CA) ( BC CA AB)
3
0.5
0.5
0.5
0.5
2.0
1.0
0.5
AB
BC
CA
AA
0
mà
và BC CA AB BB 0 ,
nên AN BE CM 0
0.5
3
A ;3 ; B 6; 0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm 2
. Viết
phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N
trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông.
2.0
5
(2đ)
*) Viết pt đường thẳng AB:
9
3
AB ( ; 3) 3; 2
n 2;3
2
2
ta có AB có vtcp là
AB có vtpt là :
pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0 pt AB: 2x + 3y -12 = 0
*) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn
0.5
0.5
OB sao cho MNEF là hình vuông.
Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có:
MF //AH // NE
www.thuvienhoclieu.com
0.5
Trang 15
www.thuvienhoclieu.com
MF OM OA AM
AM
MN
MF
1
1
1
AH OA
OA
OA
OB
OB
MF
MF
1
MF 2 y 2 x 1
M
M
3
6
và yN 2 xN 3
khi đoa M(1 ; 2) , F(1; 0), N( 3; 2), E(3; 0)
6
(1đ)
0.5
Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn abc 1 chứng minh rằng:
a3
b3
c3
3
b c 1 c a 1 a b 1 2
1.0
do a, b, c là ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC- TBN ta có:
a3
b c 1
a3
b c 1 3a
3. 3
. .
b(c 1) 2
4
b(c 1) 2 4
2 ; tương tự ta cũng có:
b3
c a 1 3b
c (a 1) 2
4
2
3
c
a b 1 3c
a (b 1) 2
4
2
0.5
cộng theo vế các bđt trên ta được:
a b c a b c 3 3(a b c )
3
3
VT (a b c)
2
4
2
4
4
VT +
9 3 3
VT
3
4 4 2
mà a b c 3 abc 3 nên
đpcm
0.5
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
THPT HẬU LỘC 4
***
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG
Năm học 2015 – 2016
Môn thi: Toán - Khối 10
( Thời gian làm bài: 120 phút)
www.thuvienhoclieu.com
Trang 16
www.thuvienhoclieu.com
2
Câu 1 (5.0 điểm). Cho hàm số
y x 2 m 1 x 4
1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn
x1 x2 4
2. Tìm m để
.
y 0 với mọi x 1; 2 .
Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:
1.
x 5 2 x 3.
x 2 3x
2.
2( x 1)
x 2 7
x 2
3.
x 2 y 2 1 2 y x 2 x 1 3
2
2
x x y y 1
Câu 3 (2.0 điểm). Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
sin A
sin B 2sin C
2 cos B cosC
Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QM. Chứng
minh rằng: MB NC PD QA 0
Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa
đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ
đỉnh B và C của tam giác ABC.
Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn
4 a b c 3abc
chứng minh rằng:
1 1 1 3
a 3 b3 c3 8 .
…………………Hết…………………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thh xem thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh….......
Câu
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10
Năm Học 2015- 2016
Đáp án
www.thuvienhoclieu.com
Điểm
Trang 17
www.thuvienhoclieu.com
1
(5đ)
Cho hàm số
y x 2 2 m 1 x 4
1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2
thỏa mãn
x1 x2 4
3.0
.
2
xét phương trình:
x 2 m 1 x 4 0 (*)
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn
x1 x2 4
trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 ; x2 0
m 1 2 4 0
0
s 0 2 m 1 0
p 0
4 0
m 1
m 3 m 1
m 1
; theo định lí viet ta có:
1.0
'
x1 x2 2(m 1)
x1.x2 4
x1 x2 4 x1 x2 2 x1.x2 16 2(m 1) 4 16 m 5
2. Tìm m để
để
y 0 với mọi x 1; 2 .
x 1; 2
y 0 với mọi
1.0
(TM)
1.0
2.0
đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với
'
mọi
x 1; 2
0
y (1) 0
y (2) 0
m 1
m 3
3 2m 0
4 4m 0
2
(8đ)
1.
1.0
m 1
m 3
3
3
m
m
2
2
m 1
x 5 2 x 3.
x 2 3x
1.0
3.0
2
Đk : x 3x 0
2
2
pt x 3 x 3. x 3 x 10 0
2
2
đặt t x 3 x ( đk t 0 ). Ta có phương trình: t 3t 10 0
t 2
t 5 kết hợp với điều kiện ta được t = 2
www.thuvienhoclieu.com
0.5
0.5
1.0
Trang 18
www.thuvienhoclieu.com
x 1
x 2 3 x 2 x 2 3 x 4 0
x 4 (TM).
với t =2
2( x 1)
x 2 7
x 2
2.
Đk x > 2
2. x 1 x 2 7. x 2 7. x 2 3x 4
bpt
vì x > 2 nên 2 vế đều dương, do đó
x 6
9 x 73x 114 0
x 19
2
9
bpt 49( x 2) 9 x 24 x 16
19
2 x 9
x6
tập nghiệm của bpt là:
kết hợp với đk ta được
19
S = ( 2; 9 ) (6; )
2
3.
x 2 y 2 1 2 y x 2 x 1 3
2
2
x x y y 1
xy x 1
1 5
x y
2
xy y 1
a 2
1
b
2
xy x 2
xy x 2
1
3
xy
y
x
y
2
2
với
2 x 2 5 x 4 0
3
y x
2
(vô nghiệm)
3.0
1.0
1.0
1.0
2.0
( x 2 y 2 2 x 2 y x 2 ) 2 y ( x 1) 3 ( xy x ) 2 2( xy y ) 3
x( x 1) y ( y 1) 1
( xy x)( xy y ) 1
hpt
a 2 2b 3
a xy x
ab 1
b
xy
y
đặt
, ta có hệ:
2 2
3
(a 1)2 (a 2) 0
a a 3 a 3a 2 0
1
1
b 1
b
b
a
a
a
a 2
a 1
1
b
b
1
2
hoặc
a 1
với b 1
1.0
0.5
0.5
0.5
3
x( x ) x 2
2
y x 3
2
www.thuvienhoclieu.com
0.5
Trang 19
3
(2đ)
www.thuvienhoclieu.com
Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
sin A
2.0
sin B 2sin C
2 cos B cosC (1)
Ta có: (1)
b
2c
a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2
a
2
R
2
R
a
b 2c
a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2
2R
ac
2ab
2.
2ac
2ab
a 2 c 2 b2
a 2 b 2 c 2
a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2
(
2c) (
b) 0
0
c
2b
c
2b
1 1
a 2 b 2 c 2 . 0 a 2 b 2 c 2
c 2b
tam giác ABC vuông tại A
4
(2đ)
Cho tứ giác MNPQ
gọi
A,
B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QN.
Chứng minh rằng: MB NC PD QA 0
Theo quy tắc trung điểm ta có:
1
1
MB . MN MP
NC . NQ NP
2
2
;
;
1
1
PD . PM PQ
QA . QM QN
2
2
;
cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:
1
QM MN NQ PM QN NP PQ MP
VT = 2
1
1
QQ PM QQ MP PP 0
2
=2
= VP
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng
chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1
= 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.
Tọa độ điểm B:
vì B đt: x + y + 1 = 0 B(b; -b - 1)
b 3 b 1
M
;
2
2
gọi M là trung điểm của AB ta có
b 1
b 3
2 0 b 1
B(-1; 0)
2
vì M đt: 2x - y -2 = 0
Tọa độ điểm C:
vì AC đi qua A(3; 0) và vuông góc với đt: x + y + 1 = 0 nên ta có:
pt AC: x - y - 3 = 0
x y 3 0
x 1
C ( 1; 4)
y 4
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt: 2 x y 2 0
5
(2đ)
6
(1đ)
Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn
1.0
0.5
0.5
2.0
1.0
4 a b c 3abc
www.thuvienhoclieu.com
chứng
0.5
0.5
2.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
Trang 20
- Xem thêm -
.DOCX 
88 
14 
135 
