Tài liệu đạo hàm cấp một của hàm ma trận

Header Page 1 of 161. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN -------------------- NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN ĐẠO HÀM CẤP MỘT CỦA HÀM MA TRẬN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. KHÓA LUẬN TỐT SƯ NGHIỆP TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠMĐẠI HÀHỌC NỘI 2 Chuyên ngành: Giải tích KHOA TOÁN -------------------- NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN HÀ NỘI - 2016 ĐẠO HÀM CẤP MỘT CỦA HÀM MA TRẬN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. HỒ MINH TOÁN HÀ NỘI - 2016 Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hồ Minh Toàn, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình tìm hiểu và hoàn thiện khóa luận. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 - nơi tác giả học tập trong toàn khóa học. Nền tảng kiến thức mà tác giả có được là kết quả của quá trình giảng dạy của thầy cô cũng như môi trường khoa học mà các thầy cô mang lại. Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tác giả, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài này. Xuân Hòa, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền i Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Hồ Minh Toàn, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn. Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Xuân Hòa, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền ii Footer Page 4 of 161. Header Page 5 of 161. Mục lục Lời mở đầu iv 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1.2 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Phép tính vi phân cấp một trên Rn 2.1 Đạo hàm cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 2.2 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Đạo hàm theo hướng, Đạo hàm Gateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Đạo hàm cấp một hàm ma trận 23 3.1 3.2 Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Định nghĩa hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 24 3.3 Đạo hàm hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận chung 33 Tài liệu tham khảo 34 iii Footer Page 5 of 161. Header Page 6 of 161. Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Ma trận và đạo hàm là những nội dung quan trọng của Toán học, chúng có ứng dụng rất lớn trong Toán học nói riêng và khoa học nói chung. Vậy hai nội dung này có quan hệ với nhau như thế nào? Để nghiên cứu vấn đề này, tác giả lựa chọn đề tài "Đạo hàm cấp một của hàm ma trận" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. Đây cũng là một đề tài còn khá mới đối với nền Toán học Việt Nam. Tài liệu chuyên khảo [5] của hai tác giả Rajendra Bhatia, Kalyan B.Sinha và [6] của tác giả Rajendra Bhatia là một trong những cẩm nang khá đầy đủ và chi tiết về đạo hàm của hàm ma trận. Bản khóa luận đã trình bày lại một số kết quả chọn lọc về hàm ma trận được trích dẫn từ các tài liệu này. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu Đạo hàm cấp một của hàm ma trận. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu Đạo hàm cấp một của hàm ma trận. Đối tượng nghiên cứu gồm Giải tích hàm và Ma trận. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp,... 5. Cấu trúc Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" hệ thống hóa một số kiến thức cơ sở về ma trận, không gian Hilbert. Chương 2 "Phép tính vi phân cấp một trên Rn " trình bày khái niệm đạo hàm Fréchet, đạo hàm Gateaux, một số tính chất của hàm nhiều biến và đưa ra ví dụ minh họa cho lớp các đạo hàm này. Chương 3 "Đạo hàm cấp một hàm ma trận" là phần chính của luận văn, tác giả trình bày khái niệm hàm ma trận, đạo hàm Fréchet của hàm ma trận, tỉ phân sai và mối quan hệ giữa chúng. Đồng thời, tác giả cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các khái niệm và mối quan hệ này. iv Footer Page 6 of 161. Header Page 7 of 161. Dù đã cố gắng rất nhiều song do trình độ và thời gian còn hạn chế nên bản khóa luận khó tránh khỏi nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ quý thầy cô để bản khóa luận hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Xuân Hòa, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền v Footer Page 7 of 161. Header Page 8 of 161. Bảng ký hiệu Rk Không gian thực k chiều. M at(m, n; K) Không gian các ma trận cấp m × n trên trường K. M at(n; K) Không gian các trận vuông cấp n trên trường K. Sym(n; R) Không gian các trận đối xứng cấp n trên trường số thực. I Ma trận đơn vị (cấp n). C[a,b] Tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a,b]. CL[a,b] Tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và khả tích Lebesgue trên đoạn [a,b]. lp Tập tất cả các dãy số thực hoặc phức x = (xn )∞ n=1 sao cho ∞ P chuỗi số dương |xn |p hội tụ. n=1 H Không gian Hilbert. L(X, Y ) Tập tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y . L(H) Tập tất cả các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H. B(X, Y ) Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . B(Rn ) Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục trong Rn . A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A. Ker(A − λI) Không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ. Spec(A) Phổ của toán tử A. Diag(α1 , ..., αn ) Ma trận đường chéo với các phần tử α1 , ..., αn trên đường chéo. vi Footer Page 8 of 161. Header Page 9 of 161. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa Định nghĩa 1.1. ([1], chương 1, định nghĩa 1.1 ) Tập hợp V 6= ∅ cùng với phép cộng véctơ V × V → V : (x, y) 7→ x + y và phép nhân vô hướng K × V → V : (α, y) 7→ αx được gọi là không gian vectơ trên trường K (K là R hoặc C) nếu với mọi x, y, z ∈ V và α, β ∈ K các điều kiện sau đây thỏa mãn: 1. (x + y) + z = x + (y + z). 2. x + y = y + x. 3. Tồn tại vectơ 0, gọi là véctơ không, có tính chất 0 + x = x + 0 = x. 4. Tồn tại véctơ –x, gọi là véctơ đối của x, sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0. 5. (αβ) x = α (βx). 6. (α + β) x = αx + βx. 7. α (x + y) = αx + αy. 8. 1x = x. 1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1.2. Không gian thực k chiều Rk là một không gian véctơ với 1 Footer Page 9 of 161. Header Page 10 of 161. • Tổng của hai phần tử x = (x1 , x2 , ...xk ) và y = (y1 , y2 , ...yk ) là: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xk + yk ) . • Tích của phần tử x = (x1 , x2 , ...xk ) với số α ∈ R là: αx = (αx1 , αx2 , ..., αxk ). Ví dụ 1.3. Tập hợp C[a,b] - các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] là một không gian véctơ với: 1. Tổng của hai phần tử x = x (t) và y = y (t) là: x + y = x (t) + y (t). 2. Tích của phần tử x = x (t) với số α ∈ R là: αx = αx (t). 1.2 Ma trận 1.2.1 Một số định nghĩa: • Ma trận A cấp m × n trên trường K là một bảng gồm m dòng và n cột, có dạng:   a . . . a1n  11  ..   .. . . A= . . .    am1 · · · amn Hay: A = (aij )m×n với 1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n. Ta kí hiệu M at(m, n; K) là tập tất cả các ma trận cấp m × n trên trường K. • Ma trận vuông là ma trận có số cột bằng số dòng. Tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường K kí hiệu là M at(n; K). • Ma trận đơn vị, kí hiệu là I, là ma trận có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0. • Ma trận chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu là AT , là ma trận nhận được từ A bằng cách đổi dòng thành cột. • Ma trận vuông A gọi là ma trận đối xứng nếu aij = aji , ∀i, j.
T • Ma trận liên hợp của ma trận A = (aij ) là A∗ = A = (aij )T = (aji ). • Ma trận A gọi là ma trận trực giao nếu AT A = AAT = I. • Ma trận A gọi là ma trận chuẩn tắc nếu A∗ A = AA∗ . • Ma trận U gọi là ma trận unita nếu U ∗ U = U U ∗ = I. 2 Footer Page 10 of 161. Header Page 11 of 161. 1.2.2 Một số phép toán trên ma trận: a) Cộng hai ma trận cùng cấp: (aij )m×n + (bij )m×n = (cij )m×n với cij = aij + bij . b) Phép nhân vô hướng với phần tử α thuộc K: α.(aij )m×n = (α.aij )m×n . c) Tích của hai ma trận: (aip )m×p .(bpj )p×n = (cij )m×n với cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj = p X aik bkj . k=1 d) Tích Schur của hai ma trận (aij )m×n ◦ (bij )m×n = (cij )m×n 1.2.3 với cij = aij .bij . Một số tính chất của phép toán trên ma trận • A + B = B + A, ∀A, B ∈ M at(m, n; K) • (A + B) + C = A + (B + C) , ∀A, B, C ∈ M at(m, n; K) (AB) C = A (BC) , ∀A ∈ M at(m, n; K), B ∈ M at(n, p; K), C ∈ M at(p, q; K) • (A + B) C = AC + BC, ∀A, B ∈ M at(m, n; K), C ∈ M at(n, p; K) A (B + C) = AB + AC, ∀A ∈ M at(m, n; K), B, C ∈ M at(n, p; K)
