Tài liệu Đề cương hình học lớp 12 học kì 2

ĐỀ CƯƠNG TẬP 2 Năm học: 2021 - 2022 HỌ VÀ TÊN:…………………………………………………………………… LỚP:……………………………………………………………………………. “Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ LƯỜI BIẾNG” MỤC LỤC Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 .... §1 - HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ....................................................................................................... 1 ............................................................................................................................ 1 .............................................................................................................................. 2 A. Định nghĩa hệ trục tọa độ B. Tọa độ véc-tơ C. Tọa độ điểm ................................................................................................. 2 .............................................................................................................. 3 D. Tích có hướng của hai véc-tơ E. Phương trình mặt cầu | Dạng 1.1: Nhóm bài toán liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng của điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ .............................................................................................................. | Dạng 1.2: Bài toán liên quan đến véc-tơ và độ dài đoạn thẳng ................................. | Dạng 1.3: Bài toán liên quan đến tọa độ trung điểm và trọng tâm ........................ 4 9 16 | Dạng 1.4: Nhóm bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai véc-tơ ................... 21 | Dạng 1.5: Nhóm bài toán liên quan đến tích có hướng của hai véc-tơ ................... 27 ................................................... 32 ...................................................... 42 ..................................................................................... 48 | Dạng 1.6: Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu | Dạng 1.7: Viết phương trình mặt cầu loại cơ bản F. BÀI TẬP TỰ LUYỆN - MẶT CẦU §2 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 A. Kiến thức cơ bản cần nhớ ..................................................................................................... | Dạng 2.8: Xác định các yếu tố của mặt phẳng B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ........................................................... 54 ............................................................................................................ 61 | Dạng 2.9: Viết phương trình mặt phẳng C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ...................................................................... 62 ............................................................................................................ 79 | Dạng 2.10: Điểm thuộc mặt phẳng ............................................................................... | Dạng 2.11: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 85 ...................................... 88 .......................................... 91 ............................................................................................................ 93 | Dạng 2.12: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 52 §3 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ .................................................................................... | Dạng 3.13: Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 107 ....................................... 109 .......................................................................................................... 114 2 3 MỤC LỤC | Dạng 3.14: Góc .............................................................................................................. | Dạng 3.15: Khoảng cách C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ............................................................................................... 121 .......................................................................................................... 123 | Dạng 3.16: Viết phương trình đường thẳng ............................................................... | Dạng 3.17: Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng D. BÀI TẬP VẬN DỤNG 117 125 ................. 150 ......................................................................................................... 160 | Dạng 3.18: Xác định phương trình đường thẳng ....................................................... 160 §4 - ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 .................................................................................... 