Tài liệu De on thi dai hoc toan cuc hay

ÑEÀ LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC SOÁ 5 Ñeà 5 GV: ÑINH VAÊN TRÍ CAÂU I: LTÑH Ñaùp aùn 5 4 2 2  CAÂU I: Cho haøm soá: y = x - (m + 10) x + 9  1.Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá öùng vôùi m=0 2.Chöùng minh raèng vôùi moïi  m ¹ 0 ,ñoà thò cuûa haøm soá luoân caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät .Chöùng minh raèng trong soá caùc giao ñieåm ñoù coù hai ñieåm naèm trong khoaûng (-3,3) vaø coù hai ñieåm naèm ngoaøi khoaûng (-3,3) CAÂU II: 1.Giaûi baát phöông trình :  1 + x - 1 - x ³ x Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm). 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m= 0. y = x4 – 10x2 + 9 · TXD: D = R  2. Giaûi phöông trình:  log 3  ç y ' = 4 x3 - 20 x = 4 x ( x 2 - 5)  é x = 0  y ' = 0 Û ê ë x = ± 5  y '' = 12 x 2 - 20  3.Cho tam thöùc baäc hai:  f ( x) = x 2  + ax + b y '' = 0 Û x = ± æ x 2  + x + 3  ö 2  ÷ = x + 3 x + 2  2  è 2 x + 4 x + 5 ø Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa a vaø b, trong 3 soá  f (0) , f (1) , f ( -1)  coù ít nhaát moät soá lôùn hôn hoaëc baèng  æ Þ ñieåm uoán  çç è 1  2 CAÂU III: Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta luoân coù:  tg · BBT: · Ñoà thò: 5 -44  Þ y= 3 9  5 44 ö æ 5 44 ö ; - ÷ ç - ; - ÷ 3 9 ÷ø çè 3 9 ÷ø A B C 3 + cos A + cos B + cos C  + tg + tg  = 2 2 2 sin A + sin B + sin C CAÂU IV: Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’ vôùi caïnh baèng a.Giaû söû M vaø N laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa BC vaø DD’. 1.Chöùng minh raèng MN song song vôùi maët phaúng (A’BD) 2.Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng BD vaø MN theo a CAÂU V: 1.Töø caùc chöõ soá 1,2,3,4,5,6 thieát laäp taát caû caùc soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau.Hoûi trong caùc soá ñaõ thieát laäp ñöôïc,coù bao nhieâu soá maø hai chöõ soá 1 vaø 6 khoâng ñöùng caïnh nhau? 2.Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá :  f ( x )  = 1 é x 2  = 1 é x = ±1  Cho  y = 0 Û ê Ûê ê x 2 = 9  ë x = ±3  ë cot gx  1 + sin x 2 ÑEÀ LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC SOÁ 5 GV: ÑINH VAÊN TRÍ LTÑH -x < -x < x < x 2 1 1 2  Ñaët f(t) = t 2 - (m2 + 10)t + 9  Ta coù: af(9)= 81 - 9m 2 - 90 + 9 = -9m 2  < 0, "m ¹ 0  Û 0 < t < 9 < t  1 2  ì x 2  < 9 ìï x 1 Î (-3;3)  ï 1 Ûí Ûí ï x  2 > 9  îï x 2 Î (-3;3)  î 2  Û - x < -3 < - x < x < 3 < x 2 1 1 2  Vaäy (Cm) caét Ox taïi 4 ñieåm phaân bieät trong ñoù 2 ñieåm Î (-3, 3) vaø 2 ñieåm  Ï (-3, 3) . CAÂU II: 1) Giaûi baát phöông trình:  1 +  x - 1 + x  ³ x  2) Chöùng minh raèng vôùi "  m ¹ 0 , (Cm) luoân luoân caét Ox taïi 4 ñieåm phaân bieät trong ñoù coù hai ñieåm naèm Î (-3,3) vaø 2 ñieåm naèm ngoaøi (-3,3). Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø Ox.  x 4 - (m2 + 10) x 2 + 9 = 0  (1) Ñaët  t = x 2 (t ³ 0)  Phöông trình trôû thaønh:  t 2 - (m2 + 10)t + 9 = 0  (2) Ta coù: ìD = ( m 2 + 10 ) 2  - 36 > 0 , "m  ïï íP = 9 > 0  ï ïîS  = m 2  + 10 > 0 , "m  ì1 + x ³ 0  Û -1 £ x £ 1  î1 - x ³ 0  2 x  ³ x  Ta coù: Baát phöông trình  Û 1 + x + 1 - x Ñieàu kieän: í Û 2x ³ x ( 1 + x + 1 - x )  (*) Xeùt x =0: Hieån nhieân (*) ñuùng. Vaäy x =0 laø nghieäm. Xeùt  -1 £ x £ 0 : Khi ñoù (*) trôû thaønh: 2 £ Û 1 - x 2 ³ 1 Û x 2  £ 0  Û x = 0  (loaïi) Û x 2  ³ 0 Û 0 < x £ 1 . 3 1 + x + 1 - x Û 4 £ (1 + x) + (1 - x) + 2 1 - x 2  Xeùt  0 < x £ 1  khi ñoù (*) trôû thaønh: 2 ³ Þ 0 < t1 < t2 Þ (1) coù 4 nghieäm phaân bieät ( 4  ( 1 + x + 1 - x )  )  ÑEÀ LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC SOÁ 5 Toùm laïi nghieäm cuûa baát phöông trình laø:  0 £ x £ 1 . æ x 2  + x + 3  ö 2  ÷ = x + 3 x + 2  2  è 2 x + 4 x + 5 ø 2) Giaûi phöông trình:  log 3  ç ìu = x 2 + x + 3  ï Ñaët:  í 2  îïv = 2 x + 4 x + 5  GV: ÑINH VAÊN TRÍ LTÑH 3) Cho f(x)=x2 + ax + b. Chöùng minh trong 3 soá | f(0) |, | f(1) |, | f(-1) | coù ít nhaát 1 soá lôùn hôn hay baèng  Duøng phöông phaùp chöùng minh phaûn chöùng: Giaû söû caû 3 soá  f (o ) , f (1) , f ( -1)  ñeàu nhoû hôn  1  nghóa laø:  2 1 1  ì ì 1 ï f (o ) < 2 ï- 2 < f (0)  < 2  ï ï 1 1  ï ï 1 Þ í- < f (1)  < í f (1) < 2 2  ï ï 2 1 ï 1 1  ï ï f (-1) < 2 ï- 2 < f (-1)  < 2  î î 1  ì 1 ï- 2 < b < 2 (1)  ï 1  ï 1 Þ í- < 1 + a + b < (2)  2  ï 2 1  ï 1 ï- 2 < 1 - a + b < 2 (3)  î Hieån nhieân u, v>0,  "x vaø  v - u = x 2 + 3 x + 2 . Khi ñoù phöông trình trôû thaønh:  u  log  = v - u  (*) 2  v u  Neáu u > v thì  > 1  v u  Do ñoù: VT=  log > 0  2  v VP = v-u < 0 Suy ra phöông trình voâ nghieäm. Neáu u < v thì  0 < 1 . 2  u  < 1  v Do ñoù: VT =  log u  < 0  2  v (2) coäng (3) ta ñöôïc : -1 < 2 + 2b < 1  Þ- VP = v – u > 0 Suy ra phöông trinh voâ nghieäm. Vaäy: (*)  Û u = v Nghóa laø:  3 1  < b < - . Maâu thuaån vôùi (1). 2 2  Vaäy coù ít nhaát 1 trong 3 soá  f (o ) , f (1) , f ( -1)  lôùn hôn hay baèng  x 2 + x + 3 = 2 x 2 + 4 x + 5  CAÂU III: Chöùng minh raèng trong moïi D ABC ta luoân coù: A B C 3 + cos A + cos B + cos C  + tg  + tg  =  2  2  2  sin  A + sin B + sin C  Û x 2 + 3 x + 2 = 0  tg  Û x = -1 Ú x = -2  Ta coù:  Toùm laïi nghieäm cuûa phöông trình laø: x = -1, x= -2 5 1  . 2 cos A + cos B + cos C = 2 cos 6 (1) A+ B A-B C  cos + 1 - 2 sin 2  2 2 2  ÑEÀ LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC SOÁ 5 GV: ÑINH VAÊN TRÍ Cé A-B A+ Bù A B C =  1 + 2sin êcos - cos = 1 + 4 sin sin sin  ú 2ë 2 2 û  2 2 2  A+ B A- B C C  sin A + sin B + sin C = 2 sin cos + 2 sin cos  2 2 2 2  Cé A-B A+ Bù A B C = 2 cos ê cos + cos = 4 cos cos cos  ú 2ë 2 2 û 2 2 2  A’  D  C’  B’  N H  Do ñoù: D  A  A B C  A B C  1 + sin 2 sin 2 sin  2  (1)  Û tg + tg + tg  =  2 2 2  cos A cos B cos C 2 2 2  A B C B A C C A C  co s co s + sin co s co s + sin co s co s  2 2 2 2 2 2 2 2 2  A B C = 1 + sin sin sin  2 2 2  Û sin Û sin LTÑH F  Aæ B C B Cö Aæ B C C B ö ç co s co s - sin sin ÷ + co s ç sin co s + sin co s ÷ = 1  2è 2 2 2 2ø 2è 2 2 2 2 ø  A B+C A B + C  Û sin co s + co s sin = 1  2 2 2 2  Û sin 2 O  B  C  M  FN // A ' D ü ý Þ ( FIM ) //( A ' BD ) Þ MN //( A ' BD )  ME // BD þ 2) khoaûng caùch giöõa BD vaø MN. Ta coù (A’BD)//(FIM) neân d(BD,MN)=d((A’BD),(FIM)) Veõ  AH ^ A ' O Ta coù  BD ^  AH Þ AH ^ ( A ' BD )  Goïi l laø khoaûng caùch töø A ñeán (FIM),ta coù:  AH AO  2 3  = = Þ l = AH  l  Ak 3 2  Þ d (( A ' BD ), ( FIM )) =  l - AH = Caùch 2: 7 E  1) MN//(A’BD) Goïi E, F laø trung ñieåm CD vaø A’D’. Ta coù FN vaø ME caét nhau taïi  I ΠAD A A  + co s 2  = 1 (ñuùng) 2 2  Vaäy ñaúng thöùc ñaõ cho ñuùng. CAÂU IV: Caùch 1: K  8 1  a  AH = 2  2 3  I  ÑEÀ LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC SOÁ 5 Z  GV: ÑINH VAÊN TRÍ LTÑH a2 A’  uuur uuuur uuur a 2  ,, - )  Þ Phaùp veùc tô a laø: n = éë MN , BD ùû = ( a 2 2 2  uur Hay  na = (1,1,1) . D’  Maët khaùc a qua M neân coù phöông trình laø:  C’  B’  N Y  A  D  B  M  a2 C  X  Choïn heä truïc Axyz nhö hình veõ. Suy ra: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), A’(0, 0, a), B’(a;0;a), C’(a, a, a), D’(0, a, a). Ta coù: a  a  M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC vaø DD’ neân  M ( a , , 0)  vaø N (0, a , ) 2  2  1) Chöùng minh MN//(A’BD): uuuur  Ta coù:  A ' B = ( a , 0, - a )  uuuur A ' D = (0, a , - a )  Suy ra phaùp veùc tô cuûa (A’BD) laø:  r uuuur uuuur n = éë A ' B, A ' D ùû = (a 2 , a 2 , a 2 )  Ta coù veùc tô chæ phöông cuûa MN laø:  uuuur æ a a ö MN = ç - a, , ÷ 2 2 ø è r uuuur  a 3 a 3  Ta laïi coù:  n.MN = - a 3 + + = 0  2 2  r uuuur Þ n ^ MN  Þ MN //( A ' BD )  2) Tính khoaûng caùch giöõa MN vaø BD Goïi a laø maët phaúng chöùa MN vaø BD 9 a  1( x - a ) + 1( y - ) + ( z - 0) = 0  2  Û 2 x + 2 y + 2 z - 3a = 0  a  Vaäy d(MN, BD) =  d ( B, a ) = 2 3  CAÂU V: 1) Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø:  p = 720  soá. 6  Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø coù soá 1 vaø 6 ôû caïnh nhau laø: (2!4!).5=240 soá. Suy ra soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø coù soá 1 vaø 6 khoâng ôû caïnh nhau laø: 720 -240 = 480 soá. 2) Ta coù:  ò cot gx cos x  dx = ò dx  1 + sin x sin x(1 + sin x )  ò 1  d (sin x )  sin x (1 + sin x )  1  ù é 1 òê ú d (sin x )  ë sin x 1 + sin x û = ln sin x - ln 1 + sin x + C = ln  10 sin x  + C  1 + sin x