Tài liệu Chuyên đề nhị thức newton

CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỊNH NGHĨA Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng: n (a + b ) = C 0n a n + C1n a n - 1b + C 2n a n - 2b 2 + ... + C kn a n - k b k + ... + C nn b n n = å C kn a n - k b k (n = 0, 1, 2, ...) . k= 0 Số hạng thứ k+1 là Tk + 1 = C kn a n - k b k , C kn = Tính chất i) C kn = C nn - k n! , thường được gọi là số hạng tổng quát. k !(n - k )! (0 £ k £ n) . ii) C kn + C kn - 1 = C kn + 1 (1 £ k £ n) . PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Dùng định nghĩa và tính chất chứng minh hoặc rút gọn đẳng thức Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức C kn + 3C kn - 1 + 3C kn - 2 + C kn - 3 = C kn + 3 với 3 £ k £ n . Giải Áp dụng tính chất ta có: C kn + 3C kn - 1 + 3C kn - 2 + C nk - 3 = (C kn + C kn - 1 ) + 2 (C kn- 1 + C kn - 2 ) + (C kn - 2 + C kn - 3 ) = C kn + 1 + 2C kn -+ 11 + C nk -+ 21 = (C nk + 1 + C nk -+ 11 ) + (C nk -+ 11 + C nk -+ 21 ) = C kn + 2 + C kn -+ 12 = C nk + 3 . 15 16 29 30 Ví dụ 2. Tính tổng S = C14 30 - C 30 + C 30 - ... - C 30 + C 30 . Giải Áp dụng tính chất ta có: 14 14 15 15 16 28 29 30 S = (C13 29 + C 29 ) - (C 29 + C 29 ) + (C 29 + C 29 ) - ... - (C 29 + C 29 ) + C 30 29 30 13 = C13 29 - C 29 + C 30 = C 29 . Cách khác: 30 (1 - 1) Þ Þ 13 14 29 30 = (C 030 - ... + C12 30 - C 30 ) + (C 30 - ... - C 30 + C 30 ) (C 3030 - ... + C1830 - C1730 ) + (C1430 (S - C1630 + C1530 - C1430 ) + S = 0 30 ... - C 29 30 + C 30 ) = 0 15 14 14 15 Þ 2S = C16 30 - C 30 + C 30 = 2C 30 - C 30 . 15 2C14 30 - C 30 = 67863915 . Vậy S = 2 http://www.ebook.edu.vn 1 Ví dụ 3. Rút gọn tổng: 0 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 0 S = C 2007 C 2006 2007 + C 2007C 2006 + C 2007C 2005 + ... + C 2007C 2007-k + ... + C 2007C1 . Giải Áp dụng công thức ta có: 2007 ! (2007 - k) ! 2007 ! 2006 ! k C 2007 C 2006-k . = = 2007. 2007-k = k !(2007 - k )! (2006 - k) !1! k !(2006 - k )! k !(2006 - k )! k với " k = 0, 1, 2, ..., 2006 . = 2007C 2006 Suy ra: 2006 0 k S = 2007 (C 2006 + C12006 + ... + C 2006 + ... + C 2006 2006 ) = 2007 (1 + 1 ) . Vậy S = 2007.22006 . II. Khai triển nhị thức Newton 1. Dạng khai triển Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau. n n i) Khai triển (a + b ) hoặc (a - b ) . ii) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên. 0 3 2007 2007 Ví dụ 4. Tính tổng S = C 2007 - 2C12007 + 22 C 22007 - 23 C 2007 + ... + 22006 C 2006 C 2007 . 2007 - 2 Giải Ta có khai triển: 0 2 2006 2007 . (1 - 2)2007 = C 2007 - 2C12007 + 22 C 2007 - ... + 22006 C 2007 - 22007 C 2007 Vậy S = - 1 . 0 2 4 2004 2006 Ví dụ 5. Rút gọn tổng S = C 2007 + 32 C 2007 + 34 C 2007 + ... + 32004 C 2007 + 32006 C 2007 . Giải Ta có các khai triển: 0 2006 (1 + 3)2007 = C 2007 + 3C12007 + 32 C 22007 + ... + 32006 C 2007 + 32007 C 2007 2007 0 2 2006 2007 (1 - 3)2007 = C 2007 - 3C12007 + 32 C 2007 - ... + 32006 C 2007 - 32007 C 2007 Cộng (1) và (2) ta được: 0 2 4 2006 2 (C 2007 + 32 C 2007 + 34 C 2007 + ... + 32006 C 2007 ) = 42007 - 22007 . (1) (2) Vậy S = 22006 (22007 - 1 ). 3 5 Ví dụ 6. Rút gọn tổng S = 32006.2C12007 + 32004.23 C 2007 + 32002.25 C 2007 + ... + 22007 C 2007 2007 . Giải Ta có các khai triển: 0 2007 2007 (3 + 2)2007 = 32007 C 2007 + 32006.2C12007 + 32005.22 C 22007 + ... + 3.22006 C 2006 C 2007 (1) 2007 + 2 0 2007 2007 (3 - 2)2007 = 32007 C 2007 - 32006.2C12007 + 32005.22 C 22007 - ... + 3.22006 C 2006 C 2007 2007 - 2 Trừ (1) và (2) ta được: 2 (2) 3 5 2007 2 (32006.2C12007 + 32004.23 C 2007 + 32002.25 C 2007 + ... + 22007 C 2007 ) = 52007 - 1 . Vậy S = 52007 - 1 . 2 2. Dạng đạo hàm 2.1. Đạo hàm cấp 1 Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu). Hai khai triển thường dùng: n (1 + x ) (1 - = C 0n + C1n x + C 2n x 2 + ... + C nk x k + ... + C nn x n n k (1) n x ) = C 0n - C1n x + C 2n x 2 - ... + (- 1 ) C kn x k + ... + (- 1 ) C nn x n (2) i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2). ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp. 29 30 Ví dụ 7. Tính tổng S = C130 - 2.2C 230 + 3.22 C 330 - ... + 29.228 C 29 30 - 30.2 C 30 . Giải Ta có khai triển: 30 (1 + x ) 29 30 = C 030 + C130 x + C 230 x 2 + ... + C 29 + C 30 30 x 30 x (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 28 30 29 C130 + 2C 230 x + ... + 29C 29 + 30C 30 x = 30 (1 + x ) 30 x (2) Thay x = – 2 vào (2) ta được: 29 29 30 C130 - 2.2C 230 + 3.22 C 330 - ... + 29.228 C 29 30 - 30.2 C 30 = 30 (1 - 2 ) . Vậy S = - 30 . 3 28 29 Ví dụ 8. Rút gọn tổng S = C130 + 3.22 C 30 + 5.24 C 530 + ... + 27.226 C 27 30 + 29.2 C 30 . Giải Ta có khai triển: 30 (1 + x ) 29 30 = C 030 + C130 x + C 230 x 2 + ... + C 29 + C 30 30 x 30 x (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 28 30 29 C130 + 2C 230 x + ... + 29C 29 + 30C 30 x = 30 (1 + x ) 30 x (2) Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được: 29 3 29 30 C130 + 2.2C 230 + 3.22 C 30 + ... + 29.228 C 29 30 + 30.2 C 30 = 30 (1 + 2 ) 29 29 30 C130 - 2.2C 230 + 3.22 C 330 - ... + 29.228 C 29 30 - 30.2 C 30 = 30 (1 - 2 ) Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được: 28 29 29 2 (C130 + 3.22 C 330 + 5.24 C 530 + ... + 27.226 C 27 30 + 29.2 C 30 ) = 30 (3 - 1 ) Vậy S = 15 (329 - 1 ). http://www.ebook.edu.vn 3 (3) (4) 0 2007 Ví dụ 9. Rút gọn tổng S = 2008C 2007 + 2007C12007 + 2006C 22007 + ... + 2C 2006 2007 + C 2007 . Giải Ta có khai triển: 2007 (x + 1 ) 0 2007 = C 2007 x 2007 + C12007 x 2006 + C 22007 x 2005 + ... + C 2006 2007 x + C 2007 (1) Nhân 2 vế (1) với x ta được: 2007 x (x + 1 ) 0 2 2007 = C 2007 x 2008 + C12007 x 2007 + C 22007 x 2006 + ... + C 2006 2007 x + C 2007 x (2) Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 0 2007 2008C 2007 x 2007 + 2007C12007 x 2006 + 2006C 22007 x 2005 + ... + 2C 2006 2007 x + C 2007 2006 = (1 + 2008x) (x + 1 ) (3) Thay x = 1 vào (3) ta được: 0 2007 2006 2008C 2007 + 2007C12007 + 2006C 22007 + ... + 2C 2006 . 2007 + C 2007 = 2009.2 Cách khác: Ta có khai triển: 2007 (x + 1 ) 0 2 2007 = C 2007 x 2007 + C12007 x 2006 + C 2007 x 2005 + ... + C 2006 2007 x + C 2007 (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 2006 0 2 2005 2006 = 2007 (x + 1 ) 2007C 2007 x 2006 + 2006C12007 x 2005 + 2005C 2007 x 2004 + ... + 2C 2007 x + C 2007 (2) Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được: 0 2 2006 2007 C 2007 + C12007 + C 2007 + ... + C 2007 + C 2007 = 22007 (3) 0 2006 2007C 2007 + 2006C12007 + 2005C 22007 + ... + C 2006 2007 = 2007.2 Cộng (3) và (4) ta được: 0 2007 2006 2008C 2007 + 2007C12007 + 2006C 22007 + ... + 2C 2006 . 2007 + C 2007 = 2009.2 (4) Vậy S = 2009.22006 . Ví dụ 10. Cho tổng S = 2C 0n + 3C1n + 4C 2n + ... + (n + 1)C nn - 1 + (n + 2)C nn , với n Î Z+ . Tính n, biết S = 320 . Giải Ta có khai triển: n (1 + x ) = C 0n + C1n x + C 2n x 2 + ... + C nn - 1x n - 1 + C nn x n (1) 2 Nhân 2 vế (1) với x ta được: n C 0n x 2 + C1n x 3 + C 2n x 4 + ... + C nn - 1x n + 1 + C nn x n + 2 = x 2 (1 + x ) (2) Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 2C 0n x + 3C1n x 2 + 4C 2n x 3 + ... + (n + 1)C nn - 1x n + (n + 2)C nn x n + 1 n = 2x (1 + x ) + nx 2 (1 + x)n - 1 (3) Thay x = 1 vào (3) ta được: 2C 0n + 3C1n + 4C 2n + ... + (n + 1)C nn - 1 + (n + 2)C nn = (4 + n).2n - 1 . S = 320 Û (4 + n).2n - 1 = 320 Þ n = 6 . 4 Cách khác: Ta có khai triển: n (1 + x ) = C 0n + C1n x + C 2n x 2 + ... + C nn - 1x n - 1 + C nn x n (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: n- 1 C1n + 2C 2n x + 3C n3 x 2 + ... + nC nn x n - 1 = n (1 + x ) (2) Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được: C 0n + C1n + C 2n + C 3n + ... + C nn - 1 + C nn = 2n (3) C1n + 2C 2n + 3C n3 + ... + (n - 1)C nn - 1 + nC nn = n.2n - 1 Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được: 2C 0n + 3C1n + 4C 2n + ... + (n + 1)C nn - 1 + (n + 2)C nn = (4 + n).2n - 1 . (4) S = 320 Û (4 + n).2n - 1 = 320 . Vậy n = 6 . 