193 .......................................................................................................... 193 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ B. CÁC DẠNG BÀI TẬP | Dạng 4.19: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm GÓC ................................. | Dạng 4.20: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm KHOẢNG CÁCH ............ 193 195 | Dạng 4.21: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH 197 Chuyên đề 2: GÓC - KHOẢNG CÁCH ........................................ 200 §1 - GÓC TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 A. CÁC DẠNG BÀI TẬP .......................................................................................................... | Dạng 1.22: Góc giữa hai đường thẳng B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ........................................................................ 200 .......................................................................................................... 205 | Dạng 1.23: Góc của đường thẳng với mặt phẳng C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ..................................................... 208 .......................................................................................................... 215 | Dạng 1.24: Góc giữa hai mặt phẳng D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 200 ........................................................................... 220 .......................................................................................................... 226 §2 - KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 A. CÁC DẠNG BÀI TẬP .......................................................................................................... | Dạng 2.25: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................... 231 .......................................................................................................... 235 | Dạng 2.26: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 230 ..................................... 242 .......................................................................................................... 247 | Dạng 2.27: Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt phẳng ............................................................................................................................. Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 252 h https://fb.com/toanthayhoangblue CHUYÊN ĐỀ ĐỀ CHUYÊN LỚP TOÁN THẦY HOÀNG - 0931.568.590 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 § 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. ĐỊNH NGHĨA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ z Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau #» từng đôi một, và chung điểm gốc O. Gọi i = #» #» (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) là các véc-tơ #» k #» i đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian hay hệ trục Oxyz. #» #»2 #» #» #» #» #» i = j 2 = k 2 = 1 và i · j = j · k = #» #» k · i = 0. O #» j x ! B. TỌA ĐỘ VÉC-TƠ #» #» #» c Định nghĩa 1.1. Cho #» a = (x; y; z) ⇔ #» a = x i +yj +zk. #» Cho #» a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ), k ∈ R. #» • #» a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ). • k #» a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ).    a1 = b 1    #» • Hai véc-tơ bằng nhau #» a = b ⇔ a2 = b 2     a3 = b 3 . a2 a3 a1 #» #» = = . • #» a  b ⇔ #» a =kb ⇔ b1 b2 b3 p • Mô-đun (độ dài) véc-tơ: #» a 2 = a21 + a22 + a23 ⇒ | #» a | = a21 + a22 + a23 . y 2 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  #» Ä #»ä #»   • Tích vô hướng: #» a · b = | #» a | ·  b  · cos #» a, b .  #» #»   • #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = a1 · b 1 + a2 · b 2 + a3 · b 3 = 0   #» #» Ä #»ä Suy ra: a· b a · b + a2 · b 2 + a3 · b 3 #»   =p 1 1 p • cos a , b = .  #»     a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 | #» a| ·  b  C. TỌA ĐỘ ĐIỂM #» # » #» #» c Định nghĩa 1.2. M (a; b; c) ⇔ OM = a i + b j + c k = (a; b; c).  GHI NHỚ M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0, M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0, M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 M ∈ Ox ⇔ y = z = 0, M ∈ Oy ⇔ x = z = 0, M ∈ Oz ⇔ x = y = 0. Cho hai điểm A = (xA ; yA ; zA ), A = (xB ; yB ; zB ). p # » • AB(xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) ⇒ AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 . x + x y + y z + z  A B A B A B ; ; . 2 2 2 x + x + x y + y + y z + z + z  A B C A B C A B C • Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G ; ; . 3 3 3 • Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M • Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, khi đó tọa độ điểm G là x + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z  A B C D A B C D A B C D G ; ; . 4 4 4 D. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ c Định nghĩa 1.3. Trong hệ trục tọa đô Oxyz, cho hai véc-tơ   #» a = (a1 ; a2 ; a3 ) . Tích  #» b = (b1 ; b2 ; b3 ) î #»ó #» #» có hướng của hai véc-tơ #» a và b là một véc-tơ, ký hiệu là #» a , b (hoặc #» a ∧ b ) và được xác định bởi công thức Ñ     é       î #»ó  a2 a3   a3 a1   a1 a2  #» ; ;  = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) . a , b =        b2 b3   b3 b1   b1 b2  ! î #»ó #» Nếu #» c = #» a , b thì ta luôn có #» c ⊥ #» a và #» c ⊥ b. î #» #»ó #» î #» #»ó #» î #» #»ó #» i , j = k, j , k = i , k, i = j î #»ó  #» Ä #»ä     #» #» 3.  a , b  = | a | ·  b  · sin #» a; b 1. 2. î î #»ó #» #»ó #» a , b ⊥ #» a , #» a, b ⊥ b î #»ó #» #» 4. #» a  b ⇔ #» a, b = 0 Ứng dụng của tích có hướng h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 3 Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN î #»ó #» a) Để #» a , b , #» c đồng phẳng ⇔ #» a , b · #» c = 0. î #»ó #» Ngược lại, để #» a , b , #» c không đồng phẳng thì #» a , b · #» c = 6 0 (thường gọi là tích hỗn tạp). Do đó, để chứng minh 4 điểm A, B, C, D là bốn điểm của một tứ diện, ta cần chứng minh î # » # »ó # » # » # » # » AB, AC, AD không đồng phẳng, nghĩa là AB, AC · AD 6= 0. # » # » # » Ngược lại, để chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, ta cần chứng minh AB, AC, AD î # » # »ó # » cùng thuộc một mặt phẳng ⇔ AB, AC · AD = 0. b) Diện tích của hình bình hành ABCD là î # » # » ó    SABCD =  AB, AD . c) Diện tích của tam giác ABC là 1 î # » # »ó SABC = ·  AB, AC . 2 A d) Thể tích khối hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 là î # » # » ó # »    V =  AB, AD · AA0 . e) Thể tích khối tứ diện ABCD là V = E. D C A B B C 1 î # » # »ó # » ·  AB, AC · AD. 6 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU a) Phương trình mặt cầu (S) dạng 1. Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tâm I(a; b; c) và bán kính R. Khi đó: (S) :   • Tâm I(a; b; c) ⇒ (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .  • Bán kính R b) Phương trình mặt cầu (S) dạng 2. Khai triển dạng 1, ta được x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + a2 + b2 + c2 − R2 = 0 và đặt d = a2 + b2 + c2 − R2 thì được phương trình mặt cầu dạng 2 là (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 . với a2 +b2 +c2 −d > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R = Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 √ a2 + b2 + c2 − d. h https://fb.com/toanthayhoangblue 4 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN p Dạng 1.1. Nhóm bài toán liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng của điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ a) Hình chiếu: “Thiếu cái nào, cho cái đó bằng 0”. Nghĩa là hình chiếu của M (a; b; c) lên: • Ox là M1 (a; 0; 0). • Oy là M2 (0; b; 0). • Oz là M3 (0; 0; c). • (Oxy) là M4 (a; b; 0). • (Oxz) là M5 (a; 0; c). • (Oyz) là M6 (0; b; c). b) Đối xứng: “Thiếu cái nào, đổi dấu cái đó”. Nghĩa là điểm đối xứng của N (a; b; c) qua: • Ox là N1 (a; −b; −c). • Oy là N2 (−a; b; −c). • Oz là N3 (−a; −b; c). • (Oxy) là N4 (a; b; −c). • (Oxz) là N5 (a; −b; c). • (Oyz) là N6 (−a; b; c). c) Khoảng cách: Để tìm khoảng cách từ điểm M đến trục (hoặc mặt phẳng tọa độ), ta tìm hình chiếu H của điểm M lên trục (hoặc mặt phẳng tọa độ), từ đó suy ra khoảng cách cần tìm là d = M H. L Ví dụ 1 (Mã 101-2022). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3). Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là A (0; 2; −3). B (1; 0; −3). C (1; 2; 0). D (1; 0; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 2 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1). Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (2; −2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là A (2; 0; 1). B (2; −2; 0). C (0; −2; 1). D (0; 0; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 5 Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN L Ví dụ 3 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2). Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (2; 1; −1) trên mặt phẳng (Ozx) có tọa độ là A (0; 1; 0). B (2; 1; 0). C (0; 1; −1). D (2; 0; −1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 4. (Mã 102-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox có tọa độ là A (0; 2; 0). B (0; 0; 5). C (1; 0; 0). D (0; 2; 5). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 5. (Mã 101-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A (3; 2; 1) trên trục Ox có tọa độ là: A (0; 2; 1). B (3; 0; 0). C (0; 0; 1). D (0; 2; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 6. (Mã 103-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A (3; 5; 2) trên trục Ox có tọa độ là A (0; 5; 2). B (0; 5; 0). C (3; 0; 0). D (0; 0; 2). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 6 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN L Ví dụ 7. (Mã 104-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(8; 1; 2) trên trục Ox có tọa độ là A (0; 1; 0). B (8; 0; 0). C (0; 1; 2). D (0; 0; 2). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 8. (Mã 101-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz. Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy? A (0; 4; 2). B (1; 4; 0). C (1; 0; 2). D (0; 0; 2). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 9. (Mã 103-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A (3; 5; 2) trên mặt phẳng (Oxy)? A M (3; 0; 2). B (0; 0; 2). C Q (0; 5; 2). D N (3; 5; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 10. (Mã 102-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A (1; 2; 3) trên mặt phẳng Oxy. A Q (1; 0; 3). B P (1; 2; 0). C M (0; 0; 3). D N (0; 2; 3). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 7 Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN L Ví dụ 11. (Mã 104-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A (3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)? A Q (0; 4; 1). B P (3; 0; 1). C M (0; 0; 1). D N (3; 4; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 12. (Mã 104-2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (3; 1; −1) trên trục Oy có tọa độ là A (3; 0; −1). B (0; 1; 0). C (3; 0; 0). D (0; 0; −1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 13. (Mã 103-2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (2; 1; −1) trên trục Oy có tọa độ là A (0; 0; −1). B (2; 0; −1). C (0; 1; 0). D (2; 0; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 14. (Mã 102-2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là A (3; −1; 0). B (0; 0; 1). C (0; −1; 0). D (3; 0; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 8 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN L Ví dụ 15. (Mã 101-2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (2; 1; −1) trên trục Oz có tọa độ là A (2; 0; 0). B (0; 1; 0). D (0; 0; −1). C (2; 1; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 16. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3; −1; 1). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm A M (3; 0; 0). B N (0; −1; 1). C P (0; −1; 0). D Q (0; 0; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 17. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ (Oyz)? A M (3; 4; 0). B P (−2; 0; 3). C Q (2; 0; 0). D N (0; 4; −1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 18. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M (4; 5; 6). Hình chiếu của M xuống mặt phẳng (Oyz) là M 0 . Xác định tọa độ M 0 . A M 0 (4; 5; 0). B M 0 (4; 0; 6). C M 0 (4; 0; 0). D M 0 (0; 5; 6). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 9 Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN L Ví dụ 19. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M (x; y; z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu M 0 đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M 0 (x; y; −z). B Nếu M 0 đối xứng với M qua Oy thì M 0 (x; y; −z). C Nếu M 0 đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M 0 (x; y; −z). D Nếu M 0 đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 0 (2x; 2y; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 20. (THCS-THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz, tọa độ điểm đối xứng của M (1; 2; 3) qua mặt phẳng (Oyz) là A (0; 2; 3). B (−1; −2; −3). D (1; 2; −3). C (−1; 2; 3). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 21. (Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; −3; 5). Tìm tọa độ A0 là điểm đối xứng với A qua trục Oy. A A0 (2; 3; 5). B A0 (2; −3; −5). C A0 (−2; −3; 5). D A0 (−2; −3; −5). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... p Dạng 1.2. Bài toán liên quan đến véc-tơ và độ dài đoạn thẳng Bài toán liên quan đến véc-tơ và độ dài đoạn thẳng CẦN NHỚ: Cho hai điểm A = (xA ; yA ; zA ), A = (xB ; yB ; zB ). # » • AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ). Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 10 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN • AB = p (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 . #» #» #» • #» a = (x; y; z) ⇔ #» a = x i +yj +zk. #» #» #» Ví dụ #» a = 2 i − 3 j + k ⇔ #» a (. . . ; . . . ; . . .). #» # » #» #» • M (a; b; c) ⇔ OM = a i + b j + c k . # » #» #» Ví dụ OM = 2 i − 3 j ⇔ M (. . . ; . . . ; . . .). • Điểm thuộc trục và mặt phẳng tọa độ (thiếu cái nào cho cái đó bằng 0): – M ∈ (Oxy) −→ M (xM ; yM ; 0). z=0 – M ∈ Ox −→ M (xM ; 0; 0). – M ∈ (Oyz) −→ M (0; yM ; zM ). x=0 – M ∈ Oy −→ M (0; yM ; 0). y=0 – M ∈ Oz −→ M (0; 0; zM ). – M ∈ (Oxz) −→ M (xM ; 0; zM ). y=z=0 x=z=0 x=y=0 L Ví dụ 1 (Mã 101-2021-Lần 2). Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ #» u = (1; −2; 3) và #» v = (−1; 2; 0). Tọa độ của vectơ #» u + #» v là A (0; 0; −3). B (0; 0; 3). C (−2; 4; −3). D (2; −4; 3). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 2 (Đề minh họa 2022). Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ #» u = (1; 3; −2) và #» v = (2; 1; −1). Tọa độ của vectơ #» u − #» v là A (3; 4; −3). B (−1; 2; −3). C (−1; 2; −1). D (1; −2; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 3 (Mã 104-2022). Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ #» u = (1; −4; 0) và #» v = (−1; −2; 1). Vectơ #» u + 3 #» v có tọa độ là A (−2; −10; 3). B (−2; −6; 3). h https://fb.com/toanthayhoangblue C (−4; −8; 4). D (−2; −10; −3). Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 11 Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 4 (Mã 102 - 2021 - Lần 1). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; −1; 3). Tọa # » độ vectơ OA là A (−4; 1; 3). B (4; −1; 3). C (−4; 1; −3). D (4; 1; 3). L Ví dụ 5 (THPT Quốc Gia 2021 – Lần 1 - Mã 102). Trong không gian Oxyz, cho # » điểm A(−2; 3; 5). Tọa độ của vectơ OA là A (−2; 3; 5). B (2; −3; 5). C (−2; −3; 5). D (2; −3; 5). L Ví dụ 6. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; −2) và B (2; 2; 1). # » Vectơ AB có tọa độ là A (−1; −1; −3). B (3; 1; 1). C (1; 1; 3). D (3; 3; −1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 7. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; −1) và # » B (2; 3; 2). Vectơ AB có tọa độ là A (1; 2; 3). B (−1; −2; 3). C (3; 5; 1). D (3; 4; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 8. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A (2; 2; 1). Tính độ dài đoạn thẳng OA. √ A OA = 5. B OA = 5. C OA = 3. D OA = 9. .......................................................................................... Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 12 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 9. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho #» #» #» ba vecto #» a (1; 2; 3) ; b (2; 2; −1) ; #» c (4; 0; −4). Tọa độ của vecto d = #» a − b + 2 #» c là #» #» #» #» A d (−7; 0; −4). B d (−7; 0; 4). C d (7; 0; −4). D d (7; 0; 4). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 10. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (0; 1; −1), # » B (2; 3; 2). Vectơ AB có tọa độ là A (2; 2; 3). B (1; 2; 3). C (3; 5; 1). D (3; 4; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 11. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho #» a = (2; 3; 2) #» #» và b = (1; 1; −1). Vectơ #» a − b có tọa độ là A (3; 4; 1). B (−1; −2; 3). C (3; 5; 1). D (1; 2; 3). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 12. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục #» tọa độ Oxyz, cho #» a = (2; −3; 3), b = (0; 2; −1), #» c = (3; −1; 5). Tìm tọa độ của vectơ #» #» u = 2 #» a + 3 b − 2 #» c. A (10; −2; 13). B (−2; 2; −7). C (−2; −2; 7). D (−2; 2; 7). .......................................................................................... h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 13 Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 13. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ #» #» #» Oxyz, cho #» a = − i + 2 j − 3 k . Tọa độ của vectơ #» a là A (−1; 2; −3). B (2; −3; −1). C (2; −1; −3). D (−3; 2; −1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... #» L Ví dụ 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho #» a = (2; −3; 3), b = (0; 2; −1), #» #» c = (3; −1; 5). Tìm tọa độ của vectơ #» u = 2 #» a + 3 b − 2 #» c. A (10; −2; 13). B (−2; 2; −7). C (−2; −2; 7). D (−2; 2; 7). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 15. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ #» x = (2; 1; −3) và #» y = (1; 0; −1). Tìm tọa độ của vectơ #» a = #» x + 2 #» y. A #» a = (4; 1; −1). B #» a = (3; 1; −4). C #» a = (0; 1; −1). D #» a = (4; 1; −5). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 16. (THPT-Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz, cho A (2; −1; 0) # » và B (1; 1; −3). Vectơ AB có tọa độ là A (3; 0; −3). B (−1; 2; −3). C (−1; −2; 3). D (1; −2; 3). .......................................................................................... Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 14 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 17. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A (2; −2; 1) , B (1; −1; 3) Tọa # » độ vecto AB là: A (−1; 1; 2). B (−3; 3; −4). C (3; −3; 4). D (1; −1; −2). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... #» #» #» L Ví dụ 18. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i , j , k #» #» #» lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz Tính tọa độ của vecto i + j − k #» #» #» #» #» #» A i + j − k = (−1; −1; 1). B i + j − k = (−1; 1; 1). #» #» #» #» #» #» C i + j − k = (1; 1; −1). D i + j − k = (1; −1; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 19. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz #» #» #» giả sử #» u = 2 i + 3 j − k , khi đó tọa độ véc tơ #» u là A (−2; 3; 1). B (2; 3; −1). C (2; −3; −1). D (2; 3; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 20. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz, cho #» a = (1; 2; 1) #» #» và b = (−1; 3; 0). Vectơ #» c = 2 #» a + b có tọa độ là A (1; 7; 2). B (1; 5; 2). C (3; 7; 2). D (1; 7; 3). .......................................................................................... h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 15 Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 21. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ #» #» #» tọa độ Oxyz, cho #» a = − i + 2 j − 3 k Tọa độ của vectơ #» a là: A #» a (−1; 2; −3). B #» a (2; −3; −1). C #» a (−3; 2; −1). D #» a (2; −1; −3). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 22. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −3; 1), B (3; 0; −2). Tính độ dài AB. A 26. B 22. C √ 26. D √ 22. .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 23. (Chuyên-KHTN-Hà Nội-2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; −2; −1), B (1; 4; 3). Độ dài đoạn thẳng AB là √ √ A 2 13. B 6. C 3. √ D 2 3. .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 24. (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz,   #» #»   #» a (−2; 2; 0) , b (2; 2; 0) , #» c (2; 2; 2). Giá trị của  #» a + b + #» c  bằng √ √ A 6. B 11. C 2 11. D 2 6. cho .......................................................................................... Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 16 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 25. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A (1; 3; 5), B (2; 2; 3). Độ dài đoạn AB bằng √ √ A 7. B 8. C √ 6. D √ 5. .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... p Dạng 1.3. Bài toán liên quan đến tọa độ trung điểm và trọng tâm Bài toán liên quan đến trung điểm tọa độ trọng tâm CẦN NHỚ: Cho hai điểm A = (xA ; yA ; zA ), A = (xB ; yB ; zB ). • Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M NHỚ: M = x + x y + y z + z  A B A B A B ; ; . 2 2 2 A+B 2 • Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G NHỚ: G = x + x + x y + y + y z + z + z  A B C A B C A B C ; ; . 3 3 3 A+B+C 3 • Gọi G1 là trọng tâm tứ diện ABCD, khi đó tọa độ điểm G là x + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z  A B C D A B C D A B C D G ; ; . 4 4 4 A+B+C +D NHỚ: G1 = 4 L Ví dụ 1. Cho hai điểm A(3; −2; 3) và B(−1; 2; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. A I(−2; 2; 1). B I(1; 0; 4). C I(2; 0; 8). D I(2; −2; −1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 17 Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN L Ví dụ 2. Cho hai điểm M (1; −2; 3) và N (3; 0; −1). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn MN. A I(4; −2; 2). B I(2; −1; 2). C I(4; −2; 1). D I(2; −1; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 3. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; −4; 3) và B (2; 2; 7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A (4; −2; 10). B (1; 3; 2). D (2; −1; 5). C (2; 6; 4). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 4. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (3; −4; 0), B (−1; 1; 3), C (3, 1, 0). Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD = BC. A D (6; 0; 0), D (12; 0; 0). B D (0; 0; 0), D (6; 0; 0). C D (−2; 1; 0), D (−4; 0; 0). D D (0; 0; 0), D (−6; 0; 0). .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... L Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3; −2; 3) và B (−1; 2; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. A I (1; 0; 4). B I (2; 0; 8). C I (2; −2; −1). D I (−2; 2; 1). .......................................................................................... .......................................................................................... Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue