Tài liệu đa chập hartley fourier và ứng dụng ncs phí thị vân anh [tt]

MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân đã ra đời rất sớm, được phát triển và giữ một vị trí quan trọng trong lịch sử giải tích toán học. Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ XX. Năm 1967, V.A. Kakichev đã đưa ra một phương pháp kiến thiết để xây dựng tích chập có hàm trọng đối với một phép biến đổi tích phân bất kỳ, mà đẳng thức nhân tử hóa γ có dạng K(f ∗ g)(y) = γ(y) · (Kf )(y) · (Kg)(y). Nhờ đó, ông và nhiều K tác giả khác đã xây dựng được tích chập đối với phép biến đổi Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập có hàm trọng với phép biến đổi tích phân Fourier sine,... Tích chập đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine của I.N. Sneddon năm 1951, và một số tích chập đối với các phép biến đổi tích phân theo chỉ số của S.B. Yakubovich những năm đầu thập kỷ 90 đã mở ra một hướng nghiên cứu mới về tích chập. Những tích chập đối với hai phép biến đổi tích phân trở lên được gọi là tích chập suy rộng. Năm 1998, V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương pháp kiến thiết xây dựng tích chập suy rộng có hàm trọng. Tích chập suy rộng có đẳng thức nhân tử hóa dạng K3 (f γ ∗ K3 K1 K2 g)(y) = γ(y) · (K1 f )(y) · (K2 g)(y). Do các biến đổi tích phân K3 , K1 , K2 nói chung là khác nhau, nên tích chập suy rộng không có tính giao hoán và có khả năng ứng dụng phong phú hơn. Từ ý tưởng xây dựng tích chập suy rộng, chính tác giả Kakichev đã xây dựng nên định nghĩa đa chập, năm 1997. Ông thấy rằng không dừng lại ở tích chập của 2 hàm mà có thể xây dựng phép nhân chập cho n (n ≥ 3) hàm cùng một lúc đối với n + 1 phép biến đổi tích phân bất γ kỳ, đa chập đó có đẳng thức nhân tử hóa dạng Kn+1 [∗(f1 , f2 , .., fn )](x) = γ(x).(K1 f1 )(x).(K2 f2 )(x)...(Kn fn )(x). Công trình này đã mở ra một hướng nghiên cứu mới. Từ đó đến nay đã có một số công trình nghiên cứu về đa 1 chập như: đa chập đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine (2008), với đẳng thức nhân tử hóa Fc [∗(f, g, h)](y) = (Fs f )(y) · (Fs g)(y) · (Fc h)(y), y > 0; đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev (2010), với đẳng thức nhân tử hóa Fc [∗(f, g, h)](y) = (Fs f )(y).(Fs g)(y).(Kiy h)(y), y > 0; đa chập đối với các phép biến đổi Fourier sine và Kontorovich-Lebedev (2011), với đẳng thức γ nhân tử hóa Fs [∗(f, g, h)](y) = sin y.(Fs f )(y).(Fs g)(y).(Kiy h)(y), y > 0. Các công trình đã công bố mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng đa chập mới và nghiên cứu đẳng thức nhân tử hóa của nó. Mặt khác, nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lý dẫn đến phải giải phương trình tích phân dạng Toeplitz-Hankel, nhưng việc giải phương trình này đến nay vẫn là bài toán mở. Có một số công trình đã xem xét những trường hợp riêng của nhân hoặc của vế phải. Chúng tôi có nhận xét sau đây: - Có một phép biến đổi rất hữu ích nhưng chưa xuất hiện trong nghiên cứu đa chập, đó là phép biến đổi Hartley. Phép biến đổi Hartley đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh. Do đó, có thể xây dựng các đa chập có liên quan đến các phép biến đổi Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải một lớp phương trình Toeplitz-Hankel nào đó. - Do đa chập của ba hàm f, g, h là một toán tử biến ba hàm thành hàm ∗(f, g, h)(x) qua biểu thức tích phân, nên có thể thấy rằng, nếu ta cố định một hàm hoặc hai hàm và cho hàm còn lại thay đổi thì ta nhận được phép biến đổi tích phân kiểu đa chập. Đã có nhiều công trình nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập nhưng chưa có một công trình nào nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập. Chúng tôi dự kiến sẽ nghiên cứu về vấn đề này cho những đa chập mới được xây dựng trong luận án. - Dùng tích chập như một công cụ để giải nhiều lớp các phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-lý,... và nghiệm nhận được thường biểu diễn dưới dạng tích chập. Vì 2 vậy, xây dựng các bất đẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu đã được rất nhiều nhà khoa học quan tâm trong thời gian gần đây. Cho đến nay, chưa có một công trình nào nghiên cứu về bất đẳng thức đối với đa chập. Chúng tôi dự kiến sẽ nghiên cứu những bất đẳng thức này cho đa chập. Với những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là Đa chập Hartley-Fourier và ứng dụng. 2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu Mục đích của luận án là xây dựng các đa chập mới có liên quan đến các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine. Sau đó dùng các đa chập mới để tiếp tục nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập và tìm ra các bất đẳng thức có liên quan đến đa chập trong các không gian hàm khác nhau. Xem xét các ứng dụng các kết quả nhận được vào việc giải những lớp phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân, phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng với dạng cụ thể. Luận án được chia làm bốn chương: Chương 1, trình bày các kiến thức đã biết liên quan các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Chương 2, xây dựng hai đa chập mới là đa chập ∗(., ., .) đối với phép 1 biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine và đa chập ∗(., ., .) đối với phép 2 biến đổi Hartley, Fourier cosine. Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, các tính chất có liên quan, định lý kiểu Titchmarch được trình bày. Ứng dụng chúng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai, phương trình và hệ phương trình ToeplitzHankel. Chương này cũng nhận được thêm đa chập ∗(., ., .) đối với phép 3 biến đổi Hartley, Fourier cosine từ việc thay đổi dấu trong hàm nhân của đa chập ∗(., ., .), dùng nó để giải một lớp phương trình đạo hàm riêng dạng 2 phương trình truyền nhiệt. Chương 3, xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cho hai đa chập ∗(., ., .) và ∗(., ., .). Nghiên cứu các tính chất toán tử của chúng. Tìm 1 2 3 điều kiện cần và đủ để các toán tử này là unita trong không gian L2 (R), đó là nội dung của Định lý kiểu Watson. Định lý kiểu Plancherel cho biết có thể xấp xỉ các toán tử này bởi những dãy hàm trong L2 (R). Đồng thời, chứng minh tính bị chặn của chúng trong không gian Lr (R), (1 ≤ r ≤ 2). Phần ứng dụng, dùng phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine vào việc giải một lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân. Chương 4, nghiên cứu các bất đẳng thức về chuẩn cho hai đa chập mới xây dựng trong các không gian hàm khác nhau. Đó là bất đẳng thức về chuẩn trong không gian L1 , không gian Lα,β,γ , bất đẳng thức kiểu Young, s bất đẳng thức kiểu Saitoh. Phần ứng dụng, chỉ ra việc ứng dụng bất đẳng thức để đánh giá nghiệm của một lớp phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai và một lớp phương trình vi phân cấp cao bậc chẵn. 3. Ý nghĩa của Luận án Đây là hướng nghiên cứu mới, nó đã góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, bất đẳng thức đa chập, lý thuyết phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân, phương trình vi phân và cả phương trình đạo hàm riêng. Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các đa chập khác, các phép biến đổi tích phân kiểu đa chập khác, các bất đẳng thức đa chập khác. Nội dung chính của luận án dựa trên 5 công trình công bố, trong đó có 4 công trình được đăng trên tạp chí thuộc nhóm ISI (SCIE) và 1 công trình đăng trên tạp chí chuyên ngành trong nước. Các kết quả này đã được báo cáo tại: Hội nghị Quốc tế lần thứ 20 về giải tích phức hữu hạn hoặc vô hạn chiều và ứng dụng, tổ chức tại Hà Nội, tháng 8 năm 2012; Hội nghị Toán học phối hợp Việt Pháp, tại Huế, tháng 8 năm 2012; Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, tại Nha Trang, tháng 8 năm 2013; Hội nghị Toán ứng dụng Quốc tế tại Việt Nam, tổ chức ở Sài Gòn, tháng 12, năm 2013 (VIAMC); Seminar Giải tích - Đại số, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội; Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội. 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này nhắc lại những kiến thức đã biết được sử dụng trong luận án, bao gồm: Phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Hartley và các tính chất, các tích chập, tích chập suy rộng, các định lý, mệnh đề có liên quan. Trong đó có các định lý quan trọng như: định lý Wiener-Levy, định lý Young, định lý Saitoh cho biến đổi Fourier. Định lí 1.0.1 (Định lý Wiener-Levy) Giả sử f˜ là một biến đổi Fourier của một hàm f nào đó trong không gian L1 (R), và φ là một hàm giải tích trong lân cận điểm gốc mà chứa miền giá trị f (y), ∀y ∈ R và φ(0) = 0. Khi đó φ(f˜) cũng là biến đổi Fourier của một hàm nào đó trong không gian L1 (R). Định lí 1.0.2 (Định lý Young cho tích chập Fourier) Giả sử p, q, s > 1, thỏa mãn 1 p + 1q + 1 s = 2. Khi đó, ta có Z       (f ∗ g)(x) · w(x)dx ≤ kf kLp (Rn ) kgkLq (Rn ) kwkLs (Rn ) , F   (1.1) Rn với mọi f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ), w ∈ Ls (Rn ). Định lí 1.0.3 (Định lý Saitoh cho tích chập Fourier) Giả sử cho hai hàm không triệt tiêu ρj ∈ L1 (R), j = 1, 2, khi đó với mọi Fj ∈ Lp (R, |ρj |), j = 1, 2 ta có bất đẳng thức trong không gian Lp (R), (p > 1) 1 k(F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 )(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1 kLp (R) ≤ kF1 kLp (R,|ρ1 |) kF2 kLp (R,|ρ2 |) . F F (1.2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Fj (x) = Cj eαx , trong đó α là hằng số sao cho eαx ∈ Lp (R, |ρj |), j = 1, 2 (nếu không thì C1 hoặc C2 bằng 0). 5 Chương 2 ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng hai đa chập mới liên quan đến phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine và Fourier sine, ký hiệu tương ứng là ∗(., ., .) và ∗(., ., .). Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức 1 2 Parseval là những tính chất quan trọng đối với mỗi đa chập sẽ được trình bày. 2.1 Đa chập đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine và Fourier sine Định nghĩa 2.1.1 Đa chập của ba hàm f, g và h đối với phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine và Fourier sine, gọi tắt là đa chập H-Fc -Fs , được xác định như sau 1 ∗(f, g, h)(x) := 1 2π Z∞ Z∞ f (u) g(v) θh (x, u, v) dudv, x ∈ R, 0 (2.1) 0 trong đó θh (x, u, v) = h(x + u − v) − h(x + u + v) + h(x − u − v) − h(x − u + v). Trong không gian L1 (R), đa chập này có đẳng thức nhân tử hóa và đẳng thức Parseval cho bởi định lý sau. Định lí 2.1.1 Giả sử rằng f, g ∈ L1 (R+ ) và h ∈ L1 (R). Khi đó, đa chập ∗(f, g, h)(x) là một hàm thuộc không gian L1 (R) và có hai đẳng thức nhân 1 tử hóa sau đây H1 [ ∗(f, g, h)](y) = sign y.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|).(H2 h)(y), ∀y ∈ R, 1 6 (2.2) H2 [ ∗(f, g, h)](y) = − sign y.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|).(H1 h)(y), ∀y ∈ R. (2.3) 1 Hơn nữa, trong trường hợp f, g ∈ L2 (R+ ), h ∈ L2 (R), ta có hai đẳng thức Parseval tương ứng 1 ∗(f, g, h)(x) = √ 1 2π Z∞ sign y.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|).(H2 h)(y). cas(xy)dy, −∞ 1 ∗(f, g, h)(x) = − √ 1 2π Z∞ sign y.(Fc f )(y).(Fs g)(|y|).(H1 h)(y). cas(−xy)dy. −∞ Trong không gian đa chỉ số Lα,β,γ (R), với s > 1, α > −1, β > 0, γ > 0 thì s nhận được định lý sau. Định lí 2.1.2 Giả sử f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R+ ), h ∈ Lr (R), trong đó 1 1 1 p + q + r = Lα,β,γ (R). Nếu s p, q, r > 1 và thỏa mãn 2. Khi đó đa chập ∗(f, g, h) là bị chặn trong không gian có thêm điều kiện f ∈ L1 (R+ ) ∩ 1 Lp (R+ ), g ∈ L1 (R+ ) ∩ Lq (R+ ) và h ∈ L1 (R) ∩ Lr (R), thì có đẳng thức nhân tử hóa. Hơn nữa, nếu thêm điều kiện f ∈ L2 (R+ ) ∩ Lp (R+ ), h ∈ L2 (R+ ) ∩ Lr (R+ ), g ∈ L2 (R) ∩ Lq (R), thì đẳng thức Parseval vẫn đúng. Phần ứng dụng được xét cho một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân Fredholm loại hai. a) Xét phương trình tích phân Z∞ Z∞ ϕ(u) ψ(v) θ1 (x, u, v)dudv = h(x), x ∈ R, f (x) + λ 0 (2.4) 0 với θ1 (x, u, v) = 1 [f (−x − u + v) − f (−x − u − v) + f (−x + u + v) − f (−x + u − v)] , 2π trong đó λ là hằng số phức; ϕ(x), ψ(x) là các hàm trong không gian L1 (R+ ); h(x) là hàm thuộc không gian L1 (R); f (x) là hàm cần tìm trong không gian L1 (R). 7 Định lí 2.1.3 Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn 1 + λ sign y.(Fc ϕ)(|y|).(Fs ψ)(|y|) 6= 0, ∀y ∈ R. (2.5) Khi đó phương trình tích phân (2.4) có nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R) và nghiệm có dạng f (x) = h(x) − (l ∗ h)(x), HF (2.6) trong đó hàm l ∈ L1 (R) và được xác định bởi công thức sau (F l)(y) = λ sign y.(Fc ϕ)(|y|).(Fs ψ)(|y|) . 1 + λ sign y.(Fc ϕ)(|y|).(Fs ψ)(|y|) b) Xét hệ phương trình tích phân  Z∞ Z∞     f (x) + λ1 ϕ1 (u)ψ1 (v)θ2 (x, u, v)dudv = p(x),    0 0 Z∞ Z∞     λ2 ϕ2 (u)ψ2 (v)θ3 (x, u, v)dudv + h(x) = q(x),    0 (2.7) (2.8) 0 trong đó λ1 , λ2 là các hằng số phức; ϕ1 , ϕ2 , ψ1 , ψ2 là các hàm trong không gian L1 (R+ ); p(x), q(x) là các hàm trong không gian L1 (R); f, h là các hàm phải tìm và 1 [h(x + u − v) − h(x + u + v) + h(x − u − v) − h(x − u + v)], 2π 1 θ3 (x, u, v) = [f (x + u − v) − f (x + u + v) + f (x − u − v) − f (x − u + v)]. 2π θ2 (x, u, v) = Định lí 2.1.4 Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn 1 − λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(|y|).(Fs ψ1 )(|y|).(Fc ϕ2 )(|y|).(Fs ψ2 )(|y|) 6= 0, ∀y > 0. Khi đó hệ (2.8) sẽ có nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R) × L1 (R) và nghiệm được biểu diễn dưới dạng f (x) = p(x) − (l ∗ p)(x) − λ1 [∗(ϕ1 , ψ1 , q)](x) + λ1 (l ∗ [∗(ϕ1 , ψ1 , q)])(x), (2.9) h(x) = q(x) − (l ∗ q)(x) − λ2 [∗(ϕ2 , ψ2 , p)](x) + λ2 (l ∗ [∗(ϕ2 , ψ2 , p)])(x). (2.10) HFc HFc 1 HFc 1 1 HFc 1 Ở đây, hàm l ∈ L1 (R) được xác định bởi (Fc l)(|y|) = λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(|y|).(Fs ψ1 )(|y|).(Fc ϕ2 )(|y|).(Fs ψ2 )(|y|) , ∀y ∈ R. 1 − λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(|y|).(Fs ψ1 )(|y|).(Fc ϕ2 )(|y|).(Fs ψ2 )(|y|) 8 2.2 Đa chập Hartley-Fourier cosine Định nghĩa 2.2.1 Đa chập Hartley-Fourier cosine, gọi tắt là đa chập HFc , của các hàm f, g, h được định nghĩa bởi [∗(f, g, h)](x) := 2 1 4π Z∞ f (u)[k1 (x − u) + k2 (x + u)]du, x ∈ R, (2.11) −∞ trong đó k1 (t), k2 (t) (t ∈ R) là hai hàm được xác định bởi Z∞ g(v)[h(−t + v) + h(t − v) + h(−t − v) + h(t + v)]dv, (2.12) k1 (t) := 0 Z∞ g(v)[h(−t + v) − h(t − v) + h(−t − v) − h(t + v)]dv. (2.13) k2 (t) := 0 Định lí 2.2.1 Giả sử rằng các hàm f, h ∈ L1 (R) và g ∈ L1 (R+ ). Khi đó, đa chập ∗(f, g, h)(x) là một hàm thuộc không gian L1 (R) và thỏa mãn hai 2 đẳng thức nhân tử hóa sau: H1 [∗(f, g, h)](y) = (H1 f )(y).(Fc g)(y).(H2 h)(y), ∀y ∈ R, (2.14) H2 [∗(f, g, h)](y) = (H2 f )(y).(Fc g)(y).(H1 h)(y), ∀y ∈ R. (2.15) 2 2 Trong trường hợp hàm f, h ∈ L2 (R) và g ∈ L2 (R+ ), thì ta có hai đẳng thức kiểu Parseval sau đây, 1 ∗(f, g, h)(x) = √ 2 2π 1 ∗(f, g, h)(x) = √ 2 2π Z∞ (H1 f )(y).(Fc g)(y).(H2 h)(y). cas(xy)dy, (2.16) −∞ Z∞ (H2 f )(y).(Fc g)(y).(H1 h)(y). cas(−xy)dy. (2.17) −∞ Định lí 2.2.2 Giả sử f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R+ ) và h ∈ Lr (R), trong đó p, q, r > 1 và thỏa mãn 1 p + 1q + 1r = 2. Khi đó đa chập ∗(f, g, h) là bị chặn, 2 9 thuộc không gian Lα,β,γ (R). Nếu có thêm điều kiện f ∈ L1 (R) ∩ Lp (R), g ∈ s L1 (R+ ) ∩ Lq (R+ ) và h ∈ L1 (R) ∩ Lr (R), thì đa chập (2.11) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa. Hơn nữa, nếu thêm điều kiện f ∈ L2 (R) ∩ Lp (R), h ∈ L2 (R) ∩ Lr (R), g ∈ L2 (R) ∩ Lq (R), thì đẳng thức Parseval vẫn đúng. Phần ứng dụng được xét cho một lớp phương trình Toeplitz-Hankel. a) Xét phương trình Toeplitz-Hankel có dạng Z∞ f (y)[k1 (x − y) + k2 (x + y)]dy = p(x), x ∈ R f (x) + λ (2.18) −∞ trong đó k1 , k2 được xác định bởi Z∞ g(v)[h(−t + v) + h(t − v) + h(−t − v) + h(t + v)]dv, t ∈ R k1 (t) := 0 Z∞ g(v)[h(−t + v) − h(t − v) + h(−t − v) − h(t + v)]dv, t ∈ R, k2 (t) := 0 còn g, h, p là các hàm cho trước, f là hàm cần tìm. Định lí 2.2.3 Giả sử g ∈ L1 (R+ ) và h, p ∈ L1 (R) là các hàm cho trước, λ là một hằng số. Điều kiện cần và đủ để phương trình tích phân (2.18) có nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R) là 1 + λ(Fc g)(y)(H2 h)(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (2.19) f (x) = p(x) − (l ∗ p)(x), ∀x ∈ R, (2.20) và nghiệm có dạng H12 trong đó l ∈ L1 (R) được xác định bởi (H2 l)(y) = λ.(Fc g)(y)(H2 h)(y) , ∀y ∈ R. 1 + λ.(Fc g)(y)(H2 h)(y) 10 (2.21) Ví dụ 2.2.1 Chọn g(x) = q 2 π K0 (x), h(x) = q 2 π K0 (|x|), và chọn hàm 2 p(x) = e−x thì tính được nghiệm trong không gian L1 (R) có biểu thức sau: f (x) = e −x2      √ √ √ 1 1 1 1 2 − 2x 2x π Erfc √ − x + e Erfc √ + x . − √ .e 2 4 2 2 2 b) Xét hệ phương trình  Z∞     f (x) + λ1 g(u)[k1 (x − u) + k2 (x + u)]du = p(x),    −∞ Z∞     λ2 f (u)[k3 (x − u) + k4 (x + u)]du + g(x) = q(x), ∀x ∈ R,    (2.22) −∞ trong đó Z∞ ϕ1 (v)[ψ1 (−t + v) + ψ1 (t − v) + ψ1 (−t − v) + ψ1 (t + v)]dv, k1 (t) := 0 Z∞ ϕ1 (v)(v)[−ψ1 (t + v) + ψ1 (−t − v) − ψ1 (t − v) + ψ1 (−t + v)]dv, k2 (t) := 0 Z∞ ϕ2 (v)[ψ2 (−t + v) + ψ2 (t − v) + ψ2 (−t − v) + ψ2 (t + v)]dv, k3 (t) := 0 Z∞ ϕ2 (v)(v)[−ψ2 (t + v) + ψ2 (−t − v) − ψ2 (t − v) + ψ2 (−t + v)]dv, k4 (t) := 0 với t ∈ R, và λ1 , λ2 là các hằng số; các hàm cho trước ϕ1 , ϕ2 trong không gian L1 (R+ ); ψ1 , ψ2 , p(x), q(x) trong không gian L1 (R); còn f, g là các hàm phải tìm. Định lí 2.2.4 Nếu điều kiện 1 − λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(y)(Fc ϕ2 )(y)(H2 ψ1 )(y)(H2 ψ2 )(y) 6= 0, ∀y ∈ R, 11 được thỏa mãn, thì hệ (2.22) sẽ có nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R) × L1 (R) và nghiệm được xác định bởi công thức   f (x) = p(x) − λ1 (∗(q, ϕ1 , ψ1 ))(x) + l ∗ [p − λ1 (∗(q, ϕ1 , ψ1 ))] (x), 2 2 H12   g(x) = q(x) − λ2 (∗(p, ϕ2 , ψ2 ))(x) + l ∗ [q − λ2 (∗(p, ϕ2 , ψ2 ))] (x), 2 H12 2 trong đó hàm l ∈ L1 (R) được xác định từ biểu thức (H2 l)(y) = 2.3 λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(y)(Fc ϕ2 )(y)(H2 ψ1 )(y)(H2 ψ2 )(y) , ∀y ∈ R. 1 − λ1 λ2 (Fc ϕ1 )(y)(Fc ϕ2 )(y)(H2 ψ1 )(y)(H2 ψ2 )(y) Đa chập Hartley-Fourier suy biến Trong biểu thức xác định đa chập H-Fc , nếu ta đổi nhân từ tổng thành hiệu, thì ta nhận được một đa chập mới đối với phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, có dạng 1 [∗(f, g, h)](x) := 3 4π Z∞ f (u)[k1 (x − u) − k2 (x + u)]du, x ∈ R, (2.23) −∞ với k1 , k2 vẫn giữ nguyên như cũ. Khi đó, đa chập [∗(f, g, h)](x) có mọi 3 tính chất tương tự như đa chập [∗(f, g, h)](x), trừ đẳng thức nhân tử hóa 2 của nó chỉ xuất hiện một loại phép biến đổi Hartley như sau Hi [∗(f, g, h)](y) = (Hi f )(y).(Fc g)(|y|).(Hi h)(y), y ∈ R, i = 1, 2. 3 (2.24) Dùng đa chập này, giải được một lớp phương trình đạo hàm riêng, dạng phương trình truyền nhiệt, như sau: ut (x, t) = kuxx (x, t) + [∗(u, g, u)](x, t), t > 0, x ∈ R, 3 (2.25) lim u(x, t) = 0, ∀t > 0, |x|→∞ trong đó u(x, t) là hàm cần tìm, g(x, t) là hàm cho trước và k là một hằng số nào đó. 12 Kết luận chương 2 Trong chương này, chúng tôi đã xây dựng được hai đa chập mới ∗(·, ·, ·) 1 và ∗(·, ·, ·), tìm ra đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, và một số 2 tính chất khác. Dùng đa chập mới như một công cụ để giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng Fredholm loại hai. Đa chập ∗(·, ·, ·) giải được một lớp các phương trình và hệ hai phương trình tích 2 phân Toeplitz-Hankel. Đa chập ∗(·, ·, ·) nhận được từ đa chập ∗(·, ·, ·) bằng 3 2 cách điều chỉnh hàm nhân, nó có đẳng thức nhân tử hóa thuận tiện hơn cho việc giải một lớp các phương trình đạo hàm riêng. Những đa chập mới xây dựng là những kết quả còn rất ít về hướng nghiên cứu này, nó góp phần làm phong phú cho hướng nghiên cứu. Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1, 2], mục Danh mục các công trình đã công bố của Luận án. 13 Chương 3 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu đa chập cho đa chập ∗(·, ·, ·) và ∗(·, ·, ·) đã xây dựng ở chương trước. 1 3.1 2 Phép biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc-Fs Đối với đa chập H-Fc -Fs , cố định hai hàm đầu là p1 , p2 và cho hàm thứ ba thay đổi trên L2 (R), xét toán tử Tp1 ,p2 trong không gian L2 (R) có dạng f 7→ (Tp1 ,p2 f )(x) = w(x), trong đó   d2 w(x) = 1 − 2 [∗(p1 , p2 , f )](x). 1 dx (3.1) Định lí 3.1.1 (Định lý kiểu Watson) Giả sử p1 , p2 ∈ L2 (R+ ) là những hàm cho trước. Khi đó, điều kiện |(Fc p1 )(|y|).(Fs p2 )(|y|)| = 1 , y ∈ R, 1 + y2 (3.2) là điều kiện cần và đủ để toán tử Tp1 ,p2 là toán tử unita trong không gian L2 (R). Hơn nữa, toán tử ngược Tp−1 của nó được xác định như sau 1 ,p2   2 d f (x) = (Tp−1 w)(x) = − 1 − 2 [∗(p1 , p2 , w)](x), x ∈ R, 1 ,p2 1 dx (3.3) trong đó w(x) ≡ (Tp1 ,p2 f )(x), còn p1 , p2 là các hàm liên hợp phức của p1 , p2 , tương ứng. Định lí 3.1.2 (Định lý kiểu Plancherel) Giả sử rằng p1 (x) ∈ L1 (R+ )∩ L2 (R+ ), p2(x) ∈ L 2 (R+ ) là các hàm thỏa mãn điều kiện (3.2) sao cho 2 d P2 (x) = 1 − 2 p2 (x) bị chặn địa phương trên R+ . Với f ∈ L2 (R) dx 14 và với mỗi số nguyên dương N , đặt 1 wN (x) := 2π Z∞ Z∞ 0  p1 (u)P2 (v) f N (x + u − v) − f N (x + u + v)+ 0  +f N (x − u − v) − f N (x − u + v) dvdu, (3.4) trong đó f N (x) := f (x).χ[−N,N ] là hàm đặc trưng của f trên đoạn [−N, N ], với x ∈ R. Khi đó các khẳng định sau đây là đúng: 1. Với mỗi số nguyên dương N, hàm wN (x) thuộc không gian L2 (R). 2. Dãy hàm {wN (x)} hội tụ tới một hàm w(x) nào đó trong L2 (R) khi N → ∞ và thỏa mãn kwkL2 (R) = kf kL2 (R) . 3. Đặt wN := w.χ[−N,N ] , khi đó   d2 fN (x) = − 1 − 2 [∗(p1 , p2 , wN )](x), 1 dx (3.5) thuộc không gian L2 (R) và hội tụ trong L2 (R) theo chuẩn đến hàm f (x) khi N → ∞. Định lí 3.1.3 (Tính bị chặn của toán tử Tp1 ,p2 ) Giả sử rằng p1 ∈ L1 (R+ ) ∩ L2(R+ ) cònp2 ∈ L2 (R) và p2 (x) là khả vi liên tục trên R d2 sao cho P2 (x) = 1 − 2 p2 (x) là bị chặn địa phương trên R+ và p1 , p2 dx thỏa mãn điều kiện (3.2). Khi đó, toán tử Tp1 ,p2 : f 7→ (Tp1 ,p2 f ) = w, mà w(x) được xác định bởi   1 Z∞ Z∞  w(x) = lim p1 (u)P2 (v) f N (x + u − v) − f N (x + u + v)+ N →∞  2π 0 0  +f N (x − u − v) − f N (x − u + v) dvdu (3.6) là toán tử bị chặn từ Lr (R) vào Ls (R), với 1 ≤ r ≤ 2 và s là liên hợp mũ của r. Ở đây, giới hạn được hiểu theo chuẩn trong không gian Ls (R) và f N = f.χ[−N,N ] . 15 3.2 Phép biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc Trong mục này, đối với đa chập H-Fc , cố định hai hàm sau là q1 , q2 và cho hàm thứ nhất thay đổi trên L2 (R), xét toán tử Tq1 ,q2 trong không gian L2 (R) có dạng f 7→ (Tq1 ,q2 f )(x) = w(x), trong đó   d2 w(x) = 1 − 2 [∗(f, q1 , q2 )](x). 2 dx (3.7) Định lí 3.2.1 (Định lý kiểu Watson) Giả sử rằng q1 ∈ L2 (R+ ), q2 ∈ L2 (R) là những hàm cho trước. Khi đó, điều kiện |(Fc q1 )(y).(Hi q2 )(y)| = 1 , i = 1 hoặc i = 2, 1 + y2 (3.8) là điều kiện cần và đủ để toán tử Tq1 ,q2 trở thành toán tử unita trong không gian L2 (R). Hơn nữa, nếu đặt w(x) := (Tq1 ,q2 f )(x), thì toán tử ngược của Tq1 ,q2 sẽ có dạng f (x) = (Tq−1 w)(x) 1 ,q2  = d2 1− 2 dx  [∗(w, q 1 , q 2 )](x), x ∈ R, 2 (3.9) trong đó q 1 , q 2 là các hàm liên hợp phức của q1 , q2 , tương ứng. Chẳng hạn, ta chọn q1 (x) = q 2 π K0 (x) và chọn q2 (x) là khai triển chẵn của hàm q1 (x), x ≥ 0 khi đó chứng minh được chúng là những hàm thuộc L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ) và thỏa mãn (Fc q1 )(|y|) = (H2 q2 )(y) = p 1 1 + y2 . Do đó q1 , q2 thỏa mãn điều kiện (3.8). Định lí 3.2.2 (Định lý kiểu Plancherel)  Giả2sử  rằng q1 (x) ∈ L1 (R+ )∩ d L2 (R+ ), q2 (x) ∈ L2 (R) sao cho Q2 (x) = 1 − 2 q2 (x) là hàm bị chặn dx 16 địa phương, và q1 , q2 thỏa mãn điều kiện (3.8). Giả sử f ∈ L2 (R), và với mỗi số nguyên dương N , đặt 1 wN (x) := 4π ZN f (u) [θ1 (x − u) + θ2 (x + u)] du, (3.10) −N trong đó x ∈ R và Z∞ q1 (v)[Q2 (−t + v) + Q2 (t − v) + Q2 (−t − v) + Q2 (t + v)]dv, θ1 (t) := 0 Z∞ q1 (v)[Q2 (−t + v) − Q2 (t − v) + Q2 (−t − v) − Q2 (t + v)]dv, t ∈ R. θ2 (t) := 0 Khi đó các khẳng định sau đây là đúng: 1. Với mỗi số nguyên dương N , hàm wN (x) là thuộc không gian L2 (R). 2. Khi N → ∞, dãy hàm {wN (x)} hội tụ theo chuẩn đến hàm w(x) nào đó trong không gian L2 (R) và thỏa mãn kwkL2 (R) = kf kL2 (R) . 3. Đặt wN := w.χ[−N,N ] và đặt   d2 fN (x) = 1 − 2 [∗(wN , q 1 , q 2 )](x), 2 dx (3.11) dãy hàm {fN (x)} hội tụ theo chuẩn đến hàm f (x) trong không gian L2 (R). Định lí 3.2.3 (Tính bị chặn của toán tử Tq1 ,q2 ) Giả  sử rằng  d2 q1 ∈ L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ), q2 ∈ L2 (R) sao cho Q2 (x) = 1 − 2 q2 (x) bị dx chặn địa phương trên R và q1 , q2 thỏa mãn điều kiện (3.8). Khi đó, toán tử Tq1 ,q2 là toán tử bị chặn từ Lr (R) vào Ls (R), với 1 ≤ r ≤ 2, và s là liên hợp mũ của r. Hơn nữa, các biến đổi    d2 w(x) = lim 1 − 2 [∗(f N , q1 , q2 )] , 2 N →∞ dx 17 (3.12) và  f (x) = lim N →∞ d2 1− 2 dx   [∗(wN , q 1 , q 2 )] , 2 (3.13) là các toán tử bị chặn từ Lr (R) vào Ls (R), trong đó các giới hạn được hiểu theo nghĩa chuẩn trong không gian Ls (R) và wN = w.χ[−N,N ] , f N = f.χ[−N,N ] . 3.3 Ứng dụng a) Xét phương trình vi-tích phân có dạng sau f (x) + 1 4π 2  1− d dx2  Z∞ Z∞ f (u)ϕ(v)[ψ(−x + u + v) + ψ(x − u − v)+ −∞ 0 + ψ(−x + u − v) + ψ(−x + u + v) + ψ(−x − u + v) − ψ(x + u − v)+ + ψ(−x − u − v) − ψ(x + u + v)]dvdu = g(x), (3.14) trong đó f (x) là hàm cần tìm và các hàm ϕ(x) ∈ L1 (R+ ), ψ(x) ∈ L1 (R), g(x) ∈ L1 (R) là các hàm cho trước, sao cho ϕ(x) = (ϕ1 (t) ∗ sech t)(x), ϕ1 (t) ∈ L1 (R+ ) and ψ 0 (x) ∈ L1 (R). Fc Định lí 3.3.1 Nếu điều kiện sau thỏa mãn r  πy  π 2 1+ (1 + y ) · sech · (Fc ϕ1 )(y) · (H2 ψ)(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (3.15) 2 2 thì phương trình (3.14) có nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R): f (x) = g(x) − (l ∗ g)(x), ∀x ∈ R, HF (3.16) trong đó l là hàm thuộc không gian L1 (R) và được xác định bởi biểu thức sau đây:
πy 2 (1 + y ) · sech 2 2 · (Fc ϕ1 )(y) · (H2 ψ)(y)
p , ∀y ∈ R. (F l)(y) = 1 + π2 (1 + y 2 ) · sech πy · (F ϕ )(y) · (H ψ)(y) c 1 2 2 pπ 18 b) Xét hệ hai phương trình vi-tích phân     f (x) + 1 − d22 [∗(g, ϕ, ψ)](x) = p(x), dx 2   2 d   1 − dx [∗(f, ξ, η)](x) + g(x) = q(x), 2 2 (3.17) x ∈ R. trong đó f (x), g(x) là những hàm cần tìm; p(x), q(x), ϕ(x), ψ(x), ξ(x), η(x) là những hàm cho trước trong không gian L1 (R) sao cho: ϕ(x) = (ϕ1 (t) ∗ sech t)(x) ∈ L1 (R+ ), Fc ξ(x) = (ξ1 (t) ∗ sech t)(x), ϕ1 (x), ξ1 (x) ∈ L1 (R+ ), Fc và ψ 0 (x), η 0 (x) là hàm trong không gian L1 (R). Định lí 3.3.2 Nếu điều kiện sau được thỏa mãn 1 − 4.Fc2 (sech3 t)(y) · (Fc ϕ1 )(y) · (Fc ξ1 )(y) · (H2 ψ)(y) · (H2 η)(y) 6= 0, y ∈ R, (3.18) thì hệ (3.17) có nghiệm duy nhất trong L1 (R) × L1 (R) và nghiệm có dạng   3 f (x) = p(x) − 2 sech t ∗ [∗(q, ϕ1 , ψ)] (x)+ HFc 2    + l ∗ p − 2 sech3 t ∗ [∗(q, ϕ1 , ψ)] (x), HF HFc 2   3 g(x) = q(x) − 2 sech t ∗ [∗(p, ξ1 , η)] (x)+ HFc 2    3 (x). (3.19) + l ∗ q − 2 sech t ∗ [∗(p, ξ1 , η)] HFc 2 HF trong đó hàm l(x) ∈ L1 (R), được xác định bởi công thức 4Fc2 (sech3 t)(y) · (Fc ϕ1 )(y).(Fc ξ1 )(y).(H2 ψ)(y).(H2 η)(y) (F l)(y) = . 1 − 4.Fc2 (sech3 t)(y).(Fc ϕ1 )(y).(Fc ξ1 )(y).(H2 ψ)(y).(H2 η)(y) (3.20) 19 Kết luận chương 3 Chương này đã xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, đó là phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, ký hiệu Tp1 ,p2 và phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Hartley-Fourier cosine, ký hiệu Tq1 ,q2 . Với mỗi phép biến đổi tích phân kiểu đa chập, chúng tôi nghiên cứu tính chất toán tử của chúng trên không gian L2 . Định lý kiểu Watson, cho biết tính unita và chỉ ra biến đổi ngược của nó. Định lý kiểu Plancherel, xây dựng các dãy các hàm để xấp xỉ cho hàm ảnh T f và hàm ban đầu f trong L2 . Định lý về tính bị chặn chứng minh toán tử T là bị chặn từ không gian Lr (R) vào Ls (R), với 1 ≤ r ≤ 2. Phần ứng dụng, xét phép biến đổi tích phân kiểu đa chập Tq1 ,q2 vào việc giải phương trình và hệ hai phương trình vi-tích phân. Các kết quả chính của chương này dựa vào hai bài báo [3, 4], mục Danh mục các công trình đã công bố của Luận án. 20