Tài liệu Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net A. Tóm tắt lí thuyết Nội dung 1: Nguyên hàm 1. Bảng tính nguyên hàm cơ bản Bảng 1 Hàm số f(x) a ( hằng số) x   1  1 x ax Họ nguyên hàm F(x)+C ax + C x 1 C  1 ln x  C Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C (ax  b) 1 (ax  b) 1 C a  1 1 ln ax  b  C a 1 Aax b . C A ln a 1 ax  b e C a 1  cos(ax  b)  C a 1 sin(ax  b)  C a 1 tan(ax  b)  C a 1  cot(ax  b )  C a 1 xa ln C 2a x  a 1 ax  b A ax  b ex ax C ln a ex  C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx sinx + C cos(ax+b) 1 tanx + C 1 cos (ax  b) 1 2 sin (ax  b ) 1 2 x  a2 2 cos x 1 sin2 x eax  b 2 -cotx + C u' ( x ) u( x ) tanx  ln cos x  C cotx ln sin x  C ln u( x )  C 2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản  Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản.  Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Định lí cơ bản: Nếu  f u  du  F u   C và u  u  x là hàm số có đạo hàm liên tục thì  f u  xu ' x dx  F u  x   C 1|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Cách thực hiện: Tính Học toán miễn phí: http://thayhuy.net  f  u(x) u '(x)dx bằng pp đổi biến số Bước 1: Đặt u  u(x)  du  u'(x)dx (tính vi phân của u) Bước 2: Tính  f  u(x) u '(x)dx   f(u)du  F(u)  C  F u(x)  C Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Định lí cơ bản: Nếu hai hàm số u  u  x và v  v  x có đạo hàm liên tục trên K thì  u  xv ' x dx  u  x v  x  u ' x v  x dx Cách thực hiện: Bước 1: Đặt u  u ( x) du  u ' ( x)dx  dv  v' ( x)dx v  v( x) Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần : Bước 3: Tính  udv  u.v   vdu  vdu B. Bài tập Bài 1: Tính 1) I   x2 dx x2 2 x 3  3x dx x2 2) I   3 x  1 dx x 1 3) I   2) I   1 dx x  x  1 3) I   2) I   ln x dx x 3) I   x 3 ln xdx Bài 2: Tính 1) 3x  2 x 2  3  x dx x dx x  3x  2 2 Bài 3: Tính 1) I   x ln xdx Bài 4: Tính 1) I   ln  x 2  x  dx 2) I    x  2  e 2 x dx 3) I   x s in2xdx Bài 5: Tính 1) I   x sin x dx cos 2 x 2|Trang 2) I   ex dx 1  2e x 3) I   cos5 xdx Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net Nội dung 2: Tính tích phân A. Tóm tắt lí thuyết I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b  K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì : b b  f ( x )dx   F ( x )a  F (b)  F (a) ( Công thức NewTon - Leipniz) a b. Các tính chất của tích phân b  a  f ( x)dx    f ( x )dx Tính chất 1: a  b Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên  a; b thì b b b   f ( x )  g( x ) dx   f ( x)dx   g( x )dx a  a a Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và k là một hằng số thì b b  k. f ( x )dx  k. f ( x)dx a  a Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và c là một hằng số thì b  a  c b f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a c Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên  a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số , b nghĩa là :  a b b f ( x )dx   f (t )dt   f (u )du  ... a a 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b a) DẠNG 1: Tính I = '  f[u(x)].u (x)dx bằng cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1: b u (b ) a u(a)  f u ( x).u' ( x)dx   f (t )dt Cách thực hiện: t  u ( x)  dt  u ' ( x) dx xb t  u (b) Bước 2: Đổi cận :  xa t  u (a) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được Bước 1: Đặt b u (b ) a u (a) I   f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) 3|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net b b) DẠNG 2: Tính I =  f(x)dx bằng cách đặt x = (t) a b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt Công thức đổi biến số dạng 2 Cách thực hiện x   (t )  dx   ' (t )dt xb t Bước 2: Đổi cận :  xa t  Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được Bước 1: Đặt b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) 3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân từng phần b b  u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x)a   v( x).u ' ( x)dx b a a b b  udv  u.va   vdu hay: b a a Cách thực hiện Bước 1: Đặt u  u ( x) du  u ' ( x)dx  dv  v' ( x)dx v  v( x) b b Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :  udv  u.va   vdu a Bước 3: Tính u.v ba b a b và  vdu a II. CÁC VÍ DỤ 2 Ví dụ 1: Tính tích phân I   1 x 2  3x 1 dx . x2  x (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải ♥ Biến đổi hàm số thành dạng 2 Khi đó: I   1 4|Trang x 2  3x 1 2 x 1  1 2 2 x x x x 2 2 x 2  3x 1 2 x 1 dx   dx   2 dx 2 x x x x 1 1 Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net 2   dx  x 2 1 1 1 2   1 2 2 x 1 2 dx  ln x  x  ln 3 1 x2  x ♥ Vậy I  1  ln 3 .  1 Ví dụ 2: Tính tích phân I    x 1 0 2 dx . x 2 1 (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải  x  1 2 ♥ Biến đổi hàm số thành dạng  x 1 2 1 Khi đó: I   x 1 2 0 x 2 1 1 1 dx   dx   0 x 2  2 x 1 2x  1 2 2 x 1 x 1  0 2x dx x 1 2 1   dx  x 1 0 1 0 1   0 1 2x 2 dx  ln x  1  ln 2 0 x 2 1 ♥ Vậy I  1  ln 2 .  ln 2 Ví dụ 3: Tính tích phân I   e x 1 e x dx . 2 (Đổi biến số dạng 1) 0 Bài giải ♥ Đặt t  e x 1  dt  e x dx  x  ln 2 t  1 Đổi cận:    x  0 t  0 1 Suy ra: I   0 1 t3 1 t dt   30 3 2 1 ♥ Vậy I  .  3 1 Ví dụ 4: Tính tích phân I   x 2  x 2 dx . (Đổi biến số dạng 1) 0 Bài giải 5|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net ♥ Đặt t  2  x 2  t 2  2  x 2  2tdt  2 xdx  tdt  xdx  x  1 t  1 Đổi cận:    x  0 t  2  2 Suy ra: I   1 ♥ Vậy I  t3 t dt  3 2 2 2 1 3  2 1 2 2 1 . 3 e 4  5ln x dx . x Ví dụ 5: Tính tích phân I   1 (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t  4  5ln x  t 2  4  5ln x  2tdt  5 dx x  x  e t  3 Đổi cận:    x  1 t  2 3 Suy ra: I  ♥ Vậy I  3 2 2 2 38 t 2 dt  t 3  33  23    5 2 15 2 15 15 38 . 15  4 Ví dụ 6: Tính tích phân I    x  1 sin 2 xdx . (Tích phân từng phần) 0 Bài giải du  dx u  x  1 ♥ Đặt    dv  sin 2 xdx v   1 cos 2 x 2    4 4 1 1 Suy ra: I    x  1 cos 2 x  sin 2 x 2 4 0 0   4 4 1 1 3    x  1 cos 2 x  sin 2 x  2 4 4 0 0 3 ♥ Vậy I  .  4 6|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net  4 Ví dụ 7: Tính tích phân I   x 1  sin 2 x dx . (Tích phân từng phần) 0  4  4 0 0 ♥ Ta có: I   xdx    4 x2 x sin 2 xdx  2  4  0 0  4 2 x sin 2 xdx   x sin 2 xdx 32 0 du  dx u  x Đặt    dv  sin 2 xdx v   1 cos 2 x 2   4 Suy ra:  0 ♥ Vậy I   4  4  4  4 1 1 1 1 1 x sin 2 xdx  x cos 2 x   cos 2 xdx   cos 2 xdx  sin 2 x  2 2 0 2 0 4 4 0 0 2 1  . 32 4 2 Ví dụ 8: Tính tích phân I   1 x 2  2 ln x dx . x (Phân tích + đổi biến số dạng 1) Bài giải 2 2 ♥ Ta có: I   xdx  2 1 2   0 2 ♥ Tính  1 1 ln x dx x 2 x2 3 xdx   2 1 2 ln x dx x Đặt t  ln x  dt  1 dx x  x  2 t  ln 2 Đổi cận:    x  1 t  0 2 Suy ra:  1 ln 2 ln x t2 dx   tdt  x 2 0 ln 2  0 ln 2 2 2 3 ♥ Vậy I   ln 2 2 .  2 7|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân 2 Học toán miễn phí: http://thayhuy.net x 2 1 ln xdx . x2 Ví dụ 9: Tính tích phân I   1 (Tích phân từng phần)  1 u  ln x du  dx  x 2 ♥ Đặt    dv  x 1 dx  1  v  x  x2 x  2   1 1 1 Suy ra: I   x   ln x    x   dx    x x x 1 1 2 2 2   1 1   x   ln x   x      x x 1 1 5 3  ln 2  2 2 5 3 ♥ Vậy I  ln 2  .  2 2 Ví dụ 10: Tính tích phân I = 1 0 (2e x2  e x )xdx . (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân từng phần) Bài giải ♥ Ta có: I =  I1 =  I2 = 1 0 2xe x2 1 dx   xex dx . 0 1 1 1 x2 x2 2 e x2  = e – 1. = 2xe dx  e d ( x ) 0 0   0 1 x 0 xe dx Đặt u = x  du = exdx x dv = e dx  v = ex. 1 1 1 Suy ra: I2 =  xe x    ex dx = e  e x  = 1. 0 0 0 ♥ Vậy I = e – 1 + 1 = e.  B. Bài tập Bài 1: Tính các tích phân sau 1 1) I   0  2 x  2 x 4  2 2) I   dx 0 sin x 1  cos x  2 dx Bài 2: Tính các tích phân sau e3 e ln x  1 1) I   dx x 1 2) I   1 ln 3 x  2 dx x Bài 3: Tính các tích phân sau 8|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net  2  2) I   sin 2x(1  sin 2 x)3dx 1) I   sin 3 x cos xdx 0 0 Bài 4: Tính các tích phân sau 2 2 1) I   x x 2  3dx x2 2) I   x3  1 0 1 dx Bài 5: Tính các tích phân sau 1  2 e  ln 3 x  2) I   x 1  2  dx x  1   1) I   x x  e x dx 0 Bài 6: Tính các tích phân sau e 1  3ln x ln x dx x 1) I   1 ln 3 2) I   0 ex e x  1 dx 3 Bài 7: Tính các tích phân sau  2  6 1) I   2) I   s in2x cos x dx 1  cos x 0 0 tan 4 x dx cos 2 x Bài 8: Tính các tích phân sau  2  2 s in2x  sin x 1) I   dx 1  3cos x 0 2) I   0 sin 2x cos2 x  4 sin 2 x dx Bài 9: Tính các tích phân sau  2   2  1) I   cos3 x  1 cos 2 xdx 0 s in2x dx 3  4sin x  cos 2 x 0 2) I   Bài 10: Tính các tích phân sau  4 1) I   0 dx cos x 3 tan x  1 4  2 2) I    4 cot x  1 dx sin 4 x Bài 11: Tính các tích phân sau e 1) I  x 1  2 dx 2) I   2 1  ln x  6 cot x dx sin 2 x  1 Bài 12: Tính các tích phân sau  3 1) I    4 ln5 tan x cos x 1  cos 2 x dx 2) I   ln 2 e2x ex 1 dx Bài 13: Tính các tích phân sau 9|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net  2  2 1) I   6 1  cos3 x sin x cos5 xdx 2) I   sin 2x(1  sin 2 x)3dx 0 0 Bài 14: Tính các tích phân sau ln 5 1 1) I   x 3 2 2) I  x  3dx   x  1 ex dx x ln 2 0 e e 1 Bài 15: Tính các tích phân sau     2) I   ecos x  x sin xdx 1) I   x cos xdx 0 0 Bài 16: Tính các tích phân sau 2 3 ln x dx x2 1) I   1   2) I   x ln 3  x 2 dx 0 Bài 17: Tính các tích phân sau e 5 1) I   1  x 2  ln xdx 2) I   x 2 ln  x  1 dx 1 2 Bài 18: Tính các tích phân sau e e x2  1 ln xdx x 1) I   1 2) I   x3 ln 2 xdx 1 Bài 19: Tính các tích phân sau 1 3 2) I   ln  x 2  x  dx 1) I    x  2  e 2 x dx 0 2 Bài 20: Tính các tích phân sau  2   4  1) I   ecos x  cos3 x sin xdx 0 2) I    8 1 dx sin 2 x.(2  cot 2 x) 2 Bài 21: Tính các tích phân sau 4 3 2x 1 1) I   dx 0 1  2x 1 2) I  dx  x (x 2 1 2  1) Bài 22: Tính các tích phân sau  2 1) I   0 2 cos 2 x  sin x  cos x  3 3 dx 2) I   0 x3  2 x 2  4 x  9 dx x2  4 Bài 23: Tính các tích phân sau 10 | T r a n g Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net  2  6 1) I   x sin 2 3 xdx cot x dx 4  1  sin x I  2) 0 4 Bài 24: Tính các tích phân sau 6 1) I   2  2 sin x  cos x dx 3  sin 2 x 0 1 dx 2x 1  4x  1 2) I   Bài 25: Tính các tích phân sau  2 1) I   0 1 x2 dx 0 ( x  1) x  1 sin 2 x dx 3  4sin x  cos 2 x 2) I   Nội dung 3: Ứng dụng của tích phân. A. Tóm tắt lí thuyết I. CÔNG THỨC 1. Công thức tính diện tích hình phẳng y y x b (C1 ) : y  f ( x) xa (C1 ) : y  f ( x ) (C ) : y  g ( x )  2 (H ) :   1 : x  a  2 : x  b (H ) (C 2 ) : x  g ( y ) y b b (C 2 ) : y  g ( x) (H ) ya a O (C1 ) : x  f ( y ) (C ) : x  g ( y )  2 (H ) :   1 : y  a   2 : y  b x x a b O (C1 ) : x  f ( y) b b S   f ( x)  g ( x) dx S   f ( y )  g ( y ) dy a a 2. Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay y xa O 11 | T r a n g a xb (C ) : y  f ( x) y0 x b y b x0 a O y b (C ) : x  f ( y ) ya x Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net 2 b b 2 V     f ( y ) dy V     f ( x)  dx a a II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 2  x  3 và đường thẳng y  2 x 1 . Bài giải ♥ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường x 1 x 2  x  3  2 x  1  x 2  3x  2  0    x  2 ♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 S   x 2  3x  2 dx 1 2  x 3 3x 2  1    x  3 x  2     2 x   .    3 2 1 6 1 2 2 Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường 1 y , y  0, x  0 và x  1 xung quanh trục hoành. 1  4  3x Bài giải 1 ♥ Thể tích khối tròn xoay là V    0 dx 1  4  3x  2 . ♥ Đặt t  4  3x , ta có khi x  0 thì t  2, khi x  1 thì t  1 và x  4  t2 2t nên dx   dt. 3 3 1 2 2 1 2t 2 t 2  1 1  . d t  d t     dt 2 2   (1  t ) 3 3 1 (t  1) 3 1  t  1 (t  1)2  2 Khi đó ta có V     12 | T r a n g 2 3 1  2 2  3 1    3   ln | t  1|      ln     6ln  1 .  t  1 3 2 6 9 2   1    Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học toán miễn phí: http://thayhuy.net B. Bài tập  y  x2  4x  3  y  0 Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  x  0  x  2  y  x 2 Oxy Bài 2: Trong mặt phẳng   , tính diện tích của hình phẳng (H):  2  y  2  x 3x  1  y  x  1  Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  y  0 x  0   2  y  x Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  2  x  y 2  y  x  2x Bài 5: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H) :  2  y  x  4x (C ) : y  x  Bài 6: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): (d ) : y  2  x (Ox)  (C ) : y  e x  Bài 7: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): ( d ) : y  2 (  ) : x  1  Bài 8: Trong mặt phẳng  Oxy  cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cc đường 4 y  x 2 và y  x . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox. Bài 9: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. Bài 10: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi các đường : y  x; y  2  x; y  0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. Bài 11: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y  4  x 2 ; y  x 2  2 . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. --------------------------Hết---------------------------13 | T r a n g Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net