2.2. Đạo hàm cấp 2 Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 12 đến n2 (không kể dấu). Xét khai triển: n (1 + x ) = C 0n + C1n x + C 2n x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn - 1x n - 1 + C nn x n (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: n- 1 C1n + 2C 2n x + 3C n3 x 2 + 4C n4 x 3 + ... + nC nn x n - 1 = n (1 + x ) (2) i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 1.2C 2n + 2.3C n3 x + 3.4C n4 x 2 + ... + (n - 1)nC nn x n - 2 = n(n - 1)(1 + x)n - 2 ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được: (3) n- 1 C1n x + 2C 2n x 2 + 3C 3n x 3 + 4C 4n x 4 + ... + nC nn x n = nx (1 + x ) (4) Đạo hàm 2 vế của (4) ta được: 12 C1n + 22 C 2n x + 32 C n3 x 2 + ... + n 2C nn x n - 1 = n(1 + nx)(1 + x)n - 2 (5) 2 3 4 16 Ví dụ 11. Tính tổng S = 1.2C16 - 2.3C16 + 3.4C16 - ... - 14.15C15 16 + 15.16C16 . Giải Ta có khai triển: 16 (1 + x ) 0 2 2 3 3 15 15 16 16 = C16 + C116 x + C16 x + C16 x + ... + C16 x + C16 x (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 15 2 3 2 14 15 C116 + 2C16 x + 3C16 x + ... + 15C15 + 16C16 = 16 (1 + x ) 16 x 16 x Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 2 3 4 2 14 1.2C16 + 2.3C16 x + 3.4C16 x + ... + 15.16C16 = 240(1 + x)14 16 x Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được: 2 3 4 16 1.2C16 - 2.3C16 + 3.4C16 - ... - 14.15C15 16 + 15.16C16 = 0 . Vậy S = 0. http://www.ebook.edu.vn 5 (2) (3) Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only. 2 3 2 2007 Ví dụ 12. Rút gọn tổng S = 12 C12007 + 22 C 2007 + 32 C 2007 + ... + 20062 C 2006 2007 + 2007 C 2007 . Giải Ta có khai triển: 2007 (1 + x ) 0 2006 2007 = C 2007 + C12007 x + C 22007 x 2 + ... + C 2006 + C 2007 2007 x 2007 x (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 2006 2 3 2006 C12007 + 2C 2007 x + 3C 2007 x 2 + ... + 2007C 2007 = 2007 (1 + x ) 2007 x (2) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được: 3 2006 2007 C12007 x + 2C 22007 x 2 + 3C 2007 x 3 + ... + 2006C 2006 + 2007C 2007 2007 x 2007 x 2006 = 2007x (1 + x ) (3) Đạo hàm 2 vế của (3) ta được: 3 2006 2005 2007 2006 12 C12007 + 22 C 22007 x + 32 C 2007 x 2 + ... + 20062 C 2007 x + 20072 C 2007 x = 2007(1 + 2007x)(1 + x)2005 (4) Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được 3 2007 12 C12007 + 22 C 22007 + 32 C 2007 + ... + 20072 C 2007 = 2007.2008.22005 . Vậy S = 2007.2008.22005 . 3. Dạng tích phân Dấu hiệu nhận biết: 1 1 hoặc tăng dần từ đến 1. n+ 1 n+ 1 Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến Xét khai triển: n (1 + x ) = C 0n + C1n x + C 2n x 2 + ... + C nn - 1x n - 1 + C nn x n (1). Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được: b n ò (1 + x ) b dx = C 0n a ò dx + a n+ 1 Þ b C1n (1 + x ) b = n+ 1 a C 0n x 1 + ò xdx + ... + a b a b C nn - 1 C1n x2 2 òx dx + a b + ... + b n- 1 C nn - 1 a xn n ò x n dx a b b + a C nn C nn xn+ 1 n+ 1a b - a 0 b2 - a 2 1 b n - a n n - 1 b n + 1 - a n + 1 n (1 + b)n + 1 - (1 + a)n + 1 Cn + C n + ... + Cn + Cn = . 1 2 n n+ 1 n+ 1 Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n. bn+ 1 - a n+ 1 n Cn . Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng n+ 1 Þ 6 32 - 22 1 33 - 23 2 39 - 29 8 310 - 210 9 C9 + C 9 + ... + C9 + C9 . 2 3 9 10 Giải Ví dụ 13. Rút gọn tổng S = C 90 + Ta có khai triển: 9 (1 + x ) = C 90 + C19 x + C 29 x 2 + ... + C 98 x 8 + C 99 x 9 3 Þ 3 9 ò (1 + x ) dx = C 90 2 10 Þ (1 + x ) = ò dx + 2 3 10 3 C19 x 1 C 90 2 3 + C19 2 3 ò xdx + ... + C 98 2 x2 2 3 + C 29 2 x3 3 3 òx 8 C 99 dx + 2 3 + ... + C 98 2 ò x 9dx 2 x9 9 3 x 10 10 C 99 + 2 3 2 410 - 310 32 - 22 1 39 - 29 8 310 - 210 9 C 9 + ... + C9 + C9 . = C 90 + 10 2 9 10 410 - 310 Vậy S = . 10 Þ Ví dụ 14. Rút gọn tổng S = 2C 0n + 22 1 23 2 24 3 2n n - 1 2n + 1 n Cn + Cn + C n + ... + Cn + C . 2 3 4 n n+ 1 n Giải Ta có khai triển: n (1 + x ) = C 0n + C1n x + C 2n x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn - 1x n - 1 + C nn x n 2 Þ n ò (1 + x ) 2 dx = C 0n 0 n+ 1 Þ (1 + x ) ò dx + 0 2 = n+ 1 C 0n 0 x 1 2 + 0 C1n 2 ò xdx + 0 x2 2 C 2n C nn ò x dx + ... + 0 2 + ... + 2 2 C nn - 1 0 xn n 2 ò x n dx 0 2 + C nn 0 xn+ 1 n+ 10 22 1 23 2 2n n - 1 2n + 1 n 3n + 1 - 1 Cn + C n + ... + Cn + Cn = . 2 3 n n+ 1 n+ 1 Þ 2C 0n + Vậy S = 2 C1n 3n + 1 - 1 . n+ 1 Ví dụ 15. Rút gọn tổng sau: 22 - 1 1 23 + 1 2 2100 - 1 99 2101 + 1 100 0 S = 3C100 + C100 + C100 + ... + C100 + C100 . 