Tài liệu đa tạp afin

Header Page 1 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Đỗ Tuấn Anh ĐA TẠP AFIN TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Đỗ Tuấn Anh ĐA TẠP AFIN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH. Tạ Thị Hoài An Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp này của em đã được hoàn thành dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn tận tình của PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An. Qua đây em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn tới thầy Nguyễn Việt Phương đã có những nhận xét góp ý cũng như chỉnh sửa khóa luận này giúp em. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ Đại số cũng như các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2016 Sinh viên Đỗ Tuấn Anh 1 Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn. Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 5 năm 2016 Sinh viên Đỗ Tuấn Anh Footer Page 4 of 161. i Header Page 5 of 161. Mục lục Lời mở đầu 1 1 3 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Idean, idean nguyên tố và idean cực đại . . . . . . . . . . 5 1.3 Vành đa thức và trường đóng đại số . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Phép toán với idean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Tích trực tiếp của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 TẬP ĐẠI SỐ AFIN 17 2.1 Không gian afin và tập đại số . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Idean của tập các điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Idean căn thức và Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Tập đại số tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Tập đại số mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 ĐA TẠP AFIN 43 3.1 Vành tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Ánh xạ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Footer Page 5 of 161. ii Header Page 6 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh 3.3 Phép biến đổi tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Hàm hữu tỷ và vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5 Vành định giá trị rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6 Idean với số không điểm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . 61 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Footer Page 6 of 161. iii Header Page 7 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Hình học đại số là một lĩnh vực rất phát triển và đạt được nhiều thành tựu trong toán học. Trong hình học đại số, các đối tượng hình học được mô tả bằng một ngôn ngữ đại số thuần túy. Bề ngoài hình học và đại số hình thức có vẻ đối lập, sự phát triển của hình học trong thế kỉ 20 đã chứng minh điều ngược lại: một ngôn ngữ đại số phù hợp có khả năng diễn đạt trực quan hình học một cách rất chính xác. Là sinh viên ngành sư phạm toán, trên cơ sở đã được trang bị các kiến thức nền tảng về đại số, hình học và với mong muốn được học hỏi trau dồi thêm vốn kiến thức về toán học nói chung và các kiến thức cơ sở của hình học đại số nói riêng. Chính vì vậy, tôi đã lựa chọn đề tài : " Đa tạp afin " cho khóa luận tốt nghiệp của mình. Trong đề tài này tôi dự kiến hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về hình học đại số làm cơ sở lí luận để tìm hiểu đa tạp afin. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa một cách khoa học các khái niệm về hình học đại số kèm theo các ví dụ, nghiên cứu tính chất cơ bản của đa tạp afin. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng chính mà khóa luận nghiên cứu là đa tạp afin, trong đó tập chung vào tính chất của nó. Bên cạnh đó khóa luận còn trình bày hệ thống các khái niệm bổ trợ có thể thể coi như kiến thức chuẩn bị phục Footer Page 7 of 161. 1 Header Page 8 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh vụ cho nghiên cứu đối tượng chính. 4. Phương pháp nghiên cứu khoa học Phương pháp nghiên cứu lí luận: trước hết là đọc các tài liệu liên quan đến lí thuyết cơ sở đại số. Sau đó là đọc, nghiên cứu và hiểu về đa tạp afin. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học đạ số cụ thể là đa tạp afin. 6. Bố cục của khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận gồm ba chương. Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị Chương 2 : Tập đại số afin Chương 3 : Đa tạp afin Footer Page 8 of 161. 2 Header Page 9 of 161. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành giao hoán Định nghĩa 1.1. Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong X, kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và gọi là phép cộng và phép nhân, sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: (i) X cùng với phép cộng là nhóm aben. (ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm. (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ X ta có x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx. Phần tử trung lập của phép cộng gọi là phần tử không, kí hiệu là 0. Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là đơn vị của X và thường kí hiệu là e. Nếu phép nhân là giáo hoán thì ta nói vành X Footer Page 9 of 161. 3 Header Page 10 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh là giao hoán. Định nghĩa 1.2. Phần tử a thuộc vành X được gọi là ước bên trái (bên phải) của 0 nếu a 6= 0 và có một phân tử b 6= 0 trong X sao cho ab = 0 (ba = 0). Phần tử a được gọi là ước của 0 nếu nó vừa là ước bên phải, vừa là ước bên trái của 0. Định nghĩa 1.3. Miền nguyên là vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị đối với phép nhân, không có ước của 0. Định nghĩa 1.4. Miền nguyên X là trường nếu mọi phần tử khác 0 của X đều có nghịch đảo trong vị nhóm nhân X. Định nghĩa 1.5. Phần tử a trong vành R được gọi là tối giản nếu có sự phân tích a = bc thì hoặc b hoặc c khả nghịch. Miền nguyên R gọi là miền nguyên nhân tử hóa duy nhất, kí hiệu là U F D, nếu mỗi phần tử khác 0 trong R đều có thể phân tích một cách duy nhất (không kể đến phần tử khả nghịch, thứ tự các phần tử) thành các phần tử tối giản. Định nghĩa 1.6. Một đồng cấu (vành) là một ánh xạ f từ một vành X đến một vành Y sao cho với mọi a, b thuộc X ta có f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b). Nếu f là một đơn ánh thì đồng cấu f được gọi là một đơn cấu. Nếu f là toàn ánh thì f được gọi là toàn cấu và nếu f là song ánh thì f được Footer Page 10 of 161. 4 Header Page 11 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh gọi là một đẳng cấu. Nếu có một ánh xạ f : X −→ Y là đẳng cấu thì ta nói hai vành X và Y đẳng cấu với nhau và kí hiệu là X ∼ = Y. Định lý 1.1. Cho X là miền nguyên. Khi đó tồn tại một trường K cùng với đơn cấu ϕ : X −→ K sao cho với mọi α ∈ K, α được viết dưới dạng α = ϕ(a)[ϕ(b)]−1 trong đó a, b ∈ X và b 6= 0. Trường K được gọi là trường các thương của miền nguyên X. Bất kì miền nguyên X đều có trường các thương tương ứng K của nó. Tính chất 1.1. Cho R là U F D, K là trường các thương của R. Khi a đó mọi phần tử z ∈ K có thể viết dưới dạng z = , với a, b ∈ R không b có thừa số chung, biểu diễn này là duy nhất chỉ sai khác phần tử khả nghịch trong R. 1.2 Idean, idean nguyên tố và idean cực đại Định nghĩa 1.7. Một bộ phận ổn định I khác rỗng của vành R là một idean của R nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) x − y ∈ I với mọi x, y ∈ I. (ii) xa ∈ I và ax ∈ I với mọi x ∈ I và mọi a ∈ R. Định nghĩa 1.8. Cho I là một idean của vành R. Khi đó I là nhóm con chuẩn tắc của nhóm cộng R, ta có nhóm thương R/I = {x + I | x ∈ R} với phép cộng (x + I) + (y + I) = (x + y) + I. Footer Page 11 of 161. 5 Header Page 12 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Nhóm R/I cùng với phép nhân (x + I)(y + I) = xy + I là một vành. Vành này được gọi là vành thương của vành R trên idean I. Định nghĩa 1.9. Giả sử U là một bộ phận của vành X. Giao của tất cả các idean của vành X chứa U là một idean của X chứa U, idean này gọi là idean sinh ra bởi U , kí hiệu là < U > . Nếu U = {a1 , a2 , ..., an } thì < U > gọi là idean sinh ra bởi các phần tử a1 , a2 , ..., an gồm các phần tử có dạng x1 a1 + x2 a2 + ... + xn an với x1 , x2 , ..., xn ∈ X. Định nghĩa 1.10. Idean gọi là idean chính nếu nó được sinh bởi một phần tử. Một miền nguyên mà mọi idean đều là idean chính được gọi là miền idean chính, kí hiệu là P ID. Tính chất 1.2. Mọi P ID đều là U F D. Định nghĩa 1.11. Idean I trong vành R là thực sự nếu I 6= R. Idean thực sự là idean cực đại nếu nó không được chứa trong idean thực sự nào lớn hơn. Idean I được gọi là một idean nguyên tố nếu ab ∈ I thì hoặc a ∈ I hoặc b ∈ I. Chú ý. Kể từ đây, trong khóa luận này khi nói đến vành ta luôn quy ước đó là vành giao hoán, có đơn vị. Tính chất 1.3. Mọi idean cực đại đều là idean nguyên tố. Tính chất 1.4. Cho I là idean thực sự trong vành R. Khi đó: 1. I là idean nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên. 2. I là idean cực đại khi và chỉ khi R/I là trường. Footer Page 12 of 161. 6 Header Page 13 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Tính chất 1.5. Idean chính I =< a > trong U F D là idean nguyên tố khi và chỉ khi a là tối giản. Tính chất 1.6. Cho R là P ID, P là idean nguyên tố khác idean <0> của R. Khi đó: i) P =< a > với a là phần tử tối giản trong R. ii) P là idean cực đại của R. Chứng minh. Do R là P ID nên P =< a >. Vì P là idean nguyên tố khác < 0 > nên a khác 0, không khả nghịch. Giả sử a không tối giản tức a = a1 a2 với a1 , a2 là ước thực sự của a nên a1 , a2 ∈ / P =< a >. Điều này mâu thuẫn tính nguyên tố vì a1 a2 = a ∈ P . Kéo theo a không có ước thực sự hay a tối giản. Nên (i) rõ ràng. Giả sử P ( S với S là idean của R. Suy ra tồn tại s ∈ S\P hay (a, s) = 1 nên tồn tại u, v ∈ R sao cho au + vs = 1 hay 1 ∈ S. Do đó S = R hay P là idean cực đại và ta được (ii) 1.3  Vành đa thức và trường đóng đại số Định nghĩa 1.12. Vành P gọi là vành đa thức ẩn x lấy hệ tử trong R, hay vắn tắt vành đa thức của ẩn x trong R và kí hiệu là R[x]. Các phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong R, kí hiệu là f (x) hay g(x),... Trong một đa thức f (x) = a0 x0 + a1 x1 + ... + an xn với ai ∈ R, i = 0, 1, ..., n gọi là các hệ tử của đa thức. Footer Page 13 of 161. 7 Header Page 14 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Định nghĩa 1.13. Bậc của đa thức khác 0 f (x) = a0 x0 + ... + an−1 xn−1 + an xn với an 6= 0, n ≥ 0 là n và kí hiệu deg(f ) = n. Hệ tử an gọi là hệ tử cao nhất của f (x). Đa thức được gọi là đa thức monic nếu an = 1. Tính chất 1.7. Cho trường k bất kì. Khi đó có vô hạn đa thức monic tối giản trong k[X]. Chứng minh. Giả sử F1 , ..., Fn là tập tất cả các đa thức monic tối giản trong k[X]. Xét đa thức F = F1 ...Fn + 1 Gọi p là nhân tử tối giản của F và rõ ràng p cũng là đa thức monic. Suy ra p không thể trùng với F1 , ..., Fn vì nếu trái lại p là nhân tử của F1 ...Fn . Do đó p là nhân tử của 1, mâu thuẫn với tính tối giản. Suy ra p là đa thức tối giản khác F1 , ..., Fn . Vậy có vô hạn đa thức monic tối giản trong k[X].  Định nghĩa 1.14. Phần tử α ∈ R được gọi là nghiệm của đa thức f (x) ∈ R[x] nếu f (α) = 0. Tính chất 1.8. Cho R là vành, a ∈ R, f ∈ R[x] và a là nghiệm của f thì f = (x − a)g với g ∈ R[x]. Định nghĩa 1.15. Trường k được gọi là trường đóng đại số nếu bất kì đa thức khác hằng f ∈ k[x] đều có nghiệm trên k. Footer Page 14 of 161. 8 Header Page 15 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Ví dụ 1.1. Trường C là tập các số phức với phép toán cộng và nhân thông thường là một trường đóng đại số. Tính chất 1.9. Bất kì trường đóng đại số k đều vô hạn. Chứng minh. Áp dụng Tính chất 1.7, có vô hạn đa thức monic tối giản là X − a, a ∈ k tức k vô hạn.  Định nghĩa 1.16. Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị. Ta đặt R1 = R[x1 ] R2 = R1 [x2 ] R3 = R2 [x3 ] ··· Rn = Rn−1 [xn ] Vành Rn = Rn−1 [xn ] kí hiệu là R[x1 , x2 , ..., xn ] và gọi là vành đa thức của n ẩn x1 , x2 , ..., xn lấy hệ tử trong vành R. Một phần tử của R[x1 , x2 , ..., xn ] gọi là một đa thức của n ẩn x1 , x2 , ..., xn lấy hệ tử trong vành R, kí hiệu là f (x1 , x2 ., , , xn ) hay g(x1 , x2 , .., xn ),... Tính chất 1.10. Nếu R là U F D thì R[x] cũng là U F D. Do đó, k[x1 , ..., xn ] là U F D với k là một trường bất kì. Chú ý. Trường các thương của k[x1 , ..., xn ] được viết là k(x1 , ..., xn ) và được gọi là trường các hàm số hữu tỷ n biến trên k. Định nghĩa 1.17. Giả sử f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ R[x1 , x2 , ..., xn ] là một đa thức khác không có dạng f (x1 , x2 , ..., xn ) = c1 xa111 ...xan1n + ... + cm xa1m1 ...xanmn Footer Page 15 of 161. 9 Header Page 16 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh với các ci 6= 0, i = 1, ..., m. Ta gọi là bậc của hạng tử ci xa1i1 ...xanin là tổng các số mũ ai1 + ... + ain của các ẩn . Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó. Đa thức 0 là đa thức không có bậc. Định nghĩa 1.18. Nếu các hạng tử của f (x1 , ..., xn ) có cùng bậc k thì f (x1 , ..., xn ) gọi là đa thức thuần nhất bậc k. Tính chất 1.11. Cho k là trường vô hạn, F ∈ k[X1 , X2 , ..., Xn ]. Giả sử F (a1 , a2 , ..., an ) = 0, ∀a1 , a2 , ..., an ∈ k. Khi đó F = 0. Chứng minh. Ta viết F = P Fi Xni với Fi ∈ k[X1 , X2 , ...., Xn−1 ]. Sử dụng quy nạp theo n và ta có F (a1 , ..., an−1 , Xn ) chỉ có hữu hạn nghiệm nếu tồn tại Fi (a1 , ..., an−1 ) 6= 0. Thật vậy, do F (a1 , ..., an−1 , Xn ) có vô hạn nghiệm Xn ∈ k vì k vô hạn nên với mọi i thì Fi (a1 , ..., an−1 ) = 0 hay Fi (X1 , ..., Xn−1 ) = 0 Footer Page 16 of 161. 10 Header Page 17 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh với mọi a1 , ..., an−1 ∈ k. Làm tiếp tục như trên, ta suy ra được Fi = 0 dẫn tới F = 0.  Tính chất 1.12. Cho k là trường, F ∈ k[X1 , ..., Xn ] , a1 , ..., an ∈ k. Khi đó: i) F = P λ(i) (X1 − a1 )i1 ...(Xn − an )in , λ(i) ∈ k. ii) Nếu F (a1 , ..., an ) = 0 thì F = n P (Xi − ai )Gi i=1 với Gi ∈ k[X1 , ..., Xn ] ( biểu diễn này không duy nhất ). Chứng minh. (i) Ta viết Xi = (Xi − ai ) + ai với i = 1, n. Khi đó: F = X µ(i) X1i1 · · · Xnin = X µ(i) [(X1 − a1 ) + a1 ]i1 · · · [(Xn − an ) + an ]in = X λ(j) (X1 − a1 )j1 · · · (Xn − an )jn . Suy ra F có dạng (i). (ii) Do F (a1 , ..., an ) = 0 nên trong mỗi đơn thức luôn tồn tại i1 , ..., in 6= 0. Vì vậy, trong các đơn thức, đơn thức nào có nhân tử (X1 −a1 ) thì ta nhóm được số hạng λ(1) (X1 −a1 )G1 . Trong các đơn thức còn lại, đơn thức nào có nhân tử X2 − a2 ta lại nhóm và được số hạng thứ 2 dạng λ(2) (X2 − a2 )G2 . Tương tự như vậy đến số hạng thứ i có dạng λ(i) (Xi − ai )Gi . Trái lại nếu Footer Page 17 of 161. 11 Header Page 18 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh trong các đơn thức còn lại không có đơn thức nào chứa nhân tử (Xi − ai ) thì số hạng thứ i có dạng λ(i) (Xi − ai ).0 và rõ ràng các đơn thức còn lại chỉ có thể chứa các nhân tử Xi+1 − ai+1 , ..., Xn − an . Tiếp tục quy trình trên vơi số hạng thứ i + 1 cho đến số hạng thứ n ta được biểu diễn : F = n X (Xi − ai )Gi . i=1 Ta thấy ngay rằng với cách làm như trên nếu ta chọn X2 − a2 trước thì ta sẽ có biểu diễn khác của F , do vậy biểu diễn này không duy nhất.  1.4 Phép toán với idean Định nghĩa 1.19. Cho I, J là các idean trong vành R. Idean sinh bởi {ab | a ∈ I, b ∈ J} gọi là tích của hai idean I và J, và được kí hiệu là IJ . Tương tự, nếu I1 , ..., In là các idean thì tích của I1 , ..., In kí hiệu bởi I1 ...In là idean sinh bởi {a1 ...an | ai ∈ Ii }. Ta kí hiệu I n là I...I |{z}. n lần Chú ý. I n chứa tất cả lũy thừa cấp n của các phần tử trong I nhưng I n không được sinh bởi chúng. Nếu I được sinh bởi a1 , ..., ar thì I n được sinh bởi Footer Page 18 of 161. 12 Header Page 19 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh {ai11 ...airr | r P ij = n} j=1 và ta luôn có : R = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ .... Ví dụ 1.2. Cho vành R = k[x1 , ..., xr ], I =< x1 , ..., xr > là idean của R. Khi đó I n được sinh bởi các đơn thức bậc n vì thế I n bao gồm các đa thức mà trong đó không có số hạng nào bậc nhỏ hơn n. Điều này kéo theo lớp thặng dư của các đơn thức bậc nhỏ hơn n lập thành cơ sở của k[x1 , ..., xr ]/I n trên k. Tính chất 1.13. Nếu R là vành con của vành S, IS là idean của S được sinh bởi các phần tử của I và I n S = (IS)n . Chứng minh. Với mọi x ∈ IS tồn tại a ∈ I, b ∈ S sao cho x = ab ∈< a > . Suy ra IS là idean được sinh bởi các phần tử của I. Với mọi x = a1 ....an s ∈ I n S thì x = (a1 .1)(a2 .1)....(an .s) ∈ (IS)n . Suy ra I n S ⊂ (IS)n . Với mọi y = (a1 .s1 )(a2 .s2 )....(an .sn ) ∈ (IS)n thì y = (a1 ...an ) (s1 ...sn ) ∈ I n S. | {z } ∈S Do đó (IS)n ⊂ I n S. Vậy I n S = (IS)n . Footer Page 19 of 161. 13  Header Page 20 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Định nghĩa 1.20. Cho I, J là các idean của vành R. Tổng của hai idean I và J, kí hiệu là I + J, và xác định bởi I + J = {a + b | a ∈ I, b ∈ J}. Ta có I + J là idean của R. Hơn nữa, I + J là idean nhỏ nhất trong R chứa I và J. Định nghĩa 1.21. Hai idean I, J trong R được gọi là đồng cực đại nếu I + J = R, tức là 1 = a + b, a ∈ I, b ∈ J. Ví dụ 1.3. Hai idean cực đại phân biệt I, J trong vành R là hai idean đồng cực đại vì idean nhỏ nhất chứa hai idean cực đại phân biệt là R. Mệnh đề 1.1. Cho Ii , J là các idean trong vành R, i = 1, N . Khi đó: 1. (I1 + I2 )J = I1 J + I2 J. 2. (I1 ....IN )n = I1n ....INn Chứng minh. 1. Với mọi x = (a + b)c ∈ (I1 + I2 )J thì (a + b)c = ac + bc ∈ I1 J + I2 J. Từ đó suy ra (I1 + I2 )J ⊂ I1 J + I2 J. Mặt khác, ta có I1 + I2 ⊃ I1 , I2 kéo theo (I1 + I2 )J ⊃ I1 J, I2 J. Do đó (I1 + I2 )J ⊃ I1 J + I2 J. Vậy (I1 + I2 )J = I1 J + I2 J. Footer Page 20 of 161. 14