Tài liệu CHUYÊN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

1 Môc lôc I. Lêi më ®Çu................................................................................... II. KiÕn thøc cÇn nhí....................................................................... III. KiÕn thøc bæ sung...................................................................... IV. C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p chung .................................. 2 3 3 4 D¹ng 1. Bµi tËp chøng minh tØ lÖ thøc ..................................... 1.1. Ph¬ng ph¸p chung ...................................... 1.2. Mét sè vÝ dô ................................................. 1.3. TiÓu kÕt ......................................................... 1.4. Bµi tËp t¬ng tù ........................................... 4 4 4 8 9 D¹ng 2. T×m sè cha biÕt trong d·y tØ sè b»ng nhau .............. 2.1. Ph¬ng ph¸p chung ...................................... 2.2. Mét sè vÝ dô ................................................. 2.3. TiÓu kÕt ......................................................... 2.4. Bµi tËp t¬ng tù ............................................ D¹ng 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc ................................................. 3.1. Ph¬ng ph¸p chung ....................................... 3.2. Mét sè vÝ dô .................................................. 3.3. TiÓu kÕt .......................................................... 3.4. Bµi tËp t¬ng tù ............................................ D¹ng 4. To¸n ®è ....................................................................... 4.1. Ph¬ng ph¸p chung ................................... 4.2. Mét sè vÝ dô ................................................ 4.3. TiÓu kÕt ........................................................ 4.4. Bµi tËp t¬ng tù ............................................ V. KÕt qu¶ ................................................................................... VI. VÊn ®Ò cßn h¹n chÕ ................................................................ VII. §iÒu kiÖn ¸p dông .................................................................. VIII. KÕt luËn ................................................................................. IX.Tµi liÖu tham kh¶o .................................................................. I. § 10 10 11 17 17 20 20 21 23 23 23 23 24 30 30 34 34 34 35 36 Lêi Më §Çu · tõng lang thang qua nhiÒu hiÖu s¸ch, v¨n phßng phÈm, cöa hµng s¸ch cò vµ còng ®· tõng ®äc kh¸ nhiÒu lo¹i s¸ch tham kh¶o T«i thÊy thÞ trêng s¸ch tham kh¶o cho c¸c m«n häc rÊt réng r·i, phong phó vµ ®a d¹ng, cã ®ñ tÊt c¶ c¸c lo¹i… Nhng nh÷ng bµi tËp cña mét m¶ng kiÕn thøc th× l¹i n»m d¶i r¸c ®©u ®ã trong mçi phÇn cña tõng cuèn s¸ch. T«i thiÕt nghÜ, t¹i sao chóng kh«ng ®îc s¾p xÕp theo mét trËt tù nhÊt ®Þnh nµo ®ã? §Æc biÖt lµ kiÕn thøc cña bé m«n To¸n, mét m«n khoa häc tù nhiªn chøa ®ùng v« cïng nhiÒu ®iÒu bÝ Èn thó vÞ-nã xuÊt hiÖn cïng víi loµi ngêi vµ kh«ng ngõng ph¸t triÓn theo trÝ tuÖ cña con ngêi, vµ chÝnh con ngêi l¹i 2 kh«ng ngõng kh¸m ph¸, chinh phôc nã. To¸n häc cuèn hót con ngêi ngay tõ khi häc ®Õm . Nhng sù häc lµ v« tËn, biÕt ®Õn to¸n häc vµ hiÓu ®îc nã lµ c¶ mét qu¸ tr×nh phøc t¹p ®i tõ kh«ng ®Õn cã. VËy th× lµm thÕ nµo ®Ó häc tèt bé m«n nµy? NÕu tr¶ lêi ®îc c©u hái ®ã th× b¹n ®· häc to¸n rÊt tèt råi cßn g×? NÕu cha tr¶ lêi ®îc th× khi ®äc xong cuèn s¸ch nµy