2 3 100 101 Giải Ta có khai triển: 100 (1 + x ) 2 Þ 0 2 99 99 100 = C100 + C1100 x + C100 x 2 + ... + C100 x + C100 100 x 100 ò (1 + x ) - 1 2 dx = 0 C100 ò dx + - 1 http://www.ebook.edu.vn 2 C1100 2 ò xdx + ... + - 1 7 99 C100 òx - 1 2 99 dx + C100 100 ò x100dx . - 1 101 Þ (1 + x ) 2 = 101 - 1 0 C100 x 1 2 + - 1 C1100 x2 2 2 99 C100 + ... + - 1 x100 100 2 + C100 100 - 1 x101 101 2 - 1 3101 22 - 1 1 2100 - 1 99 2101 + 1 100 0 Þ = 3C100 + C100 + ... + C100 + C100 . 101 2 100 101 3101 Vậy S = . 101 III. Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton 1. Dạng tìm số hạng thứ k Số hạng thứ k trong khai triển (a + b)n là C kn - 1a n - (k - 1)b k - 1 . Ví dụ 16. Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển (2 - 3x)25 . Giải 20 5 20 5 20 20 20 Số hạng thứ 21 là C 25 2 (- 3x) = 2 .3 C 25 x . 2. Dạng tìm số hạng chứa xm i) Số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)n là C kn a n - k b k = M(k).x f(k) (a, b chứa x). ii) Giải phương trình f(k) = m Þ k 0 , số hạng cần tìm là C kn 0 a n là M(k0). k0 k0 b và hệ số của số hạng chứa xm æx 4 ö÷18 Ví dụ 17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển çç + ÷ . çè 2 x ÷ ø Giải æx 4 ö÷18 = (2- 1 x + 4x Số hạng tổng quát trong khai triển çç + ÷ çè 2 x ÷ ø 18- k k C18 (2- 1 x ) k (4x- 1 ) 1 18 ) là: k 3k - 18 18- 2k = C18 2 x . Số hạng không chứa x ứng với 18 - 2k = 0 Û k = 9 . 9 9 Vậy số hạng cần tìm là C18 2 . 20 Ví dụ 18. Tìm số hạng chứa x37 trong khai triển (x 2 - xy ) . Giải 20 Số hạng tổng quát trong khai triển (x 2 - xy ) là: k k 40- k k C 20 (x 2 )20- k (- xy)k = (- 1)k C 20 x y . Số hạng chứa x37 ứng với 40 - k = 37 Û k = 3 . 3 37 3 Vậy số hạng cần tìm là - C 20 x y = - 1140x 37 y 3 . 8 10 Ví dụ 19. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (1 + x + x 2 ) . Giải 10 10 k k Số hạng tổng quát trong khai triển (1 + x + x 2 ) = éë1 + x (1 + x )ùû là C10 x (1 + x)k . Suy ra số hạng chứa x3 ứng với 2 £ k £ 3 . 2 2 2 2 3 + Với k = 2: C10 x (1 + x)2 = C10 (x 2 + 2x 3 + x 4 ) nên số hạng chứa x3 là 2C10 x . 3 3 3 3 x (1 + x)3 có số hạng chứa x3 là C10 x . + Với k = 3: C10 3 2 Vậy số hạng cần tìm là (C10 + 2C10 )x 3 = 210x 3 . Cách khác: 10 10 Ta có khai triển của (1 + x + x 2 ) = éë1 + x (1 + x )ù û là: 0 1 2 2 3 3 10 10 C10 + C10 x(1 + x) + C10 x (1 + x)2 + C10 x (1 + x)3 + ... + C10 x (1 + x)10 . 2 2 3 3 x (1 + x)2 và C10 x (1 + x)3 . Số hạng chứa x3 chỉ có trong C10 2 2 2 2 3 + C10 x (1 + x)2 = C10 (x 2 + 2x 3 + x 4 ) Þ 2C10 x . 3 3 3 3 3 x (1 + x)3 = C10 (x 3 + 3x 4 + 3x 5 + x 6 ) Þ C10 x . + C10 2 3 3 3 x + C10 x = 210x 3 . Vậy số hạng cần tìm là 2C10 3. Dạng tìm số hạng hữu tỉ n C nk a n - k b k i) Số hạng tổng quát trong khai triển (a + b) là = ìï m Î ¥ ïïï p ï (k Î ¥ , 0 £ k £ n) Þ k 0 . ii) Giải hệ phương trình í ïï r ïï Î ¥ ïî q Số hạng cần tìm là C kn 0 a n - m r k C n .a p .b q ( a , b là hữu tỉ). k0 k0 b . æ1 Ví dụ 20. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển çç + èç 2 3 ö÷10 . 5÷ ÷ ø Giải 10 1 1ö æ 10 ÷ k k ç 2 3÷ æ1 ö 1 k 2 3 ççç 1 + 2 .5 ÷ ÷ + 3 5÷ = Số hạng tổng quát trong khai triển çç là C 2 .5 . ÷ ÷ ÷ çç çè 2 ÷ 32 10 ø 2 ÷ çè ÷ ø Số hạng hữu tỉ trong khai triển thỏa điều kiện: ìï k ïï Î ¥ ék = 0 ï2 k Î ¥ , 0 £ k £ 10 ) Þ êê . ( í ïï k k= 6 ê ë ïï Î ¥ î3 1 0 1 C10 = . + Với k = 0: số hạng hữu tỉ là 32 32 http://www.ebook.edu.vn 9 1 6 3 2 2625 . C10 2 .5 = 32 2 1 2625 Vậy số hạng cần tìm là và . 32 2 + Với k = 6: số hạng hữu tỉ là 4. Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton Xét khai triển (a + bx)n có số hạng tổng quát là C kn a n - k b k x k . Đặt u k = C kn a n - k b k , 0 £ k £ n ta có dãy hệ số là {u k }. Để tìm số hạng lớn nhất của dãy ta thực hiện các bước sau: u Bước 1: giải bất phương trình k ³ 1 ta tìm được k0 và suy ra u k ³ u k + 1 ³ ... ³ u n . 0 0 u k+ 1 Bước 2: giải bất phương trình uk £ 1 ta tìm được k1 và suy ra u k ³ u k - 1 ³ ... ³ u 0 . 