T • AT = A,(A + B)T = AT + B T , (αA)T = αAT , (AB)T = B T AT Mệnh đề 1.4. Tập hợp các ma trận cấp m×n trên trường K cùng với phép cộng và phép nhân ma trận lập thành một không gian vectơ. Hơn nữa, số chiều của M at(m, n, K) bằng mn. Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra M at(m, n; K) là một không gian vectơ. Xét hệ {Eij }i=1,m,j=1,n trong đó Eij = [aks ]m×n thỏa mãn: aks =   1 nếu k = i,s = j,  0 nếu trái lại. 3 Footer Page 11 of 161. Header Page 12 of 161. • Với mọi A = [aij ] ∈ M at(m, n, K), ta có: X A= Aij , i = 1, m; j = 1, n Aij = [αks ]m×n   1 nếu k = i,s = j aks =  0 nếu trái lại. Suy ra: A = • Giả sử P P aij Eij , i = 1, m; j = 1, n. Do đó, {Eij }i=1,m,j=1,n là hệ sinh. aij Eij = [0]m×n (i = 1, m; j = 1, n), tức là: [aij ]m×n = [0]m×n Suy ra aij = 0, ∀i = 1, m, j = 1, n Do đó: {Eij }i=1,m,j=1,n độc lập tuyến tính. Vậy {Eij }i=1,m,j=1,n là cơ sở tự nhiên của M at(m, n; K), hay số chiều của M at(m, n, K) bằng mn. Mệnh đề 1.5. Tập các ma trận đối xứng cấp n với hệ số thực, kí hiệu là Sym(n, R), là không gian vectơ con của không gian các ma trận vuông cấp n với hệ số thực. Chứng minh. Theo mệnh đề 1.4 ta suy ra M at(n; K) là một không gian vectơ. Ta có  • Sym(n, R) = A : A = AT ⊂ M at(n, R).   0 ... 0    .. . . ..  • Sym(n, R) 6= ∅ vì  . . .  ∈ Sym(n, R).   0 ··· 0 n • Với mọi α, β ∈ R; ∀A = [aij ] , B = [bij ] ∈ Sym(n, R), ta có: αA + βB = [αaij ] + [βbij ] = [αaij + βbij ]n ∈ Sym(n, R). Do đó, Sym(n, R) là không gian vectơ con của M at(n, R). Nhận xét 1.6. Số chiều của Sym(n, K) bằng 4 Footer Page 12 of 161. n2 + n . 2 Header Page 13 of 161. 1.2.4 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.7. Ma trận A ∈ M at(n, K) được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại một ma trận B ∈ M at(n, K) sao cho AB = I = BA. Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu B = A−1 . Mệnh đề 1.8. Nếu AB = I thì BA = I. Thật vậy, từ giả thiết AB = I ta suy ra detA 6= 0 và detB 6= 0. Mặt khác, B = BI = B(AB) = (BA)B, do detB 6= 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo B −1 , nhân cả hai vế của đẳng thức trên với B −1 về bên phải ta được BA = I. Ví dụ 1.9. Hiển nhiên I là ma trận khả nghịch vì I.I = I. Như vậy I là ma trận nghịch đảo của chính nó.  Ví dụ 1.10. Trong M at(2, R), ma trận A =  2 5 −1 −3  3 5  = −1 −2   có ma trận nghịch đảo là  A−1 Vì:   2 5 −1 −3   . 3 5 −1 −2   = 1 0 0 1   Nhận xét 1.11. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A cấp n có ma trận nghịch đảo A−1 là detA 6= 0. Cách tìm ma trận nghịch đảo A−1 của ma trận A. Giả sử Dij là phần bù đại số của aij , tức là Dij = (−1)i+j |Aij | trong đó Aij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng i cột j (Aij được gọi là ma trận con bù của aij ). Giả sử det A 6= 0, khi đó:   D11 . . . Dn1   1 ..   . .. A−1 = =  .. . .  detA   D1n · · · Dnn 5 Footer Page 13 of 161. Header Page 14 of 161. 1.2.5 Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận. Định nghĩa 1.12. ([2], chương VII, định nghĩa 7.1.1 ) Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số λ được gọi là giá trị riêng của A nếu phương trình Ax = λx, x∈ Rn có nghiệm x = (x1 , x2 , ..., xn ) 6= (0, 0, ..., 0). Vectơ x 6= 0 này gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ.   3 0  Ví dụ 1.13. Cho A =  8 −1 Ta thấy  A 1 2   = 3 0 8 −1  1  2   = 3 6    = 3 1 2   Vậy với x = (1; 2) ta có Ax = 3x, nghĩa là 3 là giá trị riêng của A và (1; 2) là vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3. Thuật toán tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận A Bước 1: Lập phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0. Bước 2: Giải phương trình đặc trưng tìm được các nghiệm λ1 , λ2 , ..., λm . Đây là tất cả các giá trị riêng của A. Bước 3: Tìm vectơ riêng của A ứng với từng giá trị riêng λi (i = 1, ..., m) bằng cách giải hệ (A − λi I)x = 0 . Tất cả các nghiệm khác 0 của hệ là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λi . Ví dụ 1.14. Tìm các giá trị riêng và vectơ  3   A =  −2  0 Phương trình đặc trưng của A là  3 − λ −2 0   det  −2 3 − λ 0  0 0 5−λ riêng của ma trận  −2 0   3 0   0 5    2  = − (λ − 1) (λ − 5) = 0  nên các giá trị riêng của A là λ = 1 và λ = 5 (bội 2). 