b¹n ®· cã trong tay mét ph¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó häc bé m«n to¸n mét c¸ch ngon lµnh. §ã lµ c¸ch g× vËy? HÖ thèng kiÕn thøc theo tõng m¶ng-x¾p xÕp theo mét trËt tù nhÊt ®Þnh, hîp lÝ. Gióp ngêi häc rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy, ph¬ng ph¸p suy luËn vµ kh¶ n¨ng s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh häc tËp ®Ó ®¹t ®îc kÕt qu¶ tèt. Nung nÊu ý ®Þnh ®ã trong xuèt qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, T«i ®· quyÕt ®Þnh viÕt vÒ mét sè m¶ng kiÕn thøc, trong ®ã cã : “TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau” theo tiªu chÝ trªn; Mçi d¹ng bµi tËp ®Òu cã ph¬ng ph¸p chung, mét sè vÝ dô ®· chän läc c¸ch gi¶i hîp lÝ vµ mét sè bµi tËp t¬ng tù-TÊt c¶ ®Òu ®îc x¾p xÕp theo mét hÖ thèng tr×nh tù tõ dÔ tíi khã phï hîp cho mäi ®èi tîng, víi mong muèn gióp ngêi ®äc, ngêi häc dÔ dµng h¬n trong viÖc t×m hiÓu còng nh viÖc häc vµ muèn nghiªn cøu s©u h¬n vÒ m¶ng kiÕn thøc nµy mét c¸ch hiÖu qu¶ nhÊt. Tuy ®©y chØ lµ mét m¶ng kiÕn thøc nhá ®îc giíi thiÖu qua mét tiÕt lÝ thuyÕt ë s¸ch gi¸o khoa líp 7 nhng ®»ng sau ®ã lµ c¶ mét chuçi bµi tËp, øng dông rÊt nhiÒu. Víi hÖ thèng bµi tËp ®îc s¾p xÕp tõ dÔ ®Õn khã sÏ gióp ngêi häc kÝch thÝch tÝnh t duy, suy luËn logic, ãc s¸ng t¹o vµ tËn hëng ®îc c¶m gi¸c vui síng khi tù m×nh t×m tßi, kh¸m ph¸ ra ®¸p ¸n cho tõng bµi to¸n. Mong muèn chiÕm lÜnh ®îc tri thøc lµ mong muèn cña rÊt nhiÒu ngêi, ®Æc biÖt lµ häc sinh – sinh viªn, nhng lµm sao, lµm nh thÕ nµo ®Ó chiÕm lÜnh ®îc nh÷ng thø quÝ b¸u ®ã th× l¹i lµ ®iÒu b¨n kho¨n, tr¨n trë cña tÊt c¶ chóng ta. Với lượng kiến thức của học sinh mới vào lớp 7, các em đã có trong tay một số kĩ năng giải toán như biến đổi các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa. Nhưng rất nhiều khó khăn mà các em sẽ gặp phải khi học và làm bài tập phần này, ®Æc biÖt lµ nh÷ng bµi to¸n phøc t¹p, yªu cÇu cÇn ph©n tÝch kÜ ®Çu bµi ®Ó hiÓu ph¶i sö dông nh÷ng ®iÒu ®· cho nh thÕ nµo, biÕn ®æi ra sao ®Ó ®¹t ®îc môc ®Ých, t×m ra ®îc ®¸p ¸n cho bµi to¸n. Nh vËy, rÊt cÇn thiÕt ph¶i ®îc trang bÞ tri thøc ph¬ng ph¸p cho c¸c em ®Ó khi lµm bµi kh«ng c¶m thÊy lóng tóng, sî, ng¹i nh÷ng bµi to¸n phøc t¹p. Víi tÊt c¶ nh÷ng g× võa nªu ®· thóc ®Èy T«i thùc hiÖn chuyªn ®Ò nµy. II. KiÕn thøc cÇn nhí 1. TØ lÖ thøc. 1.1. TØ lÖ thøc lµ ®¼ng thøc gi÷a hai tØ sè a b  c d Trong ®ã: a, b, c, d lµ c¸c sè h¹ng. a, d lµ ngo¹i tØ. b, c lµ trung tØ. 1.2. TÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc: a c a.d  b.c * NÕu Th×  b d * NÕu a . d  b . c vµ a, b, c, d  0 th× ta cã: a c a b d c d b ; ; ;     b d c d b a c a 2. TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau. 2.1. TÝnh chÊt: a b c   Tõ d·y tØ sè b»ng nhau ta suy ra: x y z a b c abc abc a b c      x y z x yz x yz xyz 3 (Víi gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa) 2.2. Chó ý: a b c   Khi cã d·y tØ sè ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lÖ víi c¸c sè x, y, z; Ta x y z cßn viÕt a : b : c = x : y : z. III. KiÕn thøc bæ sung 1. Luü thõa cña mét th¬ng: n x xn Víi n  N, x  0 vµ x, y  Q.  y   yn   2. Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n: a a.m * Víi m  0.  b b.m a c a c * Víi n  0.    b d b.n d .n n n a c a c     * Víi n  N.        b d b  d  IV. C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p chung Bµi tËp vÒ “TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau” kh¸ phong phó vµ ®a d¹ng ë tõng møc ®é kh¸c nhau nhng theo ý kiÕn chñ quan cña b¶n th©n T«i th× cã thÓ chia lµm 4 d¹ng c¬ b¶n g¾n liÒn víi ph¬ng ph¸p chung (cña mçi d¹ng). C¸c c¸ch lµm ®îc tr×nh bµy theo m¹ch t duy suy luËn logic cña häc sinh nh»m h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn c¸ch nghÜ, c¸ch lµm, c¸ch tr×nh bµy vµ cã thÓ tù t×m ®îc con ®êng ®i cña riªng m×nh cho häc sinh. D¹ng 1. Bµi tËp chøng minh tØ lÖ thøc. 1.1. Ph¬ng ph¸p chung: +) Thêng th× ë d¹ng bµi tËp nµy, bµi sÏ cho s½n mét sè ®iÒu kiÖn nµo ®ã vµ yªu cÇu chøng minh tØ lÖ thøc. +) §Ó lµm xuÊt hiÖn tØ lÖ thøc ®· cÇn chøng minh th× chóng ta cã thÓ biÕn ®æi tõ tØ lÖ thøc bµi cho hoÆc tõ ®iÒu kiÖn bµi cho. Víi tÝnh chÊt c¸c phÐp to¸n vµ tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc hoÆc tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau chóng ta cã thÓ biÕn ®æi linh ho¹t ®iÒu ®· cho thµnh ®iÒu cÇn cã. +) Cã nhiÒu con ®êng ®Ó ®i ®Õn mét c¸i ®Ých, h·y lùa chän ph¬ng ph¸p phï hîp, hîp lÝ nhÊt trong khi chøng minh. +) Lu ý: Trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi chøng minh nªn lu«n nh×n vÒ biÓu thøc cÇn chøng minh ®Ó tr¸nh t×nh tr¹ng biÕn ®æi dµi, v« Ých. 1.2. Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1. Cho a b  c d  1 Víi a, b, c, d  0. a c  a b cd §©y kh«ng ph¶i lµ bµi to¸n khã ®èi víi ®a sè häc sinh, nhng c¸c em sÏ lóng tóng khi lùa chän c¸ch lµm bµi to¸n nµy. Cã rÊt nhiÒu c¸ch ®Ó lµm bµi Chøng minh r»ng: 4 to¸n c¬ b¶n nµy; tuy nhiªn, ë ®©y T«i xin ®îc tr×nh bµy mét sè c¸ch mµ häc sinh thêng nghÜ tíi vµ sö dông trong qu¸ tr×nh chøng minh. Lêi gi¶i: C¸ch 1. a c a b a b a b a a b Cã:         b d c d c d cd c cd a c Hay (§pcm).  a b cd 5 C¸ch 2. a Cã: b  c d C¸ch 3. a Cã: b  Khi ®ã: a ab Do ®ã: C¸ch 4.  a.d  b.c  ac  ad a c  d  c d  m  mb b  m  1  c md md   cd md  d d  m  1 a c (§pcm).  a b cd a ab Cã:  c cd   C¸ch 5. a Cã: b Suy ra: a ab  a ab c cd  c d   b a  c  a  b a c  a b cd (§pcm). m m 1 m m 1 a c  d    c  a  b ac  ad a.d a b nªn  bc a  mb ; c  md mb mb  b   ac  ac  bc  b.c c lµ ®¼ng thøc ®óng  d lµ d¼ng thøc thøc ®óng.  d c  1 b a  1 d c  ab a  c (§pcm) cd C¸ch 6. a c Cã:   ad  bc b d Do ®ã: a ad ad bc    ab d  a  b ad  bd bc  bd a c VËy: (§pcm).  a b cd C¸ch 7. a c b d Cã:    b d a c  bc b c  d   c cd cd d 6 ab a b d cd    1   a a a c c a c Suy ra: (§pcm).  a b cd 5a  3b 5a  3b a c VÝ dô 2. Cho . Chøng minh r»ng:   b d 5c  3d 5c  3d Häc sinh quan s¸t kÜ ®Çu bµi sÏ ph¸t hiÖn ra ngay c¸ch lµm; Cã thÓ sö dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, nhng ph¶i biÕn ®æi mét chót ®·: Lêi gi¶i: a c a b 5a 3b 5a  3b 5a  3b Cã:        b d c d 5c 3d 5c  3d 5c  3d 5a  3b 5a  3b VËy: (§pcm).  5c  3d 5c  3d a c a2  b2 ab VÝ dô 3. Cho . Chøng minh: 2 .   2 b d c d cd Bµi nµy cã khã h¬n mét chót. Häc sinh kh«ng biÕt lµm thÕ nµo ®Ó xuÊt hiÖn ®ab îc a2 vµ b2; Nhng bï l¹i th× c¸c em biÕt t¹o ra tõ tØ lÖ thøc bµi cho. ChØ cÇn cd gîi ý mét chót xÝu n÷a lµ c¸c em lµm ®îc ngay th«i! Em h·y so s¸nh: a a b b ab vµ ? . ; . c c d d cd B©y giê th× c¸c em ®· biÕt ph¶i lµm nh thÕ nµo råi! Lêi gi¶i: a b a2 b2 ab a 2  b2 Cã: a  c       b d c d c2 d2 cd c2  d 2 2 2 VËy: a2  b 2  ab (§pcm). c d cd Víi c¸ch t duy trªn, dÔ dµng nghÜ ngay ra con ®êng ®i cho bµi tËp kh«ng dÔ sau: a c VÝ dô 4. Cho    1 vµ c  0. Chøng minh r»ng: b d 2 3 a  b  ab a  b a 3  b3   a) b)  2    cd c3  d 3 cd c  d  §· cã bµi tËp ë vÝ dô 3 th× häc sinh kh«ng mÊy khã kh¨n khi lµm xuÊt hiÖn ®iÒu ph¶i chøng minh. Lêi gi¶i: a c a b ab a) Cã:     b d c d cd a b a b a b Suy ra: .  . c d cd cd 2 a  b ab  Hay: (§pcm).  2 cd  cd Khi ®ã: b) Cã: a b  c d  a c  b d  ab cd 7 3 3 3 Suy ra:  a    b    a  b  c c  c  d  3 3 3 3 3 a b a  b a  b   Do ®ã:      c3 d3 c3  d 3 c  d  3 3 3 a  b a  b   VËy:  (§pcm).   c3  d 3 c  d  Ngîc l¹i víi c¸ch lµm nh÷ng bµi tËp trªn, tõ mét ®¼ng thøc phøc t¹p ph¶i chøng minh ®¼ng thøc ®¬n gi¶n h¬n th× c¸c em tá ra bèi rèi khi lµm bµi. VÝ dô 5. Cho = . Chøng minh r»ng: = . Kh«ng mÊy khã kh¨n ®Ó ®¬n gi¶n biÓu thøc ®· cho. Nh×n vÒ ®iÒu ph¶i chøng minh th× ®a a lªn tö, ®a b xuèng mÉu vµ lµm “biÕn mÊt“ nh÷ng g× kh«ng cÇn thiÕt trong nh¸y m¾t. Lêi gi¶i: Cã: = suy ra: = = = Hay: = (§pcm). VÝ dô 6. Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chøng minh r»ng: = . H·y lµm xuÊt hiÖn d·y tØ sè b»ng nhau tríc ®·. Tõ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) ®a vÒ d·y tØ sè b»ng nhau nh thÕ nµo? Lêi gi¶i: Cã: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z)  Suy ra: = = = = +) = = = (1) +) = = = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã = (§pcm). VÝ dô 7. Cho a 2  b2 = c2  d 2 víi a, b, c, d … 0 vµ c …  d. Chøng minh r»ng: = hoÆc = . §Çu bµi khã thËt, nhng c¸c em sÏ ph¸t hiÖn ra ngay ®©y lµ bµi to¸n ngîc cña vÝ dô 3. Lµm theo quy tr×nh ngîc l¹i ? §iÒu ®ã kh«ng ®a c¸c em ®Õn ®îc víi ®iÒu ph¶i chøng minh. VËy th× ph¶i biÕn ®æi nh thÕ nµo? Lóc nµy gi¸o viªn vµo cuéc b»ng mét gîi ý nhá: cã thÓ biÕn ®æi ®iÒu ®· cho vÒ h»ng ®¼ng thøc kh«ng? Lêi gi¶i: a2  b2 = = = c2  d 2 2 2  a  b   a  b 2 2  cd cd =  ( )2 = ( ) 2 Suy ra: = hoÆc = - . +) NÕu = th× = = =  = = (1) +) NÕu = - th× = - = =  = = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: = hoÆc = . 1.3. TiÓu kÕt: Víi d¹ng bµi tËp nµy, c¸c em ph¶i biÕt sö dông linh ho¹t kiÕn thøc ®Ó t¹o ra d·y tØ sè b»ng nhau hîp lÝ, cã thÓ kÕt hîp víi mèi quan hÖ kh¸c mµ bµi cho ®Ó ®i ®Õn ®iÒu ph¶i chøng minh. Lu ý häc sinh khi sö dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ph¶i nhí ®Æt dÊu ngoÆc, tr¸nh nhÇm dÊu. Cã nhiÒu c¸ch ®Ó chøng minh mét tØ lÖ thøc nhng cÇn lùa chän c¸ch nµo phï hîp víi kh¶ n¨ng vµ møc ®é nhËn thøc cña ngêi häc sao cho ®¬n gi¶n mµ l¹i dÔ hiÓu, dÔ lµm, dÔ tr×nh bµy. MÆt kh¸c, trong qu¸ tr×nh chøng minh ph¶i lu«n híng vÒ ®iÒu ph¶i chøng 8 minh nh»m tr¸nh “l¹c ®êng“, dµi dßng kh«ng cÇn thiÕt, cã khi l¹i kh«ng tíi ®îc ®Ých cÇn ®Õn. Cßn b©y giê lµ lóc c¸c em ®· tù tin lµm bµi tËp t¬ng tù. 9 1.4. Bµi tËp t¬ng tù: 2 2 Bµi 1. Cho b2 = ac. Chøng minh: a 2  b2  a b c c Bµi 2. Cho b2 = ac ; c2 = bd víi b, c, d … 0; b+c … 0; b3+c3 …  d3. Chøng minh r»ng: a) 3 a 3  b3  c 3  a  b  c    b3  c 3  d 3  b  c  d  b) a 3  b3  c 3 a  b3  c 3  d 3 d Bµi 3. Cho = víi a, b, c … 0. Chøng minh r»ng tõ ba sè a, b, c (cã mét sè sö dông 2 lÇn) cã thÓ lËp thµnh mét tØ lÖ thøc. Bµi 4. Cho = víi a, b, c, d > 0. Chøng minh r»ng: a) c) ab  a  b   cd  c  d  2 2 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d b) 7 a 2  3ab 7c 2  3cd  11a 2  8b 2 11c 2  8d 2 2 2 2 2 d) 3a 2 10b2  17 ab  3c 2 102d  cd Bµi 5. (Më réng) Cho = . Chøng minh: a) = b) = c) = d) = e) = f) = Bµi 6. Cho = = . Chøng minh r»ng: a) ( )3= 7a  b  5ab 7c  d  5cd a 3  b3  c 3 a  b3  c 3  d 3 d b) Bµi 7. Cho = = . Chøng minh: = = . Bµi 8. Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) víi a … b … c vµ a, b, c … 0. Chøng minh r»ng: = = . Bµi 9. Chøng minh r»ng: NÕu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) th× = víi b, d … 0. Bµi 10. Chøng minh r»ng: NÕu a2 = bc th× = . §iÒu ®¶o l¹i cã ®óng kh«ng? Bµi 11. Cho bèn sè kh¸c 0 lµ: a1, a2, a3, a4 tho¶ m·n a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4 a13  a2 3  a33 a1  a23  a33  a43 a4 Chøng minh r»ng: Bµi 12. Chøng minh r»ng: NÕu n n n n = th× an  b n  an  b n víi n  N. Bµi 13. Chøng minh r»ng: NÕu a2 k  b 2 k 2k 2k c d c d c d 2k 2k a b th× =  .  2k c  d 2k a b n n Bµi 14. Tõ ( )n = c  d n n víi n  N suy ra: = nÕu n lµ sè tù nhiªn lÎ & =  nÕu n lµ sè tù nhiªn ch½n. Bµi 15. Chøng minh r»ng: =( )2008 biÕt = = = … = . 2 2 Bµi 16. Chøng minh r»ng: NÕu a2  b 2 = c d th× = . Bµi 17. Cho k, m, n  N*. Chøng minh r»ng: NÕu k2 = m.n th× = . Bµi 18. Cho = . H·y chøng minh: a) = = b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d) 4 4 c) ( )4 = a4  b 4 c d Bµi 19. Chøng minh: = biÕt r»ng (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+c-d).(a+b-c-d) Bµi 20. Chøng minh: = (§©y lµ c¸ch rót gän hçn sè) HD: = = = . 10 D¹ng 2. T×m sè cha biÕt trong d·y tØ sè b»ng nhau. 2.1. Ph¬ng ph¸p chung: +) D¹ng bµi tËp nµy c¸c em gÆp rÊt nhiÒu, nã rÊt phong phó vµ ®a d¹ng. Bµi thêng cho 2 d÷ kiÖn, còng cã khi chØ cho 1 d÷ kiÖn. Tõ nh÷ng mèi quan hÖ ®ã ta cã thÓ t×m ®îc ®¸p ¸n cña bµi, nhng còng cã thÓ ph¶i biÕn ®æi råi míi sö dông ®îc. +) Cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p ë d¹ng 1. +) Lu ý ®Õn dÊu cña sè cÇn t×m trong trêng hîp cã sè mò ch½n hoÆc tÝch cña 2 sè, ®Ó tr¸nh t×m ra sè kh«ng tho¶ m·n yªu cÇu cña bµi. Còng lu ý c¸c trêng hîp cã thÓ x¶y ra ®Ó kh«ng bá xãt nh÷ng gi¸ trÞ cÇn t×m. 11 2.2. Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1. T×m x, y kh¸c 0 biÕt: a) = vµ 2x + 5y = 10 b) = - vµ 2x + 3y = 7 c) 21.x = 19.y vµ x – y = 4 d) = vµ x.y = 84 Bµi nµy t¬ng ®èi dÔ, chØ cÇn ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau lµ t×m ®îc ngay ®¸p sè cña bµi; Nhng tríc tiªn ph¶i biÕn ®æi tØ lÖ thøc cña bµi mét chót cho phï hîp víi mèi quan hÖ cßn l¹i. Lêi gi¶i: a) Cã =  = = = ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: = = = = Do ®ã: +) = suy ra x = = +) = suy ra y = = VËy: x = vµ y = b) Cã =  = Do ®ã: = = = Hay: +) = suy ra: 2x =  x = +) = suy ra: y = VËy: x = - vµ y = c) 21.x = 19. y  = Do ®ã: = = = = -2 Hay: +) = -2  x = -2.19 = -38 +) = -2  y = -2.21 = -42 VËy: x = - 38 vµ y = - 42 d) =  = = = =4 Hay: +) = 4  x2 = 36  x=6 2 +) = 4  y = 196  y =  14 VËy: x = 6 vµ y = 14 hoÆc x = - 6 vµ y = -14 * Còng cã em lµm c¸ch kh¸c: Cã =  = mµ xy = 84 ( x vµ y cïng dÊu) nªn . xy = . 84  x2 = 36  x =  6 vµ xy: = 84:  y2 = 196  y = 14 VÝ dô 2. T×m x, y, z biÕt: a) = ; = vµ 2x + 3y – z = 186 b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) vµ 5x – y + 3z = 124 c) = = = Lêi gi¶i: a) Ch¾c ch¾n lµ ph¶i sö dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau nhng l¹i cha cã, h·y lµm xuÊt hiÖn d·y tØ sè b»ng nhau. Cã: =  = =  = Do ®ã: = = = = = = = 3 Hay: +) = 3  x = 3.15 = 45 +) = 3  y = 3.20 = 60 +) = 3  z = 3.28 = 84 VËy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84 b) T¬ng tù nh c©u a): Cã x : y : z = 3 :5 : (- 2)  = = Do ®ã, ta cã: = = = = = = = 31 12 Hay: +) = 31  x = 31.3 = 93 +) = 31  y = 31.5 = 155 +) = 31  z = 31.