1 1 u k+ 1 Bước 3: số hạng lớn nhất của dãy là max {u k , u k 0 1 }. Chú ý: Để đơn giản trong tính toán ta có thể làm gọn như sau: ìï u ³ u k + 1 Þ k 0 . Suy ra hệ số lớn nhất là C kn 0 a n Giải hệ bất phương trình ïí k ïï u k ³ u k - 1 î 17 Ví dụ 21. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 0, 2x ) . Giải 17 k Khai triển (1 + 0, 2x ) có số hạng tổng quát là C17 (0, 2)k x k . Ta có: k k+ 1 k+ 1 ìï k ïí C17 (0, 2) ³ C17 (0, 2) k k- 1 ïï C17 (0, 2)k ³ C17 (0, 2)k - 1 îï ìï 17 ! 17 ! ïï 5 ³ ï k !(17 - k )! (k + 1) !(16 - k )! Û ïí ï 17 ! 17 ! ³ 5 ïïï (k - 1) !(18 - k )! ïî k !(17 - k )! ïì 5(k + 1) ³ 17 - k Û ïí Û 2 £ k £ 3. ïï 18 - k ³ 5k î 2 2 + Với k = 2: hệ số là C17 (0, 2) = 5, 44 . 3 (0, 2)3 = 5, 44 . + Với k = 3: hệ số là C17 Vậy hệ số lớn nhất là 5,44. 10 k0 k0 b . æ ö10 2x ÷ ç Ví dụ 22. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ç1 + ÷ . çè 3 ÷ ø Giải æ ö10 10 1 2x ÷ 1 ç Khai triển ç1 + = ÷ (3 + 2x ) có số hạng tổng quát là 10 C10k 310- k2k x k . ÷ 10 çè 3 ø 3 3 Ta có: ìï 10 ! 10 ! ïï 3 2 ³ k 10 k k k + 1 9 k k + 1 ìï C 3 ïï k !(10 - k )! 2 ³ C10 3 2 (k + 1) !(9 - k )! ï 10 Û í k 10- k k í k 1 11 k k 1 ïï C10 3 ï 10 ! 10 ! 2 ³ C10 3 2 ³ 3 îï ïïï 2 (k - 1) !(11 - k )! ïî k !(10 - k )! ìï 3(k + 1) ³ 2(10 - k) 17 22 Û ïí Û £ k£ Þ k = 4. ïï 2(11 - k) ³ 3k 5 5 î 1 4 6 4 1120 Vậy hệ số lớn nhất là C 32 = . 10 10 27 3 5. Dạng tìm hệ số chứa xk trong tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (tham khảo) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là: 1 - qn Sn = u 1 + u 2 + ... + u n = u 1 . 1- q Xét tổng S(x) = (1 + bx)m + 1 + (1 + bx)m + 2 + ... + (1 + bx)m + n như là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với u 1 = (1 + bx)m + 1 và công bội q = (1 + bx) . Áp dụng công thức ta được: 1 - (1 + bx)n (1 + bx)m + n + 1 - (1 + bx)m + 1 S(x) = (1 + bx)m + 1 = . 1 - (1 + bx) bx Suy ra hệ số của số hạng chứa xk trong S(x) là 1 nhân với hệ số của số hạng chứa x k + 1 trong khai b triển (1 + bx)m + n + 1 - (1 + bx)m + 1 . Ví dụ 23. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển và rút gọn tổng sau: 4 5 6 15 S(x) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + ... + (1 + x ) . Giải Tổng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 số hạng nên ta có: 12 (1 + x)16 - (1 + x)4 4 1 - (1 + x) S(x) = (1 + x) = . 1 - (1 + x) x Suy ra hệ số của số hạng chứa x4 là hệ số của số hạng chứa x5 trong (1 + x)16 . 5 = 4368 . Vậy hệ số cần tìm là C16 Nhận xét: Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức: http://www.ebook.edu.vn 11 4 5 C 44 + C 54 + C 64 + ... + C15 = C16 . Ví dụ 24*. Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển và rút gọn tổng sau: 2 99 100 S(x) = (1 + x ) + 2 (1 + x ) + ... + 99 (1 + x ) + 100 (1 + x ) . Giải Ta có: 98 99 ù é S(x) = (1 + x )ê1 + 2 (1 + x ) + ... + 99 (1 + x ) + 100 (1 + x ) ú. ë û Đặt: 2 98 99 f(x) = 1 + 2 (1 + x ) + 3 (1 + x ) + ... + 99 (1 + x ) + 100 (1 + x ) 2 3 99 100 F(x) = (1 + x) + (1 + x ) + (1 + x ) + ... + (1 + x ) + (1 + x ) Þ S(x) = f(x) + xf(x) và F / (x) = f(x) . Suy ra hệ số của số hạng chứa x2 của S(x) bằng tổng hệ số số hạng chứa x và x2 của f(x), bằng tổng 2 lần hệ số số hạng chứa x2 và 3 lần hệ số số hạng chứa x3 của F(x). Tổng F(x) có 100 số hạng nên ta có: 1 - (1 + x)100 (1 + x)101 - (1 + x) F(x) = (1 + x) = . 1 - (1 + x) x 3 4 và C101 . Suy ra hệ số số hạng chứa x2 và x3 của F(x) lần lượt là C101 3 4 + 3C101 = 12582075 . Vậy hệ số cần tìm là 2C101 Nhận xét: Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức: 2 3 4 2C 22 + 3C 23 + 4C 24 + ... + 99C 299 + 100C100 = 2C101 + 3C101 . Ví dụ 25*. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển và rút gọn tổng sau: 2 n- 1 S(x) = (1 + x ) + 2 (1 + x ) + ... + (n - 1) (1 + x ) n + n (1 + x ) . Giải Ta có: n- 2 n- 1 ù é S(x) = (1 + x )ê1 + 2 (1 + x ) + ... + (n - 1) (1 + x ) + n (1 + x ) ú. ë û Đặt: 2 n- 2 f(x) = 1 + 2 (1 + x ) + 3 (1 + x ) + ... + (n - 1) (1 + x ) 2 3 n- 1 F(x) = (1 + x) + (1 + x ) + (1 + x ) + ... + (1 + x ) n- 1 + n (1 + x ) n + (1 + x ) Þ S(x) = f(x) + xf(x) và F / (x) = f(x) . Suy ra hệ số của số hạng chứa x của S(x) bằng tổng hệ số số hạng không chứa x và chứa x của f(x), bằng tổng hệ số số hạng chứa x và 2 lần hệ số số hạng chứa x2 của F(x). Tổng F(x) có n số hạng nên ta có: 1 - (1 + x)n (1 + x)n + 1 - (1 + x) . F(x) = (1 + x) = 1 - (1 + x) x 12 Suy ra hệ số số hạng chứa x và x2 của F(x) lần lượt là C 2n + 1 và C 3n + 1 . Vậy hệ số cần tìm là C 2n + 1 + 2C n3 + 1 = n(n + 1)(2n + 1) . 6 Nhận xét: Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức: n(n + 1)(2n + 1) . 12 + 22 + 32 + ... + (n - 1)2 + n 2 = 6 B. BÀI TẬP Tính giá trị của các biểu thức A 3 - A25 P5 1) M = 5 + P2 P2 æP P P P ö÷ A 25 ÷ 2) M = ççç 5 + 4 + 3 + 2 ÷ çè A 54 A 53 A 25 A15 ÷ ø P3 - 2P2 Rút gọn các biểu thức 3) M = Pn - Pn - 1 4) M = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + ... + 2007P2007 5) M = A kn - 1 + kA kn -- 11 , với 2 £ k < n 6) M = A nn ++ 2k + A nn ++ 1k , với 2 £ k < n 7) M = 1 A 22 + 1 A 23 + 1 A 24 + ... + 1 A 2n , với n ³ 2 8) M = C kn + 4C kn- 1 + 6C kn - 2 + 4C kn - 3 + C kn - 4 , với 4 £ k £ n Rút gọn các tổng khai triển sau 0 4 2n 9) S = C 2n + C 22n + C 2n + ... + C 2n 3 5 -1 10) S = C12n + C 2n + C 2n + ... + C 2n 2n 0 4 11) S = C 2003 + 32 C 22003 + 34 C 2003 + ... + 32002 C 2002 2003 4 6 8 + C 2007 + C 2007 + ... + C 2006 12) S = C 2007 2007 3 5 13) S = 22006 C12007 + 22004 C 2007 + 22002 C 2007 + ... + 22 C 2005 2007 17 18 30 14) S = C16 30 + C 30 + C 30 + ... + C 30 16 17 18 30 15) S = C15 30 - C 30 + C 30 - C 30 + ... - C 30 Rút gọn các tổng đạo hàm sau 30 16) S = C130 - 2.2C 230 + 3.22 C 330 - 4.23 C 430 + ... - 30.229 C 30 29 30 17) S = 30C 030 - 29C130 + 28C 230 - ... + 2C 28 30 - C 30 + C 30 0 2n - 1 18) S = 2n.32n - 1 C 2n - (2n - 1).32n - 2 C12n + (2n - 2).32n - 3 C 22n - ... - C 2n http://www.ebook.edu.vn 13 19) S = C1n .3n - 1 + 2C 2n .3n - 2 + 3C 3n .3n - 3 + ... + (n - 1)C nn - 1 3 + nC nn 20) S = C1n 2n - 1.3 + 2C 2n 2n - 232 + 3C n3 2n - 333 + ... + (n - 1)C nn - 1 2.3n - 1 + nC nn 3n 21) S = 2C 2n + 2.3C n3 + 3.4C n4 + ... + (n - 1)nC nn 3 4 2 2n - 2 2 + 3.4C 2n 2 - ... + (2n - 1)2nC 2n 22) S = 2C 22n - 2.3C 2n 2n 2 23) S = (n - 1)nC 0n 2n - 2 + ... + 3.4C nn - 4 22 + 2.3C nn - 3 2 + 2C nn - 2 24) S = C1n + 22 C 2n 3 + 32 C n3 32 + ... + n 2C nn 3n - 1 25) S = n 2C 0n 2n + (n - 1)2 C1n 2n - 1 + ... + 22 C nn - 2 22 + 2C nn - 1 Rút gọn các tổng tích phân sau 22 - 1 1 23 - 1 2 2n + 1 - 1 n Cn + C n + ... + C 2 3 n+ 1 n 1 1 1 1 27) S = a 0 + a 1 + a 2 + ... + a 99 + a , trong đó: 2 3 100 101 100 (x - 2)100 = a 0 + a 1x + a 2 x 2 + ... + a 99 x 99 + a 100 x 100 . 26) S = C 0n + 0 28) S = C 2007 + 1 2 1 4 1 1 2004 C 2007 + C 2007 + ... + C 2007 + C 2006 3 5 2005 2007 2007 Tìm số hạng trong các khai triển sau 29) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 - x)25 30) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 - x 2 )25 æ ö÷12 1 31) Số hạng không chứa x trong khai triển çç x + ÷ çè x÷ ø æ ç 32) Số hạng không chứa x trong khai triển çç x 3 x + x çè 28 15 ö÷12 ÷ ÷ ÷ ÷ ø æ a + 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển ççç 3 çè b Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau æx 3 ö÷12 34) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển çç - ÷ çè 3 x ÷ ø 4 æ1 35) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển çç + èç x 3 8 ö÷12 x ÷ ÷ ø 5 8 36) Hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển éê1 + x 2 (1 - x) ùú ë û 14 21 b ö ÷ ÷ ÷ 3 ø a÷ 10 37) Hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển (1 + x + x 2 + x 3 ) 38) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển (x 2 - x + 2)10 39) Hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển (1 + x + 3x 2 )10 40) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển: S(x) = (1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + ... + (1 + x)50 41) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển: S(x) = (1 + 2x)3 + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + ... + (1 + 2x)22 42) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x)10 (x + 1)10 . 2 2 2 0 Từ đó suy ra giá trị của tổng S = (C10 ) + (C110 ) + ... + (C1010 ) 0 10 9 2 8 9 1 0 43) Rút gọn tổng S = C10 C 20 + C110C 20 + C10 C 20 + ... + C10 C 20 + C10 10C 20 2 2 2 2 0 2007 44) Rút gọn tổng S = (C 2007 ) + (C12007 ) + ... + (C2006 2007 ) + (C 2007 ) Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển của các tổng sau 45) ( 3 16 + 3 7 ) 46) ( 3+ 3 2 æ1 47) çç + çè 3 9 ) 5 ö10 5÷ ÷ ÷ ø æ2 48) çç çè 3 5 ö10 2÷ ÷ ÷ ø Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của các tổng sau æ1 2x ö÷11 50) çç + ÷ 3 ÷ èç 2 ø 21 49) (1 + 2x ) 100 51) (1 + 0, 5x ) . C. HƯỚNG DẪN GIẢI A 53 P5 60 - 20 120 = + = P2 2 2 æP P P P ö A 25 ÷ 2) M = ççç 5 + 4 + 3 + 2 ÷ = ÷ èç A 54 A 53 A 25 A15 ÷ ø P3 - 2P2 1) M = P2 A 25 + 80 . æ120 24 6 2 ö÷20 çç + + + ÷ = 21 . çè 120 60 20 5 ÷ ø2 3) Pn - Pn - 1 = n !- (n - 1) ! = (n - 1) !n - (n - 1) ! = (n - 1) !(n - 1) = (n - 1)Pn - 1 . 4) Từ câu 3 ta có: nPn = Pn + 1 - Pn Þ M = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + ... + 2007P2007 = 1 + (P2 - P1 ) + (P3 - P2 ) + (P4 - P3 ) + ... + (P2008 - P2007 ) = P2008 . 5) M = A kn - 1 + kA kn -- 11 = (n - 1) ! (n - 1) ! + k (n - k - 1 )! (n - k )! ù é ù é 1 k k ú = (n - 1) ! ê n - k + ú = (n - 1) ! êê + ú ê(n - k )! (n - k )! ú n k 1 ! n k ! ( ) ( ) êë úû êë úû n(n - 1) ! n! = = = A kn . (n - k )! (n - k )! http://www.ebook.edu.vn 15 (n + k) ! (n + k) ! (n + k) !k (n + k) !k + = = = kA nn ++ 1k . (k - 2 )! (k - 1 )! (k - 1 )! éë(n + k) - (n + 1) ùû! (k - 2 )! 1 1 1 = = = k! k(k - 1) k- 1 k 6) M = A nn ++ 2k + A nn ++ 1k = 7) 1 A 2k = Þ M= 1 k! (k - 2 )! 1 A22 + 1 A 23 + 1 + ... + A 24 æ 1 ö æ1 1 ö÷ æ1 1 ö÷ = çç1 - ÷ ÷ + çç - ÷ + çç - ÷ + ... + 2÷ ø çè 2 3 ÷ ø çè 3 4 ÷ ø A 2n çè 1 8) M = C kn + 4C kn- 1 + 6C kn - 2 + 4C nk - 3 + C kn - 4 = (C kn + C kn - 1 ) + 3 (C kn - 1 + C kn - 2 ) + 3 (C nk - 2 + C nk = = æ 1 1ö 1 çç - ÷ ÷= 1 - . çè n - 1 n ÷ n ø ) + (C nk- 3 + C nk- 4 ) C kn + 1 + 3C kn -+ 11 + 3C kn -+ 21 + C kn -+ 31 = (C kn + 1 + C kn -+ 11 ) + 2 (C nk -+ 11 + C nk -+ 21 ) + (C nk -+ 21 + C kn -+ 31 ) C kn + 2 + 2C kn -+ 12 + C kn -+ 22 = (C kn + 2 + C kn -+ 12 ) + (C kn -+ 12 + C kn -+ 22 )= C kn + 3 + C kn -+ 13 = C kn + 4 . 3 2n 0 2 3 2n - 1 2n = C 2n + C12n + C 2n + C 2n + ... + C 2n + C 2n (1) 2n 0 3 -1 = C 2n - C12n + C 22n - C 2n + ... - C 2n + C 2n 2n 2n (2) 9) (1 + 1 ) (1 - 1) 0 2 4 Cộng (1) và (2) ta được 22n = 2 (C 2n + C 2n + C 2n + ... + C 2n 2n ). 2n 2n 10) Trừ 2 khai triển (1 + 1 ) , (1 - 1 ) 2003 11) (1 + 3 ) 2003 + (1 - 3 ) ta được S = 22n - 1 . Þ S = 22002 (22003 - 1 ). 0 0 12) (1 + 1)2007 + (1 – 1)2007 Þ 2 (S - C 2007 - C 22007 ) = 22007 Þ S = 22006 + C 2007 + C 22007 . 2007 13) (2 + 1 ) 2007 – (2 - 1 ) Þ 2 (S - C 2007 2007 )= 2007 3 32007 + 1 . - 1Þ S= 2 30 16 30 14) (1 + 1 ) = C 030 + C130 + ... + C15 30 + C 30 + ... + C 30 16 15 16 30 15 30 Þ 230 = C 30 30 + ... + C 30 + C 30 + C 30 + ... + C 30 Þ 2S + C 30 = 2 . 30 15 16 30 15) - (1 - 1 ) = - C 030 + C130 - ... - C14 30 + C 30 - C 30 + ... - C 30 29 16 15 15 ù 16 30 Þ 0 = éê(- C 30 + C15 30 + C 30 - ... - C 30 + C 30 ) - C 30 ú 30 - C 30 + ... - C 30 ë û C15 30 . Þ 2S - C15 = 0 Þ S = 30 2 30 3 3 30 30 x + ... + C 30 x 16) (1 + x ) = C 030 + C130 x + C 230 x 2 + C 30 (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 3 2 30 29 30 (1 + x ) = C130 + 2C 230 x + 3C 30 x + ... + 30C 30 x Thay x = – 2 vào 2 vế của (2) ta được: C130 - 2.2C 230 + 3.22 C 330 - 4.23 C 430 + ... - 30.229 C 30 30 = - 30 . 17) S = 1 18) S = n.22n . 19) Khai triển, đạo hàm và thay x = 1 của (3 + x)n suy ra S = n.4 n - 1 . 16 (2) 20) Khai triển, đạo hàm và thay x = 1 của (2 + 3x)n suy ra S = 3n.5n - 1 . 21) Khai triển, đạo hàm 2 lần và thay x = 1 của (1 + x)n suy ra S = (n - 1)n.2n - 2 . 22) Tương tự 21) S = 2n(2n - 1) . 23) Khai triển, đạo hàm 2 lần và thay x = 1 của (x + 1)n suy ra S = (n - 1)n.2n - 2 . 24) Khai triển (1 + x)n, đạo hàm, nhân với x rồi đạo hàm lần nữa, thay x = 3, S = n(1 + 3n).4n - 2 . 25) Tương tự 24) S = 2n(1 + 2n).3n - 2 . 26) Khai triển (1 + x)n, tích phân từ 1 đến 2, S = 1 27) 1 100 ò (x - 2) 0 (x - 2 ) x = a0 1 0 1 1 dx = a 0 ò dx + a 1 ò xdx + a 2 ò x dx + ... + a 99 ò x dx + a 100 ò x100dx 1 101 1 2 0 101 Þ 1 3n + 1 - 2n + 1 . n+ 1 1 0 x2 + a1 2 0 1 0 99 0 x3 + a2 3 0 1 + ... + a 99 0 x 100 100 1 + a 100 0 0 x 101 101 1 0 2101 - 1 1 1 1 1 2101 - 1 . = a 0 + a 1 + a 2 + ... + a 99 + a 100 . Vậy S = 101 2 3 100 101 101 22005 28) Khai triển (1 + x)2007, tích phân từ – 1 đến , S = . 251 13 12 8 34 6 29) C12 30) - C17 31) C12 = 924 . 25 3 x 25 2 x Þ æ ç 32) Số hạng tổng quát của çç x 3 x + x çè 28 15 ö12 æ 4 ÷ ç ÷ = çç x 3 + x ÷ ÷ çè ÷ ø Suy ra số hạng không chứa x ứng với k thỏa 1 - 28 15 4 ö÷12 12- k ) k 3( ÷ là C12 x x ÷ ÷ ÷ ø 28k 15 k = C12 x k = 0 Û k = 5. 5 5 Vậy số hạng không chứa x là C12 = 792 . æ a 33) Số hạng tổng quát của ççç 3 + b èç 21 æ1 b ö÷ çç 3 ÷ ÷ = ça b 3 çè ø a÷ 1 6 + a - 1 1 6b 2 k ö÷21 7k ÷ 2b là C a ÷ 21 ÷ ÷ ø 7 2k + 2 3 . 5 5 k 7 2k 9 2 2 a b . = - + Û k = 9 . Vậy số hạng cần tìm là C 21 Suy ra 7 2 2 3 55 34) 35) 495 . 9 8 8 36) éê1 + x 2 (1 - x) ùú = éêx 2 (1 - x) + 1 ùú ë û ë û 0 16 8 = C 8 x (1 - x) + ... + C 84 x 8 (1 - x)4 + C 83 x 6 (1 - x)3 + ... + C 88 . Suy ra hệ số của số hạng chứa x 8 chỉ có trong 2 số hạng C 48 x 8 (1 - x)4 và C 38 x 6 (1 - x)3 . + C 48 x 8 (1 - x)4 = C 48 x 8 (C 04 - C14 x + ... + C 44 x 4 ) nên có hệ số chứa x8 là C 48C 04 . + C 38 x 6 (1 - x)3 = C 38 x 6 (C 30 - C13 x + C 23 x 2 - C 33 x 3 ) nên có hệ số chứa x8 là C 38C 23 . Vậy hệ số cần tìm là C 48C 04 + C 38C 23 = 238 . http://www.ebook.edu.vn 17 æ kö 16çç1- ÷ ÷ çè 5 ÷ ø . 10 10 37) (1 + x + x 2 + x 3 ) = (1 + x ) (1 + 10 x2 ) 0 10 10 0 10 20 = (C10 + C110 x + ... + C10 x )(C10 + C110 x 2 + ... + C10 x ). Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa x 5 chỉ có trong 3 số hạng: 2 5 3 1 5 5 0 5 C110 .C10 x , C10 .C10 x và C10 .C10 x . 2 3 1 5 0 Vậy hệ số cần tìm là C110 .C10 + C10 .C10 + C10 .C10 = 1902 . 10 38) (x 2 - x + 2)10 = éë2 - x(1 - x) ùû 0 10 2 8 2 3 7 3 10 10 = C10 2 - ... + C10 2 x (1 - x)2 - C10 2 x (1 - x)3 + ... + C10 x (1 - x)10 . 2 8 2 3 7 3 Suy ra hệ số của số hạng chứa x 3 chỉ có trong 2 số hạng C10 2 x (1 - x)2 và - C10 2 x (1 - x)3 . 2 8 2 2 8 2 2 8 + C10 2 x (1 - x)2 = C10 2 (x - 2x 3 + x 4 ) Þ - 2C10 2 là hệ số của số hạng chứa x 3 . 3 7 3 3 7 + - C10 2 x (1 - x)3 có hệ số của số hạng chứa x 3 là - C10 2 . 2 8 3 7 Vậy hệ số cần tìm là - 2C10 2 - C10 2 = - 38400 . 39) (Tương tự) 1695. 40) Áp dụng công thức cấp số nhân cho tổng 48 số hạng ta có: 48 (1 + x)51 - (1 + x)3 3 1 - (1 + x) S(x) = (1 + x) = . 1 - (1 + x) x Suy ra hệ số của số hạng chứa x 3 là hệ số của số hạng chứa x 4 của (1 + x)51 . 4 = 249900 . Vậy hệ số cần tìm là C 51 41) Áp dụng công thức cấp số nhân cho 20 số hạng ta có: 1 - (1 + 2x)20 (1 + 2x)23 - (1 + 2x)3 S(x) = (1 + 2x)3 = . 1 - (1 + 2x) 2x Suy ra hệ số của số hạng chứa x 3 là hệ số của số hạng chứa x 4 của 1 (1 + 2x)23 . 2 1 4 4 C 2 = 70840 . 2 23 0 10 0 10 42) (1 + x)10 (x + 1)10 = (C10 + C110 x + + ... + C10 + C110 x 9 + ... + C10 10 x )(C10 x 10 ). Vậy hệ số cần tìm là Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa x10 là: 2 2 (C100 ) + (C101 ) 2 10 + ... + (C10 ). Mặt khác (1 + x)10(x + 1)10 = (1 + x)20 có hệ số của số hạng chứa x10 là C10 20 . Vậy S = C10 20 = 184756 . 0 10 10 0 20 20 43) (1 + x)10 (1 + x)20 = (C10 + C110 x + ... + C10 x )(C 20 + C120 x + ... + C 20 x ). Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa x10 là: 0 10 9 2 8 9 1 10 0 C10 C 20 + C110C 20 + C10 C 20 + ... + C10 C 20 + C10 C 20 . Mặt khác (1 + x)10 (1 + x)20 = (1 + x)30 có hệ số của số hạng chứa x10 là C10 30 . Vậy S = C10 30 . 18 44) S = C 2007 4014 45) Số hạng cần tìm là C 74 16.32 = 5040 . 46) Số hạng cần tìm là C 99 23 = 8 và C 93 33.2 = 4536 . 1 1 10 5 2 và C10 3 .5 = 25 . 243 35 35 1 0 10 1024 - 1 5 6 1 2 2 2 = , 2 C10 2 .3 = - 5376 và 2 C10 48) Số hạng cần tìm là 2 C10 10 2 .3 = 4 . 9 3 3 3 2 6 14 49) Hệ số lớn nhất là C14 50) Hệ số lớn nhất là C11 . 21 2 36 1 66 66 1 66 51) Hệ số lớn nhất là C100 2 = C100 . 2100 234 ……………………………………… 47) Số hạng cần tìm là 1 0 C10 = http://www.ebook.edu.vn 19