6 Footer Page 14 of 161. Header Page 15 of 161. Theo định nghĩa, vectơ   x  1    x =  x2    x3 là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ khi và chỉ khi x là nghiệm không tầm thường của hệ phương trình (A − λI) x = 0, nghĩa là  3 − λ −2 0    −2 3 − λ 0  0 0 5−λ     x 0  1          x2  =  0  .     x3 0 Với λ = 1, ta có:     0 2 −2 0 x   1        −2 −2 0   x2  =  0     0 0 0 4 x3      Giải hệ này ta được x1 = t; x2 = t; x3 = 0. Suy ra các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 1 là các vectơ có dạng     1 t         (t = 6 0) x =  t  = t 1      0 0 Với λ = 5, ta có:     −2 −2 0 x 0   1        −2 −2 0   x2  =  0     0 0 0 x3 0      Giải hệ này ta được x1 = −s; x2 = s; x3 = t. Suy ra các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 5 là các vectơ có dạng       −s −1 0             x =  s  = s 1  + t 0  (s2 + t2 6= 0)       t 0 1 Định lý 1.15. Ma trận đối xứng A chỉ có giá trị riêng thực. Chứng minh. Xem [2], chương VII, định lý 7.1.2 7 Footer Page 15 of 161. Header Page 16 of 161. 1.2.6 Chéo hóa ma trận Định nghĩa 1.16. ([2], chương VII, định nghĩa 7.3.1 ) Cho ma trận vuông A . Nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho P −1 AP là ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hóa được và nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A. Định lý 1.17. ([2], chương VII, định lý 7.3.1) Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Quy trình chéo hóa một ma trận Bước 1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A: p1 , p2 , ..., pn . Bước 2: Lập ma trận P có các cột là p1 , p2 , ..., pn . Bước 3: Ma trận P −1 AP sẽ là ma trận chéo với λ1 , λ2 , ..., λn là các phần tử chéo liên tiếp, trong đó λi là giá trị riêng ứng với pi , i = 1, 2, ..., n. Ví dụ 1.18. Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận   3 −2 0     A =  −2 3 0    0 0 5 Từ ví dụ 1.14, các giá trị riêng của A là λ = 1 và λ = 5 (bội 2), đồng thời các vectơ riêng     −1   p1 =  1  0 0        ; p2 =  0     1 tạo nên cơ sở trong không gian riêng ứng với giá trị riêng λ = 5, còn   1     p3 =  1    0 là cơ sở cho không gian riêng ứng với giá trị riêng λ = 1. Dễ dàng kiểm tra được {p1 , p2 , p3 } độc lập tuyến tính, do đó   −1 0 1     P = 1 0 1    0 1 0 8 Footer Page 16 of 161. Header Page 17 of 161. làm chéo hóa ma trận A:    −1/2 1/2 0 3 −2 0 −1 0 1         P −1 AP =  0 0 1   −2 3 0   1 0 1    1/2 1/2 0 0 0 5 0 1 0    5 0 0       = 0 5 0     0 0 1 Nhận xét 1.19. 1. Một ma trận đối xứng trên trường số thực bao giờ cũng chéo hóa được, tức là tồn tại ma trận P khả nghịch sao cho P −1 AP = D. 2. Nếu ma trận A cấp n có n giá trị riêng khác nhau thì A chéo hóa được. 1.3 Không gian định chuẩn 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.20. Giả sử X là một không gian vectơ trên trường số K (K là R hoặc C). 1. Ta gọi là chuẩn trong X một ánh xạ k.k : X → R, thỏa mãn các tiên đề: i) ∀x ∈ X, kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = θ (θ là phần tử không). ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K, kαxk = |α| kxk . iii) ∀x, y ∈ X, kx + yk ≤ kxk + kyk . 2. Ta gọi là không gian định chuẩn một cặp (X, k.k) trong đó X là không gian vectơ; k.k là một chuẩn trong X. k Ví dụ 1.21. Không gian véctơ thực k chiều R s là một không gian định chuẩn với k P chuẩn của phần tử x = (x1 , x2 , ..., xk ) là kxk = x2i . i=1 Ví dụ 1.22. Không gian C[a, b] là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = x(t) là: kxk = max |x (t)| . a≤t≤b Ví dụ 1.23. Không gian CL [a, b] - tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và khả tích Lebesgue trên đoạn [a,b], là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = x(t) Rb là: kxk = |x(t)| dt. a 9 Footer Page 17 of 161. Header Page 18 of 161. Ví dụ 1.24. Không gian lp – tập tất cả các dãy số thực hoặc phức x = (xn )∞ n=1 sao ∞ P cho chuỗi số dương |xn |p hội tụ, là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử rn=1 ∞ P x = (xn ) là kxk = p |xn |p . n=1 1.3.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 1. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x0 ∈ X nếu lim kxn − x0 k = 0. n→∞ Kí hiệu: lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞. n→∞ 2. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu lim kxn − xm k = 0. m,n→∞ 3. Không gian Banach: Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Ví dụ 1.25. Các không gian Rk ; C[a, b]; CL [a, b]; lp xét ở trên là những không gian Banach. 1.3.3 Chuỗi trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.26. Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm (xn ) ⊂ X. Ta gọi chuỗi là biểu thức có dạng x1 + x2 + ... + xn + ...(hay ∞ X xn ) (1.1) n=1 1. Biểu thức sk = k P xn (k = 1, 2, ...) gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.1). n=1 2. Nếu tồn tại lim sk = s trong không gian định chuẩn X thì chuỗi (1.1) được gọi k→∞ ∞ P là hội tụ và s gọi là tổng của chuỗi này. Khi đó ta viết s = xn . n=1 Tiêu chuẩn Cauchy (về sự hội tụ của chuỗi) Trong không gian Banach X, chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi: (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀n ≥ n0 ) (∀p∈ N∗ ) : kxn+1 + xn+2 + ... + xn+p k < ε 10 Footer Page 18 of 161. Header Page 19 of 161. Định nghĩa 1.27. (Hội tụ tuyệt đối) Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số sau hội tụ: kx1 k + kx2 k + ... + kxn k + ... Định lý 1.28. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi trong không gian X, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Chứng minh. Xem [3], chương 2, định lý 2.1.3. 1.3.4 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.29. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K là R hoặc C). Một ánh xạ A : X → Y gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện: i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 , ∀x1 , x2 ∈ X, ii) A(αx) = α, ∀x ∈ X, ∀α ∈ K. Ta kí hiệu L(X, Y ) là không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y . Ví dụ 1.30. Ax = 0, Ax = x là các toán tử tuyến tính. Ví dụ 1.31. A: Rk → Rm x 7→ Ax = M.x    x = (x1 , ..., xk )       a . . . a1k  11 Trong đó: . ..  ..  M =  .. .  .       am1 · · · amk   cho trước.    Ví dụ 1.32. X = Y = Dk [a;b] ( không gian các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a; b] . A:X→Y x(t) 7→ Ax(t) = a0 (t) + a1 x0 (t) + ... + ak x(k) (t) Trong đó a0 , a1 , ...ak là những hằng số (hoặc những hàm số cho trước của t, thuộc Dk [a,b] ). 11 Footer Page 19 of 161. Header Page 20 of 161. Ví dụ 1.33. X = Y = C[a,b] . A:X→Y Zb x(t) 7→ Ax(t) = K(t, s)x(s)ds a Trong đó K(t, s) là một hàm số liên tục của t và s trong hình vuông a ≤ t, s ≤ b. Định nghĩa 1.34. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo theo Axn → Ax0 , tức là: (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X)(||x − x0 || < δ) ⇒ ||Ax − Ax0 || < δ. Ta ký hiệu B(X, Y ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Định nghĩa 1.35. ([3], chương 2, định nghĩa 2.2.2 ) Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ X vào Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho: kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X. (1.2) Định nghĩa 1.36. ([3], chương 2, định nghĩa 2.2.3 ) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số C > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là kAk. Định lý 1.37. ([3], chương 2, định lý 2.2.1) Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau tương đương: 1. A liên tục. 2. A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X. 3. A bị chặn. Chứng minh. Xem [3], chương 2, định lý 2.2.1. Định lý 1.38. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Nếu toán tử A bị chặn, thì kAk = sup kAxk kxk≤1 12 Footer Page 20 of 161. (1.3)