(-2) = -62 VËy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62. c) Bµi chØ cho d·y tØ sè b»ng nhau chø kh«ng cho thªm mèi quan hÖ kh¸c nh nh÷ng bµi tríc. Kh¸c nh÷ng bµi tríc, häc sinh thÊy míi l¹. VËy th× lµm thÕ nµo? LiÖu cã lµm xuÊt hiÖn mèi quan hÖ kh¸c tõ d·y tØ sè b»ng nhau kh«ng? Cã: = = = = = 2 Suy ra: x+y+z = . Khi ®ã: y+z = - x ; x+z = - y ; x+y = - z Do ®ã: +) = 2  =2  x= +) = 2  =2  y= +) = 2  =2  z=VËy: x = ; y = ; z = - . VÝ dô 3. T×m c¸c sè x, y, z biÕt: = = vµ 5z – 3x – 4y = 50 GÆp bµi nµy, c¸c em kh«ng tr¸nh khái b¨n kho¨n: T¹o ra 5z, 3x, 4y b»ng c¸ch nµo ®©y? V× x cßn víng -1, y víng 3 vµ z víng -5. Cø b×nh tÜnh vµ lµm nh b×nh thêng xem sao? Lêi gi¶i: Cã: = = & 5z – 3x – 4y = 50  = = & 5z – 3x – 4y = 50  = = = = =2 Hay: +) = 2  x–1=4  x=5 +) = 2  y+3=8  y=5 +) = 2  z – 5 = 12  z = 17 VËy: x = y = 5 ; z = 17 VÝ dô 4. T×m a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b = 4c vµ a – b + c = 35 §· cã d·y tØ sè b»ng nhau cha? Lµm thÕ nµo ®Ó cã d·y tØ sè b»ng nhau? Lêi gi¶i: Cã: 2a = 3b = 4c  = = = = = Khi ®ã: = = = = = 7 Hay: +) = 7  a = 7.6 = 42 +) = 7  b = 7.4 = 28 +) = 7  c = 7.3 = 21 VËy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21 VÝ dô 5. T×m x biÕt: = §Çu bµi thËt ®¬n gi¶n, nhng lµm nh thÕ nµo? ChØ cã mçi mét mèi quan hÖ, cã thÓ lµm triÖt tiªu x ®îc kh«ng? Lêi gi¶i: Cã: = = = = 4 Hay: = 4  x – 12 = 20  x = 20 + 12  x = 32 VËy: x = 32. VÝ dô 6. T×m a, b biÕt r»ng: a) = vµ a2 – b2 = 36 b) = vµ ab = 48 Muèn sö dông ®îc tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau th× ph¶i qua bíc biÕn ®æi ®·: Ph¶i lµm xuÊt hiÖn ®îc a2, b2 ë c©u a vµ tÝch ab ë c©u b. Lµm ®îc ®iÒu ®ã th× coi nh bµi to¸n ®· ®îc hoµn thµnh 90%. Lêi gi¶i: 13 a) Cã: = (a, b cïng dÊu) Suy ra: = = = = 4 Hay: = 4  a2 = 100  a =  10 2 =4  b = 64  b= 8 VËy: a = 10 vµ b = 8 hoÆc a = - 10 vµ b = - 8. b) Cã: = Suy ra: = = = = 4 Hay: = 4  a2 = 36  a= 6 =4  b2 = 64  b= 8 VËy: a = 6 vµ b = 8 hoÆc a = - 6 vµ b = - 8. VÝ dô 7. T×m x1, x2, x3, …, x9 biÕt r»ng: = = = … = vµ x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90 Nh×n cã vÎ khã v× nhiÒu sè cha biÕt ph¶i t×m qu¸. Kh«ng vÊn ®Ò g×, ®· cã tÝnh chÊt cu¨ d·y tØ sè b»ng nhau ®©y råi. Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: = = =…= = x  x  ...  x9    1  2  ...  9  =  1 2 90  45 = 45 9  8  ...  1 =1 x1 = 9 + 1 = 10 x2 = 8 + 2 = 10 x3 = 7 + 3 = 10 +) = 1  +) = 1  +) = 1  ……………… +) = 1  x9 = 1 + 9 = 10 VËy: x1 = x2 = x3 = … = x9 = 10. VÝ dô 8. a) T×m ph©n sè cã d¹ng tèi gi¶n biÕt = víi a, b  Z vµ b … 0. b) Cho ph©n sè . T×m c¸c sè nguyªn x, y sao cho = . Lêi gi¶i: a) = ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: = = = = Ph©n sè cÇn t×m cã d¹ng tèi gi¶n = nªn ph©n sè cÇn t×m cã d¹ng víi k  Z vµ k … 0. b) T¬ng tù nh c©u a, nhng tæng qu¸t h¬n. Cã: = = = Víi = th× ta cã thÓ t×m ®îc v« sè c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n. VÝ dô 9. T×m x, y biÕt: a) = & x4 y4 = 16 b) = & x10 y10 = 1024 c) = = Bµi nµy khã ®©y, sè mò to, cã 2 sè cha biÕt mµ chØ cã 1 mèi quan hÖ. Lµm b»ng c¸ch nµo, lµm nh thÕ nµo? Lêi gi¶i: a) Cã thÓ ®a vÒ sè mò nhá h¬n kh«ng? §a vÒ bµi to¸n ®· biÕt c¸ch lµm cã ®îc kh«ng? Cßn chÇn chõ g× n÷a, cø thö xem? Tõ = suy ra: = = vµ x, y cïng dÊu (1) Víi x4 y4 = 16  xy =  2 (2) KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã: == = = 14 Hay: +) =  x2 = 1  x =  1 +) =  y2 = 4  y =  2 VËy: x = 1 vµ y = 2 hoÆc x = - 1 vµ y = - 2 b) Cã sö dông ®îc c¸ch lµm nh ë c©u a kh«ng? T¹i sao l¹i kh«ng thö xem? Chó ý ®Õn dÊu cña x, y v× rÊt dÔ kÕt luËn thiÕu gi¸ trÞ cÇn t×m. Cã: = = =  =  = x2  x= Khi ®ã: x10y10 = (± )10.y10 = 1024  y20 = 210.1024  y20 = 220  y=2 Do ®ã: x =  1 VËy: x = 1 vµ y = 2 hoÆc x = –1 vµ y = –2 hoÆc x = 1 vµ y = –2 hoÆc x = –1 vµ y = 2 c) C©u nµy lµm häc sinh hoang mang bëi vÞ trÝ cña x. Nhng chÝnh ®iÒu ®ã l¹i lµ ch×a kho¸ ®Ó më cöa c¨n phßng chøa ®¸p ¸n cña bµi. H·y gîi ý c¸c em nhËn vÒ mèi quan hÖ gi÷a 2x +1, 3y “ 2 vµ 2x + 3y “ 1. B©y giê th× bµi l¹i trë thµnh qu¸ ®¬n gi¶n víi nh÷ng g× cã trong hµnh trang cña c¸c em. = = (1) = = = (2) Tõ (1), (2) ta cã: 6x = 12  x = 2 thay vµo (1) th× y = 3 VËy: x = 2 vµ y = 3. VÝ dô 10. T×m ba sè x, y, z biÕt = = (1) vµ x2 + y2 + z2 = 14 Lµm thÕ nµo ®©y khi võa cã mò 3 l¹i cã c¶ mò 2? Thêng th× h¹ bËc xuèng thÊp cho dÔ tÝnh, lµm ®iÒu ®ã víi bËc 2 ë ®©y lµ kh«ng thÓ, cßn bËc 3 th× sao? (1)  = = Suy ra: = = = = = Hay: +) =  x2 = 1  x =  1 +) =  y2 = 4  y =  2 +) =  z2 = 9  z =  3 Mµ theo (1) th× x, y, z cïng dÊu Nªn: x = 1; y = 2; z = 3 hoÆc x = –1; y = –2; z = –3. 2.3. TiÓu kÕt: D¹ng bµi tËp nµy t¬ng ®èi phøc t¹p, nÕu kh«ng lµm vµ tr×nh bµy cÈn thËn th× rÊt dÔ bÞ nhÇm lÉn. KiÕn thøc th× kh«ng ph¶i lµ qu¸ khã nhng rÊt cÇn ®Õn kh¶ n¨ng quan s¸t vµ kÜ n¨ng biÕn ®æi. Còng cÇn ®Õn sù khÐo lÐo ®a bµi to¸n vÒ d¹ng quen thuéc ®· biÕt c¸ch lµm ë d¹ng 1. 2.4. Bµi tËp t¬ng tù: Bµi 1. T×m c¸c sè a, b, c, d biÕt: a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 vµ a – b + c – d b) 2a = 3b ; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30 c) 3a = 4b & b – a = 5 Bµi 2. T×m x1, x2, …, xn–1, xn biÕt: = = …… = = vµ x1+x2+ … +xn–1+xn = c (Víi a1, a2, … ,an–1, an kh¸c 0 vµ a1+a2+ … +an–1+an … 0) Bµi 3. T×m a, b, c, d biÕt: 15 a) = = = b) = = & a + b + c + d = 12. & a – 2b + 3c = 35. c) = ; = & a + b – c = 69. d) a = b = c & a – b = 15. e) = = & 2a + 3b – c = 95 Bµi 4. T×m x, y, z biÕt: a) b) c) x y vµ xy = 54  2 3 x y ; x2 – y2 = 4 víi x, y > 0  5 3 x y  2 3 ; y z vµ x + y + z = 92  5 7 d) 2x = 3y = 5z vµ x + y – z = 95 x y z    x y z y  z 1 x  z 1 x  y  2 y z g) x   vµ 4x – 3y + 2z 36 2 3 e) h) x 1 y  2 z  3 vµ x – 2y + 3z = 14   2 3 4 i) 4 2 3   x 1 y  2 z  2 vµ xyz = 12 2 2 k) x  y vµ x2 + y2 = 100 9 l) m) 16 x 2 x 3  ;  y 3 z 5 vµ x2 + y2 + z2 = 217 x  16 y  25 z  9   9 16 25 vµ 2x3 – 1 = 1 n) x y ; x2 – y2 = 81 víi x, y > 0  5 4 p) x 2  y 3 vµ x2 + y2 = 208 Bµi 5. T×m x biÕt: 16 a) x2 x4  x 1 x  7 b) x 3 5  x5 7 d) x  18 x  17  x  4 x  16 e) 72  x 3  x  18 5 Bµi 6. T×m a, b, c biÕt a) a b c vµ 3a + b – 2c = 14   3 8 5 b) a 1 b  2 c  2 vµ a + 2b – c = 6   5 3 2 c) a b c   10 6 21 d) a 1 b  2 c  3   2 3 4 e) 12a  15b 20c  12a 15b  20c   7 9 11 f) 2a 3b 4c vµ a + b +c = 49   3 4 5 g) a b c   2 3 5 h) 6 9 18 a b c 11 2 5 i) a b b c  ;  3 4 5 7 vµ 2a + 3b – c = 186 k) a b b c  ;  3 4 3 5 vµ l) a 10 b 3  ;  b 9 c 4 m) n) vµ 5a + b – 2c = 28 vµ a + b + c = 48 vµ abc = 810 a 7 b 5  ;  b 20 c 8 a 2  ; b 3 vµ 2a + 3b – c = 50 a 1  c 2 vµ –a + b + c = –120 2a – 3b + c = 6 vµ a – b + c = 78 vµ 2a + 5b – 2c = 100 vµ a3 + b3 + c3 = 99 p) 3a = 2b ; 7b = 5c vµ a – b + c = 32 q) 5a = 8b = 20c vµ a – b – c = 3 D¹ng 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc. c) x 1 x  2  x2 x3 17 3.1. Ph¬ng ph¸p chung: +) §©y lµ lo¹i bµi tËp khã, ®ßi hái häc sinh ph¶i huy ®éng nhiÒu kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng còng nh biÕt tæng hîp tri thøc ph¬ng ph¸p ®· häc. Kh¶ n¨ng quan s¸t vµ dù ®o¸n ®îc sö dông nhiÒu, liªn tôc, ®ång thêi víi sù suy luËn logic, s¸ng t¹o... +) Lµm d¹ng bµi tËp nµy, häc sinh rÊt cÇn ®Õn sù xóc t¸c cña gi¸o viªn mçi khi c¸c em gÆp bÕ t¾c. Nh÷ng lóc ®ã th× gi¸o viªn chØ cÇn gîi më híng ®i cho häc sinh b»ng nh÷ng c©u hái më... 18 3.2. Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1. Cho x, y, z tho¶ m·n: TÝnh: P= x y z víi x, y, z kh¸c 0.   2 5 7 x yz x  2y  z Bµi nµy t¬ng ®èi khã khi tho¹t nh×n, v× häc sinh ch¼ng biÕt lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh ®îc P ®©y? Cø b×nh tÜnh quan s¸t ®Æc ®iÓm cña biÓu thøc P ®Ó t×m mèi liªn hÖ gi÷a P vµ d·y tØ sè b»ng nhau ®· cho th× c¸c em kh«ng chØ t×m ®îc mét c¸ch lµm. x y z   = k (k kh¸c 0) th× 2 5 7 * §Æt Khi ®ã: P = VËy: P = x = 2k , y = 5k , z = 7k 2k  5k  7 k 4k 4   2k  10k  7 k 5k 5 4 5 * HoÆc c¸ch kh¸c: Ta cã: L¹i cã: x y z x yz x yz suy ra x – y + z = 2x     2 5 7 257 4 x 2y z x  2y  z x  2y  z     2 10 7 2  10  7 5 2x Do ®ã: P = 5 x  suy ra x + 2y – z = 4x 4  5x 5 2 VËy: P = 4 5 VÝ dô 2. Cho 3 tØ sè b»ng nhau a b ; ; bc ca c . ab T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè ®ã. Víi bµi nµy c¸c em dÔ dµng t×m ra ®¸p ¸n: a b c = = = bc ca ab abc 1 = (b  c)  (c  a)  (a  b) 2 Vµ kÕt luËn: Gi¸ trÞ cña mçi tØ sè ®· cho lµ 1 . 2 5x 2 19 Nhng chØ cã thÕ th× lêi gi¶i bµi to¸n cha ®îc hoµn thiÖn. Mµ ph¶i tr×nh bµy ®îc nh sau: abc abc  (b  c)  (c  a)  (a  b) 2(a  b  c) a b c = = = bc ca ab Cã: +) NÕu a + b +c … 0 th× a b c = = = bc ca ab (*) abc 1 = (b  c)  (c  a)  (a  b) 2 +) NÕu a + b +c = 0 th× b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c. Khi ®ã: HoÆc: a a b b =  1 ;   1 ; b  c a c  a b a b c c = = =  1 bc ca ab c VËy: +) NÕu a + b +c … 0 th× +) NÕu a + b +c = 0 th× VÝ dô 3. c c   1 a  b c Cho biÓu thøc: P = T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc P biÕt: a b c 1 = = = bc ca ab 2 a b c = = = 1 bc ca ab x y y  z z t t  x    zt t  x x y y z x y z t    (*) y  z t z t  x t  x y x y  z ChØ cÇn nh×n ®Çu bµi th«i ®· thÊy sî råi. Lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh ®îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc P? Cã thÓ thÊy d·y tØ sè b»ng nhau (*) kh¸ quen thuéc, nhng P th× kh«ng. LiÖu cã thÓ sö dông c¸c c¸ch ®· lµm kh«ng? Sö lÝ (*) nh thÕ nµo ®©y? Lêi gi¶i: x y z t 1  1  1  1 y zt zt x t x y x y z Cã: Hay: x y  z t x y  z t x y  z t x y  z t    y  z t z t  x t x y x yz +) NÕu x + y + z + t … 0 th× y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z  x=y=z=t khi ®ã: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4 +) NÕu x + y + z + t = 0 th× x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t) Khi ®ã: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4 VËy: +) P = 4 khi x + y + z + t … 0 20 +) P = – 4 khi x + y + z + t = 0 3.3. TiÓu kÕt: D¹ng bµi tËp nµy g©y t¬ng ®èi nhiÒu khã kh¨n cho häc sinh bëi sù suy luËn logic vµ tÝnh phøc t¹p cña nã. Nhng víi vai trß gîi më cña gi¸o viªn th× häc sinh cã ®îc c¶m gi¸c cña ngêi kh¸m ph¸ ra ®iÒu thó vÞ, c¶m xóc cña ngêi chiÕn th¾ng. §iÒu ®ã chÝnh lµ ®éng lùc kÝch thÝch c¸c em, g©y høng khëi cho c¸c em tiÕp tôc chinh phôc nh÷ng bµi tiÕp theo. 3.4. Bµi tËp t¬ng tù: Bµi 1. Cho A = x  2 y  3z . x  2 y  3z TÝnh A biÕt x, y, z tØ lÖ víi 5, 4, 3. Bµi 2. Cho c¸c sè A, B, C tØ lÖ víi a, b, c. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : Bµi 3. Cho 4 tØ sè b»ng nhau: Q= Ax  By  C ax  by  c abc bcd cd a d a b ; ; ; d a b c T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè trªn. 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M =    cd d a ab bc Bµi 4. Cho d·y: D¹ng 4. To¸n ®è: 4.1. Ph¬ng